Université Pierre et Marie Curie LP1 - UE 103 - nnée 009-010 Optique géométrique, Reza.Samadi@obspm.fr Interrogation n 1 1) [1.5 pts] On considère le rayon issu de et se propageant dans la direction I. Tracer le rayon réfracté dans le cas où n>. Faire de même dans le cas où n<. ) [0.5 pts] L angle i=π/3. Que vaut le sinus de l angle r de réfraction? 3) [1.5 pts] quelle condition y a-t-il réflexion totale? Expliquer et justifier. Donner la valeur de l angle associé. 4) [1.5 pts] quelle condition définit-on un angle limite? Expliquer et justifier. Donner la valeur de cette angle. 5) [onus 1 pts] Montrer que pour un certain angle i, le rayon réfléchi est orthogonal au rayon réfracté? Que vaut cet angle particulier? 1) r r i I i I n (>) n (<) ) sin(i) = n sin(r) implique sin(r) = (/n) sin(π/3) = (/n) 3/ 3) Il y a réflexion totale lorsque n<. En effet, n< implique r>i. Lorsqu on fait croître i de 0 à π/, r va atteindre π/ pour une valeur i=α inférieure à π/ et telle que (/n) sin(α) = sin(π/)= 1. Lorsque sin(i)> n/, cad lorsque i> α avec sin(α) = n/, il n y a plus de rayon réfracté et toute l énergie est propagée par le rayon réfléchi. 4) On définit un angle limite lorsque n>. En effet, n> implique r<i. quelque soit la valeur de i. L angle i peut varier de [-π/, π/] et dans cet intervalle, puisque n>, il existe toujours un angle r tel que (/n) sin(i) =sin(r). Lorsque i=π/, l angle r atteint une valeur maximale r l tel que sin(r l ) = /n. Cet angle r l est nommé angle limite de réfraction. 5) Le rayon réfléchi et le rayon réfracté sont orthogonaux lorsque i+r =π /. Dans ces conditions la relation de Snell-Descartes implique : sin(i) = n sin(r) = n sin(π /-i) = n cos(i). Soit pour l angle i tel que tan(i) = n/. Interrogation n 1 1) [3 pts] On considère un dioptre composé de deux couches d épaisseurs a (voir figure gauche). La première couche est en silice (verre d indice n~1.5) et la suivante en cristal (verre d indice n~1.7). Un rayon se propage dans l air et rencontre au point les couches de verre avec un angle d incidence i. Tracer la propagation de ce rayon à l intérieur et à la sortie du UPMC LP1 - UE103 Optique géométrique Interrogations - 14/1/009 1/15
dioptre. On désigne par D l angle de déviation du rayon incident (i.e. l angle par lequel le rayon incident est dévié). Que vaut l angle de déviation D? n> a Ox a S C ) [ pts] On considère un dioptre sphérique de centre C et d indice n> (voir figure droite). Un rayon se propage dans une direction passant par le centre C. Un second, parallèle au premier, rencontre le dioptre au point S. Tracer la trajectoire de ces rayons à travers ce dioptre. 3) [à faire à la maison] On note Fs le point d intersection de ces deux rayons. Donner l abscisse de ce point en fonction des données du problème. On considérera θ petit et S correspondra à l origine des abscisses. 1) Le trajet du rayon est le suivant : i air r r n C r r Soit r l angle de réfraction suite au passage du premier dioptre (passage air-silice); cet angle est aussi l angle d incidence par rapport au second dioptre (silice-cristal). Soit r l angle de réfraction suite au passage du second dioptre, cet angle est aussi l angle d incidence par rapport au troisième dioptre (cristal-silice). La relation de Snell-Descartes donne pour le premier dioptre : sin(i) = sin(r). Pour le second dioptre : sin(r) = n sin(r ). Et enfin pour le troisième dioptre : n sin(r ) = sin(i ). On a par conséquent sin(i) = sin(r) = n sin(r ) = sin(i ). Par conséquent i = i et donc le rayon incident n est pas dévié de sa direction initiale. ) Le rayon passant par le centre C est à incidence nulle par rapport au dioptre sphérique. Celui-ci n est donc pas réfracté et passe donc par le centre C. Le second rayon passant par S subit une réfraction en S. Soit θ l angle de réfraction. Puisque n>, on a θ <θ. L intersection de ce rayon avec le premier a lieu au point F s illustré sur la figure ci-dessous. i UPMC LP1 - UE103 Optique géométrique Interrogations - 14/1/009 /15
