CHAINES DE SOLIDES Les mécanismes sont constitués de nombreuses pièces, certaines restant en permanence liées à d autres au cours du fonctionnement du mécanisme. Les liaisons mécaniques permettent la mobilité entre les groupes de pièces. L analyse de ces différentes liaisons fait ainsi apparaître les chaînes de solides. R S - Rappel sur les liaisons élémentaires Solide indéformable : C est un solide physique dont on peut négliger la déformation sous l effet des actions mécaniques A B d AB dt R s est un repère lié au solide S qui lui sont appliquées Cela implique que, quels que soient les points A et B appartenant à ce solide, la distance AB reste constante dans le temps. Rs = 0 Classe d équivalence : C est l ensemble des pièces d un même système mécanique qui sont en permanence en liaison encastrement, et dont le comportement du point de vue cinématique est équivalent au comportement de l une d entre elles. Liaison élémentaire : Modèle retenu pour traduire la relation physiquement établie entre deu solides ou classe d équivalence par l intermédiaire d une où plusieurs surfaces de contact, et autorisant un nombre défini de degrés de liberté (mouvements) de l un par rapport à l autre. Il y a au total 0 liaisons élémentaires autorisant des mouvements relatifs T X z Une liaison autorisant 6 degrés de liberté est appelée liaison libre. Une liaison n autorisant aucun degré de liberté est appelée liaison encastrement ou liaison fie. Une liaison élémentaire est caractérisée par un ou plusieurs éléments géométriques associés : direction, centre, normale, ae (voir annee). R X y y M Salette- Lycée Brizeu- Quimper Torseurs associés à une liaison élémentaire : On suppose que les liaisons entre solides sont parfaites, c'est-àdire que : les surfaces en contact sont géométriquement parfaites il n y a pas de frottement le contact est supposé bilatéral Chaque liaison élémentaire autorise un comportement mécanique de l un des solides par rapport à l autre. Des torseurs traduisent ce comportement : A z : C0 Chaines de solides.doc- Page sur
Le torseur cinématique : { V } (ou torseur des vitesses permises) ( S / R ) = Ω V( ( S / R ) A A, S / R ) On utilise de manière conventionnelle la lettre { ( S / R) } cinématique ( S / R) V (vitesse) pour désigner un torseur Ω est la vitesse angulaire( eprimée en rad/s), qui sera la même en tout point du solide V est la vitesse linéaire( eprimée en m/s), qui sera fonction de la position du point du solide ( A, S / R) Les éléments de réduction par projection dans une base particulière font apparaître n c paramètres (ou inconnues) cinématiques. Ce nombre correspond au degrés de liberté (ddl) de la liaison. Le torseur «statique» : { τ } (ou torseur des actions transmissibles) ( S R ) = A R( M S R ) ( A, S R ) Désigné de manière conventionnelle avec la lettre τ (pour torseur ) Les éléments de réduction par projection dans une base particulière font apparaître n s paramètres (ou inconnues) statiques. Ce nombre correspond au degrés de liberté supprimés de la liaison. Il eiste une relation particulière entre ces deu nombres : n c + n s = 6. - Graphe de structure (ou graphe des liaisons) Graphe où les classes d équivalence sont représentées par des cercles et les liaisons par des arcs (ou des segments) joignant les cercles. Suivant la représentation obtenue, on pourra distinguer : - des chaînes ouvertes continues de solides - des chaînes fermées simples de solides - des chaînes fermées complees de solides. L5 L9 0 L6 L L4 4 L8 L7 L 5 Eemple de chaîne ouverte continue : Robot Ericc Bras Avant-bras Graphe de structure : Poignet 4 L L4 Chaise Socle 0 Pince 5 L L 0 L5 5 4 Ici, les liaisons L i sont toutes des liaisons pivots : C0 Chaines de solides.doc- Page sur
