Mathématiques 12è SE Prfesseur : SAMATE L@mine Sikass ESGT CHAPITE 3 FONCTIONS NUMÉIQUES D UNE VAIABLE ÉELLE 3.1. appels fndamentaux a) Fnctin Étant dnnés E et F deux ensembles nn vide de, n appelle fnctin de E vers F tute relatin de E vers F telle que chaque élément de E est lié à un élément au plus par F. Autrement dit, n nmme fnctin de E vers F tute relatin de E vers F telle que pur tut ; Déterminer le dmaine de définitin des fnctins suivantes puis les écrire sus frme d intervalle en précisant les brnes c) d) c) Graphe d une fnctin Sit une fnctin définie de E vers F. On nmme graphe de u graphique de u curbe représentative de f dans un repère rthgnal tut sus ensemble G de frmé par les cuples d éléments liés par la crrespndance suivantes : b) On nte : 3.2. Extensin de la ntin de limite a) appels sur les limites Nus avns vu en classe 11 ème cmment calculer la limite d une fnctin en un pint dnné par apprche. b) Ensemble de définitin d une fnctin Étant dnnée une fnctin définie de E vers F. Activité 1 de rappel On cnsidère la fnctin définie sur par On appelle ensemble de définitin (u dmaine de définitin) de et n nte, l ensemble des éléments qui pssèdent une image par. Autrement dit, l ensemble de définitin de est l ensemble de tus les réels pur lesquels est calculable. i) Ensemble de définitin d une fnctin plynôme Étant dnnée une fnctin plynôme définie telle Pur les valeurs de de plus en plus grand, les nmbres devinent aussi grand sit il. On résume cela dans tableau suivant : 10 100 1000 2000 111 10101 1001001 4002001 On dit que la limite de la fnctin en plus l infini est plus l infini Activité 2 de rappel L ensemble de définitin de est l ensemble des nmbres réels c'est-à-dire On cnsidère une autre fnctin telle que ii) Ensemble de définitin d une fnctin ratinnelle Étant dnnés et deux plynômes et sit la fnctin définie par l ensemble de définitin de f est ù est l ensemble des slutins de l équatin. En d autre terme iii) Ensemble de définitin d une fnctin irratinnelle Étant dnnés une fnctin définie par ù est une fnctin quelcnque. Le dmaine de définitin de f est Pur les valeurs de de plus en plus prche de 1, les nmbres crrespndants deviennent très prches du nmbre réel 3. On a le tableau suivant 0,97 0,99 1 1,0001 1,002 2,98 2,99 3 3,00005 3,001 On dit que la limite en 1 de la fnctin est 3 b) Limite des fnctins usuelles On admet la limite des fnctins de référence suivantes : pur pur 3 - Fnctins Numériques d une variable réelle Page 28
Mathématiques 12è SE Prfesseur : SAMATE L@mine Sikass ESGT c) Thérème pur pur 1) Sit une fnctin. La limite de au pint est 2) Si est une fnctin plynôme, alrs la limite de en est égale à la limite en du mnôme du plus haut degré. 3) Si est une fnctin ratinnelle, alrs la limite de en est égale à la limite en du rapprt des mnômes du plus haut degré du numérateur et du dénminateur. d) Opératin sur les limites Étant dnnées et deux fnctins numériques ayant une limite finie (réel u infinie On a les limites suivantes 1) Limites d une smme + - + - + + +? - -? - emarque : + - + + - - - + emarque Les résultats dépendent de u c'est-à-dire : u Dans le cas u et Calculer les limites suivantes : 1) 2) 3) 3) limite d un qutient + - + 0?? - 0?? emarque Dans le car u et alrs Déterminer les limites suivantes 1) 2) 3) 4) Limite d une fnctin cmpsée Les ntatins «?» signifie qu il s agit d une frme indéterminée c'est-à-dire que l n ne peut pas dnner un résultat. Le résultat dépendre des situatins. Déterminer les limites suivantes : Étant dnnées Si n a un réel. tris fnctins telles que alrs avec puvant être + u 1) 2) 3) 4) 5) 2) Limite d un prduit Truver les limites suivantes : 1) 2) 5) Les frmes indéterminées snt du type 3 - Fnctins Numériques d une variable réelle Page 29
