Physique Terminale S La mécanique de Newton C est en voyant tomber une pomme que Newton aurait découvert le concept de gravitation universelle, universelle car elle concernerait le monde des cieux autant que celui d ici-bas. Il a également énoncé les trois lois qui régissent le mouvement des corps. Isaac Newton (164 177) vu par otlib dans ses Rubriques à brac dans les années 1970. Le génial touche-à-tout britannique aurait eu une révélation sur la gravitation en voyant une pomme tomber. D ici à attraper mal à la tête, c est peut-être un peu fort 1 1 Mouvement du centre d inertie d un solide 1.1 Quelques rappels Nous nous limitons au lycée à la mécanique du point matériel, c est-à-dire à l étude du mouvement d un point de masse m dans l espace et le temps. Au mieux pourrons nous qualifier le mouvement de l ensemble de points immobiles les uns par rapport aux autres et constituant un solide indéformable. Nous ne pourrons pas, pour le moment, parler du mouvement des solides déformables. L un des objectifs de la mécanique est la caractérisation des mouvements ; cela s entend dans l espace, et dans le temps : c est pour cela que la caractérisation du mouvement d un objet passe par la connaissance de sa trajectoire et de sa vitesse à tout instant. mouvement = trajectoire + vitesse Le référentiel est le solide par rapport auquel on étudie le mouvement d un système. Il est indispensable à toute étude mécanique, puisque la nature du mouvement d un point dépend du référentiel dans lequel on l étudie. Observer : mouvement de la balle lâchée du vélo, rétrogradation des planètes, etc Autant d exemples pris dès la nde d une relativité des mouvements. On associe le plus souvent au référentiel un repère d espace O ; i, j, k choisi de telle sorte que la description du mouvement soit la plus simple possible un repère de temps, dont l origine des dates est souvent choisie afin de coïncider avec le début du mouvement ou d une phase caractéristique Quand un solide est en mouvement de chute, il existe un point de ce solide qui décrit le plus souvent un mouvement plus simple que les autres : ce point est le centre d inertie du solide, on le note. Observer : beret.avi ou centreinertie.swf 1 Comme il l a écrit lui-même, c est toutefois bien en méditant suite à l observation de la chute d une pomme dans son jardin mais non en se faisant assommer que l idée d une gravitation universelle est venue à Newton.
Le centre d inertie d un solide homogène est confondu avec son centre de symétrie (s il en possède un!). Tout système matériel pouvant être ramené à un ensemble de particules A 1, A,, A N de masses respectives m 1, m,, m N, on peut trouver la position du centre d inertie par la techniques des barycentres, qui ne sont pas au programme (en Physique, du moins) m1 A1 m A mn AN 0 ou encore m1 OA1 moa mn OAN O m m m 1 1. Vecteur position La position du centre d inertie d un système par rapport à l origine O du repère d espèce peut être repérée à chaque instant par le vecteur position, O. N i O k j (t) y x Dans le repère d espace attaché au référentiel d étude (cartésien ou orthonormal direct le plus souvent), il s écrit O xi y j k Si le solide est en mouvement, les coordonnées x, y et sont des fonctions du temps : c est pourquoi on les note de manière générale x(t), y(t) et (t). L ensemble des positions occupées successivement par le point au cours du temps constitue la trajectoire de ce point. 1.3 Vecteur vitesse A l aide d un mobile autoporteur, il est possible d obtenir la chronophotographie d un mouvement simple en faisant abstraction des forces de frottements ; en effet, le dispositif éclateur de ce système livre un enregistrement que l on peut exploiter facilement. Observer : TP «Etude expérimentale de la ème loi de Newton» Sur ce type d enregistrement, on peut définir le vecteur vitesse instantanée d un point de manière approchée. Le document présenté est à l échelle ½ ; l intervalle d éclatement τ e entre étincelles est τ e = 45 ms. Prenons l exemple du point M 8. Le vecteur vitesse en ce point se définit par M 7M 9 v8 e M 7M 8 M 8M 9 0,80 0,85 1 La valeur de la vitesse est v8 37 cm. s. e 0,045 Pour définir rigoureusement ce vecteur à l instant t n quelconque, nous supposons connue la position de à chaque instant t et nous la notons (t).
