Brevet : le minimum vital à connaître Thème Cours Exemples Calcul Fractions Puissances Règles de priorité: On commence par les parenthèses, puis les multiplications ou division et enfin les additions ou soustractions. Règles sur les fractions: Si a, b et k sont non nuls, a k b k = a b Si a, b, c et d désignent des nombres positifs avec b et d non nuls, alors a + c = a+c a c = a c a c = a c b b b b b b b b Diviser par une fraction c est multiplier par son inverse. a c = a c b d b d Règles à connaître absolument: a, m et n sont des entiers. On a : a n a m = a n+m a n a m = an m (a n ) m = a n m a = a. Notation scientifique: Voici un exemple d écriture scientifique 2,06 0 6. C est un nombre avec un seul-chiffre non nul avant la virgule, multiplié par une puissance de 0. Brevet Amérique du nord 2007 : Donner A = 2 7 5 7 5 sous la forme d une fraction irréductible. Brevet Amérique du nord 20 : Quel nombre est en écriture scientifique? 7,3 0 3 0,97 0 7,52 0 3 Brevet Amérique du nord 2007 : Donner les écritures décimales et scientifiques de B = 05 5 0 3 80 0 Statistiques Radicaux L ensemble sur lequel on travaille en statistique est appelé population. La particularité commune que l on étudie est appelée caractère. Une série statistique est l ensemble des résultats d une étude : valeurs du caractère et effectifs que l on donne sous forme de liste ou de tableau, rangées par ordre CROISSANT : 36 ; 36 ; 37 ; 37 ; 37 ; 38 ; 38 ; 39 ; 39 ; 0 ; ; 2. - Etendue : 2 36 = 6. - Une valeur médiane qui partage l'effectif total en deux effectifs de même amplitude. Le calcul de la moyenne dépend de la parité de la taille : Si l effectif total est pair, on prend la moyenne des valeurs centrales. Si l effectif est impair, on prend la valeur centrale. Dans notre exemple, l effectif total est 2, c est pair et on a : 2 = 6 + 6. La médiane est donc entre la 6 e et la 7 e valeur : 38 + 38 = 38. 2 - Le premier quartile Q d une série ordonnée dans l ordre croissant est la plus petite valeur de la série pour laquelle on obtient le quart de l effectif : au moins 25 % des valeurs de la série sont inférieures ou égales à Q. Pour déterminer Q, on calcule le quart de l effectif : effectif. Si le résultat est entier, on prend la valeur correspondante. Si le résultat n est pas un entier, on arrondit à la valeur entière par excès. Ici, on a : 2 = 3, c est la 3e valeur : Q = 37. - La position du troisième quartile Q3 est obtenue en prenant 3/ des valeurs : 3 2 = 9, Q3 = 39. - Moyenne : 2 36+3 37+2 38+2 39+0++2 38,3 2 Savoir que si a désigne un nombre positif, a est le nombre positif dont le carré est a. Sur des exemples numériques utiliser les égalités: a 2 = a a b = a b a b = a b Brevet Pondichéry 202 : Un professeur de SVT demande aux 29 élèves d une classe de sixième de faire germer des graines de blé chez eux. Le tableau ci-dessous donne les tailles des plantules des 29 élèves à 0 jours après la mise en germination : ) Combien de plantules ont une taille qui mesure au plus 2 cm? 2 ) Donner l étendue de cette série. 3 ) Calculer la moyenne de cette série. Arrondir au dixième près. ) Déterminer la médiane de cette série et interpréter le résultat. 5 ) On considère qu un élève a bien respecté le protocole si la taille de la plantule à 0 jours est supérieure ou égale à cm. Quel pourcentage des élèves de la classe a bien respecté le protocole? 6 ) Le professeur a fait lui-même la même expérience en suivant le même protocole. Il a relevé la taille obtenue à 0 jours de germination. Prouver que, si on ajoute la donnée du professeur à cette série, la médiane ne changera pas. Comment simplifier un quotient? On peut utiliser a b = a b Comment écrire un quotient avec dénominateur entier?
