ESD 010 070 : Lieux géométriques Auteur du corrigé : Gilbert JULIA TI-Nspire CAS Ce document a été réalisé avec la version.1 du logiciel TI-Nspire CAS. Fichier associé : esd010_070.tns 1. Le sujet A. L exercice proposé au candidat On dira qu un triangle ABC non aplati possède la propriété P si ses deux médianes issues de A et de B sont perpendiculaires. 1. On suppose qu un triangle ABC a pour côtés AB = 1, AC = et BC = 3. Vérifier que le triangle ABC est rectangle et possède la propriété P.. Les deux points A et B étant fixés, on cherche à déterminer l ensemble Γ des points C tels que le triangle ABC possède la propriété P. Trouver le lieu des points G, isobarycentre des trois points A, B, C lorsque C décrit Γ. En déduire l ensemble Γ. 3. Soit ABC un triangle possédant la propriété P. On pose a = BC, b = AC et c = AB. Montrer que l on a la relation a + b = 5c. B. Le travail demandé au candidat Le candidat rédigera sur ses fiches : Sa réponse à la question et un énoncé plus détaillé de cette question à proposer à des élèves de première S. Un ou plusieurs exercices se rapportant au thème «Recherche de lieux géométriques». Le candidat présentera au jury : Le contenu de ses fiches. Les méthodes et les savoirs mis en jeu dans l exercice.. Éléments de correction L exercice proposé a pour but de déterminer un ensemble de points du plan défini par une condition géométrique. La question 1 propose un exemple de configuration satisfaisant la propriété P. Elle sert à faciliter la mise en situation des élèves, en remettant en mémoire des propriétés qui seront réinvesties dans la suite de l exercice : pour vérifier que le triangle AGB est rectangle, il faut connaître la position de G sur ses médianes (réinvesti dans la question ) et savoir calculer la longueur des médianes en fonction des longueurs des côtés d un triangle (réinvesti dans la question 3). Dans la question, il est attendu des élèves que ceux-ci passent d un point de vue statique : «le centre de gravité est au tiers de chaque médiane en partant du milieu du côté» à un point de vue dynamique «G est image de C par l homothétie de centre le milieu K de [AB] et de rapport 3 1, donc réciproquement C est image de G par l homothétie de centre K et de rapport 3». La question 3 établit une propriété métrique liée à la propriété P. Il est regrettable que cette question ne soit pas mieux exploitée, elle mériterait d être complétée par une étude réciproque, ce qui ferait de la relation a + b = 5c une caractérisation des triangles dont les médianes issues de A et B sont perpendiculaires. Texas Instruments 011 / Photocopie autorisée ESD 010 070_calc - 1
Méthodes et savoirs mis en jeu dans l exercice : Question 1. Savoirs : G étant le centre de gravité du triangle ABC et K étant le milieu de [AB], connaître la relation a + b = CK + 1 1 c et la position de G sur [CK] : KG = KC. 3 Méthode : Les élèves peuvent, par exemple, utiliser la relation de la médiane pour calculer CK puis établir c que KG =, ce qui situe G sur le cercle de diamètre [AB]. Ils terminent la démonstration par la réciproque du théorème d inscription d un triangle rectangle dans un demi-cercle. Question. Savoir : Interpréter la relation 3 KG = KC en termes de transformations. Méthode : Il s agit là d une méthode importante de recherche de lieux géométriques, utilisant une transformation. Son apprentissage est un objectif majeur de l exercice. Déterminer avec précision le lieu de G (le cercle de diamètre [AB] à l exclusion des points A et B eux-mêmes). Dès lors, la configuration est une configuration mobile dans laquelle G joue le rôle d un point pilote (A et B restant fixes, tout déplacement de G induit un déplacement de C). Identifier une transformation fixe associant C au point pilote G. Le lieu de C est exactement l image du lieu de G par la transformation, c'est-à-dire l image du cercle de diamètre [AB] à l exclusion des images des points A et B elles-mêmes. Question 3. Mêmes savoirs que pour la question 1. Cette question est peu ambitieuse, on apprend seulement que, si ABC possède la propriété P, alors a + b = 5c, mais on ne sait pas s il s agit là d une caractérisation. La formulation de la question fait de cet exercice un exercice de réinvestissement (les élèves doivent avoir déjà utilisé des transformations dans des exercices similaires). La mention d un triangle «non aplati» met l accent sur la nécessité d envisager à un moment donné une réciproque et/ou de «démontrer une double inclusion», conformément aux instructions du programme de première S. Les