Mathématiques 12è SE Prfesseur : SAMATE L@mine Sikass ESGT 1) 2) 3) 4) c) Si alrs la drite d équatin réduite est une asymptte blique à (C) en (u au visinage de Interprétatin graphique Pur déterminns les limites avec frme indéterminée, n dit lever l indéterminatin. 6) Déterminatin d une limite avec frme indéterminé Déterminer les limites suivantes : 1) 2) 3) 4) 3.3. Étude d une branche infinie a) Asympttes hrizntale, verticale et blique Étant dnnée une fnctin de représentatin graphique (C) dans un repère rthgnal a) Si Alrs la drite d équatin cartésienne est une asymptte hrizntale à (C) en (u au visinage de Interprétatin graphique emarque a) Dans l équatin Si alrs n btient qui est une asymptte hrizntale. Prpriété Étant dnnée une fnctin définie sur un intervalle telle que avec une fnctin. Si alrs la drite d équatin est une asymptte à (C). en b) Directin asympttique Sit f une fnctin de curbe représentative (C) dans un repère rthgnal 1) Si alrs l axe des rdnnées est une branche parablique à la curbe (C) de f b) Si avec Alrs la drite d équatin est une asymptte verticale à (C). Interprétatin graphique 2) Si alrs l axe des abscisses est une branche parablique à la curbe (C) de f 3) Si alrs a) Si alrs la drite d équatin est une asymptte blique à (C) b) Si alrs (C) admet une branche parablique de directin c) Si n admet pas de limite alrs (C) n admet ni asymptte ni branche parablique 4) Si n admet pas de limite alrs (C) n admet ni asymptte, ni branche parablique, ni directin asympttique. 3 - Fnctins Numériques d une variable réelle Page 30
Mathématiques 12è SE Prfesseur : SAMATE L@mine Sikass ESGT emarque - Les fnctins plynômes nt une branche parablique de directin - Les fnctins ratinnelles du type (fnctin hmgraphique) nt une asymptte verticale et une asymptte hrizntale - Les fnctins ratinnelles du type nt une asymptte verticale et une asymptte blique. Truver les asympttes des fnctins suivantes : a) b) c) 3.4. Thérèmes de cmparaisns 1) Thérème de majratin et de minratin Étant dnnées tris fnctins définies sur un intervalle de la frme Si pur tut réel assez grand c'est-à-dire pur tel que n a alrs pssède une limite en n a Si pur tut assez grand tels que et n a alrs pssède une limite en + et n a Étant dnnées f et g deux fnctins sur un intervalle I de la frme avec Pur assez grand, si n a et si alrs 5) Thérème de cmpatibilité avec l rdre Étant dnnées de la frme Si n a alrs Si n a alrs des fnctins définies sur l intervalle De même par analgie n purra remplacer par un emarque Il existe des fnctins qui n admettent pas de limite en un pint, c'est-à-dire des limites à gauche et à drite différente en un pint. Exemple de fnctins n admettant pas de limite La fnctin en 0 car La fnctin partie entière en 0 Car si u De même n purra faire une analgie pur les limites en Déterminer les limites suivantes 2) Thérème d encadrement Étant dnnées tris fnctins définies sur un intervalle de la frme. Pur assez grand, si n a et si alrs la limite de en + c'est-à-dire. Par analgie, n purra remplacer + Ce thérème est cnnu sus le nm thérème des gendarmes Sit la fnctin définie sur Les fnctins sinus et de csinus en 3.5. Cntinuité d une fnctin a) Cntinuité en un pint 1) Définitin Étant dnnée une fnctin définie au mins sur l intervalle de est cntinue en admet une limite en égale à c'est-à-dire Ou encre pur tut 2) Interprétatin graphique Calculer 3) Thérème de la distance 3 - Fnctins Numériques d une variable réelle Page 31
Mathématiques 12è SE Prfesseur : SAMATE L@mine Sikass ESGT Cntinuité du qutient Le qutient est cntinue sur avec Cntinuité de l inverse L inverse de est cntinue sur. est une fnctin cntinue en Cntre exemple Cntinuité de la cmpsée Si est cntinue sur et cntinue sur cntenant alrs est cntinue sur. c) Prpriété de la cntinuité n est pas une fnctin cntinue en car n ne peut pas tracer le graphique de f sans lever le crayn. Étudier la cntinuité des fnctins suivantes au pint indiqué 1) 2) Les fnctins plynômes à cefficients réels snt cntinues sur Les fnctins ratinnelles à cefficient réels snt cntinues sur tus intervalles cntenus dans sn ensemble de définitin. En particulier, les fnctins sinus, csinus, racine carré snt cntinues sur tut intervalle sur lequel elles snt définies. emarque est cntinue sur l intervalle, si pint Étudier la cntinue sur de la fnctin est cntinue en tut b) Cntinue sur un intervalle 1) Définitin Étant dnnée une fnctin définie sur un intervalle de. est cntinue sur lrsque est cntinue en tut pint 2) Opératin sur les fnctins cntinues d) Prlngement par cntinuité 1) Définitin