4.5 Le bâton du pape Lors de Show Math, les élèves ont vu comment, il y a 2200 ans, Ératosthène a calculé la circonférence de la Terre. Pour réussir cet exploit, il a dû utiliser des notions mathématiques car cette grandeur était impossible à mesurer physiquement à l époque. Au fil du temps, l homme a eu recours à divers procédés pour mesurer indirectement différentes choses. Dans cette activité, l élève sera amené à découvrir un de ces procédés : le bâton de Gerbert. Cette activité permettra d approfondir le concept de similitude de triangles. Intentions de l activité Faire voir aux élèves la portée des notions qu ils apprennent Mettre en contexte les mathématiques Découvrir que l étude d un instrument de mesure ancien peut aider à la compréhension de problèmes réels et actuels Forme de la production attendue Présentation et fonctionnement de l instrument (partie 1) Construction de l instrument (partie 2) Présentation orale (partie 3) Concepts utilisés Trigonométrie Similitude de triangles Ressources matérielles Bâtons (par exemple : tuteur pour les plantes, etc.) Ruban à mesurer Clou et marteau ou colle à bois Équerre Présentation 4.5 Le bâton du pape
Déroulement Préparation Faire un rappel sur les cas de triangles semblables (les conditions minimales pour déterminer que des triangles sont semblables) et des conséquences que l on peut tirer de ce fait. Il faut essayer de faire voir aux élèves que dans les avancées technologiques se cachent des notions mathématiques et que le bâton de Gerbert était une importante avancée technologique pour l époque. Réalisation Dans cette activité, l élève sera amené à sortir du cadre illustré pour trouver une solution au problème. Il devra comprendre que pour trouver la mesure manquante, il doit prolonger un segment de la figure 3. L enseignant pourra poser des questions et orienter le cheminement de ceux qui ont de la difficulté à voir les choses, surtout au début de l activité. L élève devra justifier ce qu il affirme au moyen du bagage mathématique qu il possède. Il devra construire un bâton de Gerbert en respectant le modèle qui lui est présenté. Il serait très intéressant pour les élèves d expérimenter leur instrument. Il doit réinvestir ses apprentissages en réalisant une petite présentation orale portant sur le fonctionnement du bâton de Gerbert. Afin de véritablement développer la compétence 3, il faudra s assurer que l élève explique correctement les principes mathématiques sur lesquels il se base. Intégration Pistes de différenciation Il serait intéressant de discuter des limites de l instrument. Par exemple, il faut que la mesure soit effectuée sur un terrain plat car il faut avoir le dégagement nécessaire afin de mesurer la hauteur de l objet. Réaliser cette activité de concert avec les autres activités portant sur les instruments de mesure (Ératosthène et le GPS, l Astrolabe et le Sextant) permettrait de comparer leur efficacité. Les élèves pourront aussi démontrer leur compréhension des notions apprises en expliquant à des élèves qui ne connaissent pas leur instrument comment il fonctionne, à quoi il sert, etc. Si certains élèves terminent trop vite par rapport à d autres, on pourra leur demander de fabriquer un bâton semblable qui permet de mesurer la hauteur d objets situés plus loin. Discuter de la possibilité d effectuer les mêmes mesures, mais avec un bâton dont les segments sont dans un rapport de ½ au lieu d être de même mesure. Faire réaliser que la hauteur du bâton vertical par rapport à la hauteur de l œil de l observateur est un facteur important dans l efficacité de la prise de mesure. Présentation 4.5 Le bâton du pape
Nom : 4.5 Le bâton du pape Comment arriver rapidement, avec seulement un bâton, à trouver la mesure de la hauteur de votre école? Il existe certainement plus d une faon d arriver à calculer pareille distance. Toutefois, si vous étiez né il y a 1000 ans, vous auriez sans doute répondu à cette question en utilisant la méthode du bâton de Gerbert. Dans cette activité, vous allez devoir comprendre le fonctionnement de cet instrument de mesure datant du 11 e siècle. Vous allez découvrir que ce bâton n a pas de propriétés magiques, mais bien des propriétés mathématiques! Lors de Showmath, vous avez entendu parler d un mathématicien grec du nom d Ératosthène. Cet homme a réussi, il y a 2200 ans, à calculer la circonférence de la Terre en connaissant seulement la distance entre deux villes et la mesure d un angle. Pour réussir cet exploit, il a dû utiliser des notions mathématiques car cette grandeur était impossible à mesurer directement à l époque. Au cours des siècles passés, nous avons vu apparaître différents procédés pour mesurer la hauteur de grandes constructions comme celle des pyramides ou encore de la Tour Eiffel. Nous allons vous demander de construire et d expliquer un de ces moyens trouvés par l homme afin de mesurer des grandeurs linéaires. Le but de votre présentation sera de faire connaître aux autres votre instrument de mesure en expliquant comment vous l avez fabriqué et quels étaient les avantages et inconvénients de son utilisation à l époque où l homme s en