PHY 235 : TD corrigés 2011 Force de Lorentz 29(M) Sachant que le flux du champ magnétique est conservatif, décrire (qualitativement) la trajectoire d une particule chargée dans un champ magnétique non uniforme tel celui dont les lignes de champ sont représentées ci-dessous Les rayons cosmiques sont des particules chargées de très haute énergie produites dans l espace, qui bombardent en permanence la Terre Le flux des particules qui frappent les pôles est plus important qu à l équateur Pourquoi? R : - On rappelle qu une charge ponctuelle q, de masse m et de vitesse initiale décrit, lorsqu elle est plongée dans un champ uniforme orthogonal à, un cercle de rayon Si n est pas orthogonale au champ appliqué, elle est toujours la somme d une composante qui lui est parallèle et d une autre qui lui est perpendiculaire ; q progresse alors à la vitesse selon la direction de, en décrivant une hélice dont le rayon est orthogonal à Le flux de à travers la section S d un tube de champ est, par définition : En prenant pour section S une surface (gauche) orthogonale à en tout point, donc telle que soit parallèle à en tout point, on obtient : si est choisi de même sens que Ainsi, puisque, par propriété, est invariant le long d un tube de champ (ce pourquoi on le dit «conservatif»), sera d autant plus faible, en moyenne, que la section S du tube sera plus large, et d autant plus fort, en moyenne, que cette section sera plus étroite En conséquence de quoi, l hélice décrite par une particule soumise à un champ, verra son rayon 41
PHY 235 : TD corrigés 2011 augmenter ou diminuer selon que le tube s évasera ou se rétrécira, puisque R est inversement proportionnel à d après les expressions rappelées précédemment (voir la figure ci-dessous) On arrive à cette même conclusion en remarquant, simplement, que l hélice décrite par une charge soumise à un champ, «s inscrit» nécessairement dans un tube de champ puisque cette charge progresse à une vitesse de même direction que (on peut encore dire que sa trajectoire est décrite sur la paroi d un tube) - Les tubes du champ magnétique terrestre présentent une forme d entonnoir au voisinage des pôles ; ils canalisent ainsi, vers ces derniers, les particules chargées qui les atteignent, en leur imprimant des trajectoires en hélice dont le rayon s amenuise au fur et à mesure de leur approche du sol 30(D) Dans un repère cartésien attaché à un référentiel galiléen, une particule ponctuelle de charge q et de masse m, est soumise à un champ électrostatique uniforme, de même direction et sens que, et à un champ magnétique, également uniforme, de même direction et sens que La particule étant abandonnée sans vitesse au point O, étudier son mouvement en négligeant l action de la pesanteur ; préciser sa trajectoire selon le signe de q Déterminer la vitesse maximum de cette particule R : - La particule étant immobile en O à l instant, elle ne subit que la force électrostatique qui la met en mouvement selon la direction de l axe des y Prenant alors une vitesse de même sens que l unitaire magnétique si q est positive et de sens opposé si elle est négative, la particule subit la force qui incline sa trajectoire vers l axe des x sans lui permettre de quitter le plan (voir la figure ci-dessous pour les deux cas q positive et négative) 42
PHY 235 : TD corrigés 2011 Etablissons, maintenant, l équation de cette trajectoire Dans le repère supposé attaché à un référentiel galiléen, on peut écrire,, pour la vitesse de la charge q, et pour la force de Lorentz qu elle subit La pesanteur étant négligée, le PFD sur q se réduit à : soit :, ; d où : On obtient ainsi : La dernière égalité indique que est une constante qui, d après les conditions initiales, doit être nulle La trajectoire est donc bien décrite dans le plan comme prévu ; pour en trouver l équation, dérivons par rapport à t les deux premières égalités ; on obtient le second jeu d égalités : et que l on peut réécrire en utilisant les expressions des dérivées premières de égalités, comme : données par les premières et ; soit encore, en faisant le changement de variable : et 43
PHY 235 : TD corrigés 2011 Les solutions générales de ces deux équations différentielles peuvent s écrire respectivement : et, avec, les constantes C, D et dépendant des conditions initiales Comme à, on a facilement et, d où il vient que et Ainsi, la première égalité permet-elle d écrire, dont on déduit que et, par conséquent, que : et En intégrant par rapport à t, il est alors possible de trouver les équations paramétriques de la trajectoire, soit : et, K et K étant ces constantes Comme à, on a et ; on obtient donc : et, qui sont les équations paramétriques d une «cycloïde» (voir la figure ci-dessous) - Le module de la vitesse dont on cherche la valeur maximum est, soit : 44
PHY 235 : TD corrigés 2011 Ce module est donc maximum pour et vaut alors ; il est minimum et nul pour Les abscisses des maxima et des minima de sont, d après l équation paramétrique de x : et ; et leurs ordonnées : et 31(D) Un cyclotron est constitué de deux armatures horizontales en forme de demi-cylindres creux mis face à face Dans l espace qui les sépare, une tension V crée un champ électrique uniforme perpendiculaire aux plans de séparation des armatures On injecte un faisceau de protons de vitesse parallèle à, depuis le centre de l une des armatures On admet que le champ est nul à l intérieur des armatures a) Quel doit être le sens de pour que les particules soient accélérées? Quelle est leur vitesse lorsqu elles arrivent sur l autre armature? b) A l intérieur des armatures ne règne qu un champ magnétique vertical (perpendiculaire à ) Les particules sont déviées et reviennent vers l autre armature i) Donnez les caractéristiques de la trajectoire des particules A quelle distance de son point d entrée dans l armature une particule en ressort-elle? ii) Combien de temps lui aura-t-il fallu? Montrer que cette durée est indépendante de sa vitesse initiale 45
