Les espaces et les sous-espaces vectoriels Algèbre linéaire I MATH 1057 F Julien Dompierre Département de mathématiques et d informatique Université Laurentienne Sudbury, 4 mars 2011
Espaces vectoriels (de Wikipedia) En mathématiques, un espace vectoriel est un ensemble d objets (appelés vecteurs) qui, grosso modo, peuvent être multipliés et additionnés, c est-à-dire, dont on peut faire des combinaisons linéaires. Plus formellement, un espace vectoriel est un ensemble sur lequel deux opérations, nommément l addition (vectorielle) et la multiplication (scalaire), sont définies et satisfont un certain nombre d axiomes naturels listés plus loin.
Espaces vectoriels (de Wikipedia) Les espaces vectoriels les plus familiers sont les espace euclidiens bi- et tridimensionnel. Les vecteurs dans ces espaces sont des pairs ou des triplets ordonnés de nombres réels, souvent représentés comme des vecteurs géométriques qui sont des quantités avec une grandeur et une direction, et généralement illustrés par des flèches. Ces vecteurs peuvent être additionnés ensemble en utilisant la règle du parallélogramme (l addition vectorielle) et peuvent être multipliés par des nombres réels (multiplication scalaire). Le comportement de ces vecteurs géométriques munis de ces opérations nous donnent un bon modèle intuitif du comportement d un espace vectoriel plus abstrait qui peut ne pas avoir de représentation géométrique.
Définition d un espace vectoriel (p. 217) Définition (Espace vectoriel) Soit V, un ensemble non vide d objets dont les éléments seront appelés des vecteurs. Un espace vectoriel V sur le corps IR est un ensemble V muni de deux opérations, V V V 1. l addition vectorielle (u,v) u + v IR V V 6. la multiplication scalaire (k, u) ku et qui satisfait les 8 prochains axiomes sur les deux prochains transparents. Les axiomes 1 et 6 expriment la fermeture de V sous l addition vectorielle et sous la multiplication scalaire.
Définition d un espace vectoriel (suite) Définition (Espace vectoriel (suite)) Les axiomes d addition vectorielle 2. L addition vectorielle est commutative : Pour tout u,v V, on a u + v = v + u. 3. L addition vectorielle est associative : Pour tout u,v,w V, on a u + (v + w) = (u + v) + w. 4. L addition vectorielle a un élément neutre : Il existe un élément 0 V, appelé le vecteur nul, tel que u + 0 = u pour tout u V. 5. L addition vectorielle a un élément inverse : Pour tout u V, il existe un élément v V, appelé l inverse additif de u, tel que u + v = 0. L inverse additif v de u est souvent noté u et est appelé l opposé de u.
Définition d un espace vectoriel (suite) Définition (Espace vectoriel (suite)) Les axiomes de multiplication scalaire 7. Distributivité à gauche de la multiplication scalaire sur l addition vectorielle : Pour tout k IR et u,v V, on a k(u + v) = ku + kv. 8. Exo-distributivité à droite de la multiplication scalaire sur l addition dans IR : Pour tout k,l IR et u V, on a (k + l)u = ku + lu. 9. Exo-associativité de la multiplication scalaire par rapport à la multiplication dans IR : Pour tout k,l IR et u V, on a k(lu) = (kl)u. 10. La multiplication scalaire a un élément neutre à gauche : Pour tout u V, on a 1u = u, où 1 est l élément neutre de la multiplication dans IR.
Espaces vectoriels Cette définition d un espace vectoriel laisse beaucoup de place pour différents types d ensembles V de vecteurs (vecteurs, matrices, fonctions, polynômes, suites, etc) ; différentes définitions de l addition de deux objets dans l ensemble V ; différentes définitions de la multiplication scalaire d un objet de V par un scalaire de IR. Aussi l ensemble des nombres réels IR peut être remplacé par un autre corps commutatif K tel que l ensemble des nombres complexes. Les éléments du corps d un espace vectoriel sont appelés des scalaires. Les concepts couverts dans les prochaines sections (bases, sous-espaces, dimension, rang, indépendance linéaire, orthogonalité, norme, etc) sont valides pour tous les espaces vectoriels.
L ensemble M 2 2 des matrices 2 2 Soit l ensemble V = M 2 2 des matrices réelles de taille 2 2. l addition de deux éléments u et v de M 2 2 est définie comme [ ] [ ] [ ] a b e f a + e b + f u + v = + = c d g h c + g d + h la multiplication de la matrice u M 2 2 par un scalaire k IR est définie comme [ ] [ ] a b ka kb ku = k =. c d kc kd Alors, l ensemble M 2 2 des matrices réelles de taille 2 2 est un espace vectoriel sur le corps IR parce qu il satisfait les 10 axiomes.
L ensemble des droites qui passent par l origine Soit l ensemble V des droites de IR 2 qui passent par l origine. si d 1 et d 2 sont deux éléments de V, la somme d 1 + d 2 est la droite passant par l origine dont la pente est la somme des pentes de d 1 et d 2. kd soit la droite passant par l origine dont la pente est k fois celle de d. Alors l ensemble V des droites passant par l origine est un espace vectoriel sur le corps IR parce qu il satisfait les 10 axiomes.
L ensemble des fonctions (p. 219) Soit l ensemble V de toutes les fonctions à valeurs réelles définies sur un ensemble D. Chaque élément de V est une fonction f de D vers IR. Si f et g sont deux éléments de V, la somme f + g est la fonction f(t) + g(t) pour toute valeur t du domaine D. La multiplication de la fonction f par le scalaire k IR est définie par (kf)(t) = k (f(t)) pour toute valeur t du domaine D. Alors l ensemble V de toutes les fonctions à valeurs réelles définies sur un ensemble D est un espace vectoriel sur le corps IR parce qu il satisfait les 10 axiomes.
