LES NOMBRES 1. Les entiers naturels. 1.1 Nature. Un entier naturel dénombre une collection d objets. Ainsi : 0 signifie aucun objet ; signifie objets 0 ; 1 ; ; constituent l ensemble des entiers naturels. L ensemble des entiers naturels se note. = { 0;1;;;4... } Cette écriture de l ensemble, est dite en extension. Remarques : Si on nomme n un entier naturel quelconque, l entier naturel précédent se note n 1 et l entier naturel suivant se note n + 1 Un entier naturel pair se notera n, et un entier naturel impair se notera n + 1 EXERCICE 1 A chercher 1. Trouver trois entiers naturels consécutifs, tels que leur somme soit égale à 7.. Trouver trois entiers naturels consécutifs tels que la somme de leurs carrés soit égale à 677. 1
1. Multiples et diviseurs. Soit a, b et c trois entiers naturels tels que : a= b c a est un multiple de b et de c a est divisible par b et par c b et c sont deux diviseurs de a. Exemple : 187 = 17 11= 187 1 On dira que : 187 est un multiple de.. Les diviseurs de 187 sont. L ensemble des diviseurs de 187 se note : D 187 = {...} 1. Les critères de divisibilité. Soit un entier naturel n. n est divisible par s il se termine par 0 ; ; 4 ; 6 ou 8 n est divisible par si la somme de ses chiffres se divise par n se divise par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres se divise par 4 n est divisible par 5 s il se termine par 0 ou 5 n est divisible par 9 si la somme de ses chiffres se divise par 9 n est divisible par 5 s il se termine par 00 ; 5 ; 50 ou 75 n est divisible par 10 s il se termine par 0 n est divisible par 100, par 1000.., s il se termine respectivement par zéros, par zéros,. 1.4 premiers. 1.4.1 Définition. Un entier naturel est un nombre premier qui a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Attention : 0 n est pas premier (il admet une infinité de diviseurs) 1 n est pas premier, puisqu il n admet qu un seul diviseur est le premier nombre premier, et de plus il est le seul nombre premier pair! EXERCICE A chercher. Démontrer qu un nombre pair, différent de ne peut pas être un nombre premier.
1.4. Nombres premiers entre eux. Ce sont des nombres qui n ont pas de diviseurs communs autres que 1. Par contre, pris individuellement, ils ne sont pas forcément premiers. Ainsi : 6 et 49 sont des nombres premiers entre eux mais ne sont pas des nombres premiers. 17 et 9 sont premiers tous les deux et par conséquent premiers entre eux! 1.5 Décomposition en produit de facteurs premiers. 1.5.1 Définition et méthode. Tout entier naturel non premier supérieur à peut s écrire de manière unique sous la forme d un produit de nombre premiers. Exemple : 56 = 7 Méthode : On utilise l algorithme suivant : On divise le nombre entier par le plus petit nombre entier possible (une variante peut exister si le nombre se termine par 0, 00, 000, ) On divise le quotient obtenu par le plus petit nombre entier possible Remarque : les quotients sont placés dans la colonne de gauche, et les diviseurs dans la colonne de droite. On recommence jusqu à ce que le quotient obtenu soit égal à 1 Le produit de tous ces diviseurs est la décomposition en facteurs premiers de cet entier. Illustrations : 56 8 14 7 7 1 Ainsi : 56 = 7 On a décomposé 56 en produit de facteurs premiers 100 100 1 6 1 100 n est pas premier mais nous permet de gagner du temps. On écrit ensuite que : ( ) 100 = 5 = 5 Ainsi : 100 = 5 100 = 5 4 On a décomposé 100 en produit de facteurs premiers.
