Analyse des signaux - ELE2700

Analyse des signaux - ELE2700 Transformée de Laplace et de Fourier et Spectres Continus Christian Cardinal, Ph.D Département de génie électrique École Polytechnique de Montréal 6 janvier 2009

Lignes directrices Transformée de Laplace 1 Transformée de Laplace 2 Relation entre la transformée de Fourier et la transformée de Laplace Propriétés de la et Table des transformées de Fourier Usuelles

s de la transformée de Laplace Deux définitions : Unilatérale et Bilatérale Transformée de Laplace Unilatérale Soit un signal représenté par une fonction x(t). La transformée de Laplace unilatérale de x(t) constitue une fonction L{x(t)} telle que L{x(t)} : C C s 0 x(t)e st dt (1) Transformée de Laplace Bilatérale Soit un signal x(t). La transformée de Laplace bilatérale de x(t) constitue une fonction X(s) telle que L{x(t)} : C C s e st dt (2)

s (suite...) Transformée de Laplace On note aussi X(s) comme la transformée de Laplace d un signal x(t) : X(s) = L{x(t)} (3) En général, nous considérons que l opérateur L désigne la transformée bilatérale Cependant, comme nous manipulons typiquement des signaux causaux, dont le support est inclus dans R +, cette transformée dégénère en transformée unilatérale Notation : s = σ + jω, i.e. R{s} = σ, I{s} = ω

Région de convergence La région de convergence d une transformée de Laplace consiste en le sous-ensemble de C où X(s) est parfaitement définie, au sens où l intégrale impropre converge. il est difficile de déterminer cette région de convergence, spécifique à chaque signal cependant,il est facile de déterminer la région de convergence d une exponentielle naturelle on peut donc déterminer un sous-ensemble de la région de convergence de toute fonction absolument bornée par une exponentielle

de la région de convergence de X(s) (suite...) La région de convergence de X(s) correspond aux valeurs de s C tel que X(s) < X(s) = x(t)e st dt x(t)e st dt x(t)e (σ jω)t dt = x(t)e σt (4) dt il faut donc que x(t)e σt soit absolument intégrable il existe une plage de valeurs de σ, σ 1 < σ < σ 2 tel que X(s) <

La région de convergence de la transformée de Laplace bilatérale d un signal à support fini x(t), intégrable dans l intervalle [a, b] est C. X(s) = b l intégrale converge pour tout a < b a x(t)e st dt. (5) La région de convergence de la transformée de Laplace du signal x(t) = e at, t 0 est le demi-plan complexe : ROC = {s C R(s) > a}. (6) X(s) = e at e st dt = 0 0 e (a σ)t e jωt dt (7) Pour avoir convergence, il faut (a σ) < 0 σ > a ou R{s} > a

X(s) = 1, ROC = {s C R(s) > a} (8) s a

Exemple : Fonction échelon La fonction marche de Heaviside ou échelon est un signal u(t) défini comme 0, si t < 0 1 u(t) = 2, si t = 0 (9) 1, si t > 0,

Exemple : Fonction échelon Pour x(t) = u(t), X(s) = 0 e st dt = e st s = 1, ROC = {s C R(s) > 0} (10) 0 s

Types de signaux et régions de convergence Un signal est dit de droite si son support est contenu dans un intervalle fermé à gauche et ouvert à droite ROC de droite Un signal est dit de gauche si son support est sous-ensemble d un intervalle fermé à droite et ouvert à gauche ROC de gauche La fonction échelon u(t) ainsi que tout signal dont la définition implique un produit par la fonction u(t) sont des signaux de droite Exemple : l exponentielle à droite est définie comme e at u(t t 0 ) (pour tout t 0 R) ; l exponentielle à gauche est définie comme e at u(t 0 t).

signaux non bornés La région de convergence d un signal non borné est une de bande complexe parallèle à l axe jω Exemple : La région de convergence de la transformée de Laplace de la somme de l exponentielle à droite e at u(t t 0 ) et de l exponentielle à gauche e bt u(t 1 t), a < b R est la bande complexe ROC = {s C a < R(s) < b}. (11)

signaux fini La région de convergence d un signal fini dans un intervalle [a, b] constitue tout le plan complexe C Exemple La transformée de Laplace de la fonction de Dirac, δ(t t o ) est δ(t t o )e st = e sto (12) La région de convergence est donc tout le plan complexe