PHY 235 : TD corrigés 2011 c) La tension V est en réalité sinusoïdale, de période telle que les particules soient toujours accélérées entre les armatures, et la valeur de la tension étant constante pendant la phase d accélération i) Décrire le mouvement ultérieur des particules Montrer qu à chaque traversée le carré de la vitesse augmente d une constante que l on déterminera ii) Quelle est la vitesse des particules à la fin de la centième traversée? AN : R : Appelées dee («d» en anglais) en raison de leur forme - voir le dessin, les armatures sont creuses et les charges peuvent circuler à l intérieur Ces armatures forment ainsi des (quasi) cavités où, du point de vue électrostatique, le potentiel doit être (quasi) constant et le champ électrique (quasi) nul a) La charge du proton est Or, une charge positive dans un champ subit une force - et donc une accélération - de même sens que ce champ Par conséquent, pour que la vitesse du proton croisse à partir de (donc, pour que le proton «accélère» comme il est dit dans le texte), il faut que et aient même sens Notons qu ainsi, le proton se déplacera dans le sens du potentiel décroissant puisque, par propriété, les potentiels décroissent dans le sens du champ Soit un repère dont l origine O est le centre de l armature de départ du proton, et dont l axe, de vecteur unitaire, possède la direction et le sens de Alors, si L est la distance entre les armatures (voir la figure ci-dessous), si est la masse du proton et si est la vitesse acquise par ce dernier à l entrée de l armature d arrivée, le théorème de l énergie cinétique permet d écrire : L intégrale, qui représente le travail fourni par la force électrostatique entre les armatures, peut se reformuler comme :, 46
PHY 235 : TD corrigés 2011 si U est la ddp entre armatures Ainsi a-t-on, soit b) i) On sait qu une charge q ponctuelle positive, de masse m et de vitesse, soumise à un champ magnétique, décrit une trajectoire circulaire uniforme de rayon, dans le sens rétrograde par rapport à (sens de rotation inverse à celui d un tire bouchon progressant selon ) Dans le cas présent, le proton parcourt donc un arc de cercle de rayon de l armature d arrivée, avec une vitesse de module constant égal à décrit un demi-cercle, en un point d ordonnée à l intérieur ; il en ressort, après y avoir (voir la figure) ii) Le module de la vitesse se conservant sur la trajectoire, le temps mis pour parcourir le demi-cercle est ; il est bien indépendant de, et donc de (tant que ne change pas) Ainsi, le laps de temps passé à l intérieur d une armature reste-t-il immuablement le même c) Pour que les charges soient toujours accélérées lorsqu elles passent d une armature à l autre, il faut que U change de signe chaque fois qu un laps de temps s est écoulé (si l on admet que la durée du transit linéaire du proton d une armature à l autre, est négligeable) i) Si tel est le cas, le proton débouchant au point d ordonnée est accéléré depuis ; il pénètre alors à la vitesse dans son armature de départ, où il décrit un demi-cercle de rayon, en un temps encore égal à d après ce qui précède ; et ainsi de suite D après la question a), la n ième traversée entre armatures donne au proton une vitesse telle que ; le carré de la vitesse du proton s accroît donc de à chaque traversée 47
PHY 235 : TD corrigés 2011 ii) Le carré de la vitesse du proton augmentant de à chaque traversée, à la centième elle s est accrue de ; elle est ainsi devenue, puisqu elle valait au départ de la première traversée Par conséquent : Remarque : La forme dite «classique» du théorème de l énergie cinétique (utilisée ici) n est valable que si les vitesses mises en jeu sont très inférieures à celle de la lumière ( ) La valeur de obtenue ci-dessus - qui représente déjà 22% de c, est donc très approximative 32(D) Spectromètre de masse Une source radioactive ponctuelle émet, suivant un axe Ox, un faisceau de particules passant entre les plaques horizontales d un condensateur plan L action de la pesanteur est négligeable devant celle de la force de Lorentz En l absence de tout champ, les particules frappent en O un écran situé à la distance a de la sortie du condensateur On soumet alors le faisceau à un champ électrique uniforme et vertical, créé par le condensateur, et à un champ magnétique en arrière, uniforme, horizontal, perpendiculaire à l axe Ox et dirigé d avant a) Les particules entrent en A dans le condensateur avec une vitesse parallèle à Ox Quelle doit être la valeur du champ pour que les particules ne soient pas déviées? Que se passe-t-il si q change de signe? b) Le faisceau horizontal et monocinétique sortant en A du condensateur, est ensuite soumis à la seule action du champ magnétique et vient frapper l écran au point M tel que OM = d i) Montrer que les particules de même rapport q/m décrivent des trajectoires circulaires uniformes de même rayon R Calculer R Quel effet a le signe de q sur la déviation? ii) Montrer que R = (d 2 + a 2 )/2d En déduire la valeur de q/m 48
PHY 235 : TD corrigés 2011 c) AN : on détecte des particules pour la valeur suivante des champs et de la déviation d : vers le haut Identifier ces particules sachant que pour l électron, et pour le proton et le neutron R : a) Soit le repère 3D attaché à l instrument, et les vecteurs unitaires portés par ses trois axes respectifs ; on peut alors poser, et, les grandeurs v, E et B représentant les normes respectives de la vitesse, du champ électrique et du champ magnétique Dès qu elle pénètre le condensateur (donc, dès qu elle se trouve en A), la charge q subit la force de Lorentz dont il est facile de voir qu elle est nécessairement transversale et parallèle à ; comme cette force est la seule appliquée, la trajectoire de q demeure rectiligne (et uniforme) selon l axe si, donc si, soit encore si Ainsi, les champs et étant fixés, toutes les charges dont la norme v de la vitesse en A respecte l égalité trouvée, peuvent atteindre le point A, quelles que soient leur valeur ou leur signe puisque cette égalité ne dépend pas de q Il suffit donc de disposer un diaphragme de faible ouverture en A pour sélectionner un faisceau de charges «monocinétique», dont la vitesse est v car le mouvement de ces charges reste uniforme entre A et A b) i) On sait qu une charge q ponctuelle de masse m soumise à un champ magnétique (de norme B) perpendiculaire à sa vitesse (de norme v), décrit une trajectoire circulaire uniforme dans un plan orthogonal à de rayon ; ce cercle est parcouru dans le sens direct par rapport au sens de si q est négative, et dans le sens rétrograde si elle est positive Ici, la trajectoire est donc décrite 49
