Terinale S Les systèes oscillants Les systèes oscillants : introduction Activité docuentaire : Les pendules de Galilée Le physicien Galileo Galilei (1564-1642) fut le preier à étudier epérientaleent les pendules. Ses résultats sont le fruit d'une rigoureuse déarche scientifique. Il les consigna avec beaucoup de précisions dans un traité, rédigé en 1638. Galileo Galilei a étudié le coporteent des pendules au début du XVII e siècle et a décrit ses epériences et ses analyses dans son ouvrage, «Discours et déonstrations athéatiques concernant deu sciences nouvelles relatives à la écanique et au ouveents locau» (1638). Dans le tete suivant, etrait d'un sujet du baccalauréat (Sportifs de haut niveau, octobre 1996), Galilée note ses observations. Un physicien de l'université de Padoue (où Galilée enseigna de 1589 à 161) a reconstitué réceent les pendules qu'il utilisa (Photo). liège plob «J'ai pris deu boules, l'une de plob et l'autre de liège, celle-là au oins cent fois plus lourde que celle-ci, puis j'ai attaché chacune d'elle à deu fils très fins, longs tous deu de quatre coudées 1 ; les écartant alors de la position perpendiculaire, je les lâchais en êe teps [...] ; une bonne centaine d'allées et venues, accoplies par les boules elles-êes, 'ont claireent ontré qu'entre la période du corps pesant, et celle du corps léger, la coïncidence est telle que sur ille vibrations coe sur cent, le preier n'acquiert sur le second aucune avance, fût-ce la plus inie, ais que tous deu ont un rythe de ouveent rigoureuseent identique. On observe égaleent l'action du ilieu qui, en gênant le ouveent, ralentit bien davantage les vibrations du liège que celles du plob sans toutefois odifier leur fréquence; êe si les arcs décrits par le liège n'ont plus que cinq ou si degrés, contre cinquante ou soiante pour le plob, ils sont traversés en des teps égau». 1 Une coudée équivaut à environ 5 c. sphère creuse ivoire Les pendules de Galilée 1) Quel ot pourrait utiliser Galilée au lieu de parler de vibrations? 2) Quel tere physique désigne «les rythes de ouveent» utilisés par Galilée? 3) Par quel tere physique replacerait-on «les arcs décrits par le liège» dont parle Galilée? 4) Galilée a étudié l'influence d'une grandeur physique sur le ouveent des pendules : laquelle? 5) Les pendules de Galilée sont-ils aortis? Pour quel pendule les frotteents seblent-ils être beaucoup plus faibles? 6) Étudier la reconstitution des pendules de Galilée de la photo. D'après ce docuent, Galilée a cherché à ettre en évidence l'influence d'une autre grandeur physique : laquelle? 7) D après la dernière partie du tete, Galilée se rend copte qu un dernier paraètre n a pas d influence sur la période des oscillations. Lequel est-ce? 8) Rappeler la définition de la période et de la fréquence d'un pendule avec leur unité, étudiées en classe de seconde. 9) Faire une phrase qui eplique l influence de chaque paraètre étudié par Galilée sur la période du pendule pesant (on devinera l influence, non décrite dans les docuents, du troisièe paraètre)? 1) Pourquoi Galilée raisonne-t-il sur un grand nobre de périodes? 11) Quels systèes oscillants, rencontrés dans la vie de tous les jours, connaissez-vous?