Forme rationnelle de la Transformée de Laplace : Pôles et Zéros Dans plusieurs applications X(s) prend la forme d une fonction rationnelle : X(s) = b 0 + b 1 s + b 2 s 2 +... + b M s M M a 0 + a 1 s + a 2 s 2 +... + a N s N = k=0 b ks k N k=0 a ks k = N(s) D(s) (13) Les Zéros de X(s) sont les valeurs de s tel que X(s) = 0 : i.e les M racines, s i, i = 1, 2, 3...M de N(s) Les Pôles de X(s) sont les valeurs de s tel que X(s) = : i.e. les N racines, s i, i = 1, 2, 3...N de D(s)

Forme rationnelle de la Transformée de Laplace : ROC Soit les N pôles, s i C, i = 1, 2, 3...N. On définit : σ max = max {R(s i )}, et (14) σ min = min {R(s i )} (15) pour une signal de droite : ROC = {s C R(s) > σ max } (16) Pour un signal de gauche : ROC = {s C R(s) < σ min } (17) pour un signal non borné : ROC = {s C σ min < R(s) < σ max } (18)

Le tableau suivant résume ce qu il faut retenir au sujet des régions de convergence. signaux Forme Finie Plan complexe : ROC = {s C} À droite Demi-plan de droite : ROC = {s C R(s) > σ max } À gauche Demi-plan de gauche : ROC = {s C R(s) < σ min } non borné Bande du plan : ROC = {s C σ min < R(s) < σ max }

Principales propriétés de la transformée de Laplace Linéarité, Décalage temporel, Dérivation, compression,... Signal Transformée Région de convergence ROC x(t) X(s) R x 1 (t) X 1 (s) R 1 x 2 (t) X 2 (s) R 2 ax 1 (t) + bx 2 (t) ax 1 (s) + bx 2 (s) R 1 R 2 x(t t o ) e sto X(s) R e sot x(t) X(s s o ) Décalage de R x(at) 1 a X(s a ) Compression de R x( t) X( s) de R x 1 (t) x 2 (t) X 1 (s)x 2 (s) R 1 R 2 d dt x(t) sx(s) au moins R d tx(t) ds X(s) R t x(τ)dτ 1 s X(s) au moins R {R(s) > 0}

Transformée inverse de Laplace de la transformée de Laplace inverse x(t) = 1 2iπ σ+i σ i X(s)e st ds (19) le choix de σ ne change pas la valeur de l intégrale ; il faut cependant prendre une telle droite complexe dans la région de convergence de X(s) Généralement, la solution de cette intégrale est complexe SOLUTION DÉCOMPOSITION EN FRACTIONS PARTIELLES TABLE DE TRANSFORMÉES DE LAPLACE

Table de transformées de Laplace Signal Transformée Région de convergence ROC δ(t) 1 pour tout s C 1 u(t) s R(s) > 0 1 u( t) s R(s) < 0 t n 1 (n 1)! u(t) 1 s n R(s) > 0 t n 1 (n 1)! u( t) 1 s n R(s) < 0 e αt 1 u(t) s+α R(s) > α e αt 1 u( t) R(s) < α s+α t n 1 (n 1)! e αt 1 u(t) (s+α) n t n 1 (n 1)! e αt u( t) 1 (s+α) n R(s) > α R(s) < α

Table de transformées de Laplace (suite...) Signal Transformée Région de convergence ROC δ(t T ) e st pour tout s C cos(ω 0 t)u(t) s R(s) > 0 sin(ω 0 t)u(t) e αt cos(ω 0 t)u(t) e αt sin(ω 0 t)u(t) s 2 +ω0 2 ω 0 s 2 +ω0 2 s+α (s+α) 2 +ω0 2 ω 0 (s+α) 2 +ω0 2 R(s) > 0 R(s) > α R(s) > α

Lignes directrices Transformée de Laplace Relation entre la transformée de Fourier et la transformée de Laplace Propriétés de la et Table des transformées de Fourier Us 1 Transformée de Laplace 2 Relation entre la transformée de Fourier et la transformée de Laplace Propriétés de la et Table des transformées de Fourier Usuelles

