lectrocinétique 5 ésonance électrique I. éponse du dipôle LC série à une excitation sinusoïdale Soit un circuit LC série, et un générateur de tension e(t) = cos t de résistance interne négligeable. A t = 0 on ferme l'interrupteur. i(t) I.. égime transitoire e(t) La loi des mailles : u + u L + u C = e (t) = i + L di + u c où i = C du C se traduit par l'équation dt dt différentielle d u C dt + L du C + dt L C u c = L C e(t) dont la solution u C(t) est la somme de la solution générale u T de l'équation à second membre nul et d'une solution particulière u p de l'équation complète. La forme de u T dépend de la résistance du dipôle LC, de sa valeur dépend le signe du discriminent Δ de l'équation caractéristique : si > L C u T = e - λt (Ae Ωt + Be - Ωt ) où A et B sont deux constantes, Ω = Δ et λ = L L u (t) u L (t) K C u C (t) si = L C u T = e - λt (At + B) où A et B sont deux constantes si < L C u T = e - λt (Acos n t + Bsin n t) où A et B sont deux constantes et n = Δ Dans tous les cas cette solution est évanescente donc u T correspond à un régime transitoire. Noter que si est nul, u T ne s'annule jamais et ce superpose à la solution u p. Ce qui se traduirait par une catastrophe (apport d'énergie à un système qui n'en perd pas) mais heureusement n'est jamais nul. I.. égime permanent Il s'agit donc de trouver une solution u p particulière de l'équation complète. Nous cherchons cette solution sous la forme u p = U cm cos(t + ϕ u ). u p correspond au régime permanent. Pour ce faire, à chacune des tensions u nous associons un vecteur U de norme égale à l'amplitude U m de la tension et faisant avec l'axe des abscisses un angle ϕ phase à l'origine de cette tension. La tension u est l'abscisse du vecteur U c'est à dire la partie réelle de l'affixe du point M tel que OM = U I... Méthode de Fresnel u = I m cos (t + ϕ i ). Je ne connais pas ϕ i. Mais je vais quand même représenter u par un vecteur horizontal. J'obtiendrai ϕ i quand le diagramme sera terminé. u L = L di = LI m cos(t + ϕ i + π dt ) et u C = posé U m = I m je peux représenter U Lm et U Cm. Je constate qu'il existe plusieurs cas selon le signe de L - C I mcos(t + ϕ i - π ). Puisque j'ai donc selon la valeur de. C ϕ i U m UCm ϕ i U Lm U Cm U Lm U m UCm ϕ i U Lm L > U m C ϕ i < 0 L = U m C ϕ i = 0 L < C ϕ i > 0 MacXIair:MPSI:lectricité:Cours 5 ésonance électrique ds - décembre 0 Page /6
U m = I m = cos ϕ i. Le signe de ϕ i est donné par le diagramme et tan ϕ i = dans tous les cas. J'en déduis I m puis toutes les tensions. L C = L C C I m = cos ϕ i i(t) = cos ϕ icos(t + ϕ i ) u p = solution permanente de u C. C cos ϕ icos(t + ϕ i - π ) est la I... Méthode complexe Toutes les lois que nous avons appliquées aux valeurs instantanées de u(t) et i(t) en régime quelconque, peuvent être appliquées aux amplitudes complexes U et I de ces grandeurs. C'est vrai des lois de Kirchhoff et de tout ce qui en découle : la loi des nœuds en termes de potentiel, les transformations Norton Thévenin d'un dipôle actif et les formules des diviseurs de tension et diviseurs de courant. Ici on cherche u C on peut utiliser la formule du diviseur de tension avec les impédances complexes : U C = U C = Z C Z +Z L +Z C = Y C Y C Z C Z +Z L +Z C or Y C Z C = U C = j C L C + son module est U Cm = ( L C ) + ( C ) Z Y C +Z L Y C + Puisque est réel, ϕ C = Arg[U C ] = Arg[ - LC C - jc] tan ϕ C = -, le signe de L C cos(ϕ C ) est celui de la partie réelle ( - LC ) donc il dépend de et sin (ϕ C ) est du signe de la partie imaginaire donc toujours négatif - π < ϕ C < 0. On retrouve la dépendance de u C avec. On a donc ici : u p = cos (t + ϕ C ) reste à démontrer que ce résultat est ( L C ) + ( C ) identique à celui que donnait la méthode de Fresnel u p = I..3. Identité des résultats On doit donc démontrer que = ( L C ) + ( C ) C cos ϕ icos(t + ϕ i - π ). C cos ϕ i et que ϕ C = ϕ i - π. Pour cela il nous faut calculer ϕ i argument de I = U C Y C. Or Y C est un imaginaire pur ϕ i = ϕ C + π. I = U C Y C = Y C Z Y C +Z L Y C + = j C j C L C + = + j L + j C Arg[I] = Arg j L cos ϕ i = C + L C C cosϕ i = C = = + L C + L L C C C ( ) + C ( ) Les deux méthodes conduisent bien au même résultat. Si l'on veut i(t) la méthode de Fresnel est plus rapide. Si l'on veut u C (t), la méthode complexe est plus rapide. La méthode de Fresnel ne peut être appliquée que pour des dipôles tous en série ou tous en parallèle alors que la méthode complexe s'applique quel que soit le réseau. MacXIair:MPSI:lectricité:Cours 5 ésonance électrique ds - décembre 0 Page /6
