Suites réelles Mickaël Péchaud 2008 Table des matières 1 Introduction, généralités 4 1.1 Définitions fondamentales, vocabulaire.......................... 4 1.2 Structure.......................................... 5 1.3 Premières définitions.................................... 6 2 Limite d une suite 7 2.1 Définitions.......................................... 7 2.2 Suites convergentes..................................... 7 2.2.1 Lien avec les limites de fonctions......................... 9 2.2.2 Opérations sur les limites.............................. 9 2.2.3 Passages à la limites dans les inégalités...................... 12 2.3 Suites divergentes...................................... 13 2.3.1 Suites divergentes et inégalités........................... 14 2.4 Quelques propriétés..................................... 14 2.4.1 Convergence, caractère borné........................... 14 3 Relations de comparaison 17 3.1 o, O............................................. 17 3.1.1 Définitions...................................... 17 3.1.2 Quelques propriétés................................. 17 3.1.3 Comparaison des suites de référence........................ 18 3.2 Relation d équivalence................................... 20 3.2.1 Définitions...................................... 20 3.3 Opérations et équivalence................................. 20 4 Suites extraites 21 4.1 Définition.......................................... 21 4.2 Le théorème de Bolzano-Weierstraß............................ 22 4.3 Une autre vision des choses................................ 23 Correction des exercices 24 1
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Ce document est un cours introductif sur les suites réelles. Il se place à un niveau MPSI. Les parties dépassant du cadre du programme sont indiquées explicitement. 3
1 Introduction, généralités 1.1 Définitions fondamentales, vocabulaire Définition 1.1.1 On appelle suite réelle une application de N dans R. On notera S(R) = R N l ensemble des suites réelles. La notation fonctionnelle habituelle n est pas utilisée pour les suites. Soit u S(R) uns suite. On désignera l image de n N par u u n. Plus pragmatiquement, on peut donc voir une suite comme une suite infinie de nombres réels : u 0 u 1 u 2 u 3... 1.4-3 π 0... ou encore graphiquement : On peut définir une suite de plusieurs façons : Par son terme général : la suite de terme général n 2 est la suite telle que n N, u n = n 2. On la notera habituellement (n 2 ) n N Par récurrence : par exemple, on parlera de la suite définie par { u0 =0 u n+1 =u n + 1 n N (remarquez au passage qu une suite ainsi définie est de terme général n, ainsi qu une récurence triviale le montre). Exemples La suite constante 1 est la suite dont le terme général est toujours égal à 1. Soient a et b R. Considérons la suite u de terme général a + nb. Cette suite est appelée suite arithmétique. b est la raison de u. On peut également définir cette suite par récurrence : { u0 =a u n+1 =u n + b n N 4
Une récurrence rapide montre l équivalence des 2 définitions : Soit u la suite définie par le terme général a + nb. Soit v la suite définie par la relation de récurrence ci-dessus. Initialisation : on a u 0 = a = v 0. Hérédité : soit n N. Si u n = a + nb = v n, v n+1 = v n + b = a + nb + b = a + (n + 1)b = u n+1 Soit a et b R. Considérons la suite u de terme général ab n. Cette suite est appelée suite géométrique. b est la raison de u. On peut également définir cette suite par récurrence : { u0 =a 1.2 Structure u n+1 =bu n n N On peut munir l ensemble des suites réelles de lois d additions et de multiplications, dites terme-àterme Définition 1.2.1 u + v = (u n + v n ) n N On montre facilement la propriété suivante : u v = (u n v n ) n N Proposition 1.2.1 (S(R), +, ) est un anneau. L élément neutre pour l addition est la suite constante nulle, et l élément neutre pour la multilication est la suite constante égale à 1. Cet anneau n est pas intègre : soient u = (0, 1, 0, 1, 0, 1,...) v = (1, 0, 1, 0, 1, 0,...) uv est la suite nulle. On peut également munir S(R) d une loi externe R S(R) S(R) : Définition 1.2.2 pour λ R, on définit λu = (λu n ) n N On démontre alors facilement Proposition 1.2.2 (S(R), +,.) est un R-espace vectoriel. 5
