Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies

Chapitre 6 Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Nous allons maintenant revenir sur les espaces L p du Chapitre 4, à la lumière de certains résultats du Chapitre 5. Sauf mention ultérieure, (, M, µ) désigne un espace mesuré arbitraire. 6.1 Uniforme convexité et régularité de la norme Proposition 6.1. Pour chaque 1 < p <, l espace L p (, µ) est uniformément convexe. La démonstration repose de manière essentielle sur la stricte convexité de la fonction s s p. Plus précisément, nous ferons référence au lemme suivant dont la preuve, un peu fastidieuse mais en rien ingénieuse, est laissée en exercice. Lemme 6.. Pour chaque ε > 0 il existe δ > 0 tel que pour tous s, t dans C vérifiant s 1, t 1 et s t ε, on a s + t p (1 δ) s p + t p. Pour la preuve de la Proposition ci-dessus, il est nécessaire de passer d inégalité ponctuelles comme celles du Lemme 6. a des inégalités intégrales. Démonstration. Soit ε > 0. Il est suffisant de montrer qu il existe δ > 0 tel que pour tous u, v dans L p (, µ) vérifiant u Lp (,µ) 1, v Lp (,µ) 1 et u v L p (,µ) ε, on a u + v 1 δ. L p (,µ) Définissons := x : u(x) v(x) p > εp ( u(x) p + v(x) p ), 60

et aussi r(x) := max( u(x), v(x) ). Par définition de, r(x) > 0 pour tout x, et u(x) r(x) v(x) r(x) ε. Il suit du Lemme 6. qu il existe δ > 0 tel que p u(x) + v(x) u(x) p + v(x) p (1 δ) pour tout x. Par ailleurs, pour chaque x \, par convexité de l application s s p, p u(x) + v(x) u(x) p + v(x) p. En intégrant sur et \ respectivement, on obtient u(x) p + v(x) p p dµ u(x) + v(x) dµ u(x) p + v(x) p p dµ u(x) + v(x) dµ u(x) p + v(x) p u(x) p + v(x) p dµ (1 δ) dµ 1 p δ max(up L p (,µ), vp L p (,µ) ). Comme u L p (,µ) 1, v L p (,µ) 1, le terme de gauche dans l inégalité ci-dessus est inférieur à 1 u+v. D autre part, par définition de, Par conséquent, u v p dµ \ 1/p p L p (,µ) ε 1/p u p dµ + v dµ p ε. 1/p \ X\ u v Lp (,µ) u v Lp (,µ) u v Lp (\,µ) ε, et par l inégalité triangulaire on obtient En définitive, et dès lors max(u L p (,µ), v L p (,µ)) ε. 1 u + v u + v Lp (,µ) p L p (,µ) δ ( ε )p 1 δ ( ε )p 1/p 1 δ, en choisissant δ := δ p ( ε )p, et la conclusion suit. 61

Proposition 6.3. Pour 1 < p < l espace L p (, µ) est lisse et pour tout u dans L p (, µ) \ 0 et tout v L p (, µ), D p (u)(v) = up 1 p u p uv dµ. Démonstration. Notons que u u Lp (,µ) est la composition de u u p L p (,µ) avec la fonction racine p-ième g : s s 1/p. Il nous suffit donc d établir la dérivabilité en 0 de la fonction ε u + εv p dµ pour tout u in L p (, µ) \ 0 et pour tout v L p (, µ). Notons aussi que pour µ-presque tout x, u(x) + εv(x) p u(x) p lim = p u(x) p u(x)v(x), ε 0 ε et que, par le théorème des accroissements finis, pour tout ε (0, 1) il existe t ε (0, ε) tel que u(x) + εv(x) p u(x) p ε p u(x) + t ε v(x) p 1 v(x) C( v(x) p + u(x) p 1 v(x) ) =: f(x), pour une constante C > 0 qui ne dépend que de p. Par l inégalité de Hölder, f dµ C v p dµ + u p 1 v dµ C v p L p (,µ) + v L p (,µ)u p 1 L p (,µ) <. Il suit alors du Théorème de convergence dominée que u + εv p L lim p (,µ) up L p (,µ) = p u p uv dµ. ε 0 ε Par la règle de dérivation des fonctions composées, on obtient alors D(g p L p)(u).v = Dg(up L p). D p L p)(u).v ce qui termine la démonstration. = g (u p L p) D p L p)(u).v = u 1 p L p (,µ) u p uv dµ, Remarque 6.4. Pour µ = L N, les deux propositions précédentes ne peuvent pas être étendues au cas p = 1 ou, i.e., ni L 1 (, L N ) ni L (, L N ) ne sont uniformément convexe ou lisse. Exercice 6.1. Montrer par quatre contre-exemples bien choisis les affirmations contenues dans la remarque ci-dessus. 6