Eemple de chaîne fermée simple: Vérin électrique Ecrou -tige Graphe de structure : Arbre vis L Bâti L L Eemple de chaîne fermée complee: Positionneur 6 aes Table Graphe de structure : Tige de vérin i 4 5 6 4 5 6 0 Embase 0 Corps de vérin i Liaisons 0/ i et / i : liaisons sphériques Liaisons i / i : liaisons pivot glissant On appelle N le nombre de solides et L le nombre de liaisons intervenant dans la chaîne. On remarque que : - pour une chaîne ouverte continue : L = N - pour une chaîne fermée simple : L = N - pour une chaîne fermée complee : L > N. Nombre cyclomatique : On remarque que sur les chaînes fermées complees, il est possible d écrire plusieurs fermetures cinématiques. On appelle γ le nombre de cycles strictement nécessaires pour prendre en compte toutes les inconnues cinématiques. Ce nombre est défini par la relation : γ = L N + - Liaisons équivalentes Dans un graphe de structure, il est possible de remplacer un sous-ensemble de liaisons liant deu ou plusieurs pièces par une seule liaison entre deu solides, équivalente du point de vue cinématique et statique (si on se place dans le cas des liaisons parfaites). On distingue deu cas : - les liaisons en parallèle - les liaisons en série. Pour déterminer une liaison équivalente, on peut rechercher soit le torseur statique équivalent, soit le torseur cinématique équivalent. On parle dans le er cas de méthode statique, dans le ème de méthode cinématique. : C0 Chaines de solides.doc- Page sur
- Liaisons en parallèle: On considère une portion de graphe liant deu solides et par l intermédiaire de trois liaisons. On cherche à déterminer la liaison équivalente, qui pourrait être une liaison élémentaire. Méthode statique : Le solide est soumis à une action etérieure autre que celles dues au liaisons : { τ ( e ) }. On note : { τ } = { τ ( ) }, { τ } = { τ ( ) }, { τ } = { τ ( ) } et { τ équ } = { τ ( ) }. L On applique le PFS au solide. En considérant les trois liaisons, on obtient : { τ } + { τ } + { τ } + { τ ( ) } = { 0} e En considérant la liaison équivalente, on obtient : { τ équ} + { τ ( e ) } = { 0} Par substitution, on obtient : { τ } + { τ } + { τ } = { τéqu}. Attention, pour faire cette somme de torseur, il faudra tous les eprimer en un même point. : C0 Chaines de solides.doc- Page 4 sur L D une manière générale, le torseur statique d une liaison équivalente à n liaisons en parallèle τ = n équ τi () s eprime par : { } { } Méthode cinématique : i= On note : { V } = { V ( / ) }, { V } = { V ( / ) }, { V } = { V ( / ) } et { V équ } = { V ( / ) } L L Le comportement cinématique du solide par rapport à, est induit par la liaison L, mais aussi L et L et également par la liaison équivalente. On traduit cela par l égalité de tous les torseurs entre eu.{ V équ } = { V } = { V } = { V } D une manière générale, le torseur cinématique d une liaison équivalente à n liaisons en parallèle s eprime par : L L { V équ } = { V } =... = { V } =... = { } i Vn Conclusion : Dans le cas des liaisons en parallèle, on privilégiera la méthode statique. On aura intérêt à rechercher si les ensembles de points conservant pour chaque torseur sa forme particulière ont une zone commune. On écrira alors les éléments de réduction des torseurs en un point de cette zone commune. Mobilité : On appelle «m», le degré de mobilité de la liaison équivalente au n liaisons en parallèle. Il est égal à 6 (nombre maimum de degrés de liberté) moins le nombre d équations statiques indépendantes : m = 6 - rs Si m = 0, la liaison équivalente est une liaison encastrement ou fie. Si m > 0, la liaison est dite mobile à m degrés de libertés. Hyperstatisme : Si on appelle ns i le nombre d inconnues statiques introduites par la liaison «i», alors le nombre total d inconnues statiques mise en oeuvre par la liaison équivalente Ns vaut : Ns = ns i. L L L n i= L éq Action etérieure Action etérieure Léqu Léqu
