Concours externe pour le recrutement de contrôleurs stagiaires de l INSEE Exercice 1 Partie A Correction (non officielle) de l épreuve de Mathématiques et de Statistiques du 29/01/2013 Nicolas ZERR 1) Pour calculer la limite de en, on développe l expression de puis on factorise par. Cette méthode permet de lever l indétermination. Attention : est définie sur mais le calcul suivant se déroule sur l intervalle ( ) On sait que : ( ) On en déduit : ( ) Par produit, on en déduit que : ( ) 2) a) On procède de la même manière pour lever l indétermination de en. ( ) On sait que : ( ) Page 1 sur 10
On en déduit : Par produit, on en déduit que : ( ) ( ) b) La fonction est dérivable sur comme somme de fonctions dérivables sur cet intervalle. On sait que. Donc est du signe de On a : Sur les fonctions carré et racine carré sont croissantes donc : D où le tableau de signe : Conclusion : est positive sur ] ] et négative sur [ [ c) Lorsque est positive, est croissante. Lorsque est négative, est décroissante. De plus : D où le tableau de variations : d) La fonction est continue sur et, de plus : - Sur l intervalle [ ] donc l équation ne possède aucune solution. - Sur l intervalle [ [, et la fonction est monotone. Par conséquent, d après le théorème des valeurs intermédiaires, l équation admet une unique solution. Page 2 sur 10
Conclusion : sur l intervalle, l équation admet une unique solution, notée De plus, on a montré que [ [ e) À l aide du tableur de la calculatrice, un procédé de type dichotomie permet d obtenir un encadrement de à près : f) on pose. Dans ce cas, et on a : Le discriminant du polynôme est égal à : Comme le polynôme possède deux racines réelles, notées et. On a : Pour résoudre l équation on remarque que Or D où : On a : ( ) Conclusion : On obtient donc, ce qui est cohérent avec l encadrement de la question précédente. g) Du tableau de variations de la fonction, on déduit le tableau de signe suivant : 3) La fonction est dérivable sur et pour tout réel on a : Page 3 sur 10
4) donc est du signe de Par conséquent, du tableau de signe de on tire : 5) on a : On pose. On a donc. D où : Le discriminant du polynôme est égal à : Comme le polynôme possède deux racines réelles, notées et. On a : Pour résoudre l équation on remarque que Or D où : On a : Conclusion : Enfin, on sait que par conséquent est solution de l équation. On en déduit que sur l ensemble des solutions de l équation est : Page 4 sur 10
Partie B 6) Représentation graphique des fonctions et 7) L intégrale suivante : ( ) ( ) désigne l aire comprise entre les droites d équations, et les courbes représentatives de et 8) On sait que : D autre part, comme : D où : ( ) ( ) On en déduit : ( ) Page 5 sur 10
Exercice 2 1), on a Par conséquent : Conclusion :, donc la suite est géométrique de raison et de terme initial : 2) D après la question précédente, on en déduit la formule : Comme on a : D où : 3), on a On en déduit : Exercice 3 Dans le QCM, aucune justification n était demandée. Néanmoins, il y a quelques éléments de réponse ci-dessous. 1) b. Faux. Considérer par exemple la fonction strictement croissante sur mais dont la limite en vaut 2. 2) b. Faux. En effet : La condition induit directement que les solutions de l inéquation ne peuvent pas être négatives. 3) b. La fonction est paire. En effet, 4) a. 5) On peut s aider d un arbre pondéré. 1- b. ( ) R 2- c. S 3- a. ( ) R 4- b. 5- d. 6- c. ( ) Page 6 sur 10 S R R
Exercice 4 1) Représentation graphique (questions 1 à 4). Attention : il fallait utiliser un repère orthonormal. 2) Les coordonnées du point moyen sont ( ) où et désignent les moyennes respectives des et des (pour allant de 1 à 6). On a : 3) Ajustement linéaire a. On rappelle les formules permettant de calculer l équation de la droite d ajustement linéaire de en par la méthode des moindres carrés. On a avec : ( ) Page 7 sur 10
On en déduit l expression de et en fonction des quantités données dans l énoncé : D où : Conclusion (arrondi à près) : b. Représentation graphique de la droite d équation c. On note. On a donc : ( ) ( ) ( ) D où : ( ) ( ) ( ) ( ) Application numérique : ( ) d. Si l on note, alors une estimation de la population de la ville en 2007 est donnée par (arrondi à l unité) : Conclusion : un ajustement linéaire conduit à une prévision de 87 milliers d habitants en 2007. Page 8 sur 10
4) Un autre ajustement a. Représentation graphique de la parabole d équation. b. Si l on note, alors une estimation de la population de la ville en 2007 est donnée par (arrondi à l unité) : Conclusion : un ajustement par la branche de parabole conduit à une prévision de 89 milliers d habitants en 2007. c. Le résidu associé au deuxième ajustement est : d. On a donc : ( ) On peut commencer par calculer : ( ) D où : ( ) On en déduit : ( ) L écriture en fonction des quantités données dans l énoncé : ( ) L application numérique : ( ) Page 9 sur 10
Remarque : pour éviter les erreurs de calculs lors de l application numérique, il est plus commode d entrer dans la calculatrice les listes et Ensuite, on définit les fonctions et Enfin, on calcule : ( ) ( ) Les résultats correspondent bien aux valeurs trouvées ci-dessus. 5) La somme des carrés des résidus associés à l ajustement obtenu par la branche parabolique est inférieure à la somme des carrés des résidus associés à l ajustement linéaire : ( ) ( ) Ce n est pas étonnant puisque graphiquement, les distances entre le nuage de points et la courbe sont toutes inférieures aux distances entre le nuage de point et la droite. Par conséquent, la seconde estimation (89 milliers d habitants) est plus pertinente que la première. Page 10 sur 10