6. Dualité dans les espaces de Lebesgue En combinant les deux résultats de la section précédente avec le théorème de représentation du Chapitre 5 (Théorème 5.15) nous obtenons le : Théorème 6.5. Pour 1 < p <, le dual de l espace L p (, µ) est isométriquement isomorphe à L p (, µ) où p := p/(p 1). Plus précisément, pour chaque f (L p (, µ)), il existe un unique v in L p (, µ) tel que f(u) = uv dµ, pour tout u L p (, µ), et f (L p (,µ)) = v L p (,µ). Démonstration. Par le Théorème 5.15, pour chaque f (L p (, µ)) \ 0, il existe une unique w L p (, µ) tel que w Lp (,µ) = 1 et tel que pour tout u L p (, µ), f(u) = f (Lp (,µ)) D (w)(u), ce qui signifie, au vu de la Proposition 6.3, f(u) = f (Lp (,µ)) w1 p p u w p w dµ = uv dµ, où v := f (L p (,µ)) w1 p p w p w. Comme w L p (, µ) et w L p (,µ) = 1, il suit que v L p (, µ) et que v L p (,µ) = f (L p (,µ)). Il reste à montrer que si v dans L p (, µ) est telle que uv dµ = 0, pour tout u L p (, µ), alors v = 0. Il suffit pour cela de choisir u := v p p 1 v. Nous pouvons dès lors traduire la notion de convergence faible dans le cas des espaces de Lebesgue : en effet, par le théorème qui précède chaque espace L p (, µ) peut être vu comme un espace dual, celui de L p (, µ) (car (p ) = p). Sans ambiguïté, nous écrivons alors : Définition 6.6. (Convergence faible dans L p (, µ)) Soit 1 < p <, on dit qu une suite (u n ) n N L p (, µ) converge faiblement vers u dans L p (, µ) si pour tout v in L p (, µ), u n v dµ uv dµ lorsque n. Comme pour 1 < p <, L p (, µ) est un espace de Banach séparable (voir Chapitre 4), il suit du Théorème 5.10 que toute suite bornée (u n ) n N dans L p (, µ) possède une sous-suite qui converge faiblement. Bien qu il ne soit ni lisse ni uniformément convexe, on peut néanmoins identifier la dual de L 1 (, µ) à L (, µ), au moins si µ est une mesure de Radon sur un ouvert de R N. 63

Théorème 6.7. Soit µ une mesure de Radon sur un ouvert de R N. Le dual de L 1 (, µ) est isométriquement isomorphe à L (, µ). Plus précisément, pour tout f (L 1 (, µ)), il existe un unique v L (, µ) tel que f(u) = uv dµ, (6..1) pour tous u L 1 (, µ)), et f (L1 (,µ)) = v L (,µ). Démonstration. Soit f (L 1 (, µ)). Soit φ L (, µ) une fonction strictement positive telle que pour tout compact K de on a inf φ(x) > 0. x K L application f φ : w L (, µ) f(φw) est bien définie puisque f(φw) f (L1 (,µ)) φw L 1 (,µ), f (L 1 (,µ)) φ L (,µ)w L (,µ). Dès lors f φ appartient à (L (, µ)) et par le Théorème 6.5 il existe un unique v φ dans L (, µ) tel que f φ (L (,µ)) = v φ L (,µ), et pour tout w dans L (, µ), f φ (w) = i.e. f(φw) = v φ w dµ, v φ φw dµ. φ On définit alors v := v φ φ. Nous allons montrer que v appartient à L (, µ) et que v L (,µ) f (L1 (,µ)). Supposons par l absurde qu il existe ε > 0 et, mesurable avec µ() > 0 tel que v(x) > f (L 1 (,µ)) + ε, pour tout x. On considère alors la fonction w(x) = 1 (x)signe(v(x)), où signe(u) = 1 si u > 0, signe(u) = 1 si u < 0, et signe(u) = 0 si u = 0. lors v φ f(φw) = φ φw dµ = v φ dµ (f (L 1 (,µ)) + ε) φ dµ, et f(φw) f (L 1 (,µ)) φw L 1 (,µ) = f (L 1 (,µ)) φ dµ, ce qui est une contradiction, puisque φ dµ > 0. Finalement, le fait que (6..1) ait lieu pour tout u L 1 (, µ) suit de la densité des fonctions continues à support compact dans L 1 (, µ). 64

