Racines carrées 1 introduction et définition de la racine carrée d un nombre positif 1.1 activité d introduction coller la feuille ici Remarque : Il a été facile de tracer le premier carré,car on connaît son côté. Il n était pas trop difficile de tracer le deuxième car on pouvait trouver son côté facilement. Pour le troisième on a trouvé son côté après quelques essais. Par contre on a pas réussit à trouver la longueur exacte du coté du quatrième carré. Et pourtant ce carré existe... La seule chose que l on sait sur la longueur du côté du quatrième carré c est que quand on le met au carré on obtient 3. Comme on arrive pas à trouver exactement cette longueur on va l écrire 3, et la seule chose que l on sait dessus c est que quand on met ce nombre étrange au carré on obtient 3. 1. définition de racine carrée et premiers exemples Définition 1 La racine carrée d un nombre positif a c est le nombre positif dont le carré est a. On écrit ce nombre a Définition autrement dit La racine carrée de a s écrit a. C est le seul nombre positif tel que a = a Exemples 1 La racine carrée de c est le nombre positif dont le carré est, c est donc. On écrit =. La racine carrée de 64 c est le nombre positif dont le carré est 64 c est donc 8. On écrit 64 = 8. La racine carrée de 6, c est le nombre positf dont le carré est 6,. C est donc,. On écrit 6, =,. La racine carrée de c est le nombre positif dont le carré est. Mais il n y a pas de nombre qui tombe juste, on l écrit Vocabulaire : le symbole s appelle le radical. Exemples quelques exemples importants 1. = =. ( ) = =, la racine carrée n est pas l inverse du carré 3. =, c est la définition de, c est même la seule chose qu on sait sur 1
4., n existe pas car il n existe aucun nombre positif (et même d ailleurs aucun nombre tout court) dont le carré est -.. 0 =0 0 est le carré de 0, on le savait déjà. 6. + 144=13 mais + 144 = 1, la somme de racines carrées n est pas la racine carrée de la somme. 1 9 = 1 3 car on se rappelle comment on multiplie les fractions 8. 361,=19 c est facile, il suffit de connaître ses carrés par coeur jusqu à 0. Remarque 1 On ne peut pas prendre la racine carrée d un nombre négatif. La racine carrée est toujours un nombre positif. Parfois la racine carrée d un nombre est un nombre irrationnel, c est à dire qu on ne peut pas l écrire sous forme décimale, ni même sous forme d une fraction. Exemples élémentaires d utilisation de la racine carrée, priorité Exemples 3 Tracer un triangle ABC rectangle en A tel que AB= cm et AC = cm. Tracer un carré dont l un des cotés est [BC]. Quelle est la longueur exacte de [BC]? Quelle est l aire du carré? Exemples 4 Effectuer les opérations suivantes : 1. 3 +. 9 + 16 3. 9 + 16 Que remarque t on? 4. + +. 4 3 3 6. 100 4 Exemples Dans la figure suivante quelle est la longueur de EF? Exemples 6 Tracer un carré dont l aire est exactement de 0 cm.
3 Racines carrées et identités remarquables Remarque Pour comprendre cette leçon, il suffit de se souvenir de deux choses : 1. La racine carrée de a c est le nombre positif dont le carré est a. Il faut traiter une racine carrée comme un x dans un calcul littéral 3. Les identités remarquables... mais on les connaît par coeur. Développer ( 1) ( 1) = 1 = = (1) De la même manière, développer et simplifier les calculs suivants : 1. 3 ( 3 ). ( ) 3. ( 3 + ) 4. ( 8 ) ( 8 + ). ( 1 4) 6. ( 3 + ). ( 16 9) 8. (3 + ) 4 Opérations sur les racines carrées 4.1 multiplication de racines carrées Calculer 30 et ( 6 ) Que remarque t on? Quelle conclusion peut on en tirer? Théorème 1 La racine carré d un produit c est le produit des racines carrées. Autrement dit : a b = a b Exemples 40 = 8 = 8 60 = 6 10 = 6 10 = 1 = 1 3
4. division de racines carrées Théorème La racine carré d un quotient c est le quotient des racines carrées. Autrement dit : a b = a b Exemples 8 = 9 = 9 = 3 48 3 = 48 3 = 16 = 4 Racines carrées et géométrie Calculer l aire du carré BDEF dans la figure ci-jointe. F Calculer AE dans la figure suivante D 1 cm E 1 cm E A B C 1 cm D C cm B A 6 Simplification de racine carrée Quel est le signe de 3? quel est le signe de 18? Calculer le carré de chacun de ses deux nombres. (3 ) = 3 = 9 = 18 ( 18) = 18 () Ces deux nombres sont des nombres positifs qui ont le même carré, ils sont donc égaux. On peut écrire 3 = 18. Comment a t on transformé 18 en 3? Regardons celà... 18 = 9 = 9 = 3 (3) Dans un premier temps on a écrit 18 comme le produit (9 ) de deux facteurs dont l un est un carré (9). Dans un deuxième temps on a séparé la racine en deux, en se servant de la propriété vue précédement. Dans un troisième temps, on a calculé l une des deux racines, celle sous laquelle se trouve le nombre qui est un carré. Enfin on a écrit le résultat. 4
En procédant de la même manière transformer les fractions suivante. 1. 0. 98 3. 4. 48. 88 6. 180. 4 8. 1000 Exercices de type brevet