Nous avons donc trouvé qu'en régime permanent sinusoïdal forcé i(t) et u C (t) sont des fonctions sinusoïdales du temps Le dipôle LC série est ici un oscillateur qui oscille à une pulsation différente de sa pulsation propre 0 = et imposée par le générateur extérieur au dipôle c'est un oscillateur forcé. L C Nous avons montré que les amplitudes et les phases de ces fonctions dépendent de la pulsation imposée par le générateur extérieur. Nous allons maintenant regarder de plus près comment I m et ϕ i dépendent de. Puis nous ferons la même étude pour U Cm et ϕ C. II. tude de intensité en fonction de i(t) = I m cos(t + ϕ i ) où I m et ϕ i sont respectivement le module et l'argument de l'amplitude complexe I de i(t). L'étude de I m et ϕ i se résume donc à celle de I. II.. Amplitude complexe I = Z LC = Y LC = Z +Z L +Z C = + j L + j C Nous pouvons reprendre les notations utilisées en régime libre : 0 = L C et 0 Q = L Q = L 0 = C L 0 C = C 0 L = Q et 0 C = Q 0 I = + j Q avec I m = 0 0 +Q et tan ϕ i = - Q 0 avec cos ϕ i du signe de la partie réelle de I donc positif soit - π 0 ϕ i π. 0 0 On pose x = I = 0 + j Q x et I m = et tan ϕ x +Q x i = - Q(x - x ) x II.. ésonance On dit qu'il y a résonance d'intensité pour une pulsation r si I m () est maximal lorsque = r. I m = Z LC est une fonction de qui est maximale lorsque son dénominateur est minimal. Z LC = +Q x x est minimale pour x = x soit = 0. Le circuit LC série en régime forcé présente une résonance d'intensité pour r = 0 qui est la pulsation propre du circuit.. Le minimum de Z LC est le maximum de I m est I mr =. Lorsque = 0 le terme + j Q 0 0 = est un réel d'argument nul A la résonance d'intensité, l'intensité qui traverse le dipôle LC série et la tension à ses bornes sont en phase et l'impédance du dipôle est égale à sa résistance. On a alors L = Q = Q et 0 C = Q 0 de la bobine et du condensateur sont égales. = Q donc les impédances Tous ces résultats sont confirmés par la construction de Fresnel ci-contre. A la résonance d'intensité les amplitudes complexes des tensions : Z Z C Z L MacXIair:MPSI:lectricité:Cours 5 ésonance électrique ds - décembre 0 Page 3 /6
U L = jl 0 I max = jl 0 = jq aux bornes de L, et U C = - C, sont opposées donc elles ont même module Q et sont déphasées de π. j C 0 = - jq aux bornes de Q est également appelé coefficient de surtension propre du circuit. Q peut être très supérieur à. Il y a danger de surtension pour les composants lorsque l'on est à la résonance. etrouvons ces résultats par l'étude de I = f() = f(x). II.3. tude fréquentielle de l'intensité : Courbe de résonance II.3.. tude expérimentale Puisque U = I l'étude de la tension aux bornes de la résistance revient, à une constante réelle près, à l'étude de l'intensité dans le circuit série. voie L i(t) C voie On peut donc utiliser un oscilloscope bi-courbe pour visualiser simultanément e(t) et i(t) = s(t). GBF e(t) s(t) On fera varier successivement les paramètres, L, C et pour visualiser leur incidence sur l'amplitude de i(t) et sur le déphasage ϕ i/e. II.3.. tude du module I m = f(x). Partons de I = + j Q x x I m = +Q x x Si x = 0 (régime continu) x donc I m 0 évidemment puisqu'il y a un condensateur dans le circuit. Si x, I m 0 évidemment puisqu'il y a une bobine dans le circuit. I m passe par un extremum et comme I m est positif, cet extremum ne peut être qu'un maximum. Ce maximum vaut I m = et a lieu pour x =. C'est la résonance. II.3.3. tude de l'argument ϕ i = f(x) tan ϕ i = - Q(x - x ) sachant que π < ϕ i < π Si x 0 (basses fréquences) x donc tan ϕ i + et ϕ i + π. i(t) étant constamment nul en régime continu, il est impossible de donner son déphasage pour x = 0 Si x alors tan ϕ i - et ϕ i - π.. A la résonance x = tan ϕ i = 0 et ϕ i = 0. I mr π I m ϕ i r = 0 MacXIair:MPSI:lectricité:Cours 5 ésonance électrique ds - décembre 0 Page 4 /6