Déterminer sur des exemples numériques les nombres x tels que x 2 = a, où a désigne un nombre positif. Comment réduire des sommes? On regroupe les termes ayant un facteur commun, puis on factorise en utilisant ka + kb = k(a + b) Comment simplifier une somme? On écrit sous forme d un produit, puis on applique ab = a b puis on écrit les racines sous forme a b On termine en réduisant la somme. Fonctions nombre de départ nombre d arrivée x y = f(x) un antécédent l image abscisse ordonnée Fonction linéaire : f: x ax, a coefficient directeur. On a: a = f(x ) f(x 2 ) x x 2 pour x x 2. La représentation graphique d une fonction linéaire est une droite qui passe par l origine. Fonction affine : f: x ax + b, a coefficient directeur, b ordonnée à l origine. Exemple : Soit g(x) = x + 3. Calcul de l'image de 5: g(5) = 5 + 3 g(5) = 23. L'image de 5 par g est 23. Calcul de l'antécédent de 5: résoudre 5 = x + 3 5 3 = x 2 = x x = 0,5 L'antécédent de 5 par gest 0,5. Proportionnalité : A toute situation de proportionnalité, on peut associer une fonction linaire. Le tableau de valeurs d'une fonction linéaire est un tableau de proportionnalité. Pour faire disparaître le radical au dénominateur, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le dénominateur. Brevet Amérique du Nord 2007 : Ecrire C = 75 + 27 5 8 sous la forme a 3, où a est un entier relatif. QCM : ) Si f est une fonction telle que f(2) = 5, alors a- 2 est l image de 5 par f b- 5 est l image de 2 par f c- 5 est un antécédent de 2 par f 2 ) Parmi les fonctions suivantes, la fonction linéaire est a- f(x) = 3x 2 b- f(x) = x 5 c- f(x) = 3 x 3 ) La fonction linéaire définie par f(x) =,5x traduit a- Une diminution de 5% b- Une augmentation de 5% c- Une diminution de 85%. ) Soit h la fonction affine telle que h(x) = 3x + 5 a- La fonction linéaire associée est f(x) = 3x b- La fonction h est décroissante. c- Le coefficient directeur vaut 5. 5 ) Soit f la fonction affine telle que f() = 5 et f( 2) =. a- a = f() 5 f( 2) b- a = 2 c- a = f() f( 2) 2 Graphique : d 0 Calc. littéral Connaître les trois produits remarquables et la distributivité. (a b)² = a² 2ab + b² (a + b)(a b) = a² b² Développer des expressions en utilisant la distributivité, les produits remarquables. Factoriser des expressions en utilisant la distributivité, les produits remarquables. Ordonnée à l origine est :. Le coefficient directeur est :. La fonction est : x..... Exercice à maîtriser : A = (2x )( 3x) + (2x )(5x + 2) où x désigne un nombre. ) Développer et réduire A. 2
On développe k(a + b) = k a + k b (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (a b)² = a² 2ab + b² (a + b)(a b) = a² b² On factorise Développer et réduire: R = (5x 6)(3x + 7) = 5x 2 + 35x 8x 2 = 5x 2 + 7x 2 Développer en utilisant les identités: S = (2x + 3) 2 On identifie les nombres a et b : a = 2x et b = 3. S = (2x) 2 + 2 2x 3 + 3 2 On développe à l aide de S = x 2 + 2x + 9 On calcule chacun des termes 2 ) Factoriser A. 3 ) Résoudre A = 0. Exercice sur les équations : Résoudre les équations suivantes : ) 8x 2 = 3x + 26 2 ) 2(x 5) = 7 (3 x) Factoriser en utilisant la distributivité: T = (x 3)(2x + 3) 2(2x + 3)(x 2) On repère le facteur commun (2x + 3) T = (2x + 3)[(x 3) 2(x 2)] On factorise par (2x + 3). On met des crochets T = (2x + 3)[x 3 2x + ] On supprime les parenthèses du second facteur. T = (2x + 3)(2x + ) On réduit l expression. Factoriser en utilisant les identités: U = x 2 + x + 9 On repère identité remarquable U = x 2 + 2 x 7 + 7 2 On identifie les nombres a et b a = x et b = 7. U = (x + 7) 2 On écrit la forme factorisée de expression. 