Gen.2. Mesures de longueurs et calculs d erreurs

Manipulation G2 : Mesures de longueurs et calculs d erreurs 1 Gen.2. Mesures de longueurs et calculs d erreurs Prérequis Chapitre 2 1. Introduction : mesure des longueurs La mesure des longueurs se fait avec une règle généralement graduée en millimètres ou demimillimètres. Bien qu un observateur exercé puisse estimer le dixième de millimètre, on dira que la précision de la mesure est de 1mm ou 1/2mm respectivement. Pour améliorer cette précision, on utilise un vernier 1 ou une vis micrométrique. 1.1 Le vernier Le vernier est utilisé pour la mesure des longueurs et des angles ou de toute autre grandeur dont la mesure peut être ramenée à celle d une longueur ou d un angle (ex : la mesure de la pression atmosphérique à l aide d un baromètre à mercure). 1.1.a Principe Soit une règle graduée en divisions de longueur a. Le long de cette règle peut coulisser une réglette appelée vernier, graduée de telle façon que la longueur v d une division est un peu plus petite que la longueur de k divisions de la règle principale (soit k.a, k étant un nombre entier généralement égal à 1, 2 ou 3). Figure 1 : représentation d un vernier 1 Du nom de P.Vernier, géomètre français qui, au début du 17 ème siècle, a imaginé ce dispositif

Manipulation G2 : Mesures de longueurs et calculs d erreurs 2 1.1.b Calcul de la précision du vernier Soit a la longueur d une division de la règle principale et m le nombre de divisions du vernier, la précision 2 du vernier vaut alors : p = a/m On voit que la précision d un vernier comportant m divisions est égale au m ième de la division de la règle principale. Exemples : a. Considérons le vernier représenté sur la figure 1. Si la règle principale est graduée en mm, a vaut 1mm et m vaut 10 (j=1 donc p=a/m). On a alors : p =1/10mm b. La règle principale est graduée en mm et, pour constituer le vernier, on divise une longueur de 19mm en 20 parties égales. On a : a = 1mm, m = 20 (j=1 donc p=a/m) Donc, p = 1/20mm. c. Pour constituer le vernier, on divise en 4 parties égales la longueur de 7 divisions de la règle principale. Si a = 1/2mm, on a : m = 4 (j=1, donc p=a/m) Donc, p = 1/8mm Si a = 1mm, on a : m = 4 (j=1, donc p=a/m) Donc, p = 1/4mm 2 Cette relation n est valable que si la longueur totale du vernier est égale à (k.m-1) divisions de la règle principale. Il arrive néanmoins que l on utilise une longueur de k.m-j divisions de la règle principale avec j=2 ou 3. Exemple : la règle principale est graduée en demi-mm et, pour constituer le vernier, on divise une longueur de 24mm en 50 parties égales. On a : a=1/2mm, m=50, k=1, j=2 et p = j.a/m = 1/50mm.

Manipulation G2 : Mesures de longueurs et calculs d erreurs 3 1.1.c Comment lire un vernier pour améliorer la précision 3 d une mesure? Reprenons l exemple de la figure 1. Le «pointeur» vous permettant de lire la valeur sur la règle principale est le «0» du vernier (représenté par une flèche sur la figure 1). Dans ce cas particulier, la ligne 0 est parfaitement alignée sur le 11 ème mm, la lecture est donc 11mm. Prenons un autre cas représenté sur la figure suivante. Figure 2 : lecture sur un vernier On voit cette fois que la ligne «0» ne s aligne pas exactement avec une des lignes de la règle principale. Dans ce cas, la lecture sera comprise entre 10 et 11mm. On voit que la longueur mesurée vaut un nombre n (ici 10) entier de mm plus une fraction de mm que le vernier va permettre d évaluer. On remarque que l une des graduations du vernier vient pratiquement en coïncidence avec une graduation de la règle principale. Notons n cette graduation. 3 Remarquons qu augmenter la précision, mot pris dans le langage courant, c est diminuer la précision, mot utilisé en physique!

Manipulation G2 : Mesures de longueurs et calculs d erreurs 4 La lecture sur le vernier vaut alors : n.a + n.p Dans le cas de la figure 2 : n = 10 et n = 8, donc : 10*a + 8*p = 10*1mm + 8*0,1mm La lecture est donc 10,8mm. Remarque : si aucune graduation du vernier ne coïncide avec un trait de la règle, on prendra celle qui en est la plus proche. 1.2 La vis micrométrique La vis micrométrique est une vis, de construction très soignée, qui se déplace dans un écrou. Figure 3 : représentation d une vis micrométrique Lorsqu elle fait un tour complet dans un écrou fixe, elle se déplace longitudinalement d une longueur a, appelée pas. Si l on construit une circonférence graduée solidaire de la vis et centrée sur l axe de celle-ci, et un trait repère sur l écrou, on pourra lire la fraction 1/n de tours si la circonférence porte n graduations équidistantes. Exemple : si la circonférence est divisée en 100 parties égales, on peut lire le 100 ème de tours. Si le pas de la vis est a = 1mm, on obtient donc le déplacement longitudinal de la vis au centième de mm près.

Manipulation G2 : Mesures de longueurs et calculs d erreurs 5 1.3 Le pied à coulisse Une photographie d un pied à coulisse est présentée sur la figure 4. Le pied à coulisse se compose d une règle principale portant généralement une graduation millimétrique et munie d un palpeur fixe et d un coulisseau solidaire du palpeur mobile. Un vernier est gravé sur le coulisseau de telle façon que son zéro coïncide avec le zéro de la règle lorsque les palpeurs sont en contact. Si ce n est pas le cas, il y a une erreur de zéro (systématique) dont on doit tenir compte dans chaque mesure. L objet à mesurer est pincé entre les palpeurs et on effectue la lecture comme indiqué au 1.1.c.

