Physique Générale Cinématique à deux et trois dimensions de la particule. Mouements relatifs. TRAN Minh Tâm Table des matières Mouement à deux et trois dimensions 27 Référentiels, position et déplacement................. 27 Vitesses................................ 27 Accélérations............................. 29 Balistique 30 Position du problème......................... 30 Equation de la trajectoire et portée.................. 31 Mouement circulaire 32 Le mouement circulaire uniforme.................. 32 Un premier calcul de l accélération dans un MCU.......... 33 Un deuxième calcul de l accélération dans un MCU......... 33
Période, itesse angulaire....................... 34 Le mouement circulaire non uniforme................ 35 Mouements relatifs 36 La itesse relatie........................... 36 La transformation de Galillée..................... 37 Accélération depuis deux référentiels en translation rectiligne uniforme l un par rapport à l autre............... 39 Si u n est pas constant.......................... 39-2-
Mouement à deux et trois dimensions Nous allons étendre les notions acquises au chapitre précédent au mouement, plus général, à deux et trois dimesnions. Référentiels, position et déplacement Dans tout problème de Mécanique, la position d un corps est défini par rapport à un référentiel, comme par exemple le coin d une chambre (laboratoire), la Terre et quelques étoiles fixes (référentiel géocentrique), le Soleil et quelques étoiles fixes (référentiel héliocentrique). La position est alors exprimée par rapport à un système de coordonnées. Nous choisissons un repère cartésien défini par les ecteurs orthonormés (î, ĵ, ˆk). [Le système de coordonnées que nous considérons est un système d axes droit donné par les ecteurs unité (î, ĵ, ˆk) orthogonaux entre eux et dont les directions et sens sont donnés par la règle des trois doigts de la main droite.] Dans ce repère, un point matériel (ou une particule) est, à l instant t à la position P et est repéré par le ecteur position : OP = r = x î + y ĵ + z ˆk Dans son mouement, la particule passe de P 1 à P 2 entre les instants t 1 et t 2. Son déplacement est alors : r = r 2 r 1 = (x 2 x 1 ) î + (y 2 y 1 ) ĵ + (z 2 z 1 ) ˆk r = x î + y ĵ + z ˆk Point de contrôle Dans un repère cartésien, un papillon ole de ( 2 m, 6 m, 4 m) à (5 m, 3 m, 4 m). Quel est son ecteur déplacement? Son déplacement est-il parallèle à un plan particulier? Si oui, lequel? Vitesses Comme pour le mouement à une dimension, nous définissons la itesse moyenne : moy = r t = x î + y ĵ + z ˆk t -27- = x t î + y t ĵ + z t ˆk
Mouement à deux et trois dimensions z P 1 ^ k r 1 r r 2 P 2 x i^ j^ y et la itesse instantanée : = x î + y ĵ + z ˆk = lim t 0 r t = d r d t = d dt (x î + y ĵ + z ˆk) = dx dt î + dy dt ĵ + dz dt ˆk Propriété de la itesse Comme = d r d t = lim t 0 r t, la itesse est tangente à la trajectoire (la trajectoire est la courbe décrite dans l espace par la particule ). Inersément, de = d r, nous tirons la position du point matériel à d t l instant t connaissant sa itesse : r(t) = dt = x dt î + y dt ĵ + z dt ˆk Remarque : il faut connaître la ariation des composantes de la itesse en fonction du temps pour pouoir intégrer les équations précédentes! Point de contrôle Dans un mouement à deux dimensions, une particule décrit un cercle centré sur l origine O. Sa itesse instantanée est de (3 m/s) î (3 m/s) ĵ. Dans quel quadrant se troue-t-elle si elle tourne dans le sens des aiguilles d une montre ou dans le sens inerse des aiguilles d une montre? -28-