II.3.4. Bande passante à - 3 db (Le - 3 db sera justifié dans le chapitre suivant). On appellera bande passante à - 3 db, la différence = - où et sont les pulsations appelées pulsation de coupure, pour lesquelles I m = I mr =. La courbe de résonance montre bien que ces deux valeurs existent. On peut également définir la bande passante comme la différence des fréquences F et F correspondant à et = π F. echerchons et en utilisant les deux écritures : I = n fonction de, L et C = + L C Les solutions sont celles de l'équation + (L - C ) = ce qui revient à résoudre deux équations du second degré en : (L - C ) = ± LC - C - = 0 et LC + C - = 0 de même discriminent = C + 4LC > 0 n fonction de 0 (ou x) et Q I = = +Q x x Soit + Q (x - x ) = ou Q(x - x ) = ± deux équations en x : Qx + x - = 0 et Qx - x - = 0 de même discriminent = + 4Q > 0. A priori 4 racines mais deux n'ont pas de sens physique puisque les pulsations doivent être positives = L + Δ L C et = - L + Δ L C la bande passante : = - = L videmment les deux solutions sont identiques. x = Q + Δ Q et x = - = - = 0 (x - x ) = 0 Q Q + Δ Q Calculons le déphasage ϕ i lorsque = ou. tan ϕ i = - Q(x - x ) et π < ϕ i < π Si x = x ou x on a Q(x - x ) = ±. x > x Q(x - x ) = et Q(x - x ) = -. On a donc tan ϕ i = pour = ϕ i = π 4 et tan ϕ i = - pour = ϕ i = - π 4. C'est une remarque utile pour déterminer expérimentalement la bande passante. Il suffit de déterminer les fréquences pour lesquelles ϕ = ± π 4. III. ésonance en tension Il y a résonance en tension s'il existe une valeur r de pour laquelle U Cm est maximale. III.. Amplitude complexe Nous avons déterminé plus haut la tension u C (t) aux bornes du condensateur d'un dipôle LC série, soumis à une excitation sinusoïdale de pulsation imposée par un générateur de tension e(t) par la méthode complexe. Avec les notations Q et x on a U C = module U Cm = Z Y C +Z L Y C + = ( x ) + x Q U m et ϕ C dépendent de (ou de x) j C L C +. devient U = 0 + j Q 0 = x + j Q x et d'argument - π < ϕ C < 0 (sin ϕ C < 0) avec tan ϕ C = - Q x x. de MacXIair:MPSI:lectricité:Cours 5 ésonance électrique ds - décembre 0 Page 5 /6
III.. tude fréquentielle de l'amplitude U Cm = ( x ) + x Q. Cherchons s'il existe une valeur r de pour laquelle U Cm soit maximal. U Cm est maximal si son dénominateur D est minimal, mais D est somme de deux termes dépendant tous les deux de x donc trouver le minimum de D nécessite une dérivation. d ( D ) = - 4x( - x ) + x dx Q = x[ - ( - x ) + ] = 0 a deux solutions : Q x = 0 = 0 régime continu solution qui ne convient pas à notre hypothèse de régime sinusoïdal forcé [ - ( - x ) + Q ] = 0 ce qui n'est possible que si - Q > 0 soit si Q >. Noter que si Q = la seconde solution est également x = 0. Si Q, U Cm() est strictement décroissante donc U(0) est un maximum. Si Q >, U Cm prend une valeur extrémale si x = Q = 0. Cette valeur Q extrême vaut Q 4 Q > ce qui montre que, s'il existe l'extremum est un maximum. Donc, en régime sinusoïdal forcé, si Q >, il y a résonance en tension pour r = 0 Q. III.3. tude fréquentielle de l'argument tan ϕ C = - Q x x et - π < ϕ C < 0. tan ϕ C est une fonction décroissante de x. Si = 0, x = 0 et ϕ C = 0, et si, x et ϕ C - π III.4. Bande passante à 3 db La définition de la bande passante n'a de sens que s'il y a résonance donc si Q > Suivant les valeurs de Q il existe deux ou une seule valeurs de pour lesquelles U Cm = U Cmr. Ces pulsations sont dites pulsations de coupure et elles ne définissent de bande passante que s'il y en a deux. xemple pour Q = figure ci - dessous, il n'y a qu'une pulsation de coupure alors que pour Q = on a une bande passante limitée par deux pulsations de coupure. MacXIair:MPSI:lectricité:Cours 5 ésonance électrique ds - décembre 0 Page 6 /6
U Cm Q = Q = Q = 0,707 Q = 0,5 r r MacXIair:MPSI:lectricité:Cours 5 ésonance électrique ds - décembre 0 Page 7 /6