Propriétés des espaces vectoriels (p. 217) 1. Le vecteur nul 0 V de l addition vectorielle est unique : Si 0 1 et 0 2 sont deux vecteurs nuls de V tels que 0 1 + v = v et 0 2 + v = v pour tout v V, alors 0 1 = 0 2 = 0. 2. La multiplication scalaire avec le vecteur nul donne le vecteur nul : Pour tout k IR, on a k0 = 0. 3. La multiplication scalaire par le scalaire 0 donne le vecteur nul : Pour tout u V, on a 0u = 0, où 0 est l élément neutre additif dans IR. 4. Il n y a pas d autre multiplication scalaire qui donne le vecteur nul : On a que ku = 0 si et seulement si k = 0 ou u = 0.
Propriétés des espaces vectoriels (p. 217) 5. L inverse additif u du vecteur u est unique : Si v 1 et v 2 sont tous deux l inverse additif de u V, tel que u + v 1 = 0 et u + v 2 = 0, alors v 1 = v 2. On note l inverse additif u et on l appelle l opposé de u. On définit aussi v u v + ( u). 6. La multiplication scalaire par 1 donne l inverse additif du vecteur : Pour tout u V, on a ( 1)u = u, où 1 est l élément neutre de la multiplication dans le corps IR. 7. La négation commute librement : Pour tout k IR et u V, on a ( k)u = k( u) = (ku).
Sous-espace vectoriel Définition Soit V un espace vectoriel, et soit H un sous-ensemble non-vide de V (i.e. H V ). Si H, muni de l addition et de la multiplication scalaire de V, est un espace vectoriel, alors H est appelé un sous-espace (vectoriel) de V.
Sous-espace vectoriel (p. 220) Définition Un sous-espace d un espace vectoriel V est un sous-ensemble H de V qui possède les trois propriétés : a. Le vecteur nul de V appartient à H. b. H est fermé pour l addition vectorielle, c est-à-dire que la somme u + v appartient à H pour tous u et v dans H. c. H est fermé pour la multiplication par un scalaire, c est-à-dire que le vecteur ku appartient à H pour tout u dans H et pour tout k dans IR.
Exemples de sous-espaces Exemple : L ensemble des vecteurs de la forme (a,0,b) où a et b sont des réels est un sous-espace de IR 3. (Vérifier les propriétés a, b et c du transparent précédent). Cet ensemble ressemble à IR 2, mais en est distinct. {[ ] } x Exercice : L ensemble H = tel quex IR est-il un x + 1 espace vectoriel? De quel espace est-il un sous-ensemble?
L ensemble des polynômes P n (p. 218) L ensemble P n est l ensemble des polynômes de degré au plus égal à n (avec n 0) de la forme p(t) = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + + a n t n où les coefficients a 0,..., a n et la variable t sont des réels. P n est un sous-ensemble de l ensemble V des fonctions à valeurs réelles définies sur IR. L ensemble V, muni de l addition (f + g) (t) = f(t) + g(t) et de la multiplication scalaire (kf)(t) = k (f(t)), forme un espace vectoriel. La fonction nulle 0(t) = 0 est un polynôme de degré au plus égal à n (a 0 = a 1 = = a n = 0). Si p et q sont deux éléments de P n, la somme p+q est définie par p(t) + q(t) = (a 0 + b 0 ) + (a 1 + b 1 )t + + (a n + b n )t n. Donc p + q est un polynôme de degré au plus égal à n. La multiplication du polynôme p par un scalaire k IR est définie par (kp)(t) = k (p(t)) = ka 0 + ka 1 t + + ka n t n. Donc kp appartient à P n. Alors l ensemble P n de tous les polynômes de degré au plus égal à n est un sous-espace vectoriel de V.
Sous-espace engendré par un ensemble (p. 221) Définition Si les vecteurs v 1,..., v p appartiennent à un espace vectoriel V, alors l ensemble des combinaisons linéaires des ces vecteurs L{v 1,...,v p } est un sous-espace de V. L{v 1,...,v p } est appelé le sous-espace engendré (ou sous-tendu) par {v 1,...,v p }. Étant donné un sous-espace quelconque H de V, un ensemble générateur (ou partie génératrice) de H est un ensemble {v 1,...,v p } d éléments de H tels que H = L{v 1,...,v p }.
Sous-espace engendré par un ensemble Pour montrer qu un ensemble est un sous-espace, il suffit de trouver un ensemble genérateur. Pour montrer qu il n est pas un sous-espace, il suffit de prouver qu un des trois axiomes du transparent 14 est violé. Exemple : Montrer que V = {(a + 2b,2a 3b) a IR,b IR} est un sous-espace de IR 2. Solution : [ a + 2b 2a 3b ] [ a = 2a [ 1 = a 2 }{{} v 1 ] [ ] 2b + 3b ] [ ] 2 +b 3 }{{} v 2 Donc V = L{v 1,v 2 } et V est un sous-espace de IR 2.
Sous-espace engendré par un ensemble Exercice : Est-ce que H = sous-espace de IR 3? a + 2b a + 1 a a IR,b IR est un {[ Exercice : Est-ce que H = un sous-espace de M 2 2? 2a b 3a + b 3b ] } a IR,b IR est