Interrogation n 1C 1) [3 pts] On considère deux couches d épaisseurs a (voir figure gauche). La première couche est en silice (verre d indice n~1.5) et la suivante en cristal (verre d indice n~1.7). Un rayon se propage dans l air et rencontre au point les couches de verre avec un angle d incidence i petit. On désigne par d l écartement du rayon émergeant par rapport à la normale au point (voir figure gauche). Exprimer la distance d en fonction de i et de a. a a ) [ pts] On considère une dioptre «plan-concave» (voir figure droite). Tracer la propagation - à l intérieur et à la sortie de ce dioptre - d un rayon parallèle à l axe de symétrie (axe optique). Faire de même avec le rayon passant par l axe de symétrie. (à faire) Interrogation n I n a Ox S C 1) [0.5 pts] On considère un dioptre sphérique et un objet situé à l infini (voir figure de gauche). Le faisceau de lumière issu de a une section d. quelle condition sur d a-t-on stigmatisme approché pour cet objet situé à l infini? ) [0.5 pts] L objet est à une distance finie (voir figure de droite). quelle condition sur l angle a a-t-on stigmatisme approché pour cet objet? 3) On se place dans les conditions nécessaires pour avoir un stigmatisme approché. On considère un objet situé à l infini. UPMC LP1 - UE103 Optique géométrique Interrogations - 14/1/009 3/15
a. [0.5 pts] L objet admet-il une image unique? Justifier. b. [1.5 pts] Où va se former l image de? Donner la position de cette image en fonction des données du problème. Comment appelle-t-on ce point? c. [ pts] Faire la construction optique dans le cas où n>. L image est-elle virtuelle ou réelle? Idem dans le cas n<. n ( n ) Rappel : relation de conjugaison d un dioptre sphérique : = S S SC 1) On a stigmatisme (approché) pour l objet situé à l infini, lorsque le faisceau est peu éloigné de l axe, ie. lorsque d est petit (une des deux conditions de Gauss). L échelle caractéristique de ce système optique correspond au rayon de courbure SC. On doit donc avoir d << SC. ) On a stigmatisme (approché) pour l objet lorsque l angle a est petit (une des deux conditions de Gauss). 3) a. Nous sommes dans les conditions de Gauss (d petit) : on a donc stigmatisme (approché) et l objet situé à l infini admet donc une image (unique). b. L objet étant à l infini S>>SC par conséquent l image de se forme au point F tel que : n SF = SC. Ce point se nomme le foyer image (car correspond à l image d un point n situé à l infini). c. La construction optique donne dans les deux différents cas : n> S F C n< F S C Dans le premier cas l image est réelle et virtuelle dans le second. UPMC LP1 - UE103 Optique géométrique Interrogations - 14/1/009 4/15
Interrogation n 1) [0.5 pts] quelle(s) conditions a-t-on stigmatisme approché? ) [3 pts] Un dioptre plan sépare deux milieux d indices et n. On se place dans les conditions nécessaires pour avoir un stigmatisme approché. Construire l image d un point dans les cas suivants : a. n> b. >n Dans chaque cas, l image est virtuelle ou réelle? 3) [1.5 pts] On rappelle la relation de conjugaison des dioptres sphériques : n ( n ) =. Etablir à partir de cette relation la relation de conjugaison des S S SC dioptres plans. 4) [à faire à la maison] On se place dans le cas où l angle i est petit. Etablir la relation de conjugaison liant à son image. Corrigé : 1) Rappel : on a stigmatisme approché si tout rayon partant de passe, après avoir traversé le système, au voisinage d un point unique. On n a stigmatisme approché dans les conditions de Gauss : à savoir lorsqu on a affaire à des angles petits et des rayons peu éloignés de l axe. ) On se place dans les conditions de Gauss : ie l angle i est petit. On a donc stigmatisme approché et par conséquent l objet admet une image unique. Lorsque n>, l image se forme à la position schématisée sur la figure suivante : Lorsque >n, l image se forme à la position schématisée sur la figure suivante : UPMC LP1 - UE103 Optique géométrique Interrogations - 14/1/009 5/15
r i I S n (<) Dans les deux cas l image est virtuelle. 3) Un plan peut-être considéré comme une sphère de rayon de courbure infini : ce qui revient donc à considérer SC. Dans ces conditions la relation de conjugaison des dioptres n sphériques devient : S = S 4) Lorsque l angle i est petit la relation de Snell-Descartes se ramène à la loi de Kepler : i = n r. Or i = SI/S et r = SI/ S. Multiplions la première relation par et la seconde par n, il vient en vertu de la loi de Kepler : /S = n / S. Interrogation n C 1) [1.5 pts] On considère un miroir plan et un objet lumineux. Construire l image de à travers le miroir. ) [0.5 pts] On considère maintenant un objet, construire son image à travers le miroir. 