Étant dnnés une fnctin définie sur un intervalle et sit ( n est pas définie en et admet une limite finie en. On définie la fnctin par Thérème Étant dnnées deux fnctins cntinues sur un intervalle et sit un réel. On a : Cntinuité de la smme La smme et g est cntinue sur Cntinuité du prduit Le prduit de est cntinue sur Cntinuité du scalaire par un réel Le scalaire par un réel k, est cntinue sur Alrs est appelé prlngement cntinu de en Sit la fnctin Pruver que Cnclusin est prlngeable par cntinuité On retient que est définie et cntinue en a Les deux fnctins et n nt pas le même dmaine de définitin c'est-à-dire n est pas en, et est bien définie en. 2) Thérèmes généraux sur la cntinuité 3 - Fnctins Numériques d une variable réelle Page 32
Mathématiques 12è SE Prfesseur : SAMATE L@mine Sikass ESGT 1) Étant dnnée une fnctin définie sur un intervalle Alrs l image est l ensemble de tus les nmbres pur. 2) Étant dnnée une fnctin. Si est cntinue sur un intervalle alrs est un intervalle. 3) Étant dnnée une fnctin. Si est cntinue sur un intervalle fermé brné, alrs serait brnée sur et atteint ses brnes. 4) Étant dnnée une fnctin strictement mntne sur un intervalle Alrs est : l intervalle si est strictement crissante l intervalle si est strictement décrissante. e) Thérèmes particuliers 1) Thérème des valeurs intermédiaires Étant dnnée une fnctin cntinue sur un intervalle. Pur tut nmbre réel intermédiaire entre alrs il existe au mins un réel tel que, c'est-à-dire l équatin admet au mins une slutin dans. 2) Thérème du pint fixe Étant dnnée. une fnctin cntinue sur un intervalle Si admet au mins un pint fixe sur, alrs il existe au mins un réel tel que 3) Thérème de bijectin Étant dnnée une fnctin cntinue et strictement mntne sur un intervalle est une bijectin de sur si est strictement crissante et une bijectin de sur si est strictement décrissante. Pur tut alrs il existe tel que appels a) Dérivabilité d une fnctin en un pint quelcnque Thérème Étant une fnctin numérique définie sur un intervalle de et sit snt équivalentes celles qui suivent : a) Il existe un nmbre réel tel que l accrissement myen ait pur limite c'est-à-dire : u b) Il existe un nmbre réel et une fnctin numérique tels que pur tut tel que Définitin et remarque On retient que la premier expressin se nmme accrissement myen de en et la deuxième de nmme dévelppement limité de en à l rdre 1. On nmme fnctin dérivable en si l une des équivalences est vérifiée : Le nmbre réel est appelé nmbre dérivé de en que l n nte Étudier la dérivabilité de la fnctin au pint définie sur par b) Tangente à la curbe représentative d une fnctin a) Le nmbre dérivé de la fnctin numérique au pint et représente le cefficient directeur de la drite tangente à la curbe de au pint d abscisse si la tangente existe 4) Crlaire Étant dnnée une fnctin cntinue et strictement mntne sur un intervalle Si alrs l équatin admet une unique slutin dans 5) Thérème de cntinuité de la fnctin réciprque Étant dnnée une fnctin cntinue et strictement mntne sur un intervalle alrs la bijectin de strictement mntne sur de même sens de variatin que et cntinue sur 3.6. Dérivabilité d une fnctin 3 - Fnctins Numériques d une variable réelle Page 33
Mathématiques 12è SE Prfesseur : SAMATE L@mine Sikass ESGT Équatin de la tangente eprenns la figure suivante Si est une fnctin dérivable sur un intervalle alrs est cntinue sur. Truver la fnctin dérivé de sur 3) Tableau récapitulatif des dérivées usuelles 0 Fnctin Fnctin dérivée Ensemble de définitin (cnstante) si si La drite (T) passe par les pints A et B de crdnnées respectives Le cefficient directeur de le réel r le cefficient directeur est également le nmbre dérivé en c'est-à-dire alrs n btient L équatin de (T) est alrs 4) Opératin sur les dérivées Étant dnnées U et V deux fnctins numérique définies et dérivables sur un intervalle On a le tableau récapitulatif suivant : La quantité apprximatin affine de. est également appelé Fnctin Dérivée Cnditins Truver l équatin tangente(t) à la curbe (C) de la fnctin emarque si Le nmbre dérivé d une fnctin au pint représente également la vitesse instantanée d un mbile de li hraire à l instant c) Fnctin dérivée et applicatin à l étude des fnctins numériques 1) Définitin Étant dnnée une fnctin admettant un nmbre dérivé en tut pint d un intervalle quelcnque alrs n dit que est dérivable sur. La fnctin dérivée de que l n nte est telle que à tut pint fait crrespndre le nmbre dérivé 2) Thérème Exemple d applicatin Truver la fnctin dérivé des fnctins suivantes : b) c) d) 3 - Fnctins Numériques d une variable réelle Page 34
