8.1 La sphère et la boule

8.1 La sphère et la boule ctivité n 1 : olides de révolution... Exercice n 1 : Définitions.... Exercice n 2 : Définitions.... N. N page 1 Lycée Jean Giono Turin

Exercice n 3 1. La sphère. : Du dessin.... a) Représenter en perspective cavalière une sphère de centre 0 et de rayon 4 cm. b) Placer un point sur cette sphère, puis construire le point B diamétralement opposé à. c) Représenter en bleu le grand cercle de la sphère ayant [B] comme diamètre. d) Représenter en vert un autre grand cercle de la sphère. 2. En uisse, un cornet de glace est assimilé à un cône de révolution de diamètre 6 cm et de hauteur 8 cm, surmonté d une demi-boule de même diamètre. a) Donner la hauteur total du cornet de glace. b) Représenter ce cornet en perspective cavalière. Exercice n 4 : ire d une sphère et volume d une boule... Calculer l aire et le volume de chacun des solides suivants : Cas n 1 : O = 25 cm Cas n 2 : B = 3476 km Cas n 3 : OM = 1,2 m O O M Exercice n 5 : Calcul de volume....... Calculer le volume de chacun des solides suivants : Cas n 1 : B = 12 cm B Cas n 2 : O = OB = 5 cm B Cas n 3 : OP = 5 mm, ON = 2 mm N O O P Exercice n 6 : u brevet.... 1. Quel est le rayon d une sphère dont l aire est égale à 200 cm 2? Quel est le volume que peut contenir cette sphère? 2. Puis-je verser le contenu (liquide) d une sphère de 5 cm de rayon dans un cylindre creux de 5 cm de rayon et de 7 cm de hauteur? 3. Un verre parallélépipédique (longueur 3cm, largeur 3 cm, hauteur 8 cm) contient 63 ml d eau. Quelle est la hauteur d eau dans ce récipient? On y plonge deux glaçons sphériques de 2 cm de diamètre. L eau va-t-elle déborder du verre? 4. Une cloche à fromage en forme de demi-sphère de rayon 9 cm et une boite cylindrique de même rayon ont le même volume. Déterminer la hauteur de la boite cylindrique. N. N page 2 Lycée Jean Giono Turin

Exercice n 7 : Que d eau!........ La Terre est assimilée à une sphère de rayon 6378 km. 1. Calculer l aire en km 2 de la surface du globe terrestre. rrondir à l unité. 2. Les océans occupent 70,8 % de la surface du globe terrestre. Calculer l aire de cette surface en km 2. rrondir à l unité. ctivité n 2 : ection d une sphère par un plan... Exercice n 8 : ections planes d une sphère... Ici on voit que le plan vient sectionner la sphère de centre O de rayon R selon un cercle ; 1. Calculer le rayon de ce cercle de section : a) dans le cas où OH = 12 cm et R = 15 cm, b) dans le cas où NH = 12 cm et R = 10 cm, c) dans le cas où R = 5 cm et ĤOM = 26, 2. Quelle est la distance du plan de section au centre de la sphère : a) dans le cas où r = 5 cm et R = 7 cm, b) dans le cas où R = 12 cm et ĤOM = 35 N. N page 3 Lycée Jean Giono Turin

C8 - Géométrie dans l espace TD Troisième 8.2 Découverte du globe terrestre Figure 1 : C W B N O E La Terre est assimilable à une boule d environ 6400 km de rayon. ppelons O le centre de la Terre. Le point N représente le pôle Nord, le point le pôle ud. ur la sphère représentant la surface terrestre, un grand cercle de centre O passant par N et est appelé méridien. Le grand cercle de centre O et tracé dans un plan perpendiculaire au diamètre [N ] est, lui, appelé l équateur. Ici est tracé le méridien qui sert de référence, appelé méridien de Greenwich (car il passe par Greenwich, petite ville située non loin de Londres) Chaque point à la surface de la Terre peut être repéré grâce à deux nombres : la longitude et la latitude. La longitude est calculée par rapport au méridien de Greenwich, la latitude par rapport à l équateur ; par exemple, le point C sur cette figure, qui représente la position de la ville de Chicago, a pour longitude ÂOB = 87, et pour latitude BOC = 41 Figure 2 : W C N O O I E Le cercle de centre O et passant par C, parallèle au plan de l équateur, est appelé parallèle, justement. Ce n est pas ce que l on appelle un grand cercle (car il n a pas O pour centre). La situation d Istanbul, ville située sur le même parallèle que Chicago (et qui a donc la même latitude, mais pas la même longitude), est représentée par le point I. Les question à traiter sont les suivantes : 1. Connaissant les coordonnées (longitude et latitude) des deux villes, quel est le chemin le plus court pour les joindre en avion? en suivant le parallèle passant par I et C? (voir figure 2), ou en suivant le grand cercle passant par I et C? (voir figure 3) 2. Quelle est l aire totale, en km 2, de la surface terrestre? Quel est le volume total, en km 3, de la Terre? (donner les réponses sous forme scientifique) Figure 3 : N Voici ce dont vous avez besoin pour répondre à ces questions : Coordonnées géographiques de Chicago : Latitude41 Nord, longitude 87 Ouest. C I Coordonnées géographiques d Istanbul : Latitude 41 Nord, longitude 28 Est. W O E OO = 4200 km, ĈOI = 79 Formule pour calculer la longueur d un arc de cercle défini par un angle de mesure α : L = 2 π R α 360 ire d une sphère de rayon R : = 4 π R 2. Volume d une boule de rayon R : V = 4 3 π R3 N. N page 4 Lycée Jean Giono Turin

