EQUATIONS ET INEQUATIONS : rappels

Chapitre 3 EQUATIONS ET INEQUATIONS : rappels 3.1 EQUATIONS 3.1.1 Remarques importantes 1. Considérons l équation (x 2)x = 3(x 2) (3.1) (a) Si on divise les deux membres de l équation (3.1) par x 2, on obtient : x = 3 Or l équation (3.1) a pour solutions x = 3 et x = 2. Donc en divisant les deux membres de l équation (3.1) par une expression qui s annule pour x = 2, on n obtient pas une équation équivalente. Conclusion 3.1 Lorsqu on divise les deux membres d une équation par une quantité contenant l inconnue, on s expose à supprimer des solutions. (b) Pour résoudre l équation (3.1), on procédera comme suit : 2. Soit l équation ou (x 2)x 3(x 2) = 0 (x 2)(x 3) = 0 x 2 = 0. x 3 = 0 x = 2 ou x = 3 x 2 x x 2 x + 4 x 2 8 x 2 2x = 0 (3.2) + 4 x 2 8 x(x 2) = 0 Pour que l équation ait un sens, il faut que x soit différent de 0 et de 2. Chassons les dénominateurs en multipliant les deux membres par x(x 2), ce qui donne une équation équivalente, x étant supposé différent de 0 et de 2: (x 2) 2 + 4x 8 = 0 (x 2) 2 + 4(x 2) = 0 (x 2)(x 2 + 4) = 0 (x 2)(x + 2) = 0 x 2 = 0 ou x + 2 = 0 x = 2 ou x = 2 17

CHAPITRE 3. EQUATIONS ET INEQUATIONS : RAPPELS 18 La première valeur est à rejeter. La racine de l équation (3.1) est 2. Conclusion 3.2 En multipliant les deux membres d une équation par une quantité contenant x, on s expose à introduire des solutions étrangères (parasites) Règle Lorsqu on chasse des dénominateurs, il faut rejeter comme solution éventuelle toute valeur de x qui annule un des dénominateurs de l équation donnée. 3. Soit l équation x = 2 élevons ses deux membres au carré, nous obtenons x 2 = 4 qui a pour solutions x = 2 et x = 2. Conclusion 3.3 En élevant les deux membres d une équation au carré, on s expose à introduire des solutions étrangères (parasites). Règle Si on élève les deux membres d une équation au carré, il faut rejeter comme solution éventuelle toute valeur de x qui donne aux deux membres de l équation donnée, des signes contraires. 3.1.2 Exercices Exercice 3.4 1. (x + 1) 2 (x 1) 2 = 20 4. 6x + 3 7 = 2 2. 3x + 10 = 8x 15 3. 2x + 21 3x 29 = 0 21x + 1 = x + 61 6. x 2 + 2(1 3)x 2 3 = 0 Exercice 3.5 Résoudre les équations suivantes. 1. 1+2 x+1 3 x+1 2 x+1 Exercice 3.6 Résoudre l équation Exercice 3.7 2x+3 = 1 2. 2x 3 + 2x 3 2x+3 = 4x2 +22 4x 2 9 x+1 x+1 1 x+1 Déterminer le nombre a pour que les équations suivantes aient la solution indiquée. 1. 1 x + 1 x+1 = a x(x+1) avec S = { 1 } 2. x+1 + x+1 = 2(x+a)2 x 2 1 avec S = { 0 } Exercice 3.8 Résoudre l équation Exercice 3.9 Résoudre les équations (x + 5) 2 x + 4 = 2 = x + 5 x + 4

CHAPITRE 3. EQUATIONS ET INEQUATIONS : RAPPELS 19 1. (x 2 + 2x 4) 2 = (x 2 2x 5) 2 2. (y 2 + 3y + 4) 2 = (y 2 + 5y + 4) 2 Exercice 3.10 Résoudre l équation Exercice 3.11 (2x 2 x + 2) 2 (x 2 + x + 2) = 1 1. Transformer 2a 3 a 2 2a + 1 en un produit de facteurs du premier degré en a. 2. Résoudre l équation 2a 3 a 2 2a + 1 = 0 Exercice 3.12 Résoudre les équations 1. x x 2 = 2 2. x x 2 = 2x Exercice 3.13 1. Calculer k pour que 4a 2 + 12a + k soit le carré d un binôme du premier degré en a 2. En déduire les solutions de l équation 4a 2 + 12a + 5 = 0 Exercice 3.14 On pose A(x) = x 2 8x + 5 1. Un des nombre 2, 1, 0, 1, 2 est solution de l équation A(x) = 0. Lequel? 2. Factoriser A(x) et en déduire les solutions de A(x) = 0. Exercice 3.15 1. Déterminer p pour que l équation en a 6a 2 + ap 15 = 0 admette la solution 3 2. 2. Calculer les solutions de cette équation. Exercice 3.16 Calculer les solutions de l équation x 2 4x + 1 = 0 sachant qu elles ont la forme a + b 3, a et b étant des nombres entiers. Exercice 3.17 On donne l équation en x 24x 3 + ax 2 + bx 1 = 0 1. Calculer a et b pour que cette équation admette les solution 1 2 et 1 4. 2. Résoudre l équation donnée pour les valeurs trouvées de a et b. Exercice 3.18 Détermine k pour que l équation en u 18u 2 9u + k = 0 admette deux racines telles que l une soit le double de l autre.