Mathématiques 12è SE Prfesseur : SAMATE L@mine Sikass ESGT 5) Quelque thérème sur les fnctins dérivées b) Calculer la dérivée de 1) Étant dnnée une fnctin définitin et dérivable sur un intervalle. Lrsque admet un extremun lcal en un pint alrs On suppse c) Calculer admet une bijectin réciprque En plus si et que change de signe alrs la fnctin a un extremum lcal en 2) Étant dnnées et deux fnctins respectivement dérivables sur les intervalles et avec La cmpsée de fnctin et n a est dérivable sur l intervalle 3) Étant une fnctin bijective d un intervalle sur un autre intervalle et sa bijectin réciprque La dérivatin de la bijectin réciprque est telle que Pur tel que n a dérivable en 5) Dérivées successives de fnctin Étant dnnée une fnctin numérique admettant une fnctin dérivée Si admet une fnctin dérivée ntée u encre fnctin dérivée secnde). En itérant la dérivée n définit la dérivée de u la dérivée d rdre et pur tut Ntns que 3.7. Étude de fnctin a) Thérème : signe de la dérivé et variatin de fnctins Étant dnnée une fnctin numérique dérivable sur un intervalle. a) Si sur alrs est cnstante sur b) Si alrs est décrissante sur c) Si alrs est crissante sur d) Si et que l ensemble des tels que ne cntient aucun intervalle d intérieur nn vide alrs est strictement crissante sur e) Si sur et que l ensemble des tels que ne cntient aucun intervalle d intérieur nn vide alrs est strictement décrissante sur I. b) Fnctin paire et fnctin impaire Étant dnné f une fnctin définie sur un ensemble D. 2) n dit que f est pire lrsque pur tut (D est symétrique par rapprt à 0) et b) n dit que f est impaire lrsque pur tut ( D est symétrique par rapprt à 0) et Sient les fnctins 1) Truver 2) Déterminer emarque et Étant la partie des fnctins suivantes : c) Axe de symétrie On adpte une ntatin différentielle pur les fnctins dérivées par exemple Étant dnné f une fnctin définie sur D de curbe représentative (C) dans un repère rthgnal la drite (D) : est un axe de symétrie pur la curbe (C) si pur tut nmbre réel h tel que n a : si est la variable réelle des thérèmes On cnsidère les fnctins a) Étudier les extremums lcaux de d) Centre de symétrie Étant dnné f une fnctin définie sur un repère rthgnal. Le pint symétrie pur ( ) si pur tut h tel ue n a de curbe ( ) dans est un centre de 3 - Fnctins Numériques d une variable réelle Page 35
Mathématiques 12è SE Prfesseur : SAMATE L@mine Sikass ESGT 1) Sit la fnctin f telle que : Pruver que la drite d équatin de la curbe représentative (C) de est un axe de symétrie Préciser la psitin de (C) par rapprt à (D) dans les cas suivants : a) et 2) On cnsidère de fnctin g définie par b) et Mntrer que le pint la curbe de e) Thérème d extremum est un centre de symétrie pur 3.8. Plan d étude d une fnctin Dans l étude d une fnctin, n suit le plan suivant : 1) Dmaine de définitin de 2) Les limites aux brnes de Étant dnnée une fnctin sit dérivable sur un intervalle et a) Si s annule en en changeant de signe alrs est un extremum lcal b) Si est un extremum lcal alrs Étudier et préciser les extremums de la fnctin 3) Les asympttes à la curbe ( ) de 4) La fnctin dérivée de 5) Le signe de la fnctin dérivée 6) Le sens de variatin de 7) Le tableau de variatin de 8) Le tableau de valeurs (s il ya lieu) 9) L équatin de la tangente (s il ya lieu) f) Pint d inflexin Étant dnnée une fnctin admettant une fnctin dérivée d rdre 2 sur un intervalle. Si pur tut sur Alrs s annule en en changeant de signe. 10) La curbe représentative de (tut en précisant les pints de la curbe avec l axes des abscisses et des rdnnées). d étude de fnctin Étudier et représenter les fnctins suivantes 1) 2) On dit que le pint curbe ( ) de la fnctin est un pint d inflexin pur la 3) 4) Mntrer que le pint est un pint d inflexin à la curbe de la fnctin. g) Psitin relative d une curbe et de l asymptte blique Étant dnnées une fnctin de représentatin dans un repère rthgnal et l asymptte blique à - Si alrs est au dessus de (D) - Si alrs est au dessus de (D) - Si alrs est cnfndue avec (D) 5) 6) 3.9. Fnctin particulière : fnctin puissance Pur tut, n appelle fnctin racine n ième, la bijectin réciprque de la fnctin : Sient une fnctin de représentatin (C) et une drite (D) asymptte à (C) On écrit c'est-à-dire que 3 - Fnctins Numériques d une variable réelle Page 36