PHY 235 : TD corrigés 2011 dans le plan ; la vitesse des charges en A étant selon, le centre du cercle est sur la perpendiculaire à en A (car, par propriété, les rayons de courbure sont orthogonaux aux vitesses) ii) Si O est le centre d un cercle, on a et Le théorème de Pythagore appliqué au triangle permet donc d écrire, soit ; d où Par conséquent et En utilisant les résultats obtenus en a), on peut encore écrire c) Soit la masse d un proton ; si A est le nombre de masse de la particule et si n est son degré d ionisation, sa masse et sa charge sont respectivement et Ainsi obtient-on, selon ce qui précède, La déviation étant vers le haut ( ), la particule est un ion positif ; si cet ion est un atome ionisé une fois ( ), le nombre de masse de l atome correspondant est La particule peut donc être un noyau de deutérium 33(M) Soit un ruban de cuivre d épaisseur a, de largeur b et de longueur indéfinie, parcouru par un courant I (s écoulant dans le sens de sa longueur) On applique un champ magnétique uniforme perpendiculaire au ruban a) Calculer la vitesse de déplacement des électrons, sachant qu il y a n électrons de conduction par unité de volume b) Donner la grandeur et la direction de la force magnétique agissant sur les électrons c) Donner la grandeur et la direction du champ électrostatique qu il faudrait appliquer pour contrebalancer l effet du champ magnétique d) Quelle différence de potentiel V faut-il appliquer, et entre quelles faces, pour créer? e) Si l on n applique pas de champ extérieur, on voit apparaître alors un champ interne, dit champ de Hall Donner la raison de ceci et préciser f) Si est le champ électrique responsable du courant, alors on a la relation suivante :, où est la conductivité du métal (loi d Ohm) Montrer que et calculer ce rapport AN : R : d après l étude de l effet Hall faite au 314, et selon la figure 314c, on a : a), avec ; 50
PHY 235 : TD corrigés 2011 b), avec vecteur unitaire selon, et B tel que ; c), avec vecteur unitaire selon ; ; d) ; e) de la question c) ; f) avec vecteur densité de courant ; étant orthogonaux à la section ab du ruban, les vecteurs unitaires et sont équipollents ; de ce fait, en posant, on obtient et, d après e), ; d où ; 51
PHY 235 : TD corrigés 2011 Biot et Savart 34(M) Calculer le champ magnétique produit par un courant d intensité I : a/ au centre O d un circuit en boucle fermée (figure a) ; b/ au centre O d un circuit en épingle infinie (figure b) ; c/ en un point M de la bissectrice d un circuit en coin d angle (figure c) a b c R : Il a été établi dans le cours que, dans un repère muni des coordonnées cylindriques : 1/ le champ magnétique créé en un point M à distance d un fil conducteur rectiligne infini, confondu avec et parcouru par un courant d intensité I s écoulant de z vers z, peut s écrire : Dans ces égalités, est le champ créé par un élément du fil situé en un point P tel que 2/ le champ créé en un point M de l axe d une spire de rayon a, située dans le plan et parcourue dans le sens direct par un courant d intensité I, est, étant l angle sous lequel est vu un rayon a depuis le point M a/ Soit un axe de vecteur unitaire orthogonal en O au plan du circuit, son sens étant choisi tel que le sens du courant parcourant la partie circulaire du circuit, soit direct Le champ créé en O par le circuit est la somme du champ créé par sa partie linéaire, et du champ créé par sa partie circulaire En prenant alors,,, et en respectant les sens des vecteurs unitaires, les relations rappelées en préambule permettent d écrire immédiatement : 52
PHY 235 : TD corrigés 2011 b/ Soit un axe de vecteur unitaire orthogonal en O au plan du circuit, son sens étant choisi tel que le sens du courant parcourant la partie demi-circulaire du circuit soit direct Le champ créé en O par le circuit est la somme du champ créé par sa partie demi-circulaire, et des deux champs et créés par chacune des deux parties linéaires demi-infinies En se reportant au cours, il est facile de voir que le champ produit en O par la partie demi-circulaire est la moitié de celui que produirait un cercle complet Quant aux champs produits en O par les parties linéaires demi-infinies, ils s obtiennent immédiatement en intégrant de à 0 ou de 0 à, selon le cas, le produit qui apparaît dans les égalités rappelées en partie 1/ du préambule ; ils valent donc, chacun, la moitié de celui produit par un fil infini En respectant les sens des vecteurs unitaires, on peut alors écrire : et ; et l on a : c/ On a vu, en partie 1/ du préambule, que le champ produit en un point M par un élément de courant rectiligne peut s écrire, si a est la distance de M au fil qui porte l élément, et si est l angle qui définit la direction de cet élément vu de M Il s ensuit, d après la figure ci-dessus, que les champs produits en M par le brin supérieur et le brin inférieur du fil sont, respectivement : et 53
PHY 235 : TD corrigés 2011 Ainsi, puisque, le champ total en M est : 35(D) Deux spires circulaires identiques de rayon R, de centres O et O distants de 2a, ont même axe ; on s intéresse au champ qu elles créent au voisinage du point O milieu de O O, lorsqu elles sont parcourues par des courants de même sens et de même intensité I (bobines de Helmholtz) a) Tracer B(x) module du champ produit par une spire, puis par les deux En déduire l ordre du développement limité nécessaire pour calculer B(x) pour x << a, R b) Quelle valeur faut-il donner au rapport a/r pour assurer un champ aussi uniforme que possible au voisinage de O? R : Soit et les deux spires de centres respectifs O et O, et soit et les angles sous lesquels sont vus leurs rayons depuis un point M d abscisse x de leur axe commun (voir figure) Le champ en M est la somme de ceux produits respectivement par et en ce point Il est donc tel que : avec et 54
PHY 235 : TD corrigés 2011 Comme, on a : et, avec : et, et étant petits, puisque x << a,r Il s ensuit que la somme peut s écrire : Maintenant, comme, on a, et il vient :, soit : Finalement, en négligeant les puissances de x supérieures à 2, l expression entre crochets se réduit à :, et on obtient 55