Terinale S En physique, nous étudions des systèes bien plus siples, ais ceu-ci pourront odéliser des situations réelles. Voici quelques eeples de systèes oscillants classiques : Définition d un oscillateur écanique? Pendule siple Systèe asse-ressort Un oscillateur écanique est un systèe anié de ouveents périodiques, autour d une position d équilibre. I Etude du pendule siple 1) Définition d un pendule Une pendule pesant est un systèe écanique obile autour d un ae fie horizontal qui ne passe pas par son centre d inertie. Il oscille sous l action de la pesanteur lorsqu on l écarte de sa position d équilibre. E : balançoire, balancier d une horloge Le pendule siple est un cas idéal du pendule pesant dans la esure où on considère que l objet est accroché à l etréité d un fil inetensible ou d une tige rigide dont la asse est négligeable devant la asse de l objet suspendu. Ecarté de sa position d équilibre, il oscille aussi sous l action de son poids. Le centre de gravité du systèe est donc celui de la asse suspendu. O + + O Θ θ + G + G Pendule pesant Pendule siple 2) Oscillations libres non aorties Une oscillation est le trajet du pendule entre deu passages successifs par un point dans le êe sens. Les oscillations sont libres s il n y a aucune intervention etérieure. Elles sont non aorties si les frotteents peuvent être négligés. Dans ce cas, le TP nous a ontré que la période propre des oscillations : - ne dépend pas de la asse accrochée, - ne dépend pas de l angle d oscillations pour de faibles oscillations (θ < 2 ) : on parle d isochronise des petites oscillations. - dépend de la longueur du fil ou de la tige. 3) Etude du ouveent dans le cas d oscillations libres non aorties a) Grandeurs physiques caractérisant le ouveent du pendule siple Ecart à l équilibre et abscisse angulaire : Au cours du ouveent d un systèe oscillant, celui-ci oscille autour de sa position d équilibre stable. Ainsi on peut caractériser cette oscillation par une grandeur qui dépend du teps et qui décrit de cobien le systèe s écarte de sa position d équilibre stable. Doc n 1 : θ : Abscisse angulaire θ : Aplitude des oscillations
Terinale S Pour un pendule siple, la grandeur qui dépend du teps la plus judicieuse à suivre, c est l angle duquel s écarte le pendule à chaque oscillation : cette grandeur est généraleent notée θ et est appelée abscisse angulaire. Elle peut être négative ou positive, selon le sens positif choisi (théoriqueent celui du cercle trigonoétrique). Aplitude des oscillations : C est la valeur aiale prise par l abscisse angulaire, quelque soit son signe. Période des oscillations : La période (epriée en seconde) d un phénoène périodique est la plus petite durée au bout de laquelle le phénoène se reproduit identique à lui-êe. On verra par la suite deu types de périodes : période propre et pseudo-période. On peut aussi définir la fréquence (epriée en hertz) du phénoène périodique : f = 1/T. b) Etude epérientale A l aide d un dispositif d acquisition, on enregistre l abscisse angulaire θ du pendule au cours du teps. Pour un petit nobre d oscillations, l aplitude θ reste la êe. Le ouveent du pendule est donc périodique : les oscillations sont libres et non aorties. Si l on poursuit l epérience, les oscillations s aortissent. T T Lorsque le pendule libre est non aorti, la période est noée période propre et est noté T. c) Etude théorique Doc n 2 Le systèe étudié est la a asse du pendule dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Les forces appliquées au systèe sont son poids et la force (action du fil). La force du fil a pour droite d action le fil tendu : c est donc une droite passant par l ae de rotation qui n a pas d effet sur le ouveent, son travail