Exercice 6.. Montrer qu il existe toujours une fonction φ telle que indiquée dans la démonstration précédente. Définition 6.8. (Convergence faible dans L 1 (, µ)) On dit qu une suite (u n ) L 1 (, µ) converge faiblement vers u dans L 1 (, µ) si pour tout v L (, µ), u n v dµ uv dµ lorsque n. Il est important d insister sur le fait que, à la différence de L p (, µ) (pour 1 < p < ), L 1 (, µ) n est pas un dual et en particulier les suites bornées dans L 1 (, µ) ne possèdent pas nécessairement dfe sous-suite faiblement convergentes. En effet, il peut exister des phénomènes de concentration de masse le long de la suite, qui feront survenir, au sens de la convergence des mesures dont nous parlerons ci-dessous, par exemple des masses de Dirac comme points d accumulation. 6.3 Mesures de Radon finies Soit R N un ouvert, on désigne par C 0 (, R) la fermeture de l espace C c (, R) dans BC(, R) pour la norme uniforme. Proposition 6.9. Une fonction f C 0 (, R) si et seulement si pour tout ε > 0, il existe un compact K ε tel que f < ε sur \ K ε. Démonstration. Soit ε > 0 quelconque et soit K un compact tels que f < ε sur \ K. Par le Lemme d Urysohn il existe g C c (, [0, 1]) telle que g = 1 sur K. On pose h = fg, de sorte que h C c (, R) et f h < ε. On déduit que f C 0 (, R). Inversement, soit f C 0 (, R), alors il existe une suite (f n ) C c (, R) telle que f n f uniformément dans. Soit ε > 0 et n ε N tels que f nε f < ε/, on définit ensuite K := {x / f nε ε/}. Par construction K est un sous-ensemble compacte de et pour tout x \ K, f f f nε + f nε < ε. Définition 6.10. L espace des mesures de Radon finies sur, noté M(), est par définition le dual de l espace C 0 (, R). Notons que l on a déjà introduit la notion de mesure de Radon positive dans le Chapitre 3 sur l intégration. Grâce au Théorème de représentation de Riesz (Théorème 3.36), nous pouvons maintenant faire le lien entre ces deux notions très proches. Théorème 6.11. Quelle que soit L M() il existe deux mesures de Radon positives λ + et λ sur telles que L(u) = u dλ + u dλ. 65

Démonstration. On prétend que pour L M(), il existe des formes linéaires positives L + et L sur C 0 (, R) telles que L(u) = L + (u) L (u) pour tout u C 0 (, R). Une fois cette affirmation démontrée, la conclusion suivra alors immédiatement du Théorème de représentation de Riesz (Théorème 3.36). On définit le cône C + := {u C 0 (, R) : u 0}, et pour u C +, L + (u) := sup{l(v) : v C +, v u}. Etape 1 : L + est positive et finie sur C +. Soit u C +. Comme 0 C +, L + (u) 0. Soit ensuite v C + tel que 0 v u. Par continuité de L, L(v) Lv Lu, et en prenant le sup par rapport à v on obtient 0 L + (u) Lu <. Etape : L + est additive sur C +. Soient u 1 et u C + et v C + tel que 0 v u 1 + u. On décompose v en v = min(u 1, v) + max(v u 1, 0), où min(u 1, v) u 1 et max(v u 1, 0) u. Comme min(u 1, v) et max(v u 1, 0) C +, on a L(v) = L(min(u 1, v)) + L(max(v u 1, 0)) L + (u 1 ) + L + (u ), et en prenant le sup sur tous les v on obtient L + (u 1 + u ) L + (u 1 ) + L + (u ). Pour démontrer l inégalité inverse, soit ε > 0. Par définition de L +, il existe v 1 et v C + tels que 0 v i u i et L + (u i ) L(v i ) + ε pour i = 1,. Comme 0 v 1 + v u 1 + u, il suit que L + (u 1 + u ) L(v 1 + v ) = L(v 1 ) + L(v ) L + (u 1 ) + L + (u ) ε, et il suffit alors de faire tendre ε 0. Etape 3 : Définition et additivité de L + sur C 0 (, R). Soit u C 0 (, R). On décompose u comme la différence de ses parties positive et négative u = u + u avec u ± C +. On définit L + (u) := L + (u + ) L + (u ). Si u et v C 0 (, R), alors (u+v) + (u+v) = u + u +v + v de sorte que (u+v) + +u +v = (u + v) + u + + v +. Par additivité de L + sur C +, L + ((u + v) + ) + L + (u ) + L + (v ) = L + ((u + v) ) + L + (u + ) + L + (v + ), and en échangeant ensuite l ordre des termes on obtient L + (u + v) = L + (u) + L + (v). Etape 4 : L + est continue sur C 0 (, R). Soit u C 0 (, R). Comme L + est positive, on a L + ( u ± u) 0, et par additivité de L +, L + ( u ) ±L + (u), i.e., L + (u) L + ( u ). Soit donc u 1 et u C 0 (, R), par les étapes 3 et 1, L + (u 1 ) L + (u ) = L + (u 1 u ) L + ( u 1 u ) Lu 1 u. Etape 5 : L + est une forme linéaire sur C 0 (, R). L additivité de L + montre que pour tout n N, L + (nu) = nl + (u). Comme ( u) ± = u, on obtient L + ( u) = L + (u) et l identité précédente s étend ensuite à n importe quel n Z. Si maintenant r = p/q Q avec p, q Z et q = 0, alors L + (qru) = 66