Le vecteur t n t est d autant plus proche du vecteur vitesse en (t n ), v t t t n n, que l intervalle de temps t t tn est petit. A la limite, tn t O t O tn v tn lim lim ttn t t ttn n t tn ce que nous pourrons encore nous permettre de noter O v tn lim t0 t Où le sigle désigne la variation de la grandeur qu il accompagne. Mathématiquement, cette limite de taux d accroissement est la dérivée du vecteur position par rapport au temps, do v tn tn Dans le référentiel choisi pour étudier le mouvement, le vecteur vitesse du centre d inertie du solide à l instant t est égal à la dérivée par rapport au temps du vecteur position O à cet instant do v t Le vecteur vitesse est alors porté par la tangente à la trajectoire à l instant t et orienté dans le sens du mouvement. Prenons l exemple d un mouvement curviligne. La longueur du vecteur est dictée par une échelle (fixée arbitrairement par l expérimentateur) et rend compte de la valeur de la vitesse instantanée en m.s 1. Expression du vecteur vitesse en coordonnées cartésiennes En coordonnées cartésiennes, les vecteurs unitaires étant constants, le vecteur vitesse a pour expression dx vx dy v vx i vy j v k vy d v Une confusion très, très fréquente : vecteur vitesse constant vitesse constante Si le vecteur vitesse est constant, le point décrit un mouvement rectiligne uniforme. v 3
Si SEULE la valeur de la vitesse est constante, le mouvement est uniforme, mais la trajectoire reste quelconque. 1.4 La notion de force Le concept mathématique de vecteur est encore d un grand secours pour modéliser les actions mécaniques. Un vecteur force se caractérise par une direction un sens une norme ou intensité, exprimée en newtons et en physique, on lui adjoint également un point d application ; ces quatre caractéristiques permettent de représenter (ou modéliser ) des actions mécaniques telles que le poids les frottements la poussée d Archimède la force de rappel élastique sous forme de vecteurs forces. Nous détaillerons ces forces ultérieurement. Rappelons que la notion de force est indépendante du référentiel utilisé pour la description du mouvement d un solide. Première et troisième lois de Newton.1 Première loi de Newton : principe d inertie v Un mouvement circulaire peut être uniforme ; toutefois, dans ce genre de mouvements, le vecteur vitesse n est pas constant : sa direction et son sens changent sans arrêt! Dans un référentiel galiléen, si la somme vectorielle des forces extérieures qui s exercent sur un solide est nulle (solide pseudo-isolé), le vecteur vitesse du centre d inertie est un vecteur constant, et réciproquement. F 0 v Cste xt Le centre d inertie d un solide soumis à des forces qui se compensent doit donc être soit immobile v 0, soit animé d un mouvement rectiligne uniforme. La première loi de Newton ne s applique qu au centre d inertie du solide. Elle ne dit rien sur le mouvement des autres points. Les points de l axe du cylindre qui roule peuvent avoir un mouvement rectiligne et uniforme, mais ce n est pas le cas des autres points Le poids, par exemple, est un vecteur vertical, vers le sol et appliqué au centre de gravité du système ; il représente de façon sommaire l action gravitationnelle de la Terre qui, de fait, s exerce en tout point et il y en a une infinité du système C est en cela que l on parle de modélisation. 4
Dans la suite du cours, nous ne nous intéresserons plus qu au mouvement du centre d inertie. Le principe d inertie ne s applique que dans certains référentiels appelés référentiels galiléens. Avant de résoudre un problème de mécanique, il faut s assurer que le référentiel choisi pour étudier le mouvement du centre d inertie est galiléen. C est le cas, par exemple, du référentiel géocentrique ou du référentiel héliocentrique pour nos expériences quotidiennes. Le référentiel terrestre n est pas galiléen, mais on peut le considérer comme tel pour les mouvements de courte durée. 