étant nul pendant tout le ouveent (voir cours de 1 ère S). C est aussi le cas du poids lorsque la asse est à la verticale du point O. 1 er cas : étude au repos On applique la 1 ère loi de Newton dans le référentiel terrestre : + = Les forces se copensent et sont opposées. Le pendule est en position d équilibre à la verticla du point O. + O 2 èe cas : étude du pendule écarté de s position d équilibre On applique la 2 èe loi de Newton dans le référentiel terrestre : + =. Les forces ne se copensent pas, le vecteur vitesse varie. La droite d actiondu poids ne passe pas par l ae de rotation : il fait tourner le pendule autour de l ae et tend à le raener en position d équilibre. Projetons la relation vectorielle issue de la 2 èe loi de Newton dans le repère de Frénet. On peut alors écrire : cosθ. + P. sinθ.. a dv dt. 2 V. n r Ainsi, d après la 2èe loi de Newton + =. Selon Or v = l. P. sinθ =. l. dv P. sinθ =. dt
Terinale S.g. sinθ =. l. =. sin θ Pour des angles faibles, sin θ = θ (vrai à 5% près jusqu à 32. On en déduit l équation différentielle qui régit l évolution de l écart angulaire pour un pendule siple en oscillations libres non aorties : Cette équation peut égaleent s écrire : =. θ =. θ Rearque : la notation ««signifie dérivée seconde par rapport au teps. En reprenant les éthodes utiliséeés en électricité, on ontre facileent que cette équation a pour solution : θ= θ. cos (.t + ) Entraînez-vous!!!! d) Période propre T des petites oscillations libres non aorties Nous allons utiliser l analyse diensionnelle pour établir l epression de la période propre T du pendule siple. Les paraètres qui influent à priori sur la période T sont : la longueur du fil l, l intensité de la pesanteur g (qui est la cause du ouveent) et la asse du pendule. T = C.. l. g avec C,,, et des constantes sans unité. [T ] = [C.. l. g ] [T ] = []. [l]. [g] car C est sans diension [T ] = M. L. (L.T - ²) car g s eprie en.s -2 [T ] = M. L ( + ).T - ² Or, on sait que T est hoogène à un teps, soit [T ] =T Par identification, on en déduit donc le systèe d équation suivant : = = soit T = C. l ½. g -½ + = = ½ -2 = 1 =-½ Avec l epérience, on peut déteriner la valeur de C = 2 L epression de la période propre est donc : T 2 l g 4) Oscillations libres aorties En réalité, sur plusieurs oscillations, on rearque que le pendule perd de l aplitude, celui-ci est donc considéré coe peu aorti. Selon l aortisseent, on a différents régies : a. Régie pseudo-périodiques : Epérience : Enregistrons le ouveent du pendule θ = f(t) en augentant légèreent son aortisseent. Conclusion : On observe une pseudo-période qui reste quasient identique à chaque oscillation. Celle-ci est très proche de la valeur de la période propre du Doc n 3 +
Terinale S pendule. b. Régie apériodique ) : Epérience : Enregistrons le ouveent du pendule θ = f(t) lorsque l aortisseent fort. Observations : Nous n observons plus d oscillations, coe la courbe ceci : Conclusion : Pour obtenir un régie apériodique, il faut que le pendule est un aortisseent fort. Doc n 4 est très II Le dispositif solide-ressort 1) Force de rappel eercée par un ressort Quand on parle de systèe solide-ressort, on pense tout de suite au parallèle que l on pourrait faire avec le pendule siple : Le systèe serait donc constitué d un ressort de longueur à vide l qui lorsque qu on lui accroche une asse s étire jusqu à la longueur l : Doc n 1 En fait, en théorie, on étudiera le ressort horizontal :une asse (ponctuelle) est accrochée à son etréité. On peut alors définir facileent la force de rappel du ressort : On appelle l allongeent du ressort qui est définit par : = l-l La force de rappel F sera proportionnelle à cet allongeent. La force de rappel est égaleent