AIRES Cette leçon complète la leçon "Aires" de sixième Se reporter éventuellement à cette leçon pour des révisions I- Aire d'un parallélogramme: Calculer l'aire d'un parallélogramme de base 4,7 cm et de hauteur 1,8 cm Par découpage, le triangle 1 peut se superposer au triangle 2. Donc l'aire du parallélogramme ABCD est égale à celle du rectangle ABEF. Elle est donc égale à AB x AF, ou, comme AB = DC, à: DC x AF DC s'appelle la base AF s'appelle la hauteur L'aire d'un parallélogramme se calcule par la formule: Aire = base x hauteur Un parallélogramme a pour aire 22,42 cm 2 et sa base mesure 5,9 cm. Calculer sa hauteur 4,7 x 1,8 = 8,46 L'aire de ce parallélogramme est donc 8,46 cm 2 22,42 : 5,9 = 3,8 La hauteur de ce parallélogramme est 3,7 cm II- Aire d'un triangle: Par découpage, le triangle 3 peut se superposer au triangle 1 et le triangle 4 au triangle 2 Donc l'aire du triangle ABC est égale à la moitié de celle du rectangle DECB. Elle est donc égale à (BC x BD) / 2, ou, comme DB = AH, à (BC x AH) / 2 BC s'appelle la base AH s'appelle la hauteur L'aire d'un triangle se calcule par la formule: Aire = (base x hauteur) / 2 Exemple: Calculer l'aire d'un triangle ayant pour base 5,9 cm et pour hauteur 3,4 cm. (5,9 x 3,4) / 2 = 20,06 / 2 = 10,03 L'aire de ce triangle est 10,03 cm 2 1
III- Aire d'un losange: Par découpage: le triangle 5 peut se superposer au triangle 1 le triangle 6 peut se superposer au triangle 2 le triangle 8 peut se superposer au triangle 3 le triangle 7 peut se superposer au triangle 4 Donc l'aire du losange ABCD est égale à la moitié de celle du rectangle EFGH. Elle est donc égale à (EF x EH) / 2, ou, comme EF= DB et EH = AC à: (DB x AC) / 2 DB s'appelle la grande diagonale AC s'appelle la petite diagonale L'aire d'un losange se calcule par la formule: Aire = (grande diagonale x petite diagonale) / 2 Calculer l'aire d'un losange dont les diagonales mesurent 7, 5 cm et 3,4 cm (7,5 x 3,4) / 2 = 25,5 / 2 = 12,75 L'aire de ce losange est 12,75 cm 2 Calculer l'aire d'un carré dont les diagonales mesurent 4,8 cm D'après le cours sur le carré, on sait que tout carré est un losange. On peut donc calculer l'aire de ce carré en utilisant la formule donnant l'aire d'un losange (4,8 x 4,8) / 2 = 23,04 / 2 = 11,52 L'aire de ce carré est 11,52 cm 2 2
IV- Aire d'un trapèze: Par découpage, le trapèze BEFC peut se superposer au trapèze ABCD. L'aire du trapèze ABCD est donc égale à la moitié de l'aire du parallélogramme AEFD, donc à: (DF x AH) / 2 Or DF = DC + CF et CF = AB, donc DF = DC + AB, et l'aire du trapèze est donc: [(DC + AB) x AH] / 2 DC s'appelle la grande base AB s'appelle la petite base AH s'appelle la hauteur L'aire d'un trapèze se calcule par la formule: Aire = [(petite base + grande base) x hauteur] /2 Exemple: Calculer l'aire d'un trapèze ayant pour petite base 2,7 cm, pour grande base 4,5 cm et pour hauteur 1,8 cm [(2,7 + 4,5) x 1,8] / 2 = [7,2 x 1,8] / 2 = 12,96 / 2 = 6,48 L'aire de ce carré est 6,48 cm 2 V -Aire d'un disque: Aire = π x rayon x rayon avec π 3,14 (π lettre de l'alphabet grec appelée pi) Remarque: π est en fait un nombre contenant une infinité de chiffres après la virgule Si on veut désigner sa valeur exacte, il faut donc laisser le symbole π La calculatrice a en mémoire (touche π) une valeur plus précise que 3,14 Exemples: Pour chacun de ces exemples, on donnera: 2) la valeur arrondie au mm², en prenant π 3,14 3) la valeur arrondie au mm², en utilisant la touche π de la calculatrice Calculer l'aire d'un disque de rayon 5,4 cm Calculer l'aire d'un disque de diamètre 7,8 cm 1) π x 5,4 x 5,4 = 29,16 π cm² 2) 91,56 cm² 3) 91,61 cm² Il faut d'abord calculer le rayon. 7,8 : 2 = 3,9 1) π x 3,9 x 3,9 = 15,21 π cm² 2) 47,76 cm² 3) 47,78 cm² 3
