Séries numériques I) Définitions - Notions essentielles.) Séries numériques Définition Soit une suite numérique. On appelle série de terme général la suite dont les termes successifs sont : ₀ ₀ ₁ ₀ ₁ ₂ ₀ ₁ ₂ ₀ ₁... Définition Si la suite a une ite, on dit que la série de terme général est convergente et a pour somme. Dans ce cas on écrit : Exemples Sinon on dit que la série est divergente On considère la suite définie par 3 pour. Etudier la série de terme général. On a 3 2 3 2 3 2 2 6 2 la série converge. On écrit que : 6 2 6 3 2 6 On considère la suite définie par Etudier la série de terme général. pour.
On a On remarque que Or T Et donc la série converge. On a On considère la suite définie par pour Etudier la série de terme général. On a On peut écrire La série diverge. ln ln ln 2 ln 3 2 ln 4... ln ln 3 2 3 4... ln 2 3... ln ln On considère la suite définie par _ pour 0. Etudier la série de terme général. On a ₀, puis ₁ ⁰ ¹ 0, puis ₂ ⁰ ¹ ². La suite est 2-périodique. Elle n'est donc pas convergente elle n'a pas de ite. la série diverge. Une condition nécessaire de convergence Considérons une série de terme général. Supposons cette série convergente. Soit sa somme. On a donc et
en effet la suite est une sous suite extraite d'une suite convergente, elle est donc convergente et a même ite que la suite. 0 Or 0 Si la série de terme général converge, alors son terme général tend vers 0 quand tend vers + Bien entendu la réciproque est fausse comme le montre le troisième exemple du.. Le terme général peut tendre vers 0 : ln 0 sans que la série ne converge. En pratique c'est plutôt la contraposée du théorème précédent qui est utilisée : Si le terme général d'une série numérique ne tend pas vers 0 quand n tend vers +, alors cette série diverge Exemple La série de terme général pour 0 est divergente car. 2.3) Opérations sur les séries On considère les séries de terme général et. On définit la série somme comme la série de terme général, la série produit par un réel λ la série de terme général. Si les séries de terme général et sont convergentes, alors la série de terme général est convergente et l'on a Si la série de terme général est convergente, alors la série de terme général (λr) est convergente et l'on a : Il s'agit d'une simple application de théorème sur les ites. Soit. Si les deux séries convergent cela signifie que : R et ₂ R. On a
Ce qu'il fallait démontrer. ₁ ₂ Remarques Plus généralement, si les séries de terme général et convergent et si λ et μ sont deux réels, alors la série de terme général converge et l'on a : 2 Mais attention : Ce n'est pas parce que la série somme de deux séries converge que ces deux séries convergent. ent. Par exemple la série de terme général et celle de terme général. Ces séries divergent évidemment puisque leurs termes généraux ne tendent pas vers 0. Pourtant Nous avons vu que cette série converge. La somme existe, mais pas les sommes. Il serait donc absurde d ' écrire. 3 Si la série somme de deux séries divergentes peut être convergente comme le montre l'exemple précédent sans pouvoir conclure toutefois qu'il en est toujours ainsi, la série somme d'une série convergente et d'une série divergente est nécessairement divergente. On raisonne par l'absurde. On considère la série de terme général convergente et la série de terme général divergente. Soit la série de terme général. Si cette série était convergente, alors la série de terme général serait également convergente et donc la série de terme général serait convergente, ce qui est absurde..4) La série géométrique et les séries associées Définition Soit un nombre réel quelconque, on appelle série géométrique la série de terme général,. Une série géométrique de terme général est convergente si et seulement si Dans ce cas
Il est clair que si ou si, la série ne peut pas être convergente puisque le terme général de la suite _ ne tend pas vers 0. Il en est de même pour ou. Il est donc nécessaire que l'on ait. Cette condition est-elle suffisante? Soit Quand, Et donc La condition est bien suffisante. ⁿ 0 On démontre voir cours sur les variables aléatoires que : ⁿ Nous avons également montré que pour tout nombre 0,, on a 0 Si 0, on considère la quantité. On a avec 0,. 0 et donc 0 Ce qui conduit à : 0 On en déduit que pour tout réel,, on a : Si est un réel de l'intervalle,, alors la série de terme général est convergente et l'on a Deuxième série associée On démontre voir cours sur les variables aléatoires et ci-dessus le théorème suivant : Si est un réel de l'intervalle,, alors la série de terme général est convergente et l'on a
.5) Les séries de Riemann Définition On appelle série de Riemann toute série de terme général, avec R Etude de la convergence des séries de Riemann Einons rapidement le cas évident de α négatif. On aura dans ce cas Avec et β réel strictement positif. Dès lors, nous savons que : la série ne peut converger. De même si α0 on a donc divergence de la série. Il ne peut y avoir convergence éventuelle que pour α0 C'est donc cette situation que l'on examine par la suite. Nous allons commencer par des comparaisons avec des intégrales. Nous savons que si et sont deux fonctions intégrables sur, avec et si,, alors Sur l'intervalle,, où est un entier, on a,, décroissance de la fonction inverse Ou encore d'après le résultat précédent, Ce qui donne Or