proportionnelle à une constante, liée à la nature du ressort est appelée constante de raideur du ressort. Elle est notée et s eprie en N. -1. On utilise un ae orienté O pour se repérer. Si le ressort est coprié : L allongeent est négatif La force doit être dans le sens de l ae O Doc n 2 La force de rappel sera : = -. X. Si le ressort est étiré : L allongeent est positif La force doit être dans le sens inverse de l ae O La force de rappel sera : = -. X. CL : Quelque soit la situation, la force de rappel d un ressort est de la fore : = -. X. avec F en N ; en N. -1 ; en Ses caractéristiques sont donc : - direction : celle du ressort, - sens : selon si le ressort est coprié ou étiré ; - point d application : etréité du ressort ; - nore : F = Doc n 3 Doc n 4 Epérientaleent, le ressort utilisé est constitué par deu ressorts fiés de part et d autre du solide de asse. Ainsi, on obtient un ouveent rectiligne du solide. Les deu ressorts de constante de raideur sont assiilables à un seul ressort de constante de raideur = 2
Terinale S 2) Etude du ouveent d un systèe solide-ressort horizontal a) Etude epérientale : On utilise le systèe décrit en dernier dans le paragraphe précédent. Le banc est uni d un coussin d air ce qui peret d éviter tous frotteents entre le banc et le solide. On provoque le ouveent du solide et on l enregistre avec un systèe d acquisition adapté. Observations : Le ouveent du solide est périodique, on observe des oscillations autour d une position d équilibre. Ces oscillations seblent être de période constante. Ce ouveent seble être le êe que celui du pendule siple écarté de position d équilibre. Doc n 5 sa b) Etude théorique : Equation différentielle du ouveent Référentiel : La table sur laquelle est posé le dispositif epériental, fie, supposé galiléen. Systèe : Le solide qui est relié au deu ressorts. O i F R N Bilan des forces : Le poids du solide : P ; La réaction du support : R [= R N (réaction norale) + f (force de frotteents)] f ; La force de rappel du ressort : F P Application de la deuièe loi de Newton : Doc n 6 Fest a G P R f F a. N G En projection sur l ae O i : f. Or a G dvg d ² ag d où : dt dt² d² dt² f Equation différentielle du ouveent tenant copte de frotteents c) Solution de l équation différentielle (frotteents négligeables) Equation différentielle lorsque les frotteents sont négligeables : Lorsque les frotteents sont négligeables, l équation différentielle devient : d² dt² Vérification de la validité d une solution : Vérifions que la solution de fore cos t est solution de cette équation différentielle : Dérivons deu fois cette epression : d dt sin t d ² dt² cos t et Replaçons dans l équation différentielle : cos t + cos t = La solution proposée est bien solution de l équation différentielle du ouveent (sans frotteents)
Terinale S Epression de la solution La solution est donc périodique (c est une fonction cosinus), on peut alors définir une période propre (pas d aortisseent. Si celle-ci est noté T et étant donnée que le cosinus est périodique de période 2, on peut écrire : ( t T ) t 2 T 2 T 2 On peut vérifier la validité de cette epression par analyse diensionnelle : [T ] = Une unité pour est N. -1 et d après la deuièe loi de Newton (F = a) le newton est équivalent à une diension M.L.T -2. Donc a pour diension : M.T -2 M [T ] = T ² T 2 M. T La période propre des oscillations du solide relié à un ressort a bien pour diension un teps. Epression de la solution de l équation différentielle en fonction de la période propre : cos 2 t T : Aplitude du ouveent (en ) T : Période propre des oscillations (en s) φ : Phase à l origine des teps (en rad) Les constantes et φ seront déterinées à l aide des conditions initiales.