Mathématiques 12è SE Prfesseur : SAMATE L@mine Sikass ESGT 3.10. Inégalités des accrissements finis 1 er Thérème a) Étant dnnée une fnctin numérique dérivable sur un intervalle. On suppse l existence de deux réels et tels que sur l intervalle. a Quels que sient les réels de tels que n a alrs b 2 ème Thérème Étant dnnée une fnctin définie et dérivable sur un intervalle. S il existe un tel que sur l intervalle. Pur tus appartenant à On a alrs 3 ème Thérème b) est strictement crissante Étant dnnées et deux fnctins dérivables sur un intervalle. Si sur alrs pur tus réels tels que n a :. Mntrer que pur tut, 3.11. Applicatin du thérème des valeurs intermédiaires pur l encadrement de la slutin d une équatin a b On cnsidère l équatin 1) Pruver que (E) admet une racine unique dans l intervalle telle que 2) Truver un encadrement d amplitude près de 3.12. Apprximatin de la slutin d une équatin à une précisin dnnée a) Méthde de dichtmie Étant dnné f une fnctin dérivable Si f est strictement mntne sur et que et snt de signes cntraires (c'est-à-dire alrs l équatin pssède une slutin et une seule dans Telle que Interprétatin graphique est strictement décrissante Étant dnnée une fnctin cntinue sur un intervalle. Sit l équatin Si snt de signes cntraires, c'est-à-dire. Alrs il existe une slutin unique tel que La méthde de dichtmie va nus cnduire à truver, n divise en deux intervalles. Sit le centre de n a les deux intervalles - Si alrs - Si alrs appartient à l un des intervalles - Si par exemple et ) snt de signes cntraires alrs - Si ) et snt de même signes alrs 3 - Fnctins Numériques d une variable réelle Page 37
Mathématiques 12è SE Prfesseur : SAMATE L@mine Sikass ESGT On pse alrs = Le centre de est Alrs appartient à l un des intervalles suivants : et, ] - Si par exemple snt de même signes alrs - Et si et snt de signes cntraires alrs On pse et n cherche le centre. On réitère le prcessus jusqu'à l btentin de la slutin apprchée de l équatin. On btient une suite de centres respectifs tels que pur telles que : Alrs n pse et Nus puvns amélirer la précisin de la slutin par la méthde de Newtn telle que nus puvns truver une apprximatin successive de la slutin telle que pur En chisissant une valeur pur. (a u b) qui vérifie Alrs la slutin peut se calculer en partant de l apprximatin initiale vérifiant Sit la fnctin Truver à près la slutin de l équatin dans l intervalle. 3.13. Curbe d une bijectin et d une bijectin réciprque Étant dnnée une bijectin de E vers F ù les ensembles E et F snt des parties de. Dans un repère rthnrmé le graphique de et snt symétrique par rapprt à la première bissectrice C'est-à-dire si n a la fnctin Dnt le graphique est dnné par Alrs n pse et Sit ε la précisin prés dnnée. On arrête le prcessus si alrs Sit l équatin a) Pruver que (E) admet une slutin unique dans On désigne par cette slutin b) Truver une apprximatin de près. emarque La méthde de dichtmie veut dire diviser u partager en deux. On l appelle également la méthde de bipartitin. b) Méthde de Newtn Étant dnnée une fnctin, telle une et sient cntinues et gardent des signes cnstants sur En désignant par la slutin de l équatin Après avir cherché la n ème slutin apprchée Sit la fnctin définie par a) Cnstruire la curbe de f dans un repère rthgnal b) En déduire la curbe de la bijectin réciprque c) Expliciter la frmule de 3.14. Histire des mathématiciens Newtn Isaac Newtn vécu entre 1642 et 1727, mathématicien, physicien et astrnme anglais. Il est cnsidéré cmme l un des plus grands scientifiques de l histire. 3 - Fnctins Numériques d une variable réelle Page 38