Posons 2 3... On a d'après l'encadrement donné en :, Rappelons la relation de Chasles sur les intégrales :. On démontre par récurrence la relation de Chasles généralisée : On a donc Ce qui permet d'obtenir un encadrement de Calculons maintenant. Deux cas se présentent : et. On a pour, ln ln On a donc ln ln On en tire que La série est donc divergente. Pour α, on a On en tire Si 0, on a 0 et donc
La série est donc divergente. Reste donc à examiner le cas. Il n'y a plus de problème au niveau des ites puisque Et que Considérons la suite définie pour par :. Cette suite est convergente comme nous venons de le voir. On a En écrivant On constate que On a donc, D ' autre part, 0 la suite est croissante. Comme elle est majorée, elle converge. Et donc la série converge. D'où le théorème très utile : Remarques : Une série de Riemann de terme général converge si et seulement si La série de Riemann de terme général s'appelle la série harmonique. Elle diverge d'après le résultat précédent 2 La méthode vue ci-dessus de comparaison entre une série et une intégrale est souvent utilisée. II) Les séries à termes positifs 2.) Particularité essentielle des séries à termes positifs On considère la série de terme général telle que, 0.
Soit. La suite est croissante puisque 0. Si elle est majorée, elle est convergente. Réciproquement, si elle est convergente, elle est nécessairement majorée par sa ite. Pour prouver cette affirmation, on raisonne par l'absurde : On suppose qu'il existe un entier tel que, alors,., ce qui signifie que l'on ne peut pas rendre la distance aussi petite que l'on veut et donc que ne peut pas être la ite de. D'où le résultat important : La série de terme général, avec 0,, est convergente si et seulement si la suite des sommes partielles est majorée 2.2) Conséquence importante : les théorèmes de comparaison On considère deux séries à termes positifs de termes généraux respectifs et telles que. On a évidemment Si la série converge alors est majorée. est majorée et donc converge. Si la série diverge, alors. n'est pas majorée. et donc diverge. D'où le théorème : On considère deux séries à termes positifs de termes généraux respectifs et telles que,, alors - si la série converge, la série converge - si la série diverge, la série diverge. Remarque : Nous verrons un peu plus loin qu'il suffit en pratique que l'inégalité ne soit vérifiée qu'à partir d'un certain rang. Montrons par exemple que la série de terme général est convergente. Pour cela, remarquons que ³ ⁿ 0 d'après les théorèmes de croissance comparée. Cette suite étant positive, cela signifie qu'il existe un entier ₀ tel que si ₀, on aura. pour,.
La série de terme général est positive et son terme général est inférieur, au moins à partir d'un certain rang, au terme général d'une série de Riemann convergente, donc la série de terme général est convergente. De même, montrons que la série de terme général ln Nous savons que 0. ln 0. Cela signifie qu'il existe un entier tel que pour, ln. ln. La série de terme est positive pour 2. ln pour 2 est divergente. Son terme général est supérieur, au moins à partir d'un certain rang, au terme général d'une série de Riemann divergente. cette série est divergente. 2.3) Comment se ramener au cas des séries à termes positifs : la convergence absolue Si la série est convergente, alors la série est convergente. On dit alors qu'elle est absolument convergente. On considère les suites et définies de la façon suivante : et 0 si 0 0 et si 0 On a et et. Les séries de termes généraux et sont des séries à termes positifs dont le terme général est majorée par le terme général d'une série convergente. Elles sont donc convergentes. leur différence est également convergente. est une série convergente. Attention,, la réciproque est fausse : il existe des séries convergentes qui ne sont pas absolument convergentes. Un exemple classique est celui de la série harmonique alternée :. On démontre que ln 2. Alors que nous savons que n'est pas une série convergente. Cette série a un intérêt particulier, comme certaines autres séries qui sont convergentes mais pas absolument convergentes. Partons de ⁿ ln 2
Cette série s écrit 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 Si nous changeons l'ordre des termes, par exemple en prenant un terme positif de cette série suivie de deux termes négatifs pris dans l'ordre, on obtient : On peut alors l'écrire sous la forme Ce qui donne Ou encore 2 4 3 6 8 5 0 2 2 4 3 6 8 5 0 2 4 6 8 0 2 2 2 2 3 4 5 6 série dont on connaît la somme : 2 ln 2 Autrement dit la modification de l'ordre des termes a eu pour effet de changer la somme de la série. On dit que cette série n'est pas commutativement convergente. Dans de nombreux cas, des séries convergentes, mais pas absolument convergentes ne sont pas commutativement convergentes. III) Compléments 3.) La série exponentielle Définition étant un nombre réel, on appelle série exponentielle toute série dont le terme général est ⁿ! Toute série exponentielle est convergente et l'on a! Ce résultat est admis. Il y a toutefois quelques pistes possibles pour en comprendre la validité. Tout d'abord, puisque nous avons dit que cette série est convergente pour tout réel, on peut définir une fonction par Ce que l'on écrirait "sous forme éclatée" :!! 2! 3!!