En appliquant la relation (), on fait apparaître un nombre d équations scalaires statiques indépendantes noté «rs» au plus égal à 6. On appelle «h», le degré d hyperstatisme de la liaison équivalente au n liaisons en parallèle, le nombre total d inconnues statiques moins le nombre d équations statiques indépendantes : h = Ns rs Remarque : pour l étude des liaisons en parallèle, rs = ns eq nombre d inconnues statiques indépendantes que l on a dans le torseur statique de la liaison équivalente Si h = 0, la liaison est dite isostatique. Si h > 0, la liaison est dite hyperstatique d ordre h. Eemple de réalisation de liaison hyperstatique : guidage d un vilebrequin de moteur thermique à 4 cylindres : la liaison pivot est réalisée par 5 portées cylindrique correspondant chacune à une liaison pivot. On a donc un hyperstatisme h = 0, nécessaire ici pour avoir un guidage rigide du vilebrequin, mais qui impose des contraintes de précision d usinage au niveau des pièces participant au guidage. guidage par paliers lisses Autre eemple de liaison hyperstatique - Liaisons en série: On considère une portion de graphe liant trois solides, et par l intermédiaire de deu liaisons. On cherche à déterminer la liaison équivalente, qui pourrait être une liaison élémentaire. Méthode statique : Le solide est soumis à une action etérieure autre que celles dues au liaisons : { τ ( e ) }. On note : = τ ( ) = τ ( ) τ équ = τ ( ). { τ } { }, { } { } Léqu On applique le PFS au solide.on obtient : { τ } + { τ ( e ) } = { 0} On applique le PFS au système (+). on obtient : { τ } + { τ ( e ) } = { 0} τ, et { } { } On applique le PFS au solide en considérant la liaison équivalente, on obtient : { τ } { } = équ + τ ) { 0} ( e Par substitution, ces trois relations donnent : { τ } = { τ } = { τéqu}. D une manière générale, le torseur statique d une liaison équivalente à n liaisons en série s eprime par : { τ équ} = { τ } =... = { τi} =... = { τn} Méthode cinématique : () On note : { V } = { V ( / ) }, { V } = { V ( / ) } et { V équ } = { V ( / ) } L L Léqu L L L éq Action etérieure Action etérieure : C0 Chaines de solides.doc- Page 5 sur
Le comportement cinématique du solide par rapport à, est induit par la liaison L, mais aussi L et L et également par la liaison équivalente. La composition de mouvements de par rapport à s eprime par la composition des torseurs cinématiques : { V équ } = { V } + { V } D une manière générale, le torseur cinématique d une liaison équivalente à n liaisons en série s eprime par : { V } = n équ { Vi} i= Conclusion : Dans le cas des liaisons en série, on privilégiera la méthode cinématique. On aura intérêt à rechercher si les ensembles de points conservant pour chaque torseur sa forme particulière ont une zone commune. On écrira alors les éléments de réduction des torseurs en un point de cette zone commune. Hyperstatisme : La relation () permet de déterminer toutes les composantes des torseurs { i} τ. Par conséquent, une liaison équivalente à des liaisons en série est toujours isostatique. Mobilité : On appelle nc i le nombre d inconnues cinématiques introduites par la liaison Li. Alors le nombre total n d inconnues cinématiques de la liaison équivalente Nc vaut : Nc = nc i On appelle «m», le degré de mobilité cinématique de la chaîne continue ouverte constituée des n liaisons en série. Il est égal au nombre total d inconnues cinématiques : m = Nc On appelle «mu», le degré de mobilité de la liaison équivalente : mu = nc équ. Ces deu mobilités ne sont pas systématiquement égales. En effet m peut être supérieure à mu. On définit alors la mobilité interne «mi» telle que : m = mu + mi i= Cette mobilité peut se déterminer en supposant les deu solides terminau de la chaîne ouverte immobile l un par rapport à l autre et en observant les mouvements internes possibles. Eemple de liaisons en série : paumelle de porte 4- Chaînes fermées simples En reliant les deu solides etrêmes d une chaîne continue ouverte, on obtient une chaîne fermée simple. Une chaîne fermée simple possède autant de solides que de liaisons. On définit ci-dessous les relations caractéristiques d un tel type de chaîne en considérant ensuite l eemple d un vérin électrique. Etude statique et hyperstatisme : Une chaîne de n solides liés par n liaisons permet d appliquer (n-) fois le PFS. L un des solides étant fie ne peut être isolé. Il résulte de ces (n-) isolements un certain nombre d équations statiques indépendantes. On notera «rs» le nombre d équations statiques indépendantes et «Ns» le nombre total d inconnues statiques. On appelle h le degré d hyperstatisme d une chaîne fermé simple. Il est égal à la différence entre le nombre total d inconnues statiques Ns et le nombre de relations statiques indépendantes les liant rs : h = Ns rs : C0 Chaines de solides.doc- Page 6 sur
