FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN Table des matières La fonction réciproque de la fonction eponentielle 2. Définition......................................................... 2.2 Propriété......................................................... 2.3 Remarques........................................................ 2.4 Le logarithme d un produit est la somme les logarithmes. ROC........................... 3.5 Logarithme de l inverse et du quotient. ROC..................................... 3 2 Étude la la fonction logarithme népérien 4 2. Sens de variation ROC................................................. 4 2.2 Limites au bornes de son domaine de définition ROC................................ 4 2.3 Représentation graphique................................................ 5 2.4 Équations et inéquations................................................. 5 2.5 Autres limites ROC................................................... 5 2.6 des croissances comparées ROC...................................... 6 2.7 Fonction composée.................................................... 6 3 Logarithme décimal 6 3. Définition......................................................... 6 3.2 Représentation graphique................................................ 7 3.3 Propriétés......................................................... 7
La fonction réciproque de la fonction eponentielle On a vu que : La fonction eponentielle est continue et strictement croissante sur R. Elle est strictement positive : lim e = 0 et lim e = +. + (e ) = e + + e 0 C est donc une bijection de R sur ]0 ; + [. Autrement dit pour tout rel y ]0 ; + [ il eiste un unique réel R tels que y = e. On envisage alors sa fonction réciproque, fonction qui tout image y par la fonction eponentielle associe son antécédent. Ainsi : Cette fonction est définie sur ]0 ; + [ Elle permet de résoudre l équation : e = 3 ( Si avec l eponentielle l image d une somme est le produit des images : e a+b = e a e b), avec sa réciproque l image du produit sera la somme les images. Définition La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction réciproque de la fonction eponentielle. Elle est définie sur ]0 ; + [ Pour tout de ]0 ; + [, ln est l unique antécédent de par la fonction ep. Pour tout réel > 0 et tout réel y : ln = y = e y.2 Propriété Pour tout de ]0 ; + [, e =. Pour tout réel, ln(e ) =. On dit aussi que la composition de deu fonctions réciproques est la fonction identité..3 Remarques e ln(e) = e donc ln(e) =. e ln() = donc ln() = 0. Symétrie de deu représentations graphiques Analyse 4 Page 2 Francis Rignanese
Fonction logarithme népérien 6 Deu fonction réciproques sont symétriques par rapport à la première bissectrice (droite 5 4 y = ep() y = d équation y = ) dans un repère orthonormé. Les représentations graphiques des fonctions 3 2 ln() ln et ep sont donc symétriques. 3 2 3 4 5 6 Eemple Résoudre dans R l équation e 2 e = 0 () On pose X = e. L équation () s écrit : X 2 X = 0. Il y a deu solutions qui sont X = ou X = 2 Les solutions de l équation () vérifient les deu équations : e = ou e = 2 La première équation n a pas de solution et la seconde donne : = ln 2. Donc S = {ln 2}.4 Le logarithme d un produit est la somme les logarithmes. ROC Pour tout réel et y strictement positifs, ln( y) = +lny Attention ln( y) a un sens avec et y strictement négatif mais la somme ln()+ln(y) non. Démonstration On s appuie sur la propriété bijective de la fonction eponentielle qui permet de dire que e a = e b a = b. e ln( y) = y Nous savons que : D où e ln( y) = e +lny. Et donc ln( y) = +lny. e +lny = e e lny = y.5 Logarithme de l inverse et du quotient. ROC ( ). Pour tout réel strictement positif, ln = ( ) 2. Pour tout réel et y strictement positifs, ln = lny y Analyse 4 Page 3 Francis Rignanese