En admettant que l'on puisse dériver une telle expression avec des règles de dérivation identiques à celles du somme d'un nombre fini de termes, on aura : 0!! 2 3 2! 3!! 2!! On aura également 0. La fonction exponentielle est une fonction égale à sa dérivée telle qu'en 0 elle vaut. On démontre que c'est la seule. Une autre approche possible sera vue en deuxième année avec l'utilisation de la formule de Taylor. 3.2) Calcul approché de la somme d'une série Dans de nombreux cas, on sait démontrer qu'une série converge sans être capable de trouver la valeur exacte de sa somme. Dans le cas d'une série à termes positifs, on sait que la suite des sommes partielles est croissante. Puisque la série converge, plus est grand plus nous serons proche de la vraie valeur de la somme de la série. Reste à déterminer un majorant pour l'erreur commise quand on remplace la somme par la valeur approchée. Ce qui n'est pas toujours simple. Donnons un exemple : nous savons que la série de Riemann de terme général /n² converge. Quelle est sa ite? Calculons avec un ordinateur une valeur approchée : 7299975 7354264. 5962 0838475 98270720 Quelle erreur commet-on en considérant que cette valeur est la "vraie" somme? On sait que Posons Pour tout,, on peut écrire 2
En sommant ces encadrements on trouve comme dans la partie II : 2 Ce qui donne 2 2 Et donc 2 2 2 On a en passant à la ite dans l'encadrement ci-dessus, on trouve 2 2 2 Nous trouvons ici en encadrement de l'erreur commise. On peut dire que 7299975 7354264 2 0838475 98270720 2 7299975 7354264 2 0838475 98270720 En fait on sait déterminer la valeur exacte de S : 6 3.3) Changement d'un nombre fini de termes d'une série On ne change pas la nature d'une série si l'on change un nombre fini de termes de cette série Nous n'examinerons que le cas où l'on change par exemple les premiers termes de la série. Soit donc la série de terme général. On considère la suite définie pour tout par et par des termes,,, quelconques pour les termes du rang 0 au rang. Si la série de terme général converge, alors Posons. Soit On a pour et. existe. Cette dernière somme est une somme finie de termes, c'est donc un réel que l'on peut appeler α. On a donc
On a En passant à la ite, on en tire que : Et donc. Posons. On aura : Ce qui donne enfin Ce qui prouve que la série de terme général v_n converge également. Si la série de terme général diverge, le résultat reste vrai ce résultat est évident si la ite des sommes partielles est, moins si cette série n'a pas de ite. 3.4) Série somme dans le cas de séries à termes positifs On considère deux séries de termes généraux et positifs pour tout ou au moins à partir d'un certain rang. Si la série de terme général converge, alors les deux séries et convergent En effet les séries étant à termes positifs, on a, ce qui justifie la convergence de la série de terme général. 3.5) Séries et équivalents On considère la série à termes positifs de terme général. On suppose que, étant positif pour tout. On a. Ce qui signifie qu'il existe un entier ₀ tel que si ₀, on aura par exemple 2 3 2 Ou encore 2 3 2 Si la série de terme général converge, l'inégalité montre que la série converge. Si la série diverge, l'inégalité montre que la série diverge. 3.6) Retour sur la série géométrique Dans certains problèmes au lieu de on est amené à calculer.
On a évidemment De même, on est souvent amené à calculer On sait que On a donc : au lieu de 2 2