1.3 Premières définitions Définition 1.3.1 (Suite Majorée) u S(R) est majorée Ssi M R n N u n M. M est alors appelé majorant de la suite. Définition 1.3.2 (Suite Minorée) u S(R) est minorée Ssi m R n N u n m. m est alors appelé minorant de la suite. Définition 1.3.3 (Suite Bornée) u S(R) est bornée Ssi elle est majorée et minorée. Exemple majorée minorée bornée (n) n N non oui (par exemple par 0) non (( 1) n ) n N oui (par exemple par 1) oui (par exemple par -1) oui ( n 2 ) n N oui (par exemple par 0) non non Proposition 1.3.1 u S(R) est bornée Ssi M R n N u n M, c est-à-dire si u est majorée, où u = ( u n ) n N. Exercice 1 Montrer cette propriété. correction Définition 1.3.4 (Suite croissante (resp. décroissante)) u S(R) est une suite croissante (resp. décroissante) Ssi n N u n+1 u n (resp u n+1 u n ). Une suite croissante ou décroissante est appelée suite monotone. Une récurrence triviale montre par ailleurs que si u est croissante et n p, alors u n u p. Définition 1.3.5 (Suite strictement croissante (resp. décroissante)) u S(R) est une suite strictement croissante (resp. strictement décroissante) Ssi n N u n+1 > u n (resp u n+1 < u n ). Une suite strictement croissante ou strictement décroissante est appelée suite strictement monotone. Exercice 2 On définit la relation d ordre sur S(R) par u v 6
Ssi n N u n v n. Montrer qu il s agit bien d une relation d ordre, compatible avec l addition et la multiplication. S agit-il d un ordre total? On définit la relation d ordre sur S(R) par Ssi u v N N n N u n v n. (on dit que u est inférieure à v «à partir d un certain rang»ou «pour n assez grand»). Montrer qu il s agit bien d une relation d ordre, compatible avec l addition et la multiplication. S agit-il d un ordre total? Comparer ces relations d ordre. Exercice 3 On appelle support de u l ensemble {n N u n 0}. Montrer que le support de u est fini Ssi N N n N u n = 0 2 Limite d une suite 2.1 Définitions 2.2 Suites convergentes Définition 2.2.1 On dit que la suite u converge vers a R Ssi ɛ R + N N n N u n a ɛ S il existe un tel réel a, on dit que la suite u est convergente, et on appelle a la limite de la suite. On notera alors ou ou ou encore lim u n = a n + lim u = a + lim u = a u a Exemple 7
Pour tout a R la suite constante (a) n N est convergente et admet a comme limite. La suite (1/(n + 1)) n N est convergente et admet 0 comme limite. Soit ɛ > 0. Nous cherchons un N N tel que 0 1/(N + 1) ɛ. Choisissons donc N = 1/ɛ. On a alors u n 0 = 1/(n + 1) 1/(N + 1) ɛ ce qui achève la démonstration. Soit u = (u 0 r n ) n N une suite géométrique de raison 1 < r < 1. Alors, u est convergente et tend vers 0. Soit ɛ > 0. Nous cherchons un N N tel que u 0 r N = u 0 r N ɛ. Choisissons donc N = max( ln(ɛ/ u0 ) ln( r ) u n 0 = u 0 r n u 0 r N ɛ ce qui achève la démonstration., 0). On a alors Proposition 2.2.1 (Unicité de la limite) Si u est convergente, il y a unicité de sa limite. Cette proposition nous permet de parler de la limite d une suite convergente. Soient a et b deux limites de la suite u. Nous avons et ɛ R + N N n N u n a ɛ (2.2.1) ɛ R + N N n N u n b ɛ (2.2.2) Soit ɛ > 0. (2.2.1) nous donne l existence de N 1 tel que n N 1 u n a ɛ/2. De même, (2.2.2) nous donne l existence de N 2 tel que n N 2 u n b ɛ/2. Notons N = max(n 1, N 2 ). On a donc, n N u n a ɛ/2 et u n b ɛ/2. Soit en utilisant l inégalité triangulaire, ɛ > 0 n N a b ɛ la dernière formule étant indépendante de n, on a donc ɛ > 0 a b ɛ (2.2.3) On montre alors simplement par l absurde que a = b : si a b, (2.2.3) appliquée avec ɛ = a b /2 aboutit à a b a b /2, soit a = b, contradiction. NB : il existe des cas pathologiques d espaces dans lesquels on n a pas unicité de la limite. Néanmoins, à un niveau prépa, il y aura unicité de la limite pour tous les espaces que l on considérera. Exercice 4 Soit u une suite à valeur dans Z. Montrer que u est convergente Ssi elle est stationnaire (c est-à-dire constante à partir d un certain rang). 8