Etude cinématique et mobilité: Une chaîne de n solides liés par n liaisons permet d appliquer une fois la composition de mouvement en écrivant la fermeture des torseurs cinématiques. On obtient alors un système d au plus 6 équations cinématiques indépendantes. On notera «rc» le nombre d équations cinématiques indépendantes et «Nc» le nombre total d inconnues cinématiques. On appelle m le degré de mobilité d une chaîne fermé simple. Il est égal à la différence entre le nombre total d inconnues cinématiques Nc et le nombre de relations cinématiques indépendantes les liant rc: m = Nc - rc Cette mobilité se décompose en mobilité utile (loi E/S) «mu» et mobilité interne «mi» avec : m = mu + mi Problème : si la détermination de rc est en général aisée, celle de rs est souvent longue et fastidieuse. D où une certaine difficulté à déterminer le degré d hyperstatisme d une chaîne fermée simple. Par analogie avec les chaînes ouvertes, on démontre que la mobilité peut aussi s eprimer par la relation suivante : m = 6(n-) rs En utilisant la relation remarquable nc i + ns i = 6, on peut eprimer le degré d hyperstatisme plus simplement : n n On peut écrire : Nc + Ns = nc i + ns i = 6n De plus : rs = 6 (n-) m = (Nc + Ns) - 6 - m D où : h = Ns rs = Ns ( (Nc + Ns) 6 m ) Ce qui nous donne la relation finale suivante : h = m + 6 Nc Eemple de chaîne fermée simple: Vérin électrique i= i= Ecrou -tige Arbre vis τ { ( E ) } Graphe de structure : L τ { ( ) } E y O z Bâti L L On définit les torseurs statiques et cinématiques par leurs éléments de réductions en O. r r r X + Y y + Z z r α τ = r r { V ( / ) } = M y + N z O O 0 r r r X + Y y + Z z r α τ ( ) = r r r { V ( / ) } = r px + M y + N z O pα O r r r Y y + Z z 0 τ ( ) = r r r { V ( / ) } = r L + M y + N z O u O { ( ) } { } { } On considère que cet ensemble matériel est en équilibre sous l action de deu torseurs etérieurs : r r r r r r Xe + Yey + Zez { τ } = et Xe' + Ye' y + Ze' z ( E ) r r r { τ ( E ) } = r r r Le + Mey + Nez O Le' + Me' y + Ne' z O : C0 Chaines de solides.doc- Page 7 sur
Etude statique : On applique le PFS à l arbre vis : { τ ) } + { ( ) } + { ( ) } { 0} E τ τ Puis, on applique le PFS à l écrou tige : { τ ) } + { ( ) } { ( ) } { 0} E τ τ X + X + Xe = 0 X + Xe'= 0 (b) Y + Y + Ye = 0 Y Y + Ye'= 0 Z On obtient au total équations: + Z + Ze = 0 Z Z + Ze'= 0 px + Le = 0 (a) px + L + Le'= 0 M + M + Me = 0 M M + Me'= 0 N + N + Ne = 0 N N + Ne'= 0 On remarque que l équilibre de l ensemble ne peut avoir lieu que si les composantes Xe' et Le sont liées (relation imposée par (a) et (b)). Au total, on obtient donc équations indépendantes (sur un total initial de ) liant 5 inconnues statiques. Le degré d hyperstatisme vaut donc : h = Ns rs = 5 = 4 X + X + Xe = 0 Y + Y + Ye = 0 Z + Z + Ze = 0 px + Le = 0 X + Xe'= 0 avec Le = pxe' M + M + Me = 0 N + N + Ne = 0 Y Y + Ye'= 0 Z Z + Ze'= 0 px + L + Le'= 0 M M + Me'= 0 N N + Ne'= 0 Etude cinématique : On eprime la fermeture cinématique :: { V ( / ) } + { V ( / ) } + { V ( / ) } = { 0} α On obtient alors deu équations scalaires indépendantes : +α = 0 pα + u = 0 Le degré de mobilité vaut donc : m = Nc rc = = (avec mu = et mi = 0) On peut retrouver la valeur de h en utilisant la relation : h = m + 6 Nc = + 6 = 4. 5- Chaînes fermées complees Une chaîne fermée complee possède un nombre de liaisons supérieur au nombre de solides. L étude d une chaîne complee reprend la même démarche que celle d une chaîne simple. Mais la présence de plusieurs cycles amène à des relations prenant en compte le nombre cyclomatique. Etude statique et hyperstatisme : Une chaîne de n solides liés par l liaisons permet d appliquer (n-) fois le PFS. L un des solides étant fie ne peut être isolé. Il résulte de ces (n-) isolements un certain nombre d équations statiques indépendantes. Ces équations font intervenir au total Ns inconnues statiques. On notera «rs» le nombre d équations statiques indépendantes et «Ns» le nombre total d inconnues statiques. On appelle h le degré d hyperstatisme d une chaîne fermé simple. Il est égal à la différence entre le nombre total d inconnues statiques Ns et le nombre de relations statiques indépendantes les liant rs : h = Ns - rs : C0 Chaines de solides.doc- Page 8 sur