3) [ pts] On considère un dioptre plan-concave (voir figure) de sommet S, de rayon de courbe SC=R, d indice n et d épaisseur SP=e. Un objet est situé à l infini. On se place dans les conditions de Gauss. Donner la position de son image F par rapport au sommet S en fonction de R, e et n. Rappel : relation de conjugaison d un dioptre sphérique : n ( n ) = S S SC 4) [1 pts] quoi correspond F? 5) [à faire à la maison] quoi correspond le point focal objet? En donner sa position par rapport au point S. 1) Un miroir réfléchi totalement la lumière. Pour construire l image de considérons le rayon orthogonal au miroir. Ce rayon est réfléchi dans la même direction et dans le sens opposé. Considérons maintenant un autre rayon issu de et faisant un angle i avec la UPMC LP1 - UE103 Optique géométrique Interrogations - 14/1/009 6/15
normale au miroir (voir figure ci-dessous). Ce rayon est réfléchi selon une direction faisant un angle i avec la normale (voir figure ci-dessous). L intersection du premier rayon réfléchi avec le second définit l image de. Cette image est virtuelle correspond à l intersection de rayons virtuels (voir figure). Cette image est unique car le miroir vérifié un stigmatisme rigoureux. En effet quelque soit l angle i, l intersection entre le premier rayon et le second s effectue toujours au point, le point symétrique orthogonal de par rapport au miroir plan. ) Pour construire l image d un objet il suffit de considérer son symétrique orthogonal par rapport au miroir (voir figure ci-dessous). i i i i i i 3) Nous sommes dans les conditions de Gaus : on a donc stigmatisme (approché) et l objet situé à l infini admet donc une image (unique). L objet étant à l infini S>>SC=R, par conséquent, d après la relation de conjugaison des dioptres sphériques, l image de se forme au point F 1 tel que n/sf 1 = (n-1)/r. Notons F l image de F 1 à travers le dioptre plan ; la relation de conjugaison des dioptres plans donne : 1/PF = n/pf 1. Soit PF =PS+SF =PS/n + SF 1 =e/n + R/(n-1). Il vient alors SF = R/(n-1) e (n-1)/n. 4) F est l image d un point situé à l infini et dans une direction passant par l axe optique : il s agit donc de la focale image du dioptre. 5) Le point focal objet (F) a pour image un point situé à l infini et dans la direction de l axe optique. Notons 1 l image de F à travers le dioptre sphérique et notons l image de 1 à travers le dioptre plan. En vertu de la relation de conjugaison du dioptre plan : étant à l infini, 1 l est aussi, ce qui implique donc S 1 >> SC. La relation de conjugaison du dioptre sphérique donne dans ces conditions : -1/SF = (n-1)/r ; soit SF = -R/(n-1). Interrogation n 3 3) [.5 pts] Construire l image d un objet à travers une lentille convergente : a. Lorsque l objet est situé avant le point focal objet b. Entre le centre optique et la focale objet Précisez à chaque fois si l image est droite ou renversée. Réelle ou virtuelle. 4) [.5 pts] Construire l image d un objet à travers une lentille divergente : a. Lorsque l objet est réel b. Lorsque l objet est virtuel (voir Figure) Précisez à chaque fois si l image est droite ou renversée. Réelle ou virtuelle. UPMC LP1 - UE103 Optique géométrique Interrogations - 14/1/009 7/15
1-a) Voir Figure - du cours. L image est réelle et renversée 1-b) Voir Figure -5 (gauche) du cours. L image est virtuelle et droite -a) Voir Figure -3. L image est virtuelle et droite -b) Voir Figure -5 (droite). L image est virtuelle et droite Interrogation n 3 1) [1 pts] Rappeler la définition du grandissement vertical, Γ. En donner l expression dans le cas d une lentille (On choisira le point O comme l origine). ) [4 pts] Construire l image d un objet à travers un miroir sphérique convexe. L image est-elle réelle ou virtuelle? droite ou renversée? S C 1) Γ. Cas d une lentille, si on choisit comme origine O : Γ O = O ) Pour positionner l image de il suffit de considérer deux rayons particuliers : le rayon se propageant vers le centre optique du système. Ce rayon est réfléchi dans la même direction que sa direction d incidence. Le second rayon particulier est celui se propageant parallèlement à l axe optique : ce rayon émerge du système dans une direction passant par le foyer F (pour un miroir F et F sont confondus). Le point d intersection des rayons émergents définit la position de. Cela donne donc la construction optique suivante (voir figure ci-dessus). La construction optique permet d affirmer que l image est virtuelle et droite. UPMC LP1 - UE103 Optique géométrique Interrogations - 14/1/009 8/15