2.2.1 Lien avec les limites de fonctions En anticipant sur un cours sur les fonctions réelles, on a la propriété suivante : Proposition 2.2.2 Soit f une fonction de R dans R. Supposons que lim x + f(x) = +. Appelons u la suite de terme général u n = f(n). Alors lim u = +. L intérêt de cette proposition dont la démonstration est laissée en exercice est que les limites de fonctions réelles sont parfois plus faciles à calculer que les limites de suites (notamment grâce à l existence éventuelle de la dérivée d une fonction réelle). La réciproque est fausse 1. Exercice 5 Exhibez un contre-exemple. 2.2.2 Opérations sur les limites Le théorème suivant est fondamental pour prouver des convergences et calculer des limites : Théorème 2.2.3 L ensemble des suites convergentes est un sous espace vectoriel de S(R). De plus, lim(u + λv) = lim u + λ lim v Soient u et v deux suites convergentes, de limites respectives a et b. Nous allons montrer que u + v converge vers a + b. Soit ɛ > 0. Par convergence de u et v, nous obtenons N 1 et N 2 tels que n N 1 u n a ɛ/2 n N 2 v n b ɛ/2 Par inégalité triangulaire, nous avons donc n max{n 1, N 2 } u n + v n (a + b) ɛ Ce qui prouve que u + v converge vers a + b. Soient u une suite convergente de limite a et λ un réel. Nous allons montrer que λu converge vers λa. Soit ɛ > 0. Par convergence de u, nous obtenons N tel que n N u n a ɛ/ λ En multipliant par λ les 2 membres de l inégalité, on obtient : n N λu n λa ɛ Ce qui prouve que λu converge vers λa. Outre son intérêt théorique, ce théorème va nous permettre de calculer des limites de suites très facilement : Exemple Pour montrer que u = (a + 1/n) n N converge et calculer sa limite, il suffit de voir que (a) n N tend vers a, (1/n) n N tend vers 0. On conclut grâce au théorème que u tend vers a. 1 Par contre, on peut démontrer que si pour toute suite réelle v tendant vers + on a u = (f(v n )) + alors lim + f(x) = +. 9
Corollaire 2.2.4 lim n + u n = a Ssi lim n + u n a = 0 2 Cette propriété est d un grand intérêt pratique, les limites en 0 étant souvent plus faciles à établir. Nous avons également la propriété de stabilité par produit suivante : Proposition 2.2.5 L ensemble des suites convergentes est stable par produit. De plus, lim(uv) = lim u lim v Faisons tout d abord la démonstration dans le cas où l une des suites à une limite nulle. Soient u et v deux suites convergentes, de limites respectives a et 0. Nous allons montrer que uv converge vers 0. Soit ɛ > 0. Pour tout ɛ 2 > 0, par convergence de u et v, nous obtenons N 1 et N 2 tels que n N 1 u n a ɛ 2 n N 2 v n ɛ 2 À partir de là, nous cherchons à majorer u n v n. Pous ce faire, on écrit que u n a + ɛ 2. Par produit, on obtient u n v n ( a + ɛ 2 )ɛ 2 Par continuité en 0 de ( a + x)x, quitte à prendre ɛ 2 assez petit, on a donc u n v n ɛ (sans la notion de continuité, on peut choisir ɛ 2 = min{ɛ/(2 a ), ɛ/2}. On a alors ( a + ɛ 2 )ɛ 2 < ɛ/2 + ɛ 2 2 ɛ) Ce qui prouve que uv converge vers 0. Revenons au cas général : Soient u et v deux suites convergentes, de limites respectives a et b. v b est de limite nulle par 2.2.4. En appliquant le cas précédent, on a donc 0 = lim u(v b) = lim uv bu = lim uv lim bu = lim uv b lim u = lim uv ba par applications successives de 2.2.3 3. D où lim uv = ab Voici un autre résultat plus général dans le cas où la limite de l une des deux suites est nulle. Proposition 2.2.6 Soit u une suite de limite nulle. Soit v une suite bornée. Alors la suite uv est de limite nulle. v étant bornée, on a M R tel que n N v n M. Soit ɛ > 0. Par convergence de u, nous obtenons N tel que On a alors n N u n ɛ/m n N v n u n v n ɛ/m Mɛ/M = ɛ 2 u a = ((u n ) a) n N 3 avec l abus de notation léger consistant à faire passer l existence de la limite dans l utilisation du signe lim 10