3 Le mobile autoporteur est soumis à son poids et à une réaction de support qui lui est opposée (absence de frottements). On tient la feuille en dessous : a b Si la feuille est immobile (Fig. a), le référentiel envisagé, celui de la feuille, est un référentiel terrestre : a alors un mouvement rectiligne et uniforme. Lors d un déplacement de la feuille (Fig. b), en revanche, le référentiel de la feuille n est plus galiléen : le mouvement de est alors radicalement modifié. Troisième loi de Newton : le principe des actions réciproques Deux corps sont en interaction si le mouvement ou le repos de l un dépend de l existence de l autre. C est un cas très fréquent dans la vie de tous les jours : lorsqu on s assoit quelque part, etc On considère deux corps A et B en interaction. F A / B est la force exercée par A sur B, et F B / A la force exercée par B sur A. Quel que soit l état de mouvement ou de repos des deux corps, les deux forces vérifient toujours l égalité vectorielle F F A/ B B / A 3 En réalité, un référentiel n est galiléen qu avec une certaine approximation. La qualité de cette approximation est fonction de la durée des expériences réalisées : le référentiel terrestre est un bon référentiel galiléen si la durée de l expérience menée est négligeable devant celle de la rotation diurne de la Terre (soit environ 4 h) Ce n est pas le cas, par exemple, si l on étudie le mouvement de Mars (d où la formation d épicycles de rétrogradation). 5
Quelques illustrations Le tir à la corde Le chariot à réaction, avec un ballon de baudruche Observer : ballon.gif L allumette Observer : allumette.gif Sur l eau Observer : bateaurouge.gif La troisième loi de Newton est vraie que le référentiel soit galiléen ou non. Le principe des actions réciproques permet d expliquer la propulsion : c est la force exercée par le sol sur les roues motrices, opposée à la force exercée par les roues sur le sol, qui propulse le véhicule vers l avant. Note bien, dans ce cas : les forces de frottements (projection de R 1 sur la route) ne sont pas opposés au mouvement!! 3 Deuxième loi de Newton : le principe fondamental de la dynamique En classe de 1 ère S, nous avons vu que, dans un référentiel galiléen, si le vecteur vitesse v du centre d inertie d un solide varie, la somme vectorielle Fext des forces qui s exercent sur le solide n est pas nulle, et réciproquement. De plus, le vecteur de temps ont la même direction et le même sens. Fext et le vecteur 3.1 Etude expérimentale voir Etude expérimentale de la ème loi de Newton.doc Les vecteurs Fext et e v calculé sur un très petit intervalle v sont à chaque instant proportionnels, le coefficient de proportionnalité étant la masse m du solide. v Fext m Pour une même force appliquée, plus la masse est grande, plus la variation du vecteur vitesse pendant Δt = τ e est petite. La masse caractérise donc l inertie du solide, c est-à-dire la difficulté qu on a à modifier son mouvement. Pour cette raison, m peut être qualifiée de masse inertielle 4. v Le vecteur rend compte de la variation de vitesse par rapport au temps : on l appelle plus e couramment accélération. 4 On peut en effet distinguer la masse inertielle intervenant dans cette relation et dans les caractéristiques dynamiques du mouvement du solide, et sa masse grave qui intervient dans l expression de son poids (résultat de l interaction gravitationnelle entre le solide et la Terre, le plus souvent). Dans les conditions classiques (ie. non relativistes), masse grave et inertielle sont équivalentes. 6