ql + (ru) = L + (pu) = pl + (u), et donc L + (ru) = rl + (u). La continuité de L + et la densité de Q dans R implique finalement que L + (αu) = αl + (u) pour tout α R. Etape 6 : L est une forme linéaire positive sur C 0 (, R). On définit L := L + L. lors L est clairement une forme linéaire. De plus, comme par définition de L +, L + (u) L(u) pour tout u C +, on conclut que L est positive. Remarque 6.1. Il est d usage d utiliser la notation L(u) = u dλ, où λ désigne la mesure signée λ := λ + λ. Définition 6.13. (Convergence faible dans M()) On dit qu une suite (λ n ) n N M() de mesures de Radon finies sur converge faiblement vers λ in M() si pour tout v in C 0 (, R), v dλ n v dλ lorsque n. La convergence faible des mesures de Radon finies est donc un cas particulier de convergence faible dans un dual telle que nous l avons définie au Chapitre 5 (avec la remarque que celle-ci est parfois appelée la convergence *-faible). Exercice 6.3. u Chapitre, nous avons démontré que l espace BC(K, R) est séparable quel que soit le compact K R N. En déduire que C c (, R) est séparable. le u vu de l exercice précédent, et du Théorème 5.10, on déduit immédiatement Théorème 6.14. De toute suite bornée de mesures de Radon finies on peut extraire une sous-suite qui converge au sens faible des mesures. Si µ est une mesure de Radon positive, on observe que l espace L 1 (, µ) peut être injecté de manière canonique dans M() via l application où u L 1 (, µ) T u M(), T u : v C 0 (, R) uv dµ. En conséquence, si (u n ) n N est une suite bornée dans L 1 (, µ), alors on peut extraire une sous-suite qui converge au sens faible des mesures de M() vers une mesure de Radon finie, i.e., il existe (u nk ) k N et λ M() telles que pour tout v C 0 (, R), u nk v dµ v dλ. 67

Il est important de noter que cette notion de convergence faible est différente de, et plus faible que, celle introduite à la Définition 6.8. Le résultat suivant, que l on mentionne sans démonstration, fournit une caractérisation complète des suites dans L 1 (, µ) qui convergent faiblement au sens de la Définition 6.8. Théorème 6.15 (Dunford-Pettis). Soit un ouvert de R N et µ une mesure de Radon positive et finie sur. Soit (u n ) n N une suite bornée dans L 1 (, µ). (i) Si u n u faiblement dans L 1 (, µ) pour un certain u L 1 (, µ), alors (u n ) n N est nécessairement équi-intégrable. (ii) Si (u n ) n N est équi-intégrable, alors il existe une sous-suite (u nk ) k N et u L 1 (, µ) telles que u nk u faiblement dans L 1 (, µ) lorsque k +. La notion d équi-intégrabilité (Définition 3.31) implique qu il n y ai pas de concentration de masse L 1 sur des ensembles de mesure arbitrairement petite. Si µ() = + (ce qui est exclu dans l énoncé ci-dessus par l hypothèse que µ est finie), il faudrait en plus s assurer que la masse L 1 de (u n ) n N ne s échappe pas à l infini. En plus de (i), il faudrait ainsi supposer que pour tout ε > 0 il existe un compact K ε tel que sup n N \K ε u n dµ < ε. 68