Exemple La suite ((sin(n))/2 n ) n N est de limite nulle. Enfin, un résultat sur le quotient de deux suites. Proposition 2.2.7 Soit u S(R) convergente, de limite a, et v S(R) de termes non-nuls et convergente de limite b 0. Alors u/v = (u n /v n ) n N est convergente et a pour limite a/b. Nous allons avoir besoin du lemme suivant : Lemme 2.2.8 Soit u une suite convergente de limite a > 0. Alors N N n N u n a/2 Soit u une suite convergente de limite a > 0. ɛ R + N N n N u n a ɛ Choisissons ɛ = a/2. On a donc l existence d un N 0 tel que n N 0 u n a a/2, ou encore n N 0 u n a/2 > 0 par inégalité triangulaire. On a évidemment un résultat similaire si a < 0. 4. Revenons à la démonstration de la propriété 2.2.7. Remarquons qu en utilisant la proposition 2.2.5, on se ramène à montrer le résultat dans le cas où u n = 1. Considérons donc v S(R) de termes non-nuls, convergente de limite b 0. Nous allons montrer que 1/v est convergente, de limite 1/b. Soit ɛ > 0 Pour tout ɛ > 0, par convergence de v, nous obtenons N 1 tel que À partir de là, nous cherchons à majorer 1 b 1 v n. Remarquons alors que 1 b 1 v n = vn b bv n ɛ bv n. Or d après le lemme 2.2.8, il existe N 2 N tel que n N 2 v n b/2 En posant N = max{n 1, N 2 }, il vient n N 1 b 1 v n 2ɛ b 2 Ceci nous montre qu il faut poser ɛ = b2 ɛ 2. On a alors bien n N 1 b 1 v n ɛ n N 1 v n b ɛ rang 4 On en déduit également que si u converge vers une limite non nulle, alors u ne s annule pas à partir d un certain 11
2.2.3 Passages à la limites dans les inégalités Les limites de suites se comportent bien vis-à-vis de l ordre sur R. Proposition 2.2.9 Soient u, v deux suites convergentes, telles que u v. Alors lim u lim v Soit a = lim u et b = lim v. Supposons b < a. Posons ɛ = (a b)/3 Par convergence de u il existe N 1 tel que n N 1 u n a ɛ. De même, il existe N 2 tel que n N 2 v n b ɛ. En posant N = max(n 1, N 2 ), il vient u N a (a + b)/3, soit u N a (a + b)/3. v N b (a + b)/3, soit v N b + (a + b)/3 < u N, ce qui contredit l hypothèse. Remarques : Le résultat ne se généralise pas aux inégalités strictes. Par exemple, si u = (1/(n + 1)) n N et v = ( 1/(n + 1)) n N, on a u < v, mais néanmoins, lim u = 0 = lim v Le résultat reste valable si u n v n «à partir d un certain rang», c est-à-dire N n N u n v n. C est le cas de la plupart des propriétés et théorèmes concernant les limites. Théorème 2.2.10 (d encadrement des limites, ou «des Gendarmes») Soient u, v, w S(R) telles que u v w. Si u et w convergent vers une même limite a, alors lim v = a Soit ɛ > 0. Il existe N tel que n N u n a ɛ et n N w n a ɛ Par ailleurs, u n v n w n. Si v n < a, v n a u n a, sinon, v n a w n a. Dans tout les cas, v n a ɛ Corollaire 2.2.11 Soient (u, a) S(R) telles que a est positive, et u a. Si a tend vers 0, alors, u tend également vers 0. Simple application du théorème des gendarmes à la suite nulle et à a. On conclut en remarquant que lim u = 0 lim u = 0. 12
2.3 Suites divergentes Définition 2.3.1 On dit que la suite u est divergente Ssi u n est pas convergente. Avec des quantificateurs, celà se traduit par la propriété suivante : a R ɛ R + N N n N u n a > ɛ cette expression n étant pas particulièrement agréable à manipuler, nous utiliserons souvent d autres caractérisations (par exemple basées sur des suites extraites) pour démontrer la divergence de suites. Attention, l ensemble des suites divergentes n est pas stable par addition, multiplication, ou multiplication externe. Exemple La somme de deux suites divergentes peut être convergente : (2 n ) n N + ( 2 n ) n N = (0) n N ou divergente : (2 n ) n N + (2 n ) n N = (2 n+1 ) n N En revanche, on peut montrer que Proposition 2.3.1 La somme d une suite convergente et d une suite convergente diverge. Exercice 6 Montrer cette proposition correction Parmi les suites divergentes, une catégorie est intéressante en soit est celle des suites tendant vers l infini : Définition 2.3.2 On dit que la suite u tend vers + (resp ) Ssi M R N N n N u n M (resp. m R N N n N u n m ) On notera lim u = + (resp. lim u = ). Exemples La suite (n) n N tend vers + : en effet, pour tout M R, n M, on a u n = n M M. Soit u = (u 0 r n ) n N une suite géométrique de premier terme u 0 > 0 et de raison r > 1. Alors, lim u = +. Soit M R. Nous cherchons un N N tel que u 0 r N M. Choisissons donc N = max( ln(m/u0) ln(r) u n 0 = u 0 r n u 0 r N M ce qui achève la démonstration. 13, 0). On a alors