VI- Figures se décomposant en plusieurs éléments: Pour chacun de ces exemples, on donnera: 2) la valeur arrondie au mm², en utilisant la touche π de la calculatrice Sur la figure ci-contre, on a: AB = BC = CD = 6 cm L'arc d'extrémités A et D est un demi-cercle de diamètre [AD] L'aire du carré est: 6 x 6 = 36 cm 2 Le rayon du demi disque est: 6 : 2 = 3 cm L'aire du demi disque (πx 3 x 3) : 2 = 9 π : 2 = 4,5 π cm² L'aire de cette figure est : 1) 36 + 4,5 π cm² 2) 50,14 cm² ABCD est un carré de côté 4 cm L'arc d'extrémités B et E est un quart de cercle de centre C L'arc d'extrémités E et F est un quart de cercle de centre D L'aire du carré est: 5 x 5 = 25 cm 2 L'aire du quart de disque de centre C est: (π x 5 x 5) : 4 =25 π : 4 = 6,25 π cm 2 Le rayon du quart de disque de centre D est: 5 x 2 = 10 cm L'aire du quart de disque de centre D est: (π x 10 x 10) : 4 =100 π : 4 = 25 π cm 2 L'aire de cette figure est : 1) 25 + 6,25 π + 25 π = 25 + 31,25 π cm 2 2) 123,17 π cm² 4
VII - Exercices : Exercice 1: Un parallélogramme a pour base 5,6 cm et pour hauteur 3,9 cm. Calculer son aire. Exercice 3: Calculer l'aire d'un losange dont les Exercice 2: Un triangle a pour base 7,9 cm et pour hauteur 4,6 cm. Calculer son aire. Exercice 4: Calculer l'aire d'un carré dont les diagonales mesurent 5,2 cm diagonales mesurent 8,7 cm et 4,2 cm Pour les exercices 5 et 6, on donnera: 2) la valeur arrondie au mm², en prenant π 3,14 3) la valeur arrondie au mm², en utilisant la touche π de la calculatrice Exercice 5 Exercice 6: Calculer l'aire d'un disque de rayon 8,5 cm Calculer l'aire d'un disque de diamètre 9,2 cm Exercice 7: Calculer l'aire d'un trapèze ayant pour petite base 3,1 cm, pour grande base 6,3 cm et pour hauteur 2,4 cm Pour les exercices 8 et 9, on donnera: 2) la valeur arrondie au mm², en utilisant la touche π de la calculatrice Exercice 8: ABCD est un carré de côté 5 cm Chacun des quatre arcs est un demi cercle. Exercice 9: AB = BC = 17 cm AD = BC = 8 cm Les deux arcs de cercle sont des demi-cercles 5
Exercice 1: 5,6 x 3,9 = 21,84 L'aire de ce parallélogramme est 21,84 cm 2 Exercice 3: (8,7 x 4,2) / 2 = 36,54 / 2 = 18,27 L'aire de ce losange est 18,27 cm 2 Exercice 5 1) π x 8,5 x 8,5 = 72,25 π cm² 2) 226,87 cm² 3) 226,98 cm² AIRES - CORRECTION DES EXERCICES Exercice 7: [(3,1 + 6,3) x 2,4] : 2 = [9,4 x 2,4] / 2 = 22,56 / 2 = 11,28 L'aire de ce trapèze est 11,28 cm 2 Exercice 8: L'aire du carré ABCD est 5 x 5 = 25 cm 2 Les quatre demi disques forment deux disques dont l'aire est: (π x 2,5 x 2,5) x 2 = 6,25 π x 2 = 12,5 π cm² L'aire de cette figure est donc: 1) 25 + 12,5 π cm² 2) 64,27 cm² Exercice 9: L'aire du rectangle ABCD est 17 x 8 =136 cm 2 Les deux demi disques forment un disque dont l'aire est: π x 4 x 4 = 16 π cm² L'aire de cette figure est donc: 1) 136 + 16 π cm² 2) 186,27 cm² Exercice 2: (7,9 x 4,6) / 2 = 36,34 / 2 = 18,17 L'aire de ce triangle est 18,17 cm 2 Exercice 4: Tout carré est un losange. On peut donc appliquer la formule d'aire pour le losange (5, 2 x 5,2) / 2 = 27,04 / 2 = 13,52 L'aire de ce carré est 13,52 cm 2 Exercice 6: Il faut d'abord calculer le rayon. 9,2 : 2 = 4,6 1) π x 4,6 x 4,6 = 21,16 π cm² 2) 66,44 cm² 3) 66,48 cm² 6