INTRODUCTION Transformée de Laplace Relation entre la transformée de Fourier et la transformée de Laplace Propriétés de la et Table des transformées de Fourier Us La transformée de Fourier constitue la décomposition d un signal dans une base d exponentielles complexes comportant un nombre infini et non dénombrable d éléments. Produit Scalaire : Pour les signaux R C en général (pas nécessairement périodique), on définit le produit scalaire de signaux x(t) et y(t) comme x(t), y(t) = x(t)y (t)dt. (20)

s Transformée de Laplace Relation entre la transformée de Fourier et la transformée de Laplace Propriétés de la et Table des transformées de Fourier Us de la La transformée de Fourier d un signal x(t) représenté par une fonction R C est la fonction X(f ) : R C f F{x(t)} = x(t), e 2jπft = x(t)e j2πft dt (21) inverse La transformée de Fourier inverse d une fonction X(f ) est x(t) = F 1 {X(f )} = X(f ), e j2πft = X(f )e j2πft df (22) Note : Le spectre fréquencielle d un signal x(t) est simplement la transformée de Fourier X(f ) = F{x(t)}, f étant la fréquence en [Hz]

Conditions de définition Relation entre la transformée de Fourier et la transformée de Laplace Propriétés de la et Table des transformées de Fourier Us Pour que la transformée de Fourier X(f ) d un signal x(t) existe, il faut que ce signal satisfasse les deux conditions suivantes : 1 x(t) doit être absolument intégrable i.e. x(t) dt <. 2 Tout intervalle fini (ou support du signal) doit comporter un nombre fini de discontinuités et d extrema.

Relation entre la transformée de Fourier et la transformée de Laplace Propriétés de la et Table des transformées de Fourier Us Autres s : fréquences angulaires de la transformée de Fourier dans le domaine des fréquences angulaires La transformée de Fourier d un signal x(t) peut aussi s éxprimer dans le domaine de la fréquence angulaire ω = 2πf rad/s : X(ω) = x(t)e jωt dt (23) inverse dans le domaine des fréquences angulaires La transformée de Fourier inverse d une fonction X(ω) est x(t) = F 1 {X(ω)} = 1 X(ω)e jωt dω (24) 2π

Relation entre la transformée de Fourier et la transformée de Laplace Propriétés de la et Table des transformées de Fourier Us REMARQUES Dans le reste de ce cours nous utiliseront la définition dans le domaine des fréquences en Hz Cependant, occasionnellement nous utiliseront la définition dans le domaine des fréquences angulaires uniquement par facilité d écriture et de développement mathématique

Lien avec la transformée de Laplace Relation entre la transformée de Fourier et la transformée de Laplace Propriétés de la et Table des transformées de Fourier Us Soit un signal x(t) ayant pour transformée de Laplace X(s) et une région de convergence R x par définition, on a : On peut aussi écrire : X(s) = x(t)e st dt (25) X(σ + jω) = x(t)e (σ+jω)t dt (26) On constate que si l axe {jω} = {j2πf } R x, la transformée de Fourier X(f ) s obtient par : X(σ + j2πf ) σ=0 = X(f ) = x(t)e j2πft dt (27)

Relation entre la transformée de Fourier et la transformée de Laplace Propriétés de la et Table des transformées de Fourier Us Lien avec la transformée de Laplace (suite...) REMARQUES : 1 Cela revient donc à poser s = j2πf dans X(s) : X(f ) = X(s) s=j2πf si l axe jω est dans la région de convergence (ROC) de X(s) Cas des signaux convergents 2 X(f ) n existe pas si l axe jω n est pas dans la ROC et n est pas une borne de la ROC Cas des signaux divergents 3 X(f ) existe et comporte des Dirac, (δ(f f i )) si l axe jω est une borne de la région de convergence de X(s) Cas des signaux oscillants (sinus, cosinus) ou stagnants (fonction échelon)

Relation entre la transformée de Fourier et la transformée de Laplace Propriétés de la et Table des transformées de Fourier Us Principales Propriétés de la Les propriétés de la transformée de Fourier decoulent de celles de la transformée de Laplace Signal T.F. (fréq., Hz) T.F.(fréq. angulaire, rad/s) x(t) X(ω) X(f ) y(t) Y (ω) Y (f ) ax(t) + by(t) ax(ω) + by (ω) ax(f ) + by (f ) x(t t o ) e jωto X(ω 0 ) e j2πfto X(f ) e jω0t x(t), e j2πf0t x(t) X(ω ω 0 ) X(f f 0 ) x (t) X ( ω) X ( f ) x( t) X( ω) X( f ) 1 x(at) a X(ω a ) 1 a X( f a ) x(t) y(t) X(ω)Y (ω) X(f )Y (f )