Mouement à deux et trois dimensions Accélérations De la même manière que pour le cas à une dimension, nous définissons l accélération moyenne : a moy = t = x î + y ĵ + ˆk z t et l accélération instantanée : a = a x î + a y ĵ + a z ˆk = lim t 0 = x t î + y t ĵ + z t ˆk t = d d t a = d dt ( x î + y ĵ + z ˆk) = d x dt î + d y dt ĵ + d z dt ˆk Remarque : L accélération n est pas tangente à la trajectoire, sauf pour les mouements rectilignes. Inersément, de a = d, nous tirons la itesse du point matériel à d t l instant t connaissant son accélération : (t) = a dt = a x dt î + a y dt ĵ + a z dt ˆk Remarque : il faut connaître la ariation des composantes de l accélération en fonction du temps pour pouoir intégrer les équations précédentes! Point de contrôle Dans un mouement à deux dimensions, les ecteurs position des particules P et Q sont respectiement : OP = ( 3 t 2 + 5 ) î + 4 t 5/2 ĵ OQ = ( 2 t + 9 ) î + 6ĵ. Selon quelle coordonnée la particule P ou la particule Q a-t-elle une accélération constante? Dans les expressions précédentes, la dimension des ecteurs position est le [mètre] et celle du temps est la [seconde]. Quelles doient être celles des coefficients 3, 5, 4, 2, 9 et 6? -29-
Balistique Position du problème Nous analyserons, dans ce paragraphe, le mouement des projectiles non dotés de moteurs et non soumis à l action des ents ni de l air (pas d effet due à la rotation, par exemple). Nous nous restreignons aussi à de petits mouements, ce qui nous permet de négliger les effets de la courbure ou de la rotation de la Terre. Le projectile est alors soumis à une accélération erticale constante due à la pesanteur (nous anticipons ici un peu la dynamique qui étudie les relations entre le mouement et les forces ). Nous pouons ainsi nous restreindre à un mouement à deux dimensions. 700 600 500 400 y Ballistique 0y 0 x y 200 100 0 0 100 200 300 400 500 600 700-100 -200-300 -400 0x x a x y y x y x x Dans le plan (x, y) du mouement, l accélération est erticale et nous aons ( a < 0) : a = 0 î + a ĵ (t) = x î + y ĵ = 0x î + ( 0y + a t) ĵ Dans l expression de la itesse, 0x î + 0y ĵ = 0, est la itesse initiale de la particule. Selon l axe x, puisque l acélération est nulle, la itesse est constante. Selon l axe y, nous aons un mouement uniformément accéléré. r(t) = xî + y ĵ = (x 0 + 0x t) î + (y 0 + 0y t + 12 ) a t2 ĵ r(t = 0) = x 0 î + y 0 ĵ est la position de la particule à l instant t = 0. -30-
Balistique Equation de la trajectoire et portée Des équations x(t) = x 0 + 0x t et y(t) = y 0 + 0y t + 1 2 a t2, nous pouons éliminer le temps t et obtenir : (y y 0 ) = (x x 0 ) 0y 0x + 1 2 a ( x x0 (y y 0 ) = (x x 0 ) tan θ 0 + 1 ( x 2 a x0 0 cos θ 0 Nous aons désigné par θ 0 l angle que fait la itesse du projectile aec l axe 0x en t = 0. Portée du tir On peut définir la portée par la distance horizontale (x x 0 ) qu a parcourue le projectile quand il atteint le sol, défini, par exemple, par y = 0 ou par y = y 0. Si nous définissons la portée R par le retour à l altitude initiale, nous aons : R = (x x 0 ) et (y y 0 ) = 0 : 0x R = 0x t = ( 0 cos θ 0 ) t e = ( 0 sin θ 0 ) t + 1 2 a t2 En éliminant le temps entre ces deux équations, on obtient : R = 2 0 a 2 sin θ 0 cos θ 0 = 2 0 a sin 2θ 0, a < 0! La portée maximale, dans ce cas, est atteinte pour sin 2θ 0 = 1 θ 0 = 45. Ce n est éidemment pas le cas pour d autres définitions de la portée. Point de contrôle 1) Vérifiez les dimensions dans les équation de cette page, c.à.d. que nous aons bien des longueurs dans les deux membres des équations. 2) Je ise une pomme aec ma sarbacane. Il n y a pas de ent et le frottement de l air peut être négligé. Au moment du départ de la flèche, la pomme tombe. La flèche touchera-t-elle la pomme? ) 2 ) 2-31-