Etude cinématique et mobilité: Une chaîne de n solides liés par l liaisons permet d écrire plusieurs fermetures cinématiques, en l occurrence γ fermetures On obtient alors un système d au plus 6γ équations cinématiques indépendantes. Ces équations font intervenir au total Nc inconnues cinématiques. On notera «rc» le nombre d équations cinématiques indépendantes et «Nc» le nombre total d inconnues cinématiques. On appelle m le degré de mobilité d une chaîne fermé simple. Il est égal à la différence entre le nombre total d inconnues cinématiques Nc et le nombre de relations cinématiques indépendantes les liant rc: m = Nc - rc Problème : si la détermination de rc est en général aisée, celle de rs est souvent longue et fastidieuse. D où une certaine difficulté à déterminer le degré d hyperstatisme d une chaîne fermée simple. Par analogie avec les chaînes ouvertes, on démontre que la mobilité peut aussi s eprimer par la relation suivante : m = 6(n-) rs En utilisant la relation remarquable nc i + ns i = 6, on peut eprimer le degré d hyperstatisme plus simplement : n n On peut écrire : Nc + Ns = nc i + ns i = 6 l i= De plus : rs = 6 (n-) m = 6 (l - γ) m = (Nc + Ns) - 6γ - m D où : h = Ns rs = Ns ( (Nc + Ns) 6γ m ) i= Ce qui nous donne la relation finale suivante : h = m + 6γ - Nc Dans le cas d un problème plan, cette relation devient : h = m + γ - Nc TABLEAU DES LIAISONS : C0 Chaines de solides.doc- Page 9 sur
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Ce qu il faut retenir : Il y aura sortes de problèmes à traiter : Recherche de la liaison équivalente à l association de liaisons en série ou en parallèles Recherche de la mobilité et de l hyperstatisme d un mécanisme. Penser à chercher la zone commune pour eprimer les torseurs Les relations à utiliser devront correspondre à l étude à mener : Liaison équivalente : liaisons en parallèle On cherche la liaison équivalente à l association de liaisons en parallèle. L association de liaison en parallèle est généralement hyperstatique τ + τ + τ = τéqu { } { } { } { } N S = Σ n si h = N S r s = N S n seq { V équ } = { V } = { V } = { V } r s correspond au nombre de composantes indépendantes du { τ équ} n seq correspond au nombres d inconnues statiques de la liaison équivalente m= 6 - n seq Liaison équivalente : liaisons en série On cherche la liaison équivalente à l association de liaisons en série. Cette association ne peut pas créer d hyperstatisme, elle va augmenter la mobilité { τ } = { τ } = { τéqu} N C = Σ n Ci m = N C { V équ } = { V } + { V } m u = n Cequ m = m u + m i Mécanisme à chaîne fermée simple On cherche à déterminer les mobilités et l hyperstatisme d un mécanisme N S nombre d inconnues statiques r s nombre d équations obtenues en appliquant (n-) fois le PFS h = N S r s m = N C - r c r c est le nombre d équations cinématiques indépendantes et m = m u + m i Il est difficile de déterminer r c et r s. On va généralement essayer de trouver la mobilité m du mécanisme en cherchant les mouvements indépendants possibles. On en déduit l hyperstatisme avec la relation : h = m + 6 - N c Mécanisme à chaîne fermée complee On cherche à déterminer les mobilités et l hyperstatisme d un mécanisme h = N S r s m = N C - r c r c est le nombre d équations cinématiques indépendantes et m = m u + m i Il est difficile de déterminer r c et r s. On va généralement essayer de trouver la mobilité m du mécanisme en cherchant les mouvements indépendants possibles. On en déduit l hyperstatisme avec la relation : h = m + 6.γ - N c avec γ = L N + L nombre de liaison N nombre de pièces Cas du problème plan : On ne prend plus en compte que composantes dans les torseurs, et on a alors h = m +.γ - Nc : C0 Chaines de solides.doc- Page sur