3. Vecteur accélération O De même que v4 v5 v3 est la limite du vecteur quand t 0, le vecteur accélération t a est la limite quand t 0 du vecteur v t v a lim t0 t Mathématiquement, ette limite est la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse. Dans un référentiel donné, le vecteur accélération a du centre d inertie d un solide à l instant t est la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse v à cet instant dv a t Cherchons la dimension de l accélération. 1 v L. T a L. T t T Dans le système international d unités, l accélération s exprime donc en mètres par seconde au carré, m.s. Expression en coordonnées cartésiennes On rappelle que les vecteurs unitaires du repère cartésien sont constants au cours du temps. Par conséquent, dvx ax dvy a t ax i ay j a k ay dv a do d do d O Comme v t, nous pouvons aussi écrire que a t. Ainsi, d x ax d y a t ay d a Remarque v a 0 a v mouvement accéléré a v a v 0 mouvement retardé 7
3.3 Enoncé de la deuxième loi de Newton La relation v Fext m e devient, à la limite, la deuxième loi de Newton, Fext m a Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse du solide par le vecteur accélération de son centre d inertie, Fext m a Comme la première loi, la seconde loi de Newton ne s applique qu au mouvement du centre d inertie ; la relation qu elle annonce n est valable que dans les référentiels galiléens. Remarque : cette relation implique une équivalence dimensionnelle riche de sens. Fext m a M. LT. Le newton peut donc être vu comme la valeur de la force qui, appliquée à une masse de 1 kg, lui communique une accélération de 1 m.s. Par ailleurs, pour un système en chute libre, nous serons amenés à écrire l égalité m a = m g, qui indique que l intensité du champ de pesanteur g, souvent exprimée en N.kg 1 jusqu ici, est dimensionnellement équivalente à une accélération et peut s exprimer également en m.s. 1 N.kg 1 1 m.s Remarque : de l inertie Pour une force de caractéristiques données, l effet diffère selon la masse du système qui subit l action. Prenons le cas trivial où une force F apparaît comme cause du comportement du système : l accélération a caractérise alors l effet de l action. En écrivant F a m on voit que pour une force F d intensité fixée, l accélération est d autant plus faible que la masse du système est grande. On dit que la masse du système a un rôle inertiel : elle s oppose à l évolution du mouvement (résistance) ; ce caractère est parfois 5 différencié du rôle grave de la masse (gravitation). 4 Application à la chute verticale d un solide dans un fluide 4.1 Etude expérimentale On considère l exemple simple de la chute d une bille dans un liquide visqueux. Les outils informatiques de pointage et le tableur nous permettent d exploiter les vidéos du phénomène. 5 La masse qui intervient dans la ème loi de Newton n est donc pas la même que celle qui intervient dans la loi de gravitation. Cette distinction est nécessaire en Relativité, mais reste inutile en mécanique newtonienne. 8
Cette courbe montre l existence de deux régimes, Un régime initial ou régime transitoire, pendant lequel la vitesse augmente d abord rapidement puis de plus en plus lentement. Pendant cette première phase, le mouvement de la bille est accéléré. Un régime asymptotique ou régime permanent, pendant lequel la vitesse est constante, la bille ayant atteint une vitesse limite. Pendant cette seconde phase, le mouvement de la bille est uniforme. Le temps caractéristique τ de la chute est le temps qui correspond au passage d un régime à l autre. On le définit comme l abscisse du point d intersection de l asymptote avec la tangente à l origine. La transition entre les deux régimes est opérée au bout de quelques (5 dans la pratique, probablement, comme en électricité). 4. Forces exercées sur le solide Pour modéliser cette chute, rappelons les caractéristiques des forces exercées sur la bille, à l aide d un diagramme objet-actions (DOA). frottements poids Le poids Le poids ou force de pesanteur est la force qui modélise l action de la Terre sur un corps. C est une force verticale, dirigée vers le bas. En un lieu donné, sa valeur est proportionnelle à la masse m P = m g avec P : poids en newton (N) m : masse en kilogramme (kg) g : intensité du champ de pesanteur en newton par kilogramme (N.kg 1 ) Vectoriellement, on écrira P m g où g est le vecteur champ de pesanteur, vertical, vers le bas et de norme g. La poussée d