CHAPITRE 3. EQUATIONS ET INEQUATIONS : RAPPELS 20 3.1.3 Les équations du premier degré à coefficients paramétriques Synthèse Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue, il faut isoler les termes en x dans l un des membres, c est-à-dire, regrouper: les termes contenant l inconnue dans un des membres; les termes ne contenant pas l inconnue dans l autre membre: indépendants. ces termes s appellent termes Nous obtenons alors un équation du type a. x = b: 1. si a n est pas nul, la solution s obtient en divisant les deux membres de cette équation par a; 2. si a est nul, l équation s écrit 0x = b. Après avoir remarqué que le produit de tout nombre réel par 0 est le nombre 0, nous déduisons que si b n est pas nul, l équation n a pas de solution (équation impossible); si b est nul, tout nombre réel est solution (équation indéterminée). Exercice 3.19 Résoudre chacune des équations en x suivantes où m est un paramètre réel. 1. mx + 1 = 0 2. mx + m = 0 3. m(m 1)x + 1 = m 2 4. m 2 (x 1) = m(x 2) (m 2 1)x = (m 1)x + m 3 3m 2 + 3m 9 6. m(m 4)x + m(2x 5) = 0 7. 4x 2 + 2x(m 2 + 2m + 2) = (2x + 1) 2 + m 2 1 8. (m 1)(x m) = x + m 2 Exercice 3.20 Déterminer m pour que l équation suivante en x n admette pas de solution Exercice 3.21 x m 4 mx 1 3 = 1 Déterminer a pour que l équation suivante en x n admette pas une solution unique (a 3)x + 2 = 3 2x Exercice 3.22 Déterminer les réels a et b pour que l équation en x ax + 2 = 3x + b 1. n admette pas de solution, 2. admette tout réel comme solution.

CHAPITRE 3. EQUATIONS ET INEQUATIONS : RAPPELS 21 3.2 INEQUATIONS - TYPE SIMPLE - PREMIER DEGRE 3.2.1 Remarques importantes 1. Soit l inéquation x 2 > 2x Pour résoudre cette inéquation, on ne divise pas les deux membres par x dont on ne connaît pas le signe, mais on procède comme suit : x 2 2x > 0 x(x 2) > 0 Règle : pour résoudre une inéquation d un degré supérieur à 1, on groupe les termes dans un même membre, on factorise ce membre, on étudie le signe de chaque facteur. 2. Pour résoudre une inéquation fractionnaire, on la met sous la forme : et on étudie les signes de A et de B. A B > 0 3.2.2 Exercices Exercice 3.23 1. 2x + 4 > 5x 2 2. x 4x 12 3. 5x > 3(x 1) 4. 4x 5 x 10 > x 2 + 3 x+2 2 1 < 2x+1 3 2 Exercice 3.24 (Inéquations paramétriques) Résoudre les inéquations paramétriques suivantes où m est un paramètre réel. 1. m(x 2) < x + 3 2. 2(x + 3) m(x + 4) 3. (m + 1)x + 2 > 0 4. (m 1)x m + 1 < 0 mx + 2 x + 3m 6. 2m + 3x (m + 1)(x + 2) 7. (m 1)x 2 2(x+2) m 3 < x 5 + 1 3 8. (2m 1)(mx + 1) > (2m 1)x + 3 Exercice 3.25 (Equations et inéquations paramétriques) Résoudre les équations et les inéquations paramétriques suivantes où a et b sont des paramètres réels, x l inconnue. 1. ax 3a b = 0 2. ax 3a b 0 3. a 2 x > 3 x 4. a 2 x 1 = ax + 2b a(x a) + b(x + b) = 0 6. a(x 1) = x + b + 2 7. a(ax 1) = 4x b + 3 8. ax < x + b 1 9. a 2 x + 4 b 2 3ax 10. ab(x 1) + 2bx = 3(a + 2) + 2b

