Sciences de l Ingénieur - Asservissement Schéma blocs-réonse temorelle Fonction de transfert Donner la fonction de transfert du système rerésenté à la figure suivante : Transformation de schemas blocs Transformer les schémas blocs fournis (1a,a) en schémas blocs de la forme roosée (1b,b). Donner les fonctions de transferts des blocs α() β() γ() Transformées de Lalace et schéma bloc Le schéma ci-contre rerésente de manière très simlifiée un disositif de susension hydraulique d'un véhicule. L'axe de roue est guidé ar raort au châssis du véhicule au moyen d'une liaison glissière verticale. Un ressort de raideur K r et un vérin hydraulique de section S montés en série constituent l'élément déformable de la susension Un amortisseur de constante f est monté en arallèle ave d'ensemble récédent. L'observateur se lace dans le véhicule. On choisit comme oint de reos une situation dans laquelle le véhicule est immobile. On aelle x et y les variations de osition des extrémités du ressort autour du oint de reos. D'une façon générale, on désigne ar F A/B = F A/B. u la variation autour du oint de reos de la comosante verticale de l'effort exercé ar un élément A sur un élément B du système. Page 1 sur 6
La erturbation rovoquée ar les inégalités du sol est rerésentée ar la grandeur F = F. u (variation de la comosante verticale de l'effort exercé ar la route sur la roue). Enfin, un distributeur hydraulique non rerésenté envoie vers le vérin un débit d'huile q roortionnel à la différence entre la osition désirée et la osition actuelle de la roue q( = K D(y c(- y () On aelle M l'ensemble (roue + axe) de masse m. Mise en équation Le rincie fondamental de la dynamique aliqué à l'ensemble M donne en rojection sur u : dy m. =F R/M +F A/M +F dt dy La force exercée ar l'amortisseur sur l'ensemble M s'exrime : F A/M =-f. dt La force exercée ar le ressort sur l'ensemble M s'exrime : F R/M = K R. (x - y) La relation entre le débit et le délacement de la tige du vérin est dx q=s. dt Questions Q1/ En suosant qu'à l'instant t=0, les grandeurs hysiques sont nulles, déterminez les transformées de Lalace des équations résentées. Q/ Recoiez et comlétez le schéma bloc suivant en utilisant les équations obtenues à la question récédente. Q3/ Le système étudié est-il monovariable ou multivariable? Performance en oursuite : Pour la question suivante, la erturbation F est nulle. On agit sur l entrée de consigne y c, afin de faire varier la «garde au sol», c'est-à-dire la distance entre le lancher du véhicule et la route Q4/ Déterminer la fonction de transfert H( ) Performance en régulation : Pour la question suivante, la erturbation y c est nulle Q5/ Déterminer la fonction de transfert Servomoteur hydraulique. H( ) Y( ) Y ( ) c Y( ) F ( ) Page sur 6
Le schéma de rincie d un servomoteur hydraulique est donné ci-dessous : Il est rincialement constitué d un vérin hydraulique, dont le délacement de la tige est reéré Y(, alimenté en huile ar un distributeur, dont le délacement du tiroir est reéré X(. La transmittance retenue our ce tye de mécanisme est de la forme : Y( ) K H ( ) avec la constante de tems et K le gain X( ) 1 I.1 Etude réliminaire. Question 1 : Déterminer et tracer la réonse à un échelon unitaire d un système linéaire de transmittance K H ( ). 1 I. Identification. Un enregistrement exérimental de y( our une entrée x( indicielle ermet de caractériser le servomoteur. 1.6 1.4 1. 1 0.8 0.6 0.4 0. 0 Entrée X( Sortie Y( 0 0.1 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 Tems Question : A artir de cette réonse, déterminer K et relatifs au servomoteur. Fonctionnement asservi On relie le tiroir du distributeur à la tige du vérin ar un levier selon le rincie suivant : La consigne de délacement e( est donnée en délaçant l extrémité libre du levier. Question 3 : Montrer que X( est lié à e( et Y( ar la relation : a b X (t ) e(t ) Y(t ). a b a Question 4 : Etablir le schéma fonctionnel de l ensemble avec E() l entrée et Y() la sortie. Question 5 : Calculer la fonction de transfert du système : Y( ) F ( ). E( ) Question 6 : Cette fonction de transfert étant du ème ordre, identifier le gain, la ulsation rore et le coefficient d amortissement. Question 7 : On retient b/a=1. Calculer et tracer la réonse Y( à une entrée échelon. Page 3 sur 6