servait. A Partie 1 Le bâton de Gerbert porte le nom de Gerbert d Aurillac, un théologien, qui fut nommé pape en 999 et qui porta alors le nom de Sylvestre II. L instrument utilisé est formé d un bâton, tenu verticalement, auquel un bâton plus court est attaché perpendiculairement près du sommet de façon à ce que la longueur de ce bâton horizontal soit égale à la distance entre le point d attache et le sommet du bâton vertical. Si vous regardez la figure 1, mop = map et ces segments sont perpendiculaires. Comment pouvons-nous mesurer la hauteur d un objet avec un instrument aussi simple? Tout d abord, il faut viser de façon à voir simultanément (comme sur une même droite), l extrémité du bâton horizontal (le point O), le sommet du bâton (le point A) et le sommet de l objet dont nous voulons mesurer la hauteur. Par la suite, il faut connaître les relations entre les triangles semblables afin de déduire la hauteur désirée. O B P Figure 1 Cahier de l élève 4.5 Le bâton du pape 1
Si nous voulons, par exemple, mesurer la hauteur de l arbre ci-contre (figure 2), il faudra placer le bâton devant l arbre et mettre notre œil de façon à voir en même temps les deux extrémités du bâton et la cime de l arbre, comme le montre la figure 3. Maintenant, à l aide de cette figure et de vos habiletés à jouer avec les concepts géométriques, vous allez devoir expliquer comment au 11e siècle on pouvait utiliser cet instrument pour déduire la mesure de grandeurs inaccessibles. Pour ce faire, vous devez essayer d exprimer la hauteur H comme étant la mesure de distances qui sont mesurables (connues).? Attention, vous devez arriver à une déduction logique de la réponse sous la forme d affirmations et de justifications. 1. Figure #2 Figure 2 Pistes de réflexions : Il serait peut-être intéressant de prolonger un segment pour obte nir d autres triangles. D Pouvez-vous identifier tous les triangles présents et trouver leurs propriétés? Ont-ils des angles communs? Rappelez-vous que le bâton est construit de telle sorte que mop = map A H=? Observateur P O B Figure 3 2 Cahier de l élève 4.5 Le bâton du pape E E
Partie 2 Maintenant que vous savez comment fonctionne le bâton de Gerbert, nous vous invitons à partager cette découverte avec le reste de la classe. Afin de faciliter la compréhension des autres élèves, nous vous demandons d en fabriquer un. Voici une liste des matériaux que nous vous suggérons d utiliser. Des bâtons (par exemple : tuteur pour les plantes, baguettes de bois, etc.) Ruban à mesurer Clou et marteau ou colle à bois Équerre Vous devez faire un schéma de votre instrument avant de le construire. Les mesures de chacune de vos pièces de même que les matériaux utilisés doivent y apparaître. Schéma de votre bâton 2. Partie 3 Nous vous invitons maintenant à présenter au groupe l instrument que vous avez construit. Vous devez expliquer son fonctionnement ainsi que ses avantages et ses inconvénients. Nous vous demandons ici de porter un jugement critique sur cette invention du 11 e siècle et d essayer de faire ressortir les limites de son utilisation. Cahier de l élève 4.5 Le bâton du pape 3
4.5 Le bâton du pape Corrigé Partie 1 Si nous voulons, par exemple, mesurer la hauteur de l arbre ci-contre (figure 2), il faudra placer le bâton devant l arbre et mettre notre œil de façon à voir en même temps les deux extrémités du bâton et la cime de l arbre, comme le montre la figure 3. Maintenant, à l aide de cette figure et de vos habiletés à jouer avec les concepts géométriques, vous allez devoir expliquer comment au 11e siècle on pouvait utiliser cet instrument pour déduire la mesure de grandeurs inaccessibles. Pour ce faire, vous devez essayer d exprimer la hauteur H comme étant la mesure de distances qui sont mesurables (connues). Attention, vous devez arriver à une déduction logique de la réponse sous la forme d affirmations et de justifications. 1. (Page 2) Il faut d abord prolonger le segment DAO jusqu à la droite représentant le sol. Ensuite, nous remarquerons que le triangle DEC est semblable au triangle APO. En effet, comme le segment OP est parallèle au sol les angles AOP et DCE sont correspondants et isométriques. D Les angles APO et DEC sont droits et donc isométriques. Comme le triangle APO est isocèle, le triangle DEC l est aussi. Ainsi : mce = mde. Il suffit donc de mesurer CE pour connaître DE. Observateur O A P H=? c B Figure 3 E E Corrigé 4.5 Le bâton du pape 1
Partie 2 Maintenant que vous savez comment fonctionne le bâton de Gerbert, nous vous invitons à partager cette découverte avec le reste de la classe. Afin de faciliter la compréhension des autres élèves, nous vous demandons d en fabriquer un. Voici une liste des matériaux que nous vous suggérons d utiliser. Des bâtons (par exemple : tuteurs pour les plantes, baguettes de bois, etc.) Ruban à mesurer Clou et marteau ou colle à bois Équerre Vous devez faire un schéma de votre instrument avant de le construire. Les mesures de chacune de vos pièces de même que les matériaux utilisés doivent y apparaître. Schéma de votre bâton 2. (Page 3) Différentes réponses sont appropriées 2 Corrigé 4.5 Le bâton du pape