Archimède Un solide immergé dans un fluide est soumis de la part de celui-ci à une action mécanique appelée poussée d Archimède. Cette action est modélisée par une force verticale, dirigée vers le haut. Sa valeur est égale au poids du fluide déplacé par le solide immergé (seule la partie immergée compte!). avec Liquide Poussée d Archimède régime transitoire Bille régime permanent = fluide V g : poussée d Archimède en newton (N) fluide : masse volumique du fluide en kilogramme par mètre-cube (kg.m 3 ) V : volume du solide immergé en mètre-cube (m 3 ) : intensité du champ de pesanteur en newton par kilogramme (N.kg 1 ) Terre 9
La force de frottement Un solide en mouvement dans un fluide est soumis à des forces réparties en surface qui dépendent de la nature du liquide, de la forme du solide et de la rugosité de la surface. La valeur de ces forces augmente avec la vitesse du solide. Dans le cas d une boule en chute verticale, la somme vectorielle de toutes ces forces est une résultante verticale, opposée au mouvement : on l appelle force de frottement fluide. Son expression en fonction de la vitesse est complexe, sauf dans deux cas de modèles 6 particuliers, simples, aux faibles vitesses (on parle d un écoulement laminaire), la valeur de la force de frottement est proportionnelle à la vitesse, f h v aux grandes vitesses (on parle d un écoulement turbulent), la valeur de la force est proportionnelle au carré de la vitesse, f h v v Dans les deux cas, h 1 et h sont des constantes, et f est opposé à v. 4. 3 Application de la deuxième loi de Newton La bille étudiée est soumise aux trois forces étudiées précédemment, le poids P la poussée d Archimède la force de frottement f h1 v que l on considèrera proportionnelle à la vitesse puisque la vitesse de chute est faible Le mouvement est étudié dans le référentiel terrestre, supposé galiléen pendant la durée de la chute. La deuxième loi de Newton appliquée à la bille donne : P f m a On choisit un axe (O) orienté vers le bas. Puisque les vecteurs et f sont orientés en sens contraire de l axe vertical (O) choisi, l égalité vectorielle devient dv m m g fluide V g h1 v Après division par m, on obtient finalement dv fluide V h1 v g 1 v m m Remarque : si l axe (O) est orienté vers le haut Cela ne doit rien changer aux équations de la Physique : c est un choix conventionnel réalisé par le physicien. Dans ce cas, les composantes des forces s opposent et l équation s écrit dv fluide V h1 a v g 1 v m m Dans ce cas, c est le signe de l accélération grandeur purement algébrique qui viendra achever la discussion. En réfléchissant un peu, dans le mouvement étudié, l accélération est un vecteur dirigé vers le bas tant que les frottements (et la poussée d Archimède) ne viennent pas compenser le poids ; dès qu il y a compensation, le vecteur accélération s annule. Tant qu il n y a pas compensation, l accélération est donc positive pour un axe (O) vers le bas, et négative pour un axe (O) vers le haut! 1 6 Ces cas sont des modèles : en réalité, il se peut que l expression de la force de frottements soit plus complexe, avec un exposant décimal par exemple 10
Nous dirons donc que le choix initial d un axe (O) orienté vers le bas est un pur choix de bon sens qui s inscrit dans une volonté de simplification des calculs (accélération positive). Notion de vitesse limite dv Lorsque la vitesse limite est atteinte, la bille chute à vitesse constante, donc 0. La relation précédente entraîne alors fluide V g 1 h1 v,lim 0 m d où l on tire g v,lim m fluide V h1 Cette égalité peut être mise sous la forme g v,lim bille fluide V h 1 Cette expression montre que la vitesse limite augmente si la masse volumique de la bille augmente la masse volumique du liquide diminue dv t Résolution analytique : la solution de l équation v vlim est de la forme v vlim 1 exp 4.4 Résolution de l équation différentielle par la méthode d Euler (cf. TP) La méthode d Euler permet d obtenir une solution