élèves peuvent l envisager le plus opportunément à l occasion de la détermination du lieu de G. La question 3 mériterait d être prolongée en faisant établir que : a + b = 5c KC = 3KG = 3 c, puis en faisant interpréter géométriquement cette condition métrique : si ABC possède la propriété P, C appartient au cercle de centre K et de rayon 3c. L ensemble Γ est inclus dans ce cercle. L étude d une réciproque se place à ce moment, dans cette démarche : si on choisit C sur ce dernier cercle, obtient-on toujours un triangle ABC dont deux médianes sont perpendiculaires? En général oui, sauf lorsque le point C est aussi sur la droite (AB), le triangle ABC étant alors aplati, cas exclu par l énoncé : le cercle en question n est pas entièrement inclus dans Γ, il faut excepter ses points d intersection avec (AB). On conclurait en disant que si ABC est un triangle non aplati et si a + b = 5c, alors ses médianes issues de A et de B sont perpendiculaires. L enseignant aurait tout intérêt à exploiter ce prolongement pour faire comparer deux méthodes différentes de recherche de lieux géométriques. Il semble bien ici que la méthode de la question tire mieux son épingle du jeu. Texas Instruments 011 / Photocopie autorisée ESD 010 070_calc -
3. Apport du logiciel TI-Nspire a. Apports proposés Construction d une figure illustrant la question 1. Construction d une figure d étude préparant la résolution de la question. Construction d une figure de synthèse clôturant la résolution de la question. b. Construction de la figure illustrant la question 1 Ouvrir une page Géométrie. Créer les textes 1, et 3 (b 1 6). À l aide de l outil Compas (b A 7), tracer un cercle de centre A et de rayon 1, le faire apparaître en pointillés (/ b 3 : Attributs). Placer un point B sur ce cercle. Tracer de même le cercle de centre A et de rayon ainsi que le cercle de centre B et de rayon 3. Désigner par C l un ou l autre des points d intersection de ces deux cercles. Ajuster la graduation de manière que le triangle soit bien visible à l écran. Construire les milieux I de [BC] et J de [CA], puis tracer les médianes issues de A et de B. Nommer G le point d intersection de ces médianes. La perpendicularité des médianes (BI) et (BJ) peut être vérifiée de plusieurs façons : 1. Mesurer l angle AGB (b 8 4).. Mesurer les distances GA et GB. En double-cliquant sur leur affichage, on peut compléter leur désignation par «GA =» et «GB =». Editer alors le texte GA + GB et le calculer (/ b 4 sur le texte ou bien b 1 8). On voit apparaître le résultat du calcul, égal à 1. 3. Construire le milieu K de [AB] et mesurer la distance GK, égale à 0,5 cm. c. Figure d étude Nous nous proposons de construire une figure d étude permettant de conjecturer quel est le lieu du point C. Pour cela, nous supposerons acquise la propriété recherchée (ici la perpendicularité de deux médianes), et nous allons essayer de construire l objet géométrique initial (ici un triangle ABC) à partir de cet acquis. Commençons donc par tracer deux droites perpendiculaires, qui seront considérées comme médianes d un triangle qu il nous faudra construire. Ouvrir à cet effet une nouvelle page Géométrie. Créer un segment [AB] et une droite variable passant par A (nommée à l aide du menu Symboles / k). Soit G le point d intersection de avec la perpendiculaire à passant par B. Si ABC est un triangle dont ces deux droites sont médianes, G en est le centre de gravité et le milieu I du côté [BC] est tel GA que GI =. En notant U le milieu du segment [GA], le point I est symétrique de U par rapport à G (b B 1). Le sommet C du triangle ABC est alors le symétrique de B par rapport à I. Texas Instruments 011 / Photocopie autorisée ESD 010 070_calc - 3
Voyons comment se modifie la figure lorsqu on fait varier. Activer la Trace géométrique du point C et celle du point G (/ b 9 sur chacun de ces points ou bien b 5 4). Faire pivoter la droite autour de A à l aide de la souris. L observation des traces laissées par les points C et G amène à conjecturer que G se déplace sur le cercle de diamètre [AB], hypothèse que le théorème de l angle droit nous confirmera, et que C se déplace sur un cercle concentrique. d. Figure de synthèse A l issue de la résolution, il reste à construire le lieu de C et à illustrer le fait que, lorsque C appartient à ce lieu, les médianes issues de A et de B sont bien des droites perpendiculaires. Ouvrir une nouvelle page Géométrie. Créer un segment [AB] et le mesurer. Stocker cette mesure dans une variable, c par exemple (/ b 5 sur la mesure). 