1.5. Utilisation de cette décomposition. 1 Pour simplifier une fraction. On veut simplifier la fraction 168 90 On a vu en classe de ème qu il fallait utiliser le PGCD (168 ; 90) PGCD. Soit a et b entiers naturels. Chercher le PGCD de a et b, noté PGCD (a ; b) consiste à rechercher le plus grand commun diviseur à ces deux nombres. On a vu en classe de ème la méthode de la division euclidienne. On peut également calculer le PGCD de deux nombres à l aide de la décomposition en facteurs premiers. Recherche du PGCD. On décompose les nombres en produit de facteurs premiers. On fait le produit des facteurs communs, affectés de leur plus petit exposant. Ici, on commence par décomposer 168 et 90 en produit de facteurs premiers. Les facteurs communs sont et, et leur exposant le plus petit est 1. Ainsi : PGCD(168 ; 90) = = 6 Il vient : ( ) ( 7) 168 7 8 = = = 90 5 ( ) ( 5) 15 Pour trouver par exemple par quel nombre il faut multiplier un entier pour trouver un carré. Soit l entier naturel 04. Par quel nombre faut-il le multiplier pour obtenir un carré? La décomposition de 04 en produit de facteurs premiers donne : 04 = 17 La décomposition en produit de facteurs premiers d un carré donne des facteurs à exposant pairs. Pour obtenir un carré, il faut donc multiplier 04 par 17= 51 On obtient alors : 04 51 =... Qui est le carré de.. EXERCICE A chercher 1 Simplifier la fraction 4 80 4
Simplifier la fraction : On calcule : PGCD (a ; b) = a 5 7 = b 5 11 D où : a b = Par quel nombre faut-il multiplier 4 pour obtenir un carré? 1.6 Reconnaître si un nombre est premier ou pas. Méthode à suivre : On teste sa divisibilité par,, 5, 7,.jusqu à ce que le quotient obtenu soit inférieur au diviseur. (En fait cela revient à ce que le dernier entier diviseur soit inférieur à la racine carrée du nombre à tester) Si aucun des nombres premiers précédents ne divise le nombre à tester, celui-ci est un nombre premier. Exemple : montrons que 59 est premier. Puisque 59 7,68, cela signifie que l on va tester la divisibilité de 59 successivement par des nombres premiers inférieurs ou égaux à 7. Le nombre 59 n est pas pair, la somme de ses chiffres ne se divise pas par et il ne se termine pas par 5, donc on teste sa divisibilité par 7. Finalement, on constate qu il ne se divise par aucun des nombres premiers égaux ou inférieurs à 7. 59 est donc premier. EXERCICE 4 A chercher 10 et 41 sont-ils premiers? 5
1.7 Trouver tous les diviseurs d un nombre. On voudrait trouver la liste de tous les diviseurs de 60 Méthode : On décompose 60 en produit de facteurs. Il vient : 60 =... Ensuite, on construit un arbre dont les branches sont constituées des facteurs premiers associés de leur exposant de 0 à p. (par exemple, si on a le facteur p on aura les branches 0 1,,,..., p En conclusion : 60 a 1 diviseurs. D 60 = {...} EXERCICE 5 A chercher. 84 = A l aide d un arbre, trouver la liste des diviseurs de 84, puis de 150 D 84 = {...} 6
150 = D 150 = {...} Ce qu il faut remarquer : Remarquer que les diviseurs vont par deux, c'est-à-dire que leur produit deux par deux redonne le nombre. (Ce n est pas le cas bien sûr si le nombre étudié est un carré car il y a alors un nombre impair de facteurs). réels..1 Les entiers relatifs. Un entier relatif est un entier naturel, ou son opposé. Un entier relatif correspond aux graduations d une droite graduée toutes les unités. L ensemble des entiers relatifs se note, avec (se lit inclus dans ) = {... 15; 14;... ; 1;0;1;;...58... } On se souviendra que la somme de deux opposés donne 0. décimaux...1 Définition : Un nombre décimal est le quotient d un entier relatif par une puissance de 10. a On écrira, 10 n a est un entier relatif et n est un entier naturel. a a Tout entier relatif a est un décimal, puisque a = = 0 1 10 L ensemble des nombres décimaux se note D, avec D 7
Remarque : un nombre décimal peut s écrire aussi avec un nombre fini de chiffres derrière la