PHY 235 : TD corrigés 2011 La fonction est donc, en première approche, une parabole Si l on choisit a égal à R/2, cette fonction se réduit à une constante ; en d autres termes, le champ magnétique sur l axe des deux bobines devient quasi uniforme au voisinage de O Une telle disposition des spires et est dite «de Helmholtz» 36(M) Calculer le champ magnétique produit en son centre par un anneau circulaire plat et mince, de largeur 2a et rayon moyen R, quand il possède une densité surfacique de charge et qu il tourne autour de son axe avec une vitesse angulaire constante R : Soit le plan fixe dans lequel tourne l anneau, et soit de vecteur unitaire son axe de rotation, O étant son centre Comme la largeur 2a de cet anneau est petite, sa surface est peu différente de et la charge totale qu il porte peut s écrire Si l anneau tourne à radians par seconde, la charge Q qu il porte franchit l axe (par exemple) à la fréquence de d intensité : fois par seconde, ce qui équivaut, par définition, au passage d un courant En assimilant alors l anneau à une spire, le champ produit en son centre O est : 56
PHY 235 : TD corrigés 2011 37(D) Expérience de Rowland (1876) Rowland imagine de faire tourner autour d un axe vertical, un disque de verre horizontal portant sur sa face supérieure une couronne métallique C Un générateur maintient une différence de potentiel V entre cette couronne et un plateau métallique P de même axe disposé horizontalement au-dessus Une boussole placée au voisinage de la couronne, dévie quand le disque tourne Le sens de cette déviation change avec le sens de rotation du disque ainsi qu avec le sens de V Les rayons intérieur et extérieur de C sont et On admet que plateau et couronne constituent les deux armatures d un condensateur plan entre lesquelles le champ électrique est uniforme ; ces armatures ont la surface S de la couronne et sont écartées de La tension V étant portée à 5000 Volts, et C étant entraînée à la vitesse angulaire, calculer : a) la densité surfacique de charges sur C ; b) l intensité I du courant électrique produit par le mouvement des charges présentes à la surface de C ; c) le champ magnétique au centre O de C R : Soit le plan fixe dans lequel tourne C, et soit de vecteur unitaire l axe de rotation de C a/ Soit Q la charge portée par l armature au potentiel V Si S est la surface de C, on a ; alors, comme et que, pour un condensateur plan,, on obtient 57
PHY 235 : TD corrigés 2011 b/ C tournant à, la charge franchit l axe (par exemple) à la fréquence de fois par seconde, ce qui équivaut au passage d un courant d intensité : c/ Ainsi, en prenant, le champ en O est-il : Applications numériques : ; ; 58
PHY 235 : TD corrigés 2011 Théorème d Ampère 38(M) On utilise une boussole à 5 m d une ligne à haute tension parcourue par un courant de 100 A Est-il nécessaire de corriger les indications de la boussole? On rappelle que la composante horizontale du champ magnétique terrestre vaut en module R : Tout dépend de l orientation de la ligne vis à vis du champ terrestre - Si la ligne a la direction est-ouest, le champ qu elle produit a la direction nord-sud (voir, dans le cours, le champ produit par un courant filiforme rectiligne et infini) ; étant ainsi aligné avec le champ terrestre, ne peut modifier l indication donnée par l aiguille s il est de même sens que S il est de sens opposé, comme à la distance le champ est environ six fois plus faible que le champ terrestre (, et ), le champ résultant a encore le sens de, et l indication de l aiguille ne change pas non plus - Si la ligne a la direction nord-sud, le champ qu elle produit a la direction est-ouest ; l aiguille indiquant la direction et le sens de la résultante, elle fait avec un angle tel que, soit (on rappelle que le nord magnétique se trouve dans la zone du sud géographique, et vice versa ; or, les lignes de champ vont, par propriété, du nord magnétique au sud magnétique ; les vecteurs champ pointent donc - à la déclinaison magnétique près - le nord géographique et le nord de la boussole indique bien les direction et sens du champ terrestre ) 39(M) On considère un circuit électrique constitué de N spires enroulées sur un tore de section circulaire, de rayon intérieur (minimum) et extérieur (maximum) En choisissant astucieusement divers contours d Ampère, montrer que le champ extérieur est nul et que le champ intérieur au tore dépend de la distance à son axe Donner son expression R : Soit un repère attaché au tore, le point O en étant le centre et l axe de symétrie axiale Du fait de cette symétrie, le champ produit présente, aussi, une symétrie axiale d axe ; mais, comme les lignes de courant sont «méridiennes» (c est-à-dire, dans des plans qui contiennent ), les lignes de champ sont des cercles d axe et de sens direct par rapport au sens des courants (voir cours) - Soit un contour circulaire d axe, extérieur au tore D après ce qui précède, est confondu avec une ligne de champ, ce qui implique qu en chacun de ses points l élément de contour et le champ soient colinéaires Par conséquent, en prenant pour sens de parcours de celui de, on 59
PHY 235 : TD corrigés 2011 a sur tout, avec constant du fait de la symétrie axiale autour de Ainsi, puisque aucun courant ne traverse, le théorème d Ampère permet d écrire : D où l on conclut que sur tout, soit plus généralement, puisque ce contour est choisi de façon arbitraire, à l extérieur du tore - Considérons maintenant, à l intérieur du tore, un contour circulaire d axe, de rayon et de sens direct par rapport à Le tore comportant N spires, est traversé par N courants de même intensité I et de même sens (que l on supposera être celui de, pour simplifier) Alors, comme est aussi une ligne de champ et présente une symétrie axiale autour de donne :, le théorème d Ampère Il s ensuit, qu à l intérieur du tore, le champ ne dépend pas de z et s écrit (algébriquement) dans les coordonnées cylindriques : 40(D) Une plaque conductrice plane supposée infinie et d épaisseur a, est parcourue par un courant de densité uniforme On admet que cette plaque et l air dans lequel elle baigne ont une perméabilité magnétique égale à celle du vide ( ) On prend un repère dont le centre O est à mi-distance des deux plans qui limitent la plaque (et donc à l intérieur de celle-ci) ; l axe du repère est orthogonal à ces deux plans a) Déterminer les symétries de la densité de courant et en déduire les direction et sens du champ magnétique qu elle produit b) Calculer la valeur du champ magnétique en tout point de l espace c) Tracer les variations du module du champ, en fonction de z d) Que se passe-t-il si l on fait tendre l épaisseur de la nappe vers zéro? R : On suppose que le courant s écoule selon l axe des y ; le vecteur unitaire a donc même direction et même sens que le vecteur densité de courant qui sera noté avec 60