Mouement circulaire Dans ce mouement plan, la particule est toujours à une distance fixe d un point où nous plaçons l origine. Le ecteur position est donné par y O r R θ x r = R cos θ î + R sin θ j^ Le paramètre dépendant du temps est ici l angle θ. Nous allons traiter du cas où la itesse de la particule est constante. Le mouement circulaire uniforme Dans le MCU, bien que la itesse soit constante (uniforme) en module, la particule est soumise à une accélération centripète. O r 2 r 1 P 2 θ 2 r P 1 1 2 1 θ Si, pendant l interalle de temps t la particule s est déplacée de P 1 à P 2, nous aons : r = r 2 r 1 ; et comme la itesse, tangente à la trajectoire circulaire, est toujours perpendiculaire au ecteur position, = 2 1 est toujours perpendiculaire à r. Comme l accélération est donnée par : a = lim a, parallèle à, est dirigé ers le centre du cercle, t 0 t puisque r est une corde sur le cercle. Dans un MCU, l accélération est centripète. Recherchons la aleur de son module. -32-
Mouement circulaire Un premier calcul de l accélération dans un MCU En nous reportant à la figure de la page précédente, nous constatons que les ecteurs 1, 2 et, d une part, r 1, r 2 et r, d autre part, forment des triangles isocèles semblables ; par conséquent : r r = = r r Comme r t, a = lim t 0 t = 2 r = 2 R a r = 2 R ou encore : a r = 2 R ûr. Nous noterons : l indice r indique que l accélération est radiale, û r est le ecteur unité radial pointant de l origine ers l extérieur (ce ecteur û r est de module constant mais a une direction ariable aec le temps ) Un deuxième calcul de l accélération dans un MCU Puisque = x î + y ĵ = ( sin θ) î + ( cos θ) ĵ (cf. figure ci-après) et que sin θ = y /R et cos θ = x /R, nous aons : ( = y ) ( ) x î + ĵ R R Dérions par rapport au temps pour obtenir l accélération : a = d ( dt = ) ( ) d y d x î + ĵ R dt R dt [Remarque : Dans un MCU, nous n aons pas à dérier par rapport au temps, le module de la itesse étant une constante!] Comme y = d y et x = d x dt dt, et que = x î + y ĵ = ( sin θ) î + ( cos θ) ĵ, en remplaçant, nous aons : ( ) ( ) a = 2 R cos θ î + 2 R sin θ ĵ = a r -33-
Mouement circulaire O x θ θ r y P O a x a r θ θ P a y Les ecteurs et a r sont représentés sur la figure ci-dessus. L accélération radiale change la direction de la itesse Point de contrôle 1) Vérifiez la dimension de l accélération radiale a r = 2 R. 2) Des deux déeloppements ci-dessus, laquelle préférez-ous et pourquoi? Période, itesse angulaire La période est le temps nécessaire pour que la particule effectue une réolution, c.à.d. parcourre une distance de 2π R : T = 2 π R Pendant ce laps de temps, l angle θ aura arié de θ 0 à θ 0 + 2 π et la itesse angulaire est définie par : ω = 2 π. On tire de ces expressions T la relation liant la itesse de la particule à sa itesse angulaire : = ω R Point de contrôle Dans quelle unité est donc exprimée la itesse angulaire ω? -34-
Mouement circulaire Le mouement circulaire non uniforme En toute généralité, la itesse peut arier en module. Lorsqu il en est ainsi, il existe une accélération tangentielle à la trajectoire : a t = d dt Cette accélération, tangente à la trajectoire comme la itesse, est de même sens que la itesse si le module de cette dernière augmente et de sens opposé si le module de la itesse diminue. L accélération totale, dans ce cas général est : a = a r + a t -35-
Mouements relatifs La itesse relatie Comme nous l aons u au chapitre précédent, le mouement d une particule doît être décrit par rapport à un référentiel ; il est parfois nécessaire de décrire le mouement d une particule par rapport à un référentiel lui-même en mouement. Sur la figure ci-dessous, un obserateur repère la position de la particule P par rapport au référentiel R et un autre obserateur par rapport au référentiel R dont nous allons, pour simplifier, considérer que les axes sont parallèles. L addition des ecteurs est immédiate : R y R' O' y' r' P x' OP = OO' + O'P O s r x r = s + r' Puisque la itesse s obtient en dériant le ecteur position par rapport au temps, (P) = d r dt = d s R dt + d r R dt R = (OO ) + (P) (P) est la itesse de P ue par l obserateur de R, (P) celle de P ue par l obserateur de R et (OO ) la itesse du référentiel R par rapport à R. Point de contrôle Vous êtes assis en oiture ; otre oiture est à l arrêt. Il neige au dehors et ous obserez la neige. Vous démarrez ; comment oyez-ous alors les flocons tomber? Identifiez la itesse de la neige ue depuis le trottoir et depuis otre oiture ainsi que la itesse de otre oiture aux trois itesses de l expression précédente. -36-