Manipulation G2 : Mesures de longueurs et calculs d erreurs 6 1.4 Le compas palmer Le compas palmer comporte une vis micrométrique et un palpeur fixe, solidaire de l écrou et placé en face du palpeur de la vis (figure 6). L écrou porte une graduation longitudinale dont une division est égale au pas de la vis. Celle-ci est solidaire d un tambour sur le biseau duquel est gravée une graduation circulaire permettant de lire les fractions de tour 4. La vis est entraînée par l intermédiaire d un rochet qui permet de limiter la pression de contact des palpeurs contre les surfaces des pièces à mesurer. Figure 6 :le compas palmer Il existe également un système de blocage de la vis micrométrique pendant la lecture ; avant de manœuvrer le rochet, on vérifiera que la vis est débloquée. Avant de se servir du palmer, on déterminera la valeur du pas de la vis et d une division du tambour. On en déduira la précision du compas palmer. On évaluera ensuite l erreur de zéro (systématique). 2. But de la manipulation Le but de la manipulation est double : 1./ vous apprendre à utiliser vernier et vis micrométrique, éléments de beaucoup d appareils ou dispositifs de mesure où leur présence augmente la précision des déterminations de longueurs ou d angles. 2./ vous familiariser progressivement avec le calcul des erreurs de mesure. 4 Parfois, un vernier, gravé sur l écrou, augmente la précision de la lecture

Manipulation G2 : Mesures de longueurs et calculs d erreurs 7 3. Dispositif expérimental Vous travaillerez d abord avec le vernier sur l échelle linéaire d un pied à coulisse ( 1.3), ensuite avec la vis micrométrique d un palmer ( 1.4). 4. Manipulation 4.1 Lecture d un pied à coulisse Si l échelle de la règle principale représentée sur la figure 7 est exprimée en mm, quelle est la valeur indiquée par ce pied à coulisse? Figure 7 : exercice sur la lecture d un pied à coulisse 4.2 Mesure de l aire d une face et du volume d un parallélipipède rectangle Vous utiliserez le pied à coulisse (cfr 1.3) pour mesurer la longueur des arêtes d un parallélépipède rectangle. Vous en déduirez l aire de la plus grande des faces et le volume V de ce solide et noterez votre résultat de la manière requise : (A ± ε A ) et (V ± ε V ). a. Vérifiez d abord que lorsque les becs du pied à coulisse sont en contact, le zéro de la règle principale coïncide avec le zéro du vernier. b. Déterminez la précision du vernier et notez-la, sans oublier l unité utilisée, comme il convient de le faire sans qu il le soit dit à chaque fois, pour toute valeur d une grandeur qui n est pas sans dimensions. c. Mesurez chaque grandeur sur une seule arête, longueur (L), largeur (l) et hauteur (h) du parallélépipède, déterminez l erreur absolue ε affectant chacune de ces déterminations et notez vos résultats de la manière requise (L ± ε L pour la longueur par exemple).

Manipulation G2 : Mesures de longueurs et calculs d erreurs 8 d. Calculez l erreur relative correspondant à chacune des déterminations faites au point c en veillant à n écrire finalement que les seuls chiffres qu il est convenu de garder comme étant significatifs. e. Calculez l aire de la plus grande des faces et le volume du parallélépipède ainsi que les erreurs absolues affectant ces déterminations. Annoncez finalement votre résultat de la manière demandée. Veillez à nouveau à ne garder que les seuls chiffres significatifs ; notez bien que cette exigence est de règle générale et qu elle sera sous-entendue par la suite. 4.3 Mesure du volume d un cylindre droit Vous utiliserez un palmer (cfr 1.4) pour mesurer le diamètre d un cylindre droit et un pied à coulisse pour mesurer sa hauteur. Vous en déduirez le volume V de ce solide et noterez votre résultat de la manière requise (V ± ε V ). 4.4. Exercices a. Trouvez la valeur du pas de la vis du palmer, examinez le nombre de graduations du tambour et calculez la précision de l appareil. b. Evaluez l erreur de zéro du palmer (veillez à toujours manœuvrer lentement le rochet pour éviter les effets d inertie). Si l erreur n est pas négligeable par rapport à la précision, on peut la rendre telle en jouant sur le dispositif de réglage prévu à cet effet (petit «crochet» noir). c. Effectuez 5 déterminations du diamètre du cylindre, soit un petit nombre de déterminations, à des hauteurs de section différentes. Calculez la valeur et l erreur de mesure (d ± ε d ). d. Effectuez, au moyen du pied à coulisse, une seule détermination de la hauteur du cylindre (h ± ε h ). e. Calculez le volume du cylindre, l erreur absolue affectant ce calcul et indiquez votre résultat de la manière demandée. f. Combien de décimales votre calculatrice indique-t-elle pour la valeur du nombre π? Quelle erreur commettrait-on si, ne disposant pas de calculatrice, on évaluait π à 3,14? Résolvez les exercices suivants : (la résolution doit se trouver dans le rapport de laboratoire) 1. u = 3x 6 + 2 Calculer u ± ε(u) pour a) x = 0,36 ± 0,07 b) x = -2,27 ± 0,32 2. u = cos x + sin y Calculer u ± ε(u) pour x = 33 17 ± 2 & y = 71 48 ± 2