Exercice 7 Montrer que toute suite arithmétique de raison non-nulle tend vers + ou. Attention, il existe des suites qui sont divergentes, mais qui ne tendent pas vers + ou, par exemple (( 1) n ) n N, ou encore (n( 1) n ) n N. Les raisonnements par disjonction de cas du type : «soit u converge, soit u tend vers +/» sont donc à proscrire... 2.3.1 Suites divergentes et inégalités Nous avons un résultat similaire au cas des suites convergentes : Proposition 2.3.2 Soient u, v deux suites, telles que u v. Alors lim u = + lim v = + Soit M R. On a l existence de N tel que n N u n M or n N v n u n, et donc n N v n M 2.4 Quelques propriétés Nous allons énoncer quelques propriétés liant les notions introduites dans les sections précédentes. 2.4.1 Convergence, caractère borné Commençons par une propriété fondamentale reliant convergence et caractère borné. Proposition 2.4.1 Toute suite convergente est bornée. Soit u une suite convergente. Appelons a la limite de u. On a donc ɛ R + N N n N u n a ɛ Choisissons ɛ = 1. On a donc l existence d un N 0 tel que n N 0 u n a 1, ou encore n N 0 u n a + 1 (2.4.1) par inégalité triangulaire. Appelons maintenant M = max u n (2.4.2) n [[0,N 0 1]] M = max{ a + 1, M} (2.4.3) Soit n N. Deux cas se présentent : si n < N 0, (2.4.2) et (2.4.3) donnent u n M. Si n N 0, (2.4.1) et (2.4.3) donnent u n M. On a donc n N u n M Ce qui d après la propriété 1.3.1 montre que la suite est bornée. 14
Exercice 8 Dans le même ordre d idée, montrer que toute suite qui tend vers + (resp. ) est minorée (resp. majorée). À noter que la réciproque de la proposition 2.4.1 est fausse, comme en témoigne la suite (( 1) n ) n N. On a cependant le théorème suivant : Théorème 2.4.2 Toute suite croissante et majorée est convergente. Soit u une suite croissante et majorée. Appelons U = {u n, n N} R l ensemble des valeurs prises par u. u étant majorée, U l est également. U étant par ailleurs non vide, elle admet une borne supérieure, que nous notons a. Nous allons en fait montrer que u tend vers a. Soit ɛ > 0. Par définition de la borne supérieure, a ɛ n est pas un majorant de U, et il existe donc k U tel que k a ɛ. On en déduit l existence d un N tel que u N = k a ɛ. Soit maintenant n N. On u n u N a ɛ par croissance de u. Par ailleurs, la borne supérieure étant un majorant, on a également u n a. Finalement, n N u n a ɛ, ce qui achève la démonstation. NB : au passage, on a montré que Proposition 2.4.3 Soit u une suite croissante et majorée. Alors lim u n = sup{u n n N} n + On a évidemment des résultats symétriques pour les suites décroissantes minorées. Exemple Soit la suite définie par { u0 =1 u n+1 = u n + 1 n N Montrons que cette suite est convergente. Une récurrence triviale montre que la suite est bien définie. Montrons par récurrence que u est majorée par 2. Initialisation : on a u 0 = 1 2. Hérédité : soit n N. Supposons que l on ait u n 2. Alors, u n+1 2 + 1 2. Montrons que la suite est croissante. Soit f l application réelle définie par f(x) = (x + 1) x. Une étude de f nous montre que pour x [0, 2], f(x) 0. En appliquant ce résultat à u n [0, 2], on a donc u n+1 = f(u n ) u n. La suite u est donc convergente. 15
Exercice 9 Montrer que toute suite croissante et non-majorée tend vers +. Théorème 2.4.4 (Suites adjacentes) Soient u et v deux suites telles que : n N u n v n. u est croissante v est décroissante u v tend vers 0 Alors u et v sont convergentes et ont la même limite. u est croissante. De plus, n N u n v n v 0 par décroissance de v. Donc u est majorée par v 0. D après le théorème 2.4.2, u converge. De la même façon, on montre que v converge. La dernière hypothèse du théorème nous permet d écrire : lim u v = 0 = lim u lim v = a b soit lim u = lim v. NB : on peut en fait se passer de la première hypothèse du théorème, celle-ci pouvant se déduire des 3 autres. En effet, si on a pour un certain N N u N > v N, on