PHY 235 : TD corrigés 2011 a/ Le vecteur densité de courant présente une symétrie de translation selon toute droite parallèle au plan ; le champ produit présente donc une symétrie de translation selon ces mêmes droites Le plan ainsi que tout plan parallèle au plan sont des plans de symétrie pour ; tous ces plans sont donc plans d anti-symétrie pour le champ créé Soit, alors, le champ en un point M du plan (pour fixer les idées) et ses composantes Le plan étant plan d anti-symétrie pour ce champ, il l est aussi pour chacune de ses composantes ; de ce fait, les composantes du champ au point M symétrique de M par rapport à sont, par définition de l anti-symétrie, les opposées des symétriques de celles de ; elles doivent donc respecter, d après la figure, les égalités Mais, comme présente nécessairement une symétrie de translation selon, les composantes et ne peuvent exister, et le champ se réduit finalement à Puisque est également plan d anti-symétrie pour, le champ au point M symétrique de M par rapport à ce plan, est traversée du plan On en déduit que le champ magnétique change de sens à la et, qu en conséquence, il est nul dans ce plan Tous les résultats obtenus sont évidemment valables pour M intérieur ou extérieur à la nappe b/ Considérons, dans la zone des z > 0 du plan, deux contours d Ampère rectangulaires (A,B,C,D) de surface S, orientés dans le sens direct par rapport à ; le premier, qui est intérieur à la nappe, est noté, et le second, qui lui est extérieur, est noté Les côtés AB et CD sont choisis parallèles à (voir figure) ; ils sont donc perpendiculaires au champ, et la circulation de le long de ces segments est nulle ; celles le long de BC et de DA, se réduisent respectivement à et, avec BC et DA positifs, car la symétrie de translation selon impose que le 61
PHY 235 : TD corrigés 2011 champ en B soit constant sur BC, et que le champ en D soit constant sur DA - A l intérieur de la nappe, le contour est traversé par un courant d intensité :, car est colinéaire à et doit être choisi de même sens que lui Alors, en disposant de sorte que DA soit confondu avec où le champ est nul, et BC soit à la cote z où le champ peut s écrire avec ou, le théorème d Ampère donne :, d où Ainsi obtient-on le champ qui est du sens de puisque Une démarche analogue faite dans la zone des z < 0, donne encore pour expression du champ qui, cette fois, est de sens opposé à puisque - A l extérieur de la nappe et dans la zone des, le contour n est traversé par aucun courant et l on a, selon Ampère :, soit puisque ; d où l on déduit que le champ est uniforme et, par continuité, tel que 62
PHY 235 : TD corrigés 2011 Dans la zone des, on obtient c/ Voir le graphe d/ Une nappe de courant infiniment mince (c est-à-dire telle que ) produit une discontinuité du champ ; ce qui n a rien d étonnant puisque, ainsi, l orientation de relativement à est la même de chaque côté de cette lame (dans les deux cas, en effet, est à de, dans le sens direct vis-àvis d un vecteur unitaire normal sortant de la lame) Remarque : La question a/ peut être résolue beaucoup plus rapidement en observant que : - Le vecteur densité de courant a une symétrie de translation selon toute droite parallèle au plan ; d où il vient que l on peut écrire - Tout plan parallèle à est plan de symétrie pour le vecteur densité de courant ; d où il vient qu en tout point de l un de ces plans (c est-à-dire, en définitive, en tout point de l espace), le champ est orthogonal à et l on peut écrire avec ou - Le plan est plan de symétrie pour le vecteur densité de courant ; le champ en tout point de ce plan doit donc lui être orthogonal ; mais, comme d après la proposition précédente il devrait aussi lui être parallèle (puisque orthogonal au plan ), il est nécessairement nul et l on a 63
PHY 235 : TD corrigés 2011 Force de Laplace 41(M) Une tige métallique de masse m et longueur L, est suspendue horizontalement par ses extrémités à deux ressorts verticaux identiques dont l allongement est d Cette tige est placée dans un champ magnétique uniforme, horizontal et perpendiculaire à l axe de la tige Lorsque un courant d intensité I circule dans la tige, elle s élève d une hauteur x Déterminer le champ AN : R : Dans le repère du schéma, les extrémités inférieures des deux ressorts (points C et D de fixation de la tige de longueur L ) sont, selon l énoncé : a/ à d au-dessus de l axe des z, en l absence de la tige ; b/ sur l axe des z lorsque la tige est suspendue aux ressorts sans être parcourue par le courant ; c/ à x au-dessus de l axe des z lorsque la tige est suspendue et parcourue par le courant d intensité I Par ailleurs, le champ appliqué peut s écrire Ainsi, soit k la raideur de chacun des ressorts : en admettant qu en raison de l homogénéité de la tige, la résultante des forces qu elle subit s applique en son point milieu M, l équilibre en situation b/ permet d écrire, avec et ; d où il vient que De même, si est la force de Laplace sur la tige, l équilibre en situation c/ implique que, avec, et : 64
PHY 235 : TD corrigés 2011 Par conséquent :, et l on obtient : 42(D) Le galvanomètre à cadre mobile sert à mesurer de très faibles intensités de courant, le plus souvent inférieures à Il est constitué d un cadre rectangulaire formé de N spires, parcourues par le courant d intensité I (que l on cherche à mesurer) et suspendu dans l entrefer d un aimant en U Le cadre est mobile autour de son axe vertical, sa position étant mesurée par l angle entre la normale au plan du cadre et la direction du champ magnétique dans l entrefer,, que l on supposera uniforme et orthogonal à a) Calculer le couple exercé par le champ magnétique sur le cadre b) Le cadre est suspendu à un fil vertical aligné sur, de constante de torsion C, qui exerce un couple de rappel antagoniste Donner l expression de c) Donner la relation entre et I à l équilibre R : a/ Sur le schéma, a et b sont les longueurs des côtés du cadre et O en est le centre ; le sens du courant est direct par rapport à unitaire normal au cadre ; enfin, on pose avec B > 0 L élément qui apparaît dans la loi de Laplace peut être assimilé, ici, à un élément de branche du cadre (orienté, par définition, dans le sens du courant) ; l intensité I doit donc y être remplacé par N I puisque chaque élément de branche est constitué de N brins parallèles, tous parcourus dans le même sens par un courant d intensité I Ainsi, la force de Laplace sur un élément du cadre s écrit-elle : 65