3 ) x 2 + 3) = 28 ) x 2 = 5 ) x 2 2 = 38 Arithm Equation produit: Résoudre (x )(x + 8) = 0. (x )(x + 8) = 0 On identifie une équation produit. Si (x )(x + 8) = 0 Propriété du cours alors x = 0 ou x + 8 = 0 attention rédaction du «ou» x = ou x = 8 on résout les 2 équations x = ou x = 2 Conclusion: Les solutions de l équation sont -2 et. PGCD de a par b : le plus grand diviseur commun de a et b. Pour déterminer le PGCD de a et b, nous disposons en 3 e de deux algorithmes : Algorithme par différence : On remplace le grand des deux par leur différence. On recommence le procédé jusqu à obtenir deux nombres égaux : PGCD(290; 735) = PGCD(290 735; 735) = PGCD(2 205; 735) PGCD(2205; 735) = PGCD(2205 735; 735) = PGCD( 70; 735) PGCD(70; 735) = PGCD(70 735; 735) = PGCD(735; 735) Conclusion: PGCD(290; 735) = 735. Algorithme d Euclide : L algorithme d Euclide se fait en deux étapes : Etape : on divise le plus grand nombre par le plus petit Etape 2 : il y a 2 cas :, 2, 3,, 6 et 2 sont les diviseurs de 2., 2, 3, 6, 9 et 8 sont les diviseurs de 8. Alors, 2, 3 et 6 sont les diviseurs communs à 2 et 8. Le plus grand est 6, donc PGCD (2 ; 8) = 6 Brevet juin 2005 : ) Trouver le PGCD de 6 209 et 35 en détaillant la méthode. 2 ) En utilisant le résultat de la question précédente, expliquer pourquoi la fraction 35 n est pas 6209 irréductible. 3 ) Donner la fraction irréductible égale à 35 6209. 3
Si le reste n est pas nul, on recommence l étape en prenant le diviseur et le reste de la division précédente. Si le reste est nul, le PGCD est le dernier reste non nul. Exemple: PGCD(37352; 5768)? Conclusion: PGCD(37352; 5768) = 56. Systèmes Fractions irréductibles : Une fraction a est dire irréductible b lorsque le PGCD(a; b) =. Pour rendre une fraction a irréductible, on divise le numérateur b a et son dénominateur b par le PGCD de a et b. x + 2y = 5 { x + y = est un système de deux équations à deux inconnues. Nous disposons de deux méthodes pour résoudre ce système : méthode par substitution ou méthode par combinaison. ) Résoudre le système suivant : x + y = 200 { 8x + 5y = 20 2 ) Une salle de cinéma propose deux tarifs : - un tarif adulte à 8 par personne ; - un tarif enfant à 5 par personne. Dans cette salle, 200 personnes ont assisté à une représentation et la recette totale s est élevée à 20. Calculer les nombres d adultes et le nombre d enfants qui ont assisté à cette séance. Pythagore Théorème de Pythagore : Réciproque du théorème de Pythagore : ABCDEFGH est un pavé droit de longueur cm, de largeur 3 cm et de hauteur 2 cm. Calculer la longueur EG puis la diagonale AG. (AH) est perpendiculaire à (BC). a. Calculer la longueur AH. b. En déduire la longueur AC. c. Le triangle ABC est-il rectangle? Espace Brevet juin 2005 : Sur la figure ci-contre, no a un cône de révolution tel que SA = 2 cm. Un plan parallèle à la base coupe ce cône tel que SA = 3
cm (la figure ci-contre n est pas à l échelle). ) Le rayon du disque de base du grand cône est de 7 cm. Calculer la valeur exacte du volume du grand cône. 2 ) Quel est le coefficient de réduction qui permet de passer du grand cône au petit cône? 3 ) Calculer la valeur exacte du volume de ce petit cône, puis en donner la valeur arrondie au cm 3. Trigo Exercice à connaître : Le triangle ABC est rectangle en A; l'unité de longueur est le centimètre. A l'aide des indications données, calculer une valeur approchée de la longueur des deux autres côtés. a- B = 8 et AB = 5 b- B = 32 et AC = 9 Exercice à connaître : NMP est un triangle rectangle en M. Calcule la mesure des deux angles aigus au degré près dans les deux cas suivants : a- MP = 0,5 cm et NP = cm b- MP = 5,3 cm et MN =,5 cm. Probabilité Exercice à connaître : Un sachet contient 2 bonbons à la menthe, 3 à l orange et 5 au citron. On tire, au hasard, un bonbon du sachet et on définit les événements suivants : A : «le bonbon est à la menthe» ; B : «le bonbon est à l orange» ; C : «le bonbon est au citron».. Détermine les probabilités p(a) puis p(b) et p(c). 2. Représente l expérience par un arbre pondéré (on fait figurer sur chaque branche la probabilité associée). Thalès Théorème de Thalès : Réciproque du théorème de Thalès : 5