3c Éditer le texte et le calculer. Construire le milieu K du segment [AB] et à l aide de l outil Compas, tracer le cercle de 3c centre K et de rayon. Placer un point C sur le cercle, tracer le triangle ABC et en construire les médianes issues de A et de B ; elles se coupent en G. Mesurer l angle AGB. On peut vérifier que, lorsque C se déplace sur son lieu, cette mesure est un invariant de la figure. Voyons maintenant ce qu il se passe dans les cas d exclusion, lorsque le point C est aligné avec A et B. Pour cela, créer la droite (AB) et ses points d intersection avec le cercle. Redéfinir le point C (/ b 6 sur le point ou bien b 1 9) et l identifier avec l un ou l autre des points d intersection. Aussitôt, le point G disparaît de la figure, ainsi que la mesure de l angle AGB. Ou bien le point I est confondu avec le point A ou bien c est le point J qui est confondu avec B : l une ou l autre des droites (AI) ou (BJ) n est alors plus définie. La notion de perpendicularité de ces droites perd son sens. Le point G ayant été défini comme intersection de ces deux droites, le logiciel ne peut pas non plus le placer. Texas Instruments 011 / Photocopie autorisée ESD 010 070_calc - 4
4. Conclusion Un candidat au CAPES peut s en tenir à proposer la figure d étude pour introduire son exercice. L exploitation de cette figure a pour but de favoriser une meilleure perception du lien existant entre G et C. Lors de la déformation de la figure, l attention des élèves sera attirée sur «ce qui reste invariant». On essaie de relever des propriétés permanentes de la configuration : ainsi les positions relatives des points K, G, C sont toujours les mêmes. Les élèves auront à formuler la propriété associée en termes de transformations. Si le candidat ajoute à son exposé la figure de synthèse, il pourra souligner la différence de construction des deux figures. Pour bâtir la figure d étude, on est parti de la propriété P elle-même et on a construit le point C et le triangle ABC ensuite. Dans la figure de synthèse, on part d un point C sur son lieu, et on vérifie que la propriété P est bien réalisée. La déformation de la figure sert à détecter l existence de cas particuliers (aplatissement du triangle ABC et ce qu il s ensuit en l occurrence). 5. Pour aller plus loin (par curiosité) L énoncé proposait en première question un triangle ABC très particulier possédant la propriété P (il est luimême rectangle) et dont deux côtés avaient une longueur irrationnelle. Or, la propriété P est vérifiée seulement si les longueurs des côtés du triangle sont des solutions de l équation à coefficients entiers a + b = 5c. Dès lors, il est légitime de se poser la question suivante : «Existe-t-il des triangles ABC possédant la propriété P et dont les longueurs des côtés sont toutes des nombres entiers?» Le but de ce prolongement est de rechercher quelques triangles ayant cette particularité. a + b Supposons que ABC soit un tel triangle, avec a b. Le troisième côté a pour longueur, nombre 5 qui doit être un entier. Nécessairement, le côté BC du triangle est celui qui a la plus grande longueur car a + b a < a. 5 5 Ouvrir une page Calculs. Le petit programme ci-dessous recherche systématiquement les triangles à côtés entiers dont le plus grand côté mesure au plus 100 unités. Pour chaque entier a compris entre 1 et 100, et chaque entier b compris entre a + b 1 et a, le programme teste si c = est un entier et si le triangle ABC est constructible (le plus grand 5 côté doit être strictement inférieur à la somme des deux autres). Si ces conditions sont satisfaites, alors les entiers a, b, c sont affichés. On trouve ainsi 11 triangles. Texas Instruments 011 / Photocopie autorisée ESD 010 070_calc - 5
Si nous ajoutons la condition «a et b doivent être premiers entre eux», il ne reste plus que cinq triangles «primitifs». Il existe bel et bien des triangles à côtés entiers qui possèdent la propriété P. Si on veut rechercher tous les triangles à côtés entiers dont le plus grand côté mesure au plus un certain entier x d unités, on peut affecter un argument x au programme : proprip(x) et écrire la ligne «For a, 1, x» en lieu et place de la ligne «For a, 1, 100». En particulier, le triangle de côtés, 19 et 13 est le plus petit triangle à côtés entiers possédant la propriété P. Le lecteur pourra le construire dans une nouvelle page Géométrie. Ou bien, le lecteur pourra remarquer qu il existe deux triangles de côté 58 possédant la propriété P, et les construire. Texas Instruments 011 / Photocopie autorisée ESD 010 070_calc - 6