PHY 235 : TD corrigés 2011 avec, et l on a : - sur les branches BC et DA où,, - et sur les branches AB et CD où, Les résultantes des forces élémentaires sur BC et DA sont donc parallèles à l axe z z ; étant, en outre, appliquées directement sur cet axe par raison de symétrie, leur moment par rapport à O est nul Les résultantes des forces élémentaires sur AB et CD s écrivent, quant à elles : et, P et Q étant les points milieu auxquels doivent s appliquer respectivement ces résultantes, par raison de symétrie ; leurs moments par rapport à O sont ainsi et Le moment résultant par rapport à O des forces magnétiques sur le cadre, se résume donc à : Etant opposé à, ce moment a tendance à diminuer, c est-à-dire à rendre parallèle à et de même sens que lui b/ Soit la valeur d équilibre de en l absence de, lorsque le cadre n est soumis qu au couple de son fil de suspension (sur le schéma, on a pris pour fixer les idées) Le couple de rappel du fil devant servir à diminuer l écart, il s écrit ; en effet, pour ramener à, doit être du sens de lorsque, et du sens opposé lorsque (voir la figure) c/ En présence de, le cadre est à l équilibre pour, soit pour : d où il vient : ; 66
PHY 235 : TD corrigés 2011 43(D) La balance de Cotton est un dispositif qui permet de déterminer le champ magnétique en mesurant la force de Laplace qui s exerce sur un circuit filiforme parcouru par un courant d intensité connue I Le circuit comporte un segment de longueur 2l et deux arcs de cercle centrés sur le pivot O de la balance, qui sont plongés dans le champ magnétique à déterminer (voir la figure) La force subie par cette part du circuit est équilibrée par une masse m déposée dans le plateau La balance est à l équilibre à vide, et en l absence de champ a) Exprimer m en fonction de I, du module B du champ et de la géométrie de la balance b) Avec quelle précision peut-on connaître B si l équilibre de la balance n est pas modifié par une variation de la masse dans le plateau? On prendra : R : a/ La partie du circuit plongée dans se limite au segment rectiligne de longueur et à des portions des deux arcs de cercle Si,, sont les vecteurs unitaires du repère, le champ appliqué est tel que, et un élément du segment rectiligne (dont le sens est, par principe, celui de I, qui est indiqué sur le schéma) s écrit Les forces de Laplace sur tous les éléments dont sont constitués les deux arcs de cercle, sont radiales de centre O ; leurs moments par rapport à ce point sont donc nuls et ne peuvent avoir d incidence sur l équilibre de la balance La résultante des forces de Laplace sur les éléments du segment rectiligne est, quant à elle : Cette force s appliquant, par raison de symétrie, au point M milieu du segment, son moment par rapport à O peut s écrire : 67
PHY 235 : TD corrigés 2011 Maintenant, notons T le point du fléau de la balance auquel s applique le poids qui doit contrebalancer la force de Laplace ; selon le schéma, on a et le moment de par rapport à O est : Alors, puisque à l équilibre, on obtient que ; d où il vient : b/ En tenant pour négligeables les incertitudes sur I, l, a, g, d et, on trouve : Théorème de Maxwell 44(M) Sur deux rails horizontaux, parallèles, distants de a et respectivement reliés à chacun des deux pôles d un générateur, on pose perpendiculairement un barreau rectiligne conducteur L ensemble, qui constitue ainsi un circuit fermé parcouru par un courant d intensité I, est placé dans un champ magnétique uniforme et perpendiculaire au plan des rails a) Calculer la force de Laplace qui s exerce sur le barreau et dire quel en est l effet produit b) Retrouver l expression de cette force en utilisant le théorème de Maxwell R : 68
PHY 235 : TD corrigés 2011 Soit un repère tel que l axe soit parallèle aux rails, l axe parallèle au barreau MN et que le sens du courant dans le circuit soit direct par rapport à celui de l axe (voir la figure) Etant par hypothèse orthogonal au circuit, le champ est posé égal à, et l on prend a/ Puisque le champ est uniforme, la force résultante de Laplace sur MN s applique en son centre et s écrit : ; par conséquent, elle a pour effet de déplacer la barre dans le sens des x croissant b/ - Selon le théorème de Maxwell (dit du flux «embrassé»), le travail des forces magnétiques qui correspond à une variation du flux embrassé par le circuit, est tel que : (On rappelle que le flux embrassé par un circuit est le flux à travers une surface qui s appuie sur lui, le sens du courant étant direct par rapport aux vecteurs unitaires normaux à cette surface) Ici, la variation est due au déplacement infinitésimal de la barre de MN à M N (avec ) ; elle est donc égale à la différence entre les flux embrassés par les surfaces planes M N PQ et MNPQ, soit à : Ainsi, puisque le champ est uniforme, que le vecteur unitaire normal est équipollent à (d après le sens du courant indiqué sur la figure) et que s écrit en coordonnées cartésiennes, on a : Alors, comme, il vient immédiatement - Selon le théorème de Maxwell (dit du flux «coupé»), le travail des forces magnétiques s écrit encore, le terme représentant le flux coupé par le circuit au cours de son déplacement Ici, seule la barre se déplace ; est donc le flux qu elle balaye en glissant de MN à M N Comme le flux coupé doit être calculé avec des vecteurs unitaires normaux,, du sens de, on a : 69
PHY 235 : TD corrigés 2011 ; d où il vient 45(D) Soit un fil rectiligne de longueur infinie parcouru par un courant permanent d intensité I 1 selon la direction indiquée par la figure On place à proximité de ce fil un circuit électrique rectangulaire MNPQ dont le plan contient le fil et dont les côtés MN et PQ lui sont parallèles Les dimensions de ce cadre qui, lui, est parcouru par un courant d intensité I 2, sont et, la droite passant par les milieux de MQ et NP se trouvant à la distance e du fil a) Calculer directement la résultante des forces de Laplace qui agissent sur le cadre b) Retrouver ce résultat en appliquant le théorème de Maxwell c) Que se passe-t-il si ce cadre est constitué de N enroulements de fil? d) Montrer que la règle du flux maximum est bien vérifiée R : Dans les coordonnées cylindriques, le champ produit à la distance ρ d un fil rectiligne infini z z parcouru de z vers z par un courant d intensité I, est : 70