3. Pour tout réel strictement positif et tout entier relatif n, ln( n ) = n 4. Pour tout réel strictement positif, ln ( ) = 2 Démonstration 2. 2. ln e = e = e ln( ) = ( ) ( = ln ) y y D où e ln( ) = e. = +ln ( ) = lny y e ln(n) = n 3. e n = ( e ) D où e ln(n) = e n. n = n [ ( ) ] 2 4. = ln = 2 ln ( ). Eemple 2 Et donc ln Résoudre dans R l équation ln(+7) ln(4 9) = ln3 () ( ) =. Et donc ln( n ) = n.. On précise le domaine de définition D f de l équation. +7 > 0 < 7 ] On doit avoir : 2 9 4 9 > 0 > 9. Et donc D f = 4 ; 7 [ 2 4 2. On résous l équation : ( ) +7 Pour tout de D f l équation () s écrit ln = ln +7 4 9 3 4 9 = 3. Et donc 3(+7) = 4 9 0 = 30 = 3. 3 D f donc S = {3}. 2 Étude la la fonction logarithme népérien 2. Sens de variation ROC La fonction ln est dérivable sur ]0 ; + [ et pour tout > 0, ln () = La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0 ; + [. Démonstration 3 On sait que = e et si l on dérive on obtient = () e. Et donc () = e =. Sur ]0 ; + [ () = > 0 2.2 Limites au bornes de son domaine de définition ROC lim ln() = lim 0 + ln() = + Analyse 4 Page 4 Francis Rignanese
Fonction logarithme népérien Démonstration 4. Montrer que lim ln() = +, c est montrer que pour toute valeur A, très grande et fie préalablement, on peut trouver une valeur α très grande elle même telle que pour tout > α, > A. La fonction ln étant croissante sur ]0 ; + [, si > e A, alors > ln ( e A) soit > A Il suffit donc de prendre α = e A. 2. On pose X = soit = X, et donc lorsque 0+, X + et = ln D où lim 0 + = lim ( lnx) = lim lnx =. X + X + 2.3 Représentation graphique 4 3 ( ) = ln(x). X 0 + 2 y = ln() ln () + ln() + T 2 e3 4 5 6 7 8 3 Équation de la tangente la courbe au point d abscisse e : T : y = f (e)( e)+f(e), f(e) = ln(e) =, f () = (ln) (e) = e T : y = e ( e)+ = e e e + T : y = e. 2.4 Équations et inéquations La fonction logarithme népérien est une bijection de ]0; + [ sur R et elle est strictement croissante. D où pour tous réels a et b strictement positifs on a : lna = lnb équivaut a = b. lna < lnb équivaut 0 < a < b. < 0 équivaut 0 < <. > 0 équivaut >. m R, = m équivaut = e m. m R, < m équivaut 0 < < e m. 2.5 Autres limites ROC lim = lim ln(+) = lim 0 + = 0 lim = 0. 0 + Analyse 4 Page 5 Francis Rignanese
Démonstration 5 La fonction logarithme népérien est dérivable en et ln () = = D autre part ln() = 0 D où lim = lim ln = ln () = ln(+) lim =. Il suffit de faire le changement de variable X = +, pour retrouver la limite précédente. 0 + Nous savons que = y = e y et donc D où lim = lim y + y e y = 0. On pose X = ou = X. Et donc = ( X ln X Et de plus lorsque 0 +, X +. D où lim = lim lnx 0 + X + X = 0. 2.6 des croissances comparées ROC Soit n un entier naturel non nul. lim n = 0 lim 0 n = 0. + Démonstration 6 = y e y et de plus lorsque +, y +. ) = X ( lnx) = lnx X Nous avons démontré ce résultat pour n =. Pour n > on écrit n = n Nous avons démontré résultat pour n =.. Or lim = 0 et lim n = 0. D où le résultat Pour n > on écrit n = n. Or lim 0 + n = 0 et lim 0 + = 0. D où le résultat 2.7 Fonction composée Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I (u() > 0). La fonction lnu est dérivable sur I et on a : ln (u) = u u. Démonstration 7 On écrit f = g u avec g() = et donc g () =. On sait que f () = (g u) () = g (u()) u () = u() u () = u () u(). Eemple 3 f() = ln ( e 2 +e + ) f est dérivable sur R puis que pour tout de R, e 2 +e + > 0 f = ln(u), u() = e 2 +e +, u () = 2e 2 +e, f = (ln(u)) = u u, f () = 2e2 +e e 2 +e + Analyse 4 Page 6 Francis Rignanese
3 Logarithme décimal 3. Définition Pour tout rel strictement positif on note log() le logarithme décimal défini par : log() = ln() ln(0) Remarque D une manière générale on définit pour tout rel a strictement positif et différent de la fonction logarithme de base a, note log a et définie sur ]0;+ [ par log a () = ln() ln(a) En particulier si a = e on a log e = ln 3.2 Représentation graphique y = ln() C B y = log() 2 3 4 A AB = AC ln(0) 3.3 Propriétés Pour tout entier relatif n, log(0 n ) = n Pour tout rel strictement positif et pour tout rel y log() = y = 0 y Analyse 4 Page 7 Francis Rignanese