Relation entre la transformée de Fourier et la transformée de Laplace Propriétés de la et Table des transformées de Fourier Us Propriétés de la (suite...) Signal T.F. (fréq., Hz) T.F.(fréq. angulaire, rad/s) 1 x(t)y(t) 2π X(ω) Y (ω) X(f ) Y (f ) d dt x(t) jωx(ω) j2πfx(f ) t x(τ)dτ 1 jω X(ω) + πx(0)δ(ω) 1 j2πf X(f ) + 1 2 X(0)δ(f ) d tx(t) j dω X(ω) j d 2π df X(f ) x(t) réel X(ω) = X ( ω) X(f ) = X ( f ) R{X(ω)} = R{X( ω)} R{X(f )} = R{X( f )} I{X(ω)} = I{X( ω)} I{X(f )} = I{X( f )} X(ω) = X( ω) X(f ) = X( f ) X(ω) = X( ω) X(f ) = X( f )

Relation entre la transformée de Fourier et la transformée de Laplace Propriétés de la et Table des transformées de Fourier Us Propriétés de la (suite...) Dualité : f (t) F(t) F F(ω) F 2πf ( ω) Relation de Parseval pour les signaux apériodiques : x(t) 2 dt = 1 2π x(t) 2 dt = X(ω) 2 dω X(f ) 2 df

Table des Transformées de Fourier Relation entre la transformée de Fourier et la transformée de Laplace Propriétés de la et Table des transformées de Fourier Us x(t) X(ω) X(f ) e αt 1 u(t) α+jω 1 α+j2πf te αt 1 1 u(t) (α+jω) 2 t 2 ω 2 (α+j2πf ) 2 2 (2πf ) 2 δ(t) 1 1 1 2πδ(ω) δ(f ) u(t) πδ(ω) + 1 1 jω 2 δ(f ) + 1 j2πf cos(ω 0 t)u(t) π 2 [δ(ω ω 0) + δ(ω + ω 0 )] 1 4 [δ(f f 0) + δ(f + f 0 )] + j2πf sin(ω 0 t)u(t) + jω (ω 2 0 ω2 ) π 2j [δ(ω ω 1 0) δ(ω + ω 0 )] + ω 0 (ω 2 0 ω2 ) ((2πf 0 ) 2 (2πf ) 2 ) 4j [δ(f f 0) δ(f + f 0 )] 2πf + 0 ((2πf 0 ) 2 (2πf ) 2 )

Relation entre la transformée de Fourier et la transformée de Laplace Propriétés de la et Table des transformées de Fourier Us Table des Transformées de Fourier (suite...) x(t) X(ω) X(f ) cos(ω 0 t) π[δ(ω ω 0 ) + δ(ω + ω 0 )] 1 2 [δ(f f 0) + δ(f + f 0 )] sin(ω 0 t) jπ[δ(ω + ω 0 ) δ(ω ω 0 )] j 2 [δ(f + f 0) δ(f f 0 )] e at ω sin(ω 0 t)u(t) 0 2πf 0 (a+jω) 2 +ω0 2 (a+j2πf ) 2 +(2πf 0 ) 2 ω 0 2π Sa ( ω 0 ) t 2, rect[ ω0 /2,ω 0 /2](ω) rect [ f0 /2,f 0 /2](f ) rect [ τ/2,τ/2] (t) τsa ( ) ωτ 2 τsa (πf τ) Λ [ τ,τ] (t) τ [ Sa ( )] ωτ 2 τ [Sa (πf τ)] 2 e a t 2a 2 a 2 +ω 2 2a a 2 +(2πf ) 2 e t 2 /2σ 2 σ 2πe σ2 ω 2 /2 σ 2πe σ2 (2πf ) 2 /2

Relation entre la transformée de Fourier et la transformée de Laplace Propriétés de la et Table des transformées de Fourier Us de Signaux périodiques Soit x(t) un signal périodique de période T : x(t) = X n e j 2πnt T n Z La transformée de Fourier de x(t) est : X(f ) = { X n F n Z e j 2πnt T } = n Z X n δ(f n/t ) Dans le domaine des fréquences angulaires : X(ω) = { } X n F e j 2πnt T n Z = 2π n Z X n δ(ω 2πn/T )