PHY 235 : TD corrigés 2011 Soit le repère ci-dessous ; dans le plan du cadre, ρ peut être remplacé par x et par a/ Ainsi, - le long de la branche MQ le champ est et l on a ; la force appliquée résultante est donc : ; - le long de NP le champ est encore avec, mais, du fait du sens du courant, la force résultante est : - le long de NM le champ est et l on a ; la force appliquée est donc : - enfin, sur PQ le champ est avec ; selon le sens de I la force résultante est : 71
PHY 235 : TD corrigés 2011 La force résultante sur le cadre se réduit, ainsi, à et s écrit : La résultante a donc la direction de l axe des x, et est attractive b/ D après le théorème du flux coupé de Maxwell, le travail des forces magnétiques pour la quantité de flux balayée par le circuit est, - si le cadre se déplace de selon, c est-à-dire de MNPQ à M N P Q (voir la figure 1/), avec et (puisque le flux coupé doit être calculé avec des unitaires normaux du sens de ) soit,, d où il vient : ; - si le cadre se déplace de selon (voir la figure 2/ ), car (puisque et sont parallèles), d où il vient ; - si le cadre se déplace de selon, c est-à-dire de MNPQ à M N P Q (voir la figure 3/), le flux embrassé ne peut varier en raison de la symétrie de translation selon z z, et donc Il s ensuit, selon Maxwell, que, d où il vient Ces résultats confirment le fait que la résultante des forces de Laplace sur le cadre n a de composante que selon l axe des x, et qu elle est attractive c/ Si le cadre est constitué de N enroulements, l intensité I 2 devient N I 2, et la force se trouve ainsi multipliée par N 72
PHY 235 : TD corrigés 2011 d/ La force de Laplace étant attractive, elle tend bien à augmenter spontanément le flux de à travers le cadre, puisque le module de ce champ est inversement proportionnel à la distance au fil 46(D) Soit un circuit électrique constitué d un conducteur filiforme enroulé sur un cadre rectangulaire MNPQ de centre O Ce cadre, qui est suspendu verticalement par un fil attaché au point O milieu du segment horizontal MQ, peut tourner autour de la droite qui relie O, O et O milieu du second segment horizontal inférieur PN On note un axe vertical d origine O confondu avec la droite O O, et l angle que fait le segment MQ, ou le segment PN, avec un champ magnétique uniforme horizontal Un courant permanent d intensité I circule dans le sens de rotation d un tire-bouchon qui progresserait en sortant du cadre par la face d où sort également a) Exprimer les forces de Laplace qui s exercent sur MN, NP, PQ et QM pour Où sont les points d application de ces forces et que vaut leur résultante? b) Calculer le moment des forces de Laplace autour de l axe pour c) Que devient ce moment pour quelconque? En déduire la position d équilibre du cadre d) Calculer le travail effectué par les forces magnétiques pour faire passer le cadre de la position initiale à la position finale e) Comparer ce résultat avec celui fourni par le théorème de Maxwell : f) Montrer que la règle du flux maximum est vérifiée R : selon les données du problème, le repère dans lequel tourne le cadre peut être disposé comme sur le schéma ci-dessous a/ Pour, on a,, et ; d où : 73
PHY 235 : TD corrigés 2011,,, et, les points d application de et étant, par raison de symétrie, les milieux H et T des branches MN et PQ respectivement Ainsi, la résultante des forces sur le cadre est-elle b/ Rappelons que, si le moment par rapport à un point O d une force appliquée en un point M, est le vecteur, le moment de cette même force par rapport à un axe de vecteur unitaire, est la grandeur scalaire On a donc, soit pour où et : c/ Pour, les forces et ne sont plus nulles, mais étant parallèles à et appliquées respectivement en O et O par raison de symétrie, leur moment par rapport à O est nul ; celui par rapport à l axe des z l est donc aussi Les forces et sont inchangées mais, selon la vue de dessus, et, d où : Il y a donc équilibre pour, soit pour (cet équilibre n étant stable que si ) d/ Le travail des forces de Laplace qui fait pivoter le cadre de à est : 74
PHY 235 : TD corrigés 2011 e/ D après le théorème de Maxwell (de la variation du flux embrassé), en notant et les flux qui traversent le cadre respectivement lorsque puis lorsque, on peut écrire :, avec, car est parallèle au plan du cadre lorsque, et, car lorsque Par conséquent f/ L unitaire normal à MNPQ s écrit (du fait du sens du courant choisi) et le flux qui traverse le cadre pour quelconque, est : ; lorsque, on obtient donc qui représente bien le maximum de ce que le cadre peut embrasser 75
PHY 235 : TD corrigés 2011 Loi de Faraday 47(M) Un barreau métallique de longueur a, de masse m et résistance R, glisse sans frottement le long de deux rails de résistance négligeable reliés entre eux Ces rails sont inclinés d un angle par rapport à l horizontale Ce système est placé dans un champ magnétique uniforme vertical maintenu constant On lâche le barreau qui acquiert de la vitesse sous l action de son poids En négligeant le coefficient d auto-induction du circuit, montrer qu il ne peut dépasser la vitesse limite R : Lorsque le barreau glisse sur les rails sous l effet de son poids, la surface plane du circuit fermé MNPQ auquel il appartient, diminue Le flux du champ uniforme embrassé par MNPQ variant en conséquence, il apparaît dans ce circuit, en accord avec la loi de Faraday, la fém d induction Le courant i dû à l apparition de E produit, lui-même, un champ dont le flux à travers MNPQ est («auto-flux») Si i varie, le flux varie aussi et, toujours selon Faraday, MNPQ devient le siège de la fém qui s ajoute algébriquement à E Alors, puisque R est la résistance électrique du barreau (celle des rails étant négligée), la loi d Ohm donne :, soit, puisque, ici, L doit être négligé Pour calculer il est nécessaire d orienter MNPQ Compte tenu de la disposition du repère associé aux rails sur la figure ci-dessous, il est commode de donner au circuit un sens qui soit direct par rapport au vecteur unitaire Ainsi, en prenant, en posant et en remarquant que avec, on obtient : 76