approchée de l équation différentielle en remplaçant v (t) par son approximation affine locale. L idée directrice est de calculer chaque valeur de la fonction (ou du moins des valeurs séparées d un pas de calcul) à partir de la valeur précédente : on parle de méthode itérative. Principe En physique, la notation traduit une variation de la grandeur qu elle accompagne. En tout point, on peut considérer que la fonction f peut être vue comme sa valeur en un point donné assortie de son accroissement, Par un petit artifice de calcul, il vient et si x est petit, à la limite, f a x f a f f f a x f a x x f a x f a f ' a. x Une autre façon de procéder En mathématiques, le nombre dérivé en a d une fonction f est défini par f ' a h0 Si l accroissement h est petit, on peut se permettre d écrire d où l on tire la substance de la méthode d Euler, f ' a h a f a h f a lim a f a h f a. ' f a h h f a f a h 11
Revenons à notre problème physique, où nous noterons Δt le pas de calcul ; la relation d Euler s écrit dv v tn1 v tn t tt n L équation différentielle établie au 4.3 peut se mettre sous la forme dv A B v dans laquelle A et B sont des constantes. La relation d Euler dv v tn1 v tn t Devient, en utilisant l équation différentielle, v tn1 v tn A B v tn t La connaissance de la vitesse à l instant t o = 0 s (ici v (0) = 0) permet de calculer v (t 1 ) avec t 1 = t o + Δt, et ainsi de suite. Cette méthode est fondée sur une approximation. Le résultat est d autant plus proche du résultat théorique que le pas de calcul est petit. Dans le cas de la chute dans un fluide, on considère que le résultat est correct lorsque le pas de calcul est très inférieur au temps caractéristique : Δt << τ. 4.5 Validation du modèle (cf. TP) Pour valider le modèle choisi pour la force de frottement (f = h 1 v ou f = h v²), on confronte les résultat obtenus par la méthode d Euler et l expression de f choisie avec les résultats expérimentaux. Le régime asymptotique donnant la vitesse limite permet de calculer la valeur de k (h 1 ou h ) Si la courbe expérimentale et la courbe d Euler se superposent pendant le régime transitoire, le modèle choisi est correct. Dans le cas contraire, il faut poser une nouvelle hypothèse pour l expression de f et recommencer les calculs 5 Chute libre verticale On rappelle qu un objet est en mouvement de chute libre s il n est soumis qu à son poids. C est le cas pour la chute d objets dans le vide mais aussi, avec une asse bonne approximation, dans le cas où les forces de frottements et la poussée d Archimède sont négligeables devant le poids de l objet (objet compact et dense( montgolfière), à faible résistance à l air, à vitesse faible ( parachute)). Exemple : étude du chute_bille.avi avec AviStep. Dans ce cas, en considérant le référentiel terrestre galiléen compte tenu de la durée de l expérience, la deuxième loi de Newton permet d écrire P m a c est-à-dire m g m a et a g Sous réserve d être dans un champ de pesanteur uniforme (cf. chapitre suivant), l accélération est donc ici une constante vectorielle : le mouvement est rectiligne et uniformément accéléré. 1
O Par projection sur un axe vertical orienté par exemple vers le bas, il vient a v g En intégrant sur le temps, On peut donc caractériser le mouvement par la vitesse v g t et la position 1 g t v(t) v g t C où C 1 est une constante que l on peut déterminer aisément à partir de la vitesse initialement nulle, v (0) = 0 : C 1 = 0. En intégrant à nouveau sur le temps, il vient ( ) 1 t g t C où C est une constante que l on peut déterminer aisément à partir de la position initialement nulle, (0) = 0 : C = 0. 1 (t) Une remarque, un exercice : retrouver les équations dans le cas d une vitesse initiale non nulle (v o ) et/ou d une position initiale non nulle ( o ), v g t vo 1 g t vo t o v Exemple : en lançant un objet vers le haut, on a vo vo e ; la vitesse s annule pour o t 1, alors que g l objet est monté à l altitude v o ( t1), puis il redescend. g 13