Interrogation n 3C 1) [1.5 pts]on considère une lentille mince convergente L 1 de distance focale image f 1. On place un objet à une distance f 1 de la lentille. Construire son image. ) [1.5 pts] Que vaut le grandissement de l image? Justifier. 3) [ pts] On place une lentille divergente L de distance focale image f = - f 1 à une distance f 1 du centre optique de L 1. Placer les points focaux. Construire l image de l objet à travers cette association. Où se forme l image? 4) [à faire à la maison] Soit a l angle sous lequel est vu l objet depuis le centre optique de L 1 et a l angle sous lequel est vu l image depuis le centre optique de L. Quel est le grossissement angulaire G= a /a du système optique? 1) F1 x F1 O1 ) La construction optique établit que l image est renversée et à la même taille que l objet, ce qui peut aussi être démontré analytiquement. En effet, le grandissement vertical de l objet vaut : donc : O = O Γ. Comme O O = f 1. Il vient donc Γ = = 1 O O = f 1, la relation de conjugaison implique 5) Ci-dessous la construction optique. L image se forme à l infini. UPMC LP1 - UE103 Optique géométrique Interrogations - 14/1/009 9/15
L1 L + a F F 1 F F1 O1 O a 1 1 4) a = et f 1 a = Or = 1 1 et f = f 1. Il vient donc 1 f 1 (Notez la convention de signe pour les angles). a f G = a f Interrogation n 4 1) Soit une lentille mince de distance focale f. Montrer que le grandissement s écrit : f F = et = F f En déduire la relation de conjugaison avec origines aux foyers (dite formule de Newton). ) Soit une lunette astronomique (voir Figure). On désigne par a le diamètre apparent de la planète (i.e. l angle sous lequel on voit le diamètre de la planète). a. Tracer l image de la planète telle qu elle est vue à travers la lunette lorsque la lunette pointe vers le centre de la planète. b. L image de la planète est vue sous l angle a. Identifier cet angle. Montrer que a f1 le grossissement angulaire G vaut : G = où f 1 et f sont les distances a f focales des lentilles L1 et L respectivement. 1 3) Construire l image d un objet situé à une distance finie de la lunette. UPMC LP1 - UE103 Optique géométrique Interrogations - 14/1/009 10/15
1) En utilisant les triangles F et FOI (voir figure) on établit immédiatement la I O relation : =. Or OI = et f FO F OF = OF f, on a donc la relation : f =. En procédant de même avec les triangles OIF et F on établit aussi : F F =. En divisant la première relation par la deuxième il vient la relation de f conjugaison dite formule de Newton à savoir : F. F = f f = ( f ) I F x F O I ) a. La planète est à l infini, son image à travers L1, 1 1, se forme sur le plan focal image de L1 (voir figure). L image intermédiaire ( 1 1 ) se formant sur le plan objet de L, son image à travers L,, se forme à l infini comme le montre la figure. Le système est donc afocal (n admet de foyers principaux image et objet). b. Les angles a et a sont identifiés sur la figure (on représente les demi diamètres apparents, a/ et a /, ie l angles sous lesquels on voit le rayon de la planète). Le grossissement vaut G=a /a. Or a / = 1 1 / f et a / = 1 1 / f1 (Notez la convention de signe pour les angles). Il vient alors G = - f 1 / f. + a/ O1 F1,F a / a/ a / O L1 1 L 3) L image de l objet s obtient comme illustré sur la figure ci-dessous : UPMC LP1 - UE103 Optique géométrique Interrogations - 14/1/009 11/15
F1 O F F1 O1 F 1 L1 L 1 Interrogation n 4 6) [.5 pts ]On considère deux lentilles minces accolées, L1 et L. Montrer que la distance 1 1 1 focale image du système composé vaut : = + où f 1 et f sont les distances f f1 f focales images des lentilles L1 et L respectivement. 7) [5 pts ] On considère une loupe : a. Construire l image d un objet situé entre la focale objet et le centre optique b. Dans quelle condition l image de l objet sera observée sans fatigue par l œil? c. Rappeler la définition de la puissance et du grossissement angulaire d un système optique d. Rappeler la définition du grossissement commercial (G c ) et celle de la puissance (P i ) intrinsèque. En donner l expression dans le cas de la loupe. Le punctum proximum sera noté d m. e. Calculer G c et P i dans le cas de la loupe. 3) [.5 pts ]On considère la lentille de la figure ci-dessus et un rayon quelconque. Placer les points focaux principaux. Tracer le comportement du rayon incident à la sortie de la lentille. O 1) voir la démonstration en cours ) a) Voir Voir Figure -5 (gauche) b) L image sera observée sans fatigue par l œil lorsque celle-ci se formera à l infini. Pour avoir l image à l infini il faut placer l objet au point focal objet F c) Grossissement G= α /α avec α l angle sous lequel est vu l objet à l œil nu à une certaine distance et α l angle sous lequel est vue l objet à travers le système à une certaine UPMC LP1 - UE103 Optique géométrique Interrogations - 14/1/009 1/15