montre sans peine par récurrence que n N u n v n u N v N > 0 en utilisant la croissance de u et la décroissance de v. Ceci contredit lim u v = 0. Exemple (Suite arithmético-géométrique) Considérons les suites u et v définies par leur premier terme 0 v 0 u 0, et par la relation suivante : { un+1 =(u n + v n )/2 n N v n+1 = u n v n n N On souhaite montrer que ces deux suites convergent vers une même limite. Pour tous réels positifs a, b, on a ab (a + b)/2. On en déduit donc n N v n u n. On a u n+1 = (u n + v n )/2 u n+1 = (u n + u n )/2 = u n et u est décroissante. De même, v est croissante. De plus, un calcul simple montre que u n+1 v n+1 = (u n v n )/2. u v est donc une suite géométrique de raison 1/2 qui tend vers 0. Le théorème des suites adjacentes nous donne alors le résultat voulu. Voici une reformulation extrèmement importante du théorème des suites adjacentes. Théorème 2.4.5 (Segments emboités) Soitent a et b deux suites telles que n N a n b n n N [a n+1, b n+1 ] [a n, b n ] b n a n 0 Alors, il existe un unique réel l tel que n N [a n, b n ] = {l} 16
3 Relations de comparaison Les relations de comparaisons sont des outils permettant de comparer les vitesses de convergence (ou de divergence) des suites. 3.1 o, O 3.1.1 Définitions Définition 3.1.1 (O) Soient u et v deux suites réelles. On dit que u est dominée par v, et on note u = O(v) (ou u n = n + O(v n)) Ssi λ > 0 N N n N u n λ v n. Définition 3.1.2 (o) Soient u et v deux suites réelles. On dit que u est négligeable devant v, et on note u = o(v) (ou u n = n + o(v n)) Ssi ɛ > 0 N N n N u n ɛ v n. On prouve facilement O est un pré-ordre sur S(R) (i.e elle est transitive et réflexive). o est seulement transitive. On a évidemment u = o(v) u = O(v). Proposition 3.1.1 Soit u S(R) et v S(R) ne s annulant pas à partir d un certain rang à partir d un certain rang. Alors u = O(v) Ssi u est bornée. v u = o(v) Ssi u 0. v Supposons que u = O(v). Par définition, il existe λ R + et N N tels que pour tout n plus grand que N, on ait u n λ v n, i.e. un v n λ. u v est bornée à partir d un certain rang, donc bornée. Supposons u v bornée par λ et λ. Pour tout n N, on a u n/v n λ, soit u n λ v n, d où la réciproque Supposons que u = o(v). Soit ɛ > 0. Par définition, il existe λ R + et N N tels que n N u n ɛ v n. On a donc n N un v n ɛ, d où u v 0. Supposons que u v 0. Soit ɛ > 0. On obtient N N tel que n N u n/v n ɛ, soit n N u n ɛ v n, d où la réciproque. Ces propriétés donnent des caractérisations très pratiques des suites dominées et négligeables. 3.1.2 Quelques propriétés Proposition 3.1.2 Si u = o(w), et λ R, alors λu = o(w) Si u = o(w) et v = o(w), alors u + v = o(w) 17
Exercice 10 Démontrer cette propriété. Cette proposition reste valable en remplaçant les o par des O. En revanche, on n a surtout pas u = o(v) et u = o(v ) u+u = o(v+v ). Voici un contre-exemple : 1 = o(n), 1 = o( n) mais 2 o(0). n + n + Proposition 3.1.3 Si u = o(v), et w S(R), alors wu = o(vw) Si u = O(v), et w S(R), alors wu = O(vw) Immédiat d arpès les définitions. 3.1.3 Comparaison des suites de référence Nous allons comparer les vitesses de convergence de quelques suites classiques. Les suites considérées sont éventuellement seulement définie à partir d un certain rang. Pour celà, nous allons commencer par montrer un lemme très utile. Lemme 3.1.4 Soit u une suite non-nulle à partir d un certain rang. On pose v = ( u n+1 u n ) n N. On a alors : v l < 1 u 0 v l > 1 u Soit k tel que l < k < 1. Comme v l, on a v n k pour tout n plus grand qu un certain N. On a donc u N+1 u N u N+2 k u N +1 k. u n u n 1 k n N + 1 En faisant le produit de ces inégalités, on obtient : un u N k n N soit u n k n u N k N u N étant constante, on a la convergence de la suite vers 0 par majoration (2.2.11) par une suite géométrique. k N La deuxième partie du lemme s obtient de la même façon, ou bien en passant à l inverse. Le lemme ne dit rien sur le cas l = 1. En fait, tout est possible, considérer par exemple les suites 18