PHY 235 : TD corrigés 2011 Il s ensuit que :, représentant la valeur algébrique v de la vitesse du barreau De la relation établie au paragraphe précédent, il vient donc : Comme le barreau glisse vers le bas, v est positif ; ce qui implique que i le soit aussi, c est-à-dire que le courant correspondant s écoule dans le sens de parcours choisi pour MNPQ En plus de son poids la réaction qui l entraîne, le barreau subit de la part des rails, qui est normale (il n y a pas de frottements) Il est également soumis à la force de Laplace : avec, l intégration devant se faire, par convention, dans le sens d écoulement du courant dans le barreau, c està-dire de N vers M Ainsi : En projetant, alors, le PFD appliqué au barreau ( ) selon l unitaire, on établit l équation différentielle qui régit son mouvement le long de l axe des x, soit : 77
PHY 235 : TD corrigés 2011 (puisque ) La solution de l équation ci-dessus a une forme exponentielle et tend asymptotiquement vers un maximum Un maximum de vitesse correspondant nécessairement à une accélération nulle, on a immédiatement : 48(D) Un circuit est constitué de deux rails parallèles distants de a, de résistance négligeable, et situés dans un plan horizontal ; sur ces rails sont posées perpendiculairement deux barres MN et PQ parallèles, chacune de masse m et résistance R Les barres peuvent se déplacer sans frottement le long des rails Le circuit ainsi formé possède une auto-inductance négligeable et est placé dans un champ magnétique uniforme, vertical dirigé vers le bas et maintenu constant a) MN est fixée et PQ est entraînée à la vitesse constante et parallèle aux rails Calculer l intensité I 1 du courant qui traverse le circuit Préciser son sens et déterminer la force magnétique qui s exerce sur MN b) On libère MN à l instant, PQ étant toujours entraînée à la vitesse Décrire les phénomènes qui se produisent Calculer l intensité I 2 à un instant t en fonction de la vitesse de MN En déduire la force magnétique agissant sur MN c) Ecrire l équation différentielle du mouvement de MN Calculer et tracer son graphe R : a) D après l énoncé, et en accord avec les sens des axes du repère représenté sur la figure cidessus, on peut écrire et, avec B et positifs 78
PHY 235 : TD corrigés 2011 Soit le flux de embrassé par le circuit MNQP Sachant qu il y a deux barres de résistance R en série et que L est négligeable, la loi d Ohm permet d écrire (comme dans l exercice précédent) En choisissant alors pour vecteur unitaire normal à la surface plane qui s appuie sur le circuit (ce qui a pour effet de l orienter dans le sens ), on a, puisque est uniforme : Par conséquent : ; d où il vient Le courant induit d intensité étant ainsi positif, il parcourt le circuit dans son sens direct et donc MN de N vers M Il s ensuit que la force de Laplace sur cette barre, s écrit en accord avec le sens de ce courant : b) Comme est positif, la barre MN se met à suivre la barre PQ Notons alors et les abscisses respectives de MN et PQ, à un instant t > 0 Le flux embrassé par le circuit à ce même instant est :, et l on a :, en posant Or, là encore, on peut écrire ; d où il vient qui reste positive tant que Alors, en transposant les résultats du calcul de fait en question a), la force de Laplace sur MN est : c) Appliquons le PFD sur MN Puisque MN glisse sans frottement, sa projection selon se réduit à 79
PHY 235 : TD corrigés 2011 ; soit encore, en posant, à La solution de cette équation est, avec Alors, comme par hypothèse, on obtient :, dont la représentation graphique est : 49(M) On considère un solénoïde infini d axe z z, constitué par un fil très fin enroulé sur une surface cylindrique de rayon a Ce solénoïde, qui peut être assimilé à une juxtaposition de N spires identiques par unité de longueur, est parcouru par un courant d intensité a) Calculer le flux du champ magnétique à travers un morceau de solénoïde de longueur l b) En déduire l expression de la self L d un morceau de longueur unité de ce solénoïde c) Ecrire l expression de l énergie qu a dû fournir le générateur pour faire circuler le courant dans ce morceau de solénoïde d) Ecrire cette énergie en fonction du champ magnétique et du volume occupé par ce morceau de solénoïde e) En déduire la valeur de la densité d énergie magnétique emmagasinée dans le volume intérieur du solénoïde R : a) On suppose que le courant d intensité parcourt le solénoïde dans le sens direct par rapport au vecteur unitaire de l axe z z ; le champ magnétique à l intérieur est donc (en tout point) Soit la surface d une spire ; le flux de à travers une longueur l du solénoïde étant le flux à travers spires, on peut écrire en remarquant que le vecteur unitaire normal à une spire est : 80
PHY 235 : TD corrigés 2011 b) Le flux pour est donc Alors, comme par définition, L étant ici la self par unité de longueur, on a : c) Selon le théorème de Maxwell, l énergie que mobilise un système isolé de conducteurs et/ou d aimants, pour faire varier de le flux embrassé par l un de ses circuits, est, si i représente l intensité du courant dans le circuit en question Pour le système constitué d un générateur fermé sur le solénoïde, le travail ne peut être fourni que par le générateur, et la variation ne peut être que celle de l «auto-flux» du solénoïde (c est-à-dire, du flux à travers ses spires, du champ créé par le courant qui le parcourt) Ainsi, lorsque l intensité dans le solénoïde est i, la variation ramenée à l unité de longueur, est-elle Par conséquent, l énergie fournie est Lorsqu on branche le générateur sur le solénoïde, l intensité zéro jusqu à une valeur finale constante I pour laquelle le flux du courant dans ce dernier croît depuis se stabilise L énergie par unité de longueur de solénoïde qu a fourni, au bilan, le générateur dans cette opération, est donc : soit d) Le volume d une unité de longueur de solénoïde étant et la norme du champ magnétique final,, l énergie fournie par unité de longueur peut se réécrire e) L énergie cédée par le générateur dans cette opération ne quitte pas le système mais reste stockée dans le solénoïde ; celui-ci contient donc, par unité de volume, l énergie 50(M) Inductances mutuelles : a) Calculer l inductance mutuelle d un fil infini parcouru par un courant I 1 et d un cadre carré de côté 2a parcouru par un courant I 2, ces deux circuits se trouvant dans un même plan à une distance d l un de l autre b) On considère un solénoïde de longueur infinie possédant N spires par unité de longueur, chaque spire étant parcourue par un courant d intensité I, et une bobine plate coaxiale entourant ce solénoïde et possédant n spires parcourues par un courant d intensité i Calculer 81