C8 - Géométrie dans l espace TD Troisième 8.3 ections planes Exercice n 9 : ection d un pavé droit...... L unité de longueur est le centimètre. On considère le pavé droit BCDEF GH ci-contre, dans lequel B = 6, D = 3 et E = 4 ; de plus, M est un point de l arête [B] tel que BM = BC. 1. Quelques calculs : a) Calculer le volume, en cm 3, de ce pavé droit. b) Calculer les longueurs C, EC et MC. c) Calcule une mesure, au degré près, des angles MGC et ÂCE. 2. Quelques sections : a) Dessiner en vraie grandeur la section de ce pavé par le plan parallèle à la face CBFG et passant par M. b) Dessiner en vraie grandeur la section de ce pavé par le plan parallèle à l arête [BF] et passant par et C. c) Dessiner en vraie grandeur la section de ce pavé par le plan parallèle à l arête [BF] et passant par M et C. Exercice n 10 : ection d un cylindre...... L unité est le centimètre. On considère le cylindre C ci-contre, dont la base a pour rayon R = 5 et dont la hauteur est h = 8. M Les points M et N sont sur la circonférence du disque formant la N base supérieure, et MON est un angle droit. O 1. Calculer la longueur MN, puis la mesure de l angle ÔO M au degré près. 2. Tracer en vraie grandeur : a) la section de ce cylindre par le plan passant par P et parallèle à la base. b) la section de ce cylindre par le plan passant par M et N, et parallèle à l axe du cylindre. Exercice n 11 : grandissement réduction... E P H D M O F B G C N. N page 5 Lycée Jean Giono Turin

ctivité n 3 : ection d une pyramide...... Exercice n 12 : ection d une pyramide.... On considère une pyramide de hauteur B = 10 cm et dont la base est un triangle BC tel que B = 4@5 cm, BC = 7@5 cm et C = 6 cm. 1. Montrer que BC est un triangle rectangle ; calculer son aire. 2. Calculer la valeur exacte du volume de cette pyramide. 3. oit B le point de l arête [B] tel que B = 8 cm. On coupe la pyramide par un plan parallèle à la base et passant par ce point B. On obtient les points sur [] et C sur [C]. a) Dessiner en vraie grandeur le triangle B C, en donnant ses dimensions précises. De quelle nature est ce triangle? Quelle est son aire? b) La pyramide B C est une réduction de la pyramide BC ; quel est le rapport de cette réduction? c) Calculer le volume de la pyramide B C. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au mm 3. C ctivité n 4 : section d un cône.... B N. N page 6 Lycée Jean Giono Turin

C8 - Géométrie dans l espace TD Troisième Exercice n 13 : ection d un cône.... On considère un cône de révolution de hauteur O = 8 cm et dont la base est un disque de 3 cm de rayon. et B sont deux points diamétralement opposés sur la circonférence du disque de base. 1. De quelle nature est le triangle B? Calculer la mesure au degré près de l angle ŜB. 2. Calculer la valeur exacte du volume de ce cône. 3. oit O le milieu de [O]. On considère la section du cône par le plan parallèle à la base et passant par ce point O. a) Dessiner en vraie grandeur cette section. b) Le petit cône est une réduction du grand cône ; donner le rapport de cette réduction, et en déduire la valeur exacte du volume du petit cône. 8.4 Comme au brevet Exercice n 14 : mérique du Nord 2011... Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). ucune justification n est demandée. Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées, une seule réponse est exacte. ucun point ne sera enlevé en cas de mauvaise réponse. Pour chacune des 3 questions, indiquer sur votre copie le numéro de la question et recopier la réponse correcte. O O B Pour répondre aux questions, observer la figure ci-dessous : P O R H M O est le centre de la sphère, le plan P coupe la sphère suivant un cercle de centre H, M est un point de ce cercle, R est le milieu de [OH]. 1. 2. 3. Le point R appartient... La distance du point O au plan P est... i OM = 11,7 cm et HM = 10,8 cm, alors OH = à la sphère de centre O et de rayon OM. à la boule de centre O et de rayon OM. au plan P. OM OR OH 4,5 cm 1,2 cm 20,25 cm N. N page 7 Lycée Jean Giono Turin

Exercice n 15 : Pondichery 2013... Une pyramide régulière de sommet a pour base le carré BCD telle que son volume V est égal à 108 cm 3. a hauteur [H] mesure 9 cm. 1. Vérifier que l aire de BCD est bien 36 cm 2. En déduire la valeur de B. Montrer que le périmètre du triangle BC est égal à 12+6 2 cm. 2. MNOP est une réduction de la pyramide BCD. On obtient alors la pyramide MNOP telle que l aire du carré MNOP soit égale à 4 cm 2. D H B C a) Calculer le volume de la pyramide MNOP. b) Pour cette question toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l évaluation. Elise pense que pour obtenir le périmètre du triangle MNO, il suffit de diviser le périmètre du triangle BC par 3. P M D H O N B C Êtes-vous d accord avec elle? Exercice n 16 : ntilles Guyane 2013... Flora fait des bracelets avec de la pâte à modeler. Ils sont tous constitués de 8 perles rondes et de 4 perles longues. Cette pâte à modeler s achète par blocs qui ont tous la forme d un pavé droit dont les dimensions sont précisées ci-contre. La pâte peut se pétrir à volonté et durcit ensuite à la cuisson. 2 cm 6 cm 6 cm Information sur les perles : Une perle ronde Une perle longue Boule de diamètre 8mm Cylindre de hauteur 16 mm et de diamètre 8 mm Flora achète deux blocs de pâte à modeler : un bloc de pâte à modeler bleue pour faire les perles rondes et un bloc de pâte à modeler blanche pour faire les perles longues. Combien de bracelets peut-elle ainsi espérer réaliser? N. N page 8 Lycée Jean Giono Turin