(n) n N et (1/n) n N. Proposition 3.1.5 (comparaison de suites divergentes) Soient 0 < a 1 < b 1 des réels positifs. Alors, ln(n) a 1 = n + o(ln(n)b 1 ) n a 1 = n + o(nb 1 ) Si de plus 1 < a 1 < b 1 a n 1 = n + o(bn 1) Soient des constantes comme dans l enoncé. ln(n) a1 / ln(n) b1 = ln(n) a1 b1 n + 0 n a1 /n b1 = n a1 b1 a n 1 /b n 1 = (a 1 /b 1 ) n n + 0 0, résultat déjà montré sur la convergence de suites géométriques. n + Proposition 3.1.6 Soient a > 0, b > 0, c > 1 des réels. Alors, ln(n) a = n + o(nb ) n a = n + o(cn ) c n = n + o(n!) La première propriété se montre par étude de la fonction réelle x ln(x) a /x b. Notons v = (n a /c n ) n N. On a pour tout n 0 vn+1 v n = (1+1/n)a c n + 1/c, d où le résultat d après le lemme 3.1.4. Notons v = (c n /n!) n N. On a pour tout n 0 vn+1 v n = c n n + 0, d où le résultat d après le lemme 3.1.4. Lemme 3.1.7 Soit u, v S(R), non nulles à partir d un certain rang, et telles que u = o(v). Alors 1/v = o(1/u). Immédiat avec la caractérisation des suites négligeables. D où les propriétés suivantes : Proposition 3.1.8 Soient a > 0, b > 0, 0 < c < 1 des réels. Alors, 1/n b = n + o(1/ ln(n)a ) c n = n + o(1/na ) 1/n! = n + o(cn ) 19
3.2 Relation d équivalence 3.2.1 Définitions Définition 3.2.1 (Relation d équivalence) Soient u et v deux suites réelles. On dit que u et v sont équivalentes, et on note u v (ou u v) Ssi v u = o(u) n + Cette définition est justifiée par la caractérisation suivante : Proposition 3.2.1 Si u ne s annule pas à partir d un certain rang, u v Ssi v u 1. u v Ssi v u = o(u) Ssi lim(v u)/u = 0 Ssi lim v/u 1 = 0. Proposition 3.2.2 La relation d équivalence est une relation d équivalence. Si u ne s annule pas à partir d un certain rang, la démonstration est triviale d après la caractérisation 3.2.1. La démonstration du cas général est laissée en exercice. Exemples u 0 Ssi u est nulle à partir d un certain rang. u k R Ssi u k. n 2 + 1 n. n + 3.3 Opérations et équivalence La relation d équivalence se comporte bien face à la multiplication et à la division. Proposition 3.3.1 Soient u, v, u, v S(R) telles que u v et u v. Alors uu vv. Commençons par montrer le résultat si u = v. On a u v, soit u v = o(u). Par 3.1.3, on a uu vu = o(uu ) soit uu vu. Revenons au cas général. On a u v, et d après ce qui précède, uu vu et uv vv. De même en échangeant u et u (et v et v ), on a u u v u et u v v v. On obtient alors le résultat voulu par transitivité de. NB : on peut aussi proposer une démonstration plus simple utilisant 3.2.1 dans le cas où les suites sont non-nulles à partir d un certain rang. 20
Proposition 3.3.2 Soient u, v S(R) ne s annulant pas à partir d un certain rang et telles que u v. Alors 1/u 1/v. Immédiat d après 3.2.1. En revanche, le résultat est faux pour les additions : Soit u = ( n) n N, v = ( n 1) n N, u = (n) n N et v = (n) n N. On a bien u v et u v, mais en revanche on a u + u = 0 et v + v = 1 qui ne sont pas équivalentes. Pas la peine non plus de tenter d obtenir un résultat similaire pour les «compositions» : si on pose u = (n) n N et v = (n + 1) n N, ces deux suites sont équivalentes. En revanche, on vérifiera que e u = (e n ) n N et e v = (e n+1 ) n N ne le sont pas. 4 Suites extraites 4.1 Définition Définition 4.1.1 On appelle extractrice toute application φ : N N strictement croissante. On appelle suite extraite de (u n ) n N toute suite de la forme (u φ(n) ) n N, où φ(n) est une extractrice. NB : on peut montrer qu une φ extractrice est injective, et vérifie de plus φ(n) n pour tout n N. Définition 4.1.2 On dit que a R est une valeur d adhérence de la suite u Ssi il existe une suite extraite de u tendant vers a. HP Exemples (u 2n ) n N, (u 3n+1 ) n N, (u n 2) n N sont des suites extraites de (u n ) n N. On remarque que la composition de deux extractrices est une extractrice. On peut donc faire des extractions successives de la forme (u φoψ(n) ) n N = (u φ(ψ(n)) ) n N, qui est une suite extraite de (u φ(n) ), elle-même suite extraite de (u n ) n N. Proposition 4.1.1 Si u converge vers a R, alors toute suite extraite de u converge également vers a. On utilise souvent la contraposée de cette proposition pour montrer la divergence d une suite, soit en exhibant une suite extraite non convergente, soit en exhibant deux suites extraites qui tendent vers 2 limites distinctes. Exemples u = (n( 1) n ) n N est divergente : considérons la suite extraite v = (u 2n ) n N = (2n) n N. Celle-ci tend vers +. La contraposée de la proposition 4.1.2 nous montre alors que u est divergente. 21
