Scénario pédagogique «Développer des passerelles entre voies générales, technologiques et professionnelles (lycée)» en accompagnement personnalisé Je suis élève en terminale Bac Pro (groupements A et B) et je me prépare à la poursuite d études en STS. Tableau descriptif de synthèse COMPETENCES DEVELOPPEES Lire Découvrir Calculer Raisonner Pratiquer une démarche scientifique Utiliser la calculatrice NIVEAU(X) CONCERNES Terminale BAC PRO des groupements A et B (Des spécificités existent selon 3 groupements A, B ou C) CHAMPS DISCIPLINAIRES MOBILISES M Mathématiques Il y a d autres domaines des mathématiques à prévoir. On peut également envisager d autres disciplines. OBJECTIFS POUR L ELEVE Découvrir une partie du programme complémentaire de mathématiques pour les terminales des baccalauréats professionnels des groupements A et B en vue d une poursuite d études en STS. DEMARCHE PROPOSEE De façon individuelle ou en groupes, avec l aide du professeur, pendant plusieurs séances. On peut se limiter aux fiches «cours» (qui contiennent déjà des exemples d application à traiter) et «utilisation de la calculatrice» ou prolonger encore le travail avec la fiche «exercices de départ» pour les élèves qui ont le moins de difficultés et qui sont plus rapides et ainsi différencier selon le niveau des élèves en AP. RESSOURCES ET OUTILS NECESSAIRES Polycopiés de la fiche «cours», de la fiche «utilisation de la calculatrice», de la fiche «exercices de départ» et utilisation de l émulateur de la calculatrice au tableau numérique par les élèves pour la vérification ou les calculs les plus fastidieux conformément au programme et pour dynamiser l action. Calculatrice. EVALUATION DE L ACTION Dans l idéal, avoir un suivi des élèves en STS et évaluer leur motivation et confiance en soi en étant en relation le professeur enseignant l année suivante à ces élèves en première année de STS.. Leviers et freins prévisibles Insister sur l utilité des nombres complexes dans différents domaines. On peut élargir très facilement sur leur interprétation géométrique, ne pas hésiter à le faire. Des problèmes dans les calculs qui nécessiteront l aide du professeur. Les élèves seront intéressés par l utilisation de la calculatrice mais devront aussi maîtriser les techniques de calcul sans avoir recours à celle-ci.
Fiche cours : Nombres complexes (Bases) CARDAN ( 6 ème siècle) fut à la fois médecin, astrologue, ingénieur et mathématicien. Il inventa notamment un système pour transmettre la rotation d un axe à un autre, qu on appelle aujourd hui encore un cardan. Il publia aussi une méthode pour résoudre des équations du 3 ème degré dans laquelle, pour trouver la solution de certaines équations, il utilisait la racine carrée d un nombre négatif. CARDAN ne donna pas de statut à ces «nombres impossibles», c est BOMBELLI qui le fit en introduisant des nombres «imaginaires» dans son Algèbre publiée en 5. Ces «nombres imaginaires» aujourd hui devenus «nombres complexes» sont utilisés en électricité, en mécanique et en automatique. Définitions : Définitions : On admet l existence d un nouveau nombre, noté i, dont le carré est égal à - : i. On appelle alors nombre complexe tout nombre de la forme x yi où x et y sont deux nombres réels. Cette écriture est dite forme algébrique du nombre complexe : x est la partie réelle du nombre complexe et y est sa partie imaginaire. L ensemble des nombres complexes est noté. Exemple : z 3 i est un nombre complexe. Sa partie réelle est 3, on note Re( z) 3. Sa partie imaginaire est, on note Im( z). Remarques : Soient z et z ' deux nombres complexes. z z ' ssi Re( z) Re( z ') et Im( z) Im( z ') Si z yi, c est-à-dire si Re( z) 0, on dit que z est un imaginaire pur. Si Im( z) 0, c est-à-dire si z x0i x, alors z est un réel. D où est inclus dans. Il n y a pas d ordre entre les nombres complexes. Il n y a pas de nombres complexes positifs ou négatifs. Les nombres complexes sont très utilisés en électricité. Afin d éviter toute confusion avec l intensité i d un courant, le nombre complexe i (tel que i ) est noté j par les physiciens.
Opérations sur les nombres complexes : A savoir effectuer «à la main» et à la CALCULATRICE. Soient z x yi et z' x' y' i deux nombres complexes. Somme de deux nombres complexes : z z' ( x x') ( y y') i soit Re( z z') Re( z) Re( z') Im( z z') Im( z) Im( z') Re( z) Re( z) Opposé d un complexe : L opposé de z est z x yi soit Im( z) Im( z) Soustraction de deux complexes : z z' z( z') Produit de deux complexes : zz' ( x yi)( x' y' i), et on développe comme dans en tenant compte de l égalité i. Remarque : Les identités remarquables établies dans sont donc les mêmes dans. Conjugué d un nombre complexe : Le conjugué de z x yi est noté z et vaut x yi Re( z) Re( z) soit Im( z) Im( z) Inverse et quotient de deux complexes : Pour écrire le quotient de deux nombres complexes sous forme algébrique, on multiplie le numérateur et le dénominateur (qui doit être différent de 0) par le conjugué du dénominateur, c est-à-dire : z z z' avec z ' 0. z ' z' z' Exemples : Calculer : ) (5 3 i) ( 4 i) ) ( ) (3 6 ) 4 i i 3) ( i)(3 i) 4) (5)(5 i ) i (5 )² i 5) Donner le conjugué de 3 i 6) 3 i ) 3 i 4 3i
Fiche utilisation de la calculatrice CASIO 35+ sur ces notions: Dans le MENU, on choisit RUN-MATH puis OPTN puis on sélectionne à l écran CPLX (F3), on obtient le complexe i à l écran grâce à F, on peut ainsi effectuer toutes les opérations sur les nombres complexes sous forme algébrique. Conj (F4) permet d obtenir le conjugué d un nombre complexe, Rep (F) et Imp (F) (page suivante) permettent respectivement d obtenir la partie réelle et la partie imaginaire. Fiche d exercices de départ sur les nombres complexes : Ex : Pour chacun des nombres complexes suivants, identifier sa partie réelle et sa partie imaginaire. z 44i z 9i z 5 z i 3 i Ex : a b i 3i. Déterminer les réels a et b tels que Ex 3 : Déterminer les réels a et b tels que a² 5i 3bi. Ex 4 : On considère les nombres complexes z i et z' 3 i. Déterminer la forme algébrique de z z' et de z z' (Vous vérifierez vos résultats grâce à la calculatrice). Ex 5 : Déterminer «à la main» puis grâce à la calculatrice la forme algébrique de :
5i3 i 3 i 4 i 3 i 5 4i5 4i Ex 6 : Déterminer le conjugué de chacun des nombres complexes suivants : (Vous vérifierez vos réponses grâce à la calculatrice) z 4i z 9i z 5 i z 8 Ex : Déterminer «à la main» puis grâce à la calculatrice la forme algébrique de : 4i 9i i 3 i 5i i i 5i i