Etude d une servocommande d hélicotère. 1. PRESENTATION. L étude roosée orte sur un des mécanismes de commande de l orientation des ales du rotor d un hélicotère. Pour délacer un hélicotère, son ilote agit sur le manche de as cyclique et sur le levier de as collectif. Ces ordres sont transmis ar l intermédiaire d une tringlerie aux servocommandes (voir figure 1).. ETUDE DE LA SERVOCOMMANDE. La servocommande utilisée est un système d'asservissement en osition, à entrée mécanique. Elle est comosée d'un distributeur à tiroir ilotant un vérin à cors mobile. Le tiroir du distributeur reçoit la consigne Ze. Celle-ci rovient de la tringlerie de commande. Ce tiroir coulisse dans le cors du distributeur et met en communication chacune des deux conduites a et b avec la ression d'alimentation 1 ou la ression de retour 0. Les deux chambres Ca et Cb sont alimentées avec deux ressions différentes, ce qui a our conséquence de délacer le cors et générer la sortie Zs. Soit : Ze( la consigne d'entrée Zs( la réonse en sortie 1( la ression d'alimentation 0( la ression de retour a( et b( les ressions dans les chambres Ca et Cb de volumes Va et Vb Vt=(Va+Vb)/ rc, f et m la raideur, le coefficient de frottement visqueux et la masse de l'ensemble vérin lus charge Kd le gain du distributeur; B le module de comressibilité de l'huile; S la section utile du vérin. On montre que le fonctionnement de la servocommande est modélisé ar les équations suivantes : a - équation de débit : Kd dzs( Vt d a( b( Ze( Zs( S (1) dt B dt b - équation de dynamique aliquée au cors de vérin : Page 4 sur 6
dzs( d Zs( a ( b( S rc Zs( f m () dt dt Ecrire l'image de chaque équation (1) et () ar la transformation de Lalace en considérant que toutes les conditions initiales sont nulles. Remarque : our une fonction scalaire f de la variable temorelle t, on notera F sa transformée de Lalace, dont la variable comlexe sera notée. Déterminer la fonction de transfert en boucle ouverte, Hbo(), de la chaîne fonctionnelle rerésentée cidessous. En osant rh B S Vt et Kd, exrimer Hbo() en fonction de rc, rh, f, m et. S Alication numérique : rc f m rh 10 5 50 kg.10 N.s/m 00 rd/s 7 N/m Dans le domaine fréquentiel d'utilisation de ce système, comme rh m est très etit devant 1, Hbo() eut se mettre sous la forme G D() où D() est un olynôme en de degré deux. Exrimer alors numériquement Hbo(). En déduire la fonction de transfert en boucle fermée Hbf() du système ayant Ze en entrée et Zs en sortie. Mettre Hbf() sous sa forme canonique. Préciser les valeurs du gain, de la ulsation rore et du coefficient d amortissement. Déterminer la réonse du système à une entrée échelon Ze=z0.u(, où u( est la fonction échelon unitaire et z0 R. Tracer l'allure de la courbe rerésentative de la réonse récédemment calculée. Préciser la valeur du déassement maximum éventuel, de l'écart statique et du tems de réonse à 5%. Pour évaluer le tems de réonse, utiliser l'abaque ci-dessous. Pour améliorer les erformances du système, on a augmenté le gain de la boucle ouverte. Dans ce cas, la réonse du système en boucle fermée à l'échelon récédent est rerésentée figure suivante. Page 5 sur 6
Trouver ar lecture sur cette courbe : le tems de réonse à 5% l'écart statique le déassement maximum Quelles sont les conséquences de l'augmentation du gain sur le comortement du système? La servocommande est munie d'un disositif de correction dit «à retour de ression». Voir figure cicontre. Ce disositif est constitué d'une canalisation de etite section qui relie les deux chambres du vérin. Il ermet de «comenser» le débit d'huile introduit ar le distributeur au cours d'un déassement de osition (oscillation). La fonction de transfert en boucle ouverte du système devient : Hbo() (400 5.10 ).(500 L'entrée du système est l'échelon Ze=z0.u(, où u( est la fonction échelon unitaire et z0 R. Exrimer algébriquement l'image de l'écart ar la transformation de Lalace : ( ) Ze() Zs(), uis l'écart statique ( ). L'exrimer en ourcentage de z0. La réonse indicielle du système corrigé est rerésentée ci-contre. Quels sont les avantages et inconvénients du système de correction utilisé? ) Page 6 sur 6