distance de celui-ci. Puissance : P = α /, l angle α ayant la même définition que pour le grossissement. d) Grossissement commercial : Gc = α /α max avec α max l angle sous lequel est vu l objet au mieux à l œil nu et α l angle sous lequel est vu l image de l objet à travers l instrument lorsque celle-ci se forme à l infini. Puissance intrinsèque : Pi = α /, l angle α ayant la même définition que pour le grossissement. e) Dans le cas de la loupe : α = /f et α max = / d m, on en déduit donc Gc = d m / f et Pi = 1/f 3) Le comportement du rayon se déduit à l aide de la construction de la figure ci-dessous. Explications : Le rayon correspond à un rayon provenant d un objet situé à l infini hors axe optique ; son image se forme sur un foyer secondaire image F s. Pour construire ce foyer secondaire on procède comme pour les lentilles convergentes : On considère le rayon () parallèle au rayon (1) et passant par O. Celui-ci passe à travers la lentille sans être dévié. L intersection de ce rayon avec le plan focal image correspond à la position du foyer secondaire F s associé aux rayons parallèle provenant d un objet situé à l infini dans la direction du rayon (1) ou (). On peut vérifier la position de F s en invoquant le rayon (3) semblant passer par le foyer objet F. Celui ci émerge de la lentille en un rayon parallèle, celui-ci semble provenir du point F s ; ce qui est normal car comme le rayon (), le rayon (3) est issu du même objet placé à l infini. Maintenant pour déduire le comportement du rayon (1) à la sortie de la lentille : le rayon (1) émerge de la lentille dans la direction semblant provenir du point F s ; en effet, comme les rayons () et (3) rayon (3) est issu du même objet placé à l infini dont l image (virtuelle) est précisément F s. (3) (1) () F s F O F Interrogation n 4C 1) [1 pt] Qu est-ce qu un système afocal? ) [4 pts] On considère l association d une lentille convergente (L1) suivie d une lentille divergente (L). a. [1 pt] Comment placer ces deux lentilles l une par rapport à l autre pour que l image d un objet éloigné se forme à l infini? b. [3 pts] Réaliser la construction optique correspondante. 3) [5 pts] On considère une lentille convergente suivie d un miroir plan. a. [ pts] On place un objet sur le plan objet de la lentille. Où se forme son image? Justifier. b. [ pts] Faire la construction optique correspondante. c. [1 pts] quoi peut servir ce procédé et comment l appelle-t-on? 1) Un système afocal est un système dépourvu de points focaux (image et objet). Par exemple : la lunette astronomique. L image d un objet éloigné à travers un système afocal se forme par conséquent à l infini. UPMC LP1 - UE103 Optique géométrique Interrogations - 14/1/009 13/15
) a. Il faut placer F, le point focal objet de la lentille L, en F1, le point focal image de la lentille L1. Le système est afocal alors quelque soit les lentilles L1 et L. b. L image d un objet à l infini se construit comme illustré sur la figure ci-dessous : F F 1,F F1 (6) O1 O 1 L1 L 4) a. L image se forme sur le plan objet de la lentille. En effet l objet étant sur le plan focal objet, son image à travers la lentille se forme à l infini sous forme de rayons parallèles. Le miroir inversant le sens de parcours de la lumière, les rayons parallèles convergents à l infini vers l image, sont renvoyés à travers la lentille. Ceux-ci convergents alors sur le plan focal objet. b. La construction optique correspondante s établit comme illustré sur la figure cidessous. Elle permet de montrer que l image se forme bien dans le plan focal objet de la lentille. c. Ce procédé s appelle «l autocollimation» est permet de mesurer la distance focale de la lentille, car l objet est sur le plan focal objet lorsque l image se forme sur le même plan que le plan objet. La distance entre l objet et la lentille correspond alors à la distance focale. UPMC LP1 - UE103 Optique géométrique Interrogations - 14/1/009 14/15
(1) F i F i UPMC LP1 - UE103 Optique géométrique Interrogations - 14/1/009 15/15