Mouements relatifs La transformation de Galillée Si maintenant le référentiel R se déplace à itesse constante u par rapport à R. Si les deux origine O et O coïncident à l instant t = 0, nous aons : r (P) = r (P) + ut L équation ectorielle précédente est équialente à trois équations scalaires. R O y u t R' O' y' r r' x P x' On rencontre très souent le cas où la itesse u est parallèle à un des axes des référentiels, parallèle à l axe 0x par exemple u = u î. Dans ce cas : x = x + u t y = y z = z t = t C est la transformation de Galilée des coordonnées. Remarque importante : Nous aons fait l hypothèse naturelle selon laquelle l obserateur depuis le référentiel R et l obserateur depuis R relèent le même temps écoulé t = t. Une fois qu ils ont synchronisé leurs montres, elles le seront pour toujours. On obtient les relations entre les itesses et entre les accélérations de la particule dans ce cas où la itesse u est constante : (P) = (P) + u, a (P) = a (P) Point de contrôle Comment feriez-ous pour définir un temps écoulé? -37-
Un exemple Mouements relatifs Sur la figure ci-dessous, un aion se dirige ers l Est alors que le pilote le pointe quelque peu ers le Sud-Est : en effet un ent de 65 km/h par rapport au sol souffle ers le Nord-Est aec un angle de 20 par rapport à la direction du Nord. Appelons : as, s et a les itesses de l aion par rapport au sol, du ent par rapport au sol et de l aion par rapport au ent. Cette dernière itesse est de 215 km/h et fait un angle θ par rapport à la direction de l Est. Quelle est la itesse de l aion par rapport au sol et que aut l angle θ? N θ as N E s a 20 o La itesse de l aion par rapport au sol est égale à somme ectorielle de sa itesse par rapport au ent et de la itesse du ent par rapport au sol : as = a + s En projetant sur l axe y dirigé ers le Nord, nous obtenons : as y = a y + s y, ou 0 = 215 sinθ + 65 cos 20 θ = 16, 5 En projetant sur l axe x dirigé ers l Est, nous obtenons en utilisant la aleur obtenue de θ et sachant que as x = as : as x = a x + s x, ou as = 215 cos 16, 5 + 65 sin 20 as = 228 km/h -38-
Mouements relatifs Accélération depuis deux référentiels en translation rectiligne uniforme l un par rapport à l autre Dans ce cas, la itesse du référentiel R peut être pris comme u = +uî aec u = cst. Le passage des coordonnées du référentiel R à celles du référentiel R se fait par une transformation de Galiée pour laquelle (P) = (P) + u et a (P) = a (P). Depuis le chariot, lançons erticalement une balle (oir figure ci-après). Dans le référentiel du chariot R, la balle décrit un MRUA dont l accélération est a = g. Sa itesse, dans R, est uniquement erticale. O' R' g g Depuis le chariot : mouement relatif O R u = cste Depuis le trottoir : mouement "absolu" Pour un obserateur immobile sur le trottoir R, le chariot a une itesse horizontale u. Vue depuis R, la itesse de la balle a maintenant une composante horizontale +uî. Son accélération est toujours a = g. Vue depuis R, la trajectoire de la balle est une parabole (cf. Balistique). Si u n est pas constant... Nous enons de oir que si le référentiel R est en translation rectiligne uniforme par rapport à R ( u = cst), les accélérations de la particule P sont identiques dans les deux référentiels. Si u n est pas constant, a (P) a (P) : s ajoutent à a (P) des accélérations dues au mouement de R par rapport à R ; nous y reiendrons au chapitre prochain. -39-