Terinale S III Le phénoène de résonance : 1) Oscillations forcées Les oscillateurs que nous avons vu pour le oent étaient peu aortis : on leur fournissait au départ une énergie (aplitude initiale) puis les laissant osciller, ils revenaient à leur position d équilibre stable du fait de l aortisseent. On appelait ces oscillateurs des oscillateurs libres. Il est possible de contrer l effet de l aortisseent coe nous l avions fait en électricité (RLC). Pour cela il faut apporter à l oscillateur l énergie perdue pour obtenir des oscillations forcées sinusoïdales périodiques. En électricité, on apportait de l énergie électrique (par la résistance négative), ici on va devoir apporter de l énergie écanique (voir chapitre suivant). Mais en électricité, on apportait juste l énergie nécessaire pour contrer les effets de l aortisseent. Ici, on ne fait pas qu entretenir les oscillations, on va forcer les oscillations, c est à dire leur iposer une fréquence d oscillations. Le haut-parleur en est un eeple : la ebrane est ise en vibration par une force à la êe fréquence que le courant délivré par un GBF. Ecitateur et résonateur : a. On va donc utiliser un dispositif perettant d apporter cette énergie, on l appelle l ecitateur : Celui-ci est anié d un ouveent sinusoïdale continuel de période T réglable. b. L oscillateur qui reçoit l énergie est appelé résonateur : C est oscillateur peu aorti qui oscille, libre, avec une période propre T. c. Un oscillateur de fréquence propre f (résonateur), subit des oscillations forcées s il oscille à une fréquence f iposée par un autre oscillateur de fréquence f (ecitateur). a. Dispositif epériental 2) Mise en évidence epérientale et caractéristiques du phénoène : Pour étudier ce phénoène, on peut utiliser un systèe solide ressort qui constituera le résonateur. En guise d ecitateur, on peut utiliser un vibreur, ou à défaut, un haut parleur relié à un GBF, c est ce dernier qui va faire osciller la ebrane du HP qui sera elle-êe reliée au résonateur. b. Epériences Prenons le résonateur seul et déterinons par esure sa période propre d oscillation. T =.75 s Relions-le à l ecitateur et ettons ce dernier en arche à une fréquence quelconque. Obs : Le résonateur a un ouveent désordonné. Doc n 7 Faisons varier la fréquence jusqu à observer un ouveent particulier du résonateur : Notons la fréquence de l ecitateur : T =.75 s Augentons l aortisseent du résonateur (on fait évoluer le solide dans de l eau par eeple) : la résonance se fait toujours à la êe période, seule l aplitude des oscillations change. c. Conclusion Ce ouveent particulier et un ouveent d oscillation de grande aplitude. Lorsque l on observe ce ouveent particulier du résonateur on dit que l on se situe à la résonance. Ce ouveent est obtenu lorsque la fréquence de l ecitateur est voisine de la fréquence propre du résonateur. Si l aortisseent du résonateur augente, alors à la résonance l aplitude des oscillations est oins iportante.
Terinale S 3) Courbes de résonance du résonateur aplitude résonateur peu aorti résonateur aorti résonateur très aorti fréquence L epérience ontre que la variation de l aplitude A du résonateur en fonction de la fréquence f de l ecitateur dépend de l aortisseent du résonateur.les courbes 1 et 2 ci-dessus présentent un pic caractéristique de la résonance. L aplitude aiale des oscillations du résonateur est atteinte pour une fréquence f de l ecitateur voisine de f la fréquence propre du résonateur. a. Dans la vie courante : 4) Eeples de résonances en écanique Un adulte (l ecitateur de période T) pousse régulièreent un enfant sur une balançoire (résonateur de période propre T ) à une fréquence telle que f f. On obtient alors des oscillations de grande aplitude. b. Dans les instruents de usiques : La ajorité des instruents de usiques sont coposés de deu parties : Un objet vibrant (corde de la guitare, anche du saophone, peau du tabour) constitue l ecitateur. Une caisse de résonance joue le rôle du résonateur. Pour que l aplification ait lieu, il faut que les deu types d objet soient «accordés». c. Pour les ouvrages du BTP : On connaît tous la légende du pas cadencé de soldats qui aurait détruit un pont : la fréquence des vibrations provoquées par le pas des soldats a joué le rôle d ecitateur et a fait rentrer en résonance le pont (oscillations verticales), celui-ci s est alors brisé. d. En ce qui concerne les aortisseurs : f Iaginez votre voiture ou votre oto qui, au passage d un dos d âne, se et à osciller avec une fréquence très iportante! vous revendez sans tarder votre véhicule. Ainsi les concepteurs de ces véhicules travaillent sur les aortisseurs pour qu ils ne puissent jaais entrer en résonance. En effet dans ce doaine, le but est d éviter à tout pri le phénoène de résonance.