u = (( 1) n ) n N est divergente : considérons les suites extraites (u 2n ) n N et (u 2n+1 ) n N. La première de ces suites est constante égale à 1, et la seconde constante égale à -1. Or, si u convergeait, les 2 suites extraites convergeraient vers la même limite. Donc u est divergente. Des réciproques sont possibles. En voici une classique : Proposition 4.1.2 Soit u S(R). Si (u 2n ) n N et (u 2n+1 ) n N convergent vers une même limite a R, alors u converge également vers a. Soit ɛ > 0. Par convergence de (u 2n ) n N et (u 2n+1 ) n N, on a l existence de 2 entiers N 1 et N 2 tels que et n N 1 u 2n a < ɛ (4.1.1) On pose alors N = max{2n 1, 2N 2 + 1}. Soit n N. Si n est pair, n/2 N 1, et d après (4.1.1), u n 1 < ɛ. Si n est impair, (n 1)/2 N 2, et d après (4.1.2), u n 1 < ɛ. n N 2 u 2n+1 a < ɛ (4.1.2) Exercice 11 Soit u S(R) tel que u 2n, u 2n+1 et u 3n convergent. Montrer que u est convergente. Exercice 12 Soit u S(R). Soit φ S(N), i.e une bijection de N dans lui même. Montrer que u a u φ a u u φ 4.2 Le théorème de Bolzano-Weierstraß Nous avons vu que toute suite convergente était bornée, mais que la réciproque est fausse. On a néanmoins le théorème suivant Théorème 4.2.1 (Bolzano-Weierstraß) De toute suite bornée, on peut extraire une sous-suite convergente. 22
Soit u une suite bornée par m et M. Posons u 0 = m, et v 0 = M. Considérons les deux intervalles I0 = [u 0, (u 0 + v 0 )/2] et I 0 + = [(u 0 + v 0 )/2, v 0 ]. L un de deux intervalles contient une infinité des termes de la suite (i.e. {n N x n I0 =} {n N x n I0 } = N est infini, donc l un des deux ensembles l est). Si c est I0, on pose { Sinon, on pose u 1 =u 0 v 1 =(u 0 + v 0 )/2 { u1 =(u 0 + v 0 )/2 v 1 =v 0 [u 1, v 1 ] contient alors une infinité de termes de la suite, et on peut donc itérer le processus pour obtenir une suite de segments emboités ([u n, v n ]) n N, tels que chaque intervalle contienne une infinité de termes de la suite et tels que v n u n 0. D après le théorème des segments emboités, l intersection de ces segments est réduite à un singleton {a}. On peut alors construire une application φ : N N de la façon suivante : φ(0) = 0 est tel que x φ(0) [u 0, v 0 ] et pour tout n > 0, φ(n) est défini comme le plus petit entier tel que x φ(n) [u n, v n ] et φ(n) > φ(n 1) φ est une extractrice, donc x φ est une suite extraite de x. Soit ɛ > 0. Soit N tel que v N u N < ɛ. Pour tout n N on a x φ(n) [u n, v n ] [u N, v N ] et a [u n, v n ] [u N, v N ], donc x φ(n) a < ɛ, et la suite x φ(n) est donc convergente. HP Exercice 13 Montrer que toute suite bornée qui n admet qu une seule valeur d adhérence est convergente. 4.3 Une autre vision des choses Voici une autre façon de voir les limites et les valeurs d adhérences : HP Proposition 4.3.1 a est une valeur d adhérence de u Ssi ɛ{n N u n [a ɛ, a + ɛ]} est infini. a est la limite de u Ssi ɛ{n N u n / [a ɛ, a + ɛ]} est fini. Exercice 14 Démontrer cette propriété. HP Corollaire 4.3.2 a n est pas une valeur d adhérence de u Ssi ɛ{n N u n [a ɛ, a + ɛ]} est fini. a n est pas la limite de u Ssi ɛ{n N u n / [a ɛ, a + ɛ]} est infini. Cette vision des choses permet parfois d aborder certains exercices beaucoup plus facilement (par exemple, l exercice 12). 23
Correction des exercices Solution de l exercice 1 retour Soit u S(R). Supposons que u soit majorée par a et minorée par b. On montre alors que u est majorée par max{ a, b }. Supposons que u soit majorée par a 0. On montre alors que u est majorée par a et minorée par a. Solution de l exercice 6 retour Soit u convergente, et v divergente. Supposons u+v convergente. Alors, d après 2.2.3, (u+v) u = v est convergente, ce qui est absurde. 24