CHAPITRE 3. EQUATIONS ET INEQUATIONS : RAPPELS 22 3.3 INEQUATIONS - TYPE GENERAL 3.3.1 Rappels - Etudes du signe Le binôme du premier degré La forme générale d un binôme du premier degré est ax + b où { a ( 0) est le coefficient de x; b est le terme indépendant. La racine 1 de ax + b est b a. L étude du signe de la fonction f(x) = ax + b se résume par x b a ax + b SIGNE CONTRAIRE DE a 0 SIGNE DE a Le trinôme du second degré La forme générale d un trinôme du second degré est a ( 0) est le coefficient de x 2 ; ax 2 + bx + c où b est le coefficient de x; c est le terme indépendant. On a = ρ = b 2 4ac. 1. Si > 0, alors le trinôme du second degré admet deux racines réelles distinctes : x 1 = b + 2a et x 2 = b 2a Connaissant les racines d un trinôme du second degré 2, il est alors facile de faire l étude du signe de la fonction f(x) = ax 2 + bx + c : x x 1 x 2 ax 2 + bx + c SIGNE DE a 0 SIGNE CONTRAIRE DE a 0 SIGNE DE a. Autrement dit, un trinôme du second degré du type ax 2 + bx + c est toujours du signe de a sauf entre ses racines. 2. Si = 0, alors le trinôme du second degré admet une racine double : x 1 = x 2 = b 2a. Dans ce cas l étude du signe de la fonction f(x) = ax 2 + bx + c se résume par x b 2a ax 2 + bx + c SIGNE DE a 0 SIGNE DE a 1 Pour rappel, on appelle racine d un polynôme P (x) tout réel qui annule ce polynôme, c est-à-dire toute valeur de x qui vérifie l équation P (x) = 0. 2 En supposant que x 1 < x 2.

CHAPITRE 3. EQUATIONS ET INEQUATIONS : RAPPELS 23 3. Si < 0, alors le trinôme du second degré n admet pas de racine. Dans ce cas, l étude du signe se simplifie et devient x + ax 2 + bx + c SIGNE DE a PARTOUT! Etude du signe d un produit ou d un quotient Pour étudier le signe de f(x).g(x).h(x) ou f(x).g(x), h(x) on doit étudier le signe des fonctions f(x), g(x) et h(x). Ensuite on fait le PRODUIT des signes. Pour le QUOTIENT, il ne faut pas oublier de REJETER les valeurs de x qui ANNULENT (éventuellement) h(x). Soulignons également les deux propriétés suivantes : Si n est pair, f(x) n 0 x Dom f. Si n est impair, f(x) n a le même signe 3 que f(x) ( x Dom f). 3.3.2 Exercices Exercice 3.26 1. (x 2)(x + 3) < 0 3. x 2 > 4 3x 3 x+1 > 0 7. x+2 2x 3 0 2. x 2 5x 0 4. x(x 2 9) > 0 6. x+2 x < 3 8. 3 x+3 > 2 Exercice 3.27 1. x+1 x() 1 x + 1 2. (3x + 1)(x 1)(2 5x) 0 7. x(x 2 9) 9 x 2 8. (x + 3)(25 16x 2 ) > 25 16x 2 3. 4. 6. (1 x 2 )(x+2) x(2x+1) < 0 (x+1) 2 () 1 9x 2 > 0 (2 3x)(2+3x) x(16 9x 2 ) < 0 x()(x 2) (x 3)(x 4) 0 9. (x + 4)(4x 2 25) < (x + 3)(4x 2 25) 10. x+3 > x+1 x 3 11. 2 4 x 3 2x x+3 12. 1 + 1 x+2 2 x 3 Exercice 3.28 1. x 4 13x 2 + 36 < 0 3. x 2 2x 4x 2 4x+1 1 2. (x 1)(x 2 3x) 4x 2 16x + 12 4. x+1 x 3 < 2x(1 x) 6x x 2 9 3 Mathématiquement, on pourrait écrire : x Dom f : f(x) n. f(x) 0.

CHAPITRE 3. EQUATIONS ET INEQUATIONS : RAPPELS 24 (x 2) 2 (x 2) (x 3) 3 (x 3) 0 8. (3x 2 +2x 2) 2 x 2 +x+1 x 2 + x + 1 6. x 4 +3x 3 +2x 2 6x (x 2 3x) 2 +11 > 0 7. x 3 x+1 4 + 16 (1 x 2 )(3 x) 9. x 3 x 2 x 2 6x+4 > 1 10. 3 x 3 +x 2 x+6 2 3x 3 x 2 8 Exercice 3.29 1. (2x 2 3x + 3) 2 (2x 2 + 3x 2) 2 2. (x + 1)(2x 2 9x + 7) > 2x 2 5x + 7 3. 2(14 3x) 2(x 2) (x 2) 2 1 4. 2 x2 2x x 2 +2x + x2 +2x x 2 2x (x 2 3)(2+x) (x 2 3) (2+x) 0 6. 3x 4 +x 2 +10 1 (x+2) 4 < 0 7. 1 x 2 3x + 1 x 2 +3x < 6 x 3 9x 8. 2x 4 +x 2 6x+8 3x 2 +x 2 9. 6x 2 10x+4 x 3 +5x 6 < x 2 x > 2 10. x+2 6x 3 11x 2 3x+2 x+1 6x 3 13x 2 +x+2 Exercice 3.30 (Inéquations paramétriques) Quelle(s) valeur(s) faut-il donner au paramètre réel m pour que les inéquations soient vérifiées pour tout valeur réelle de x? 1. x 2 + 2mx + m > 6 2. (m 1)x 2 + 8x 8(m + 2) < 0 3. (1 m)x 2 + 2(2m 1)x 5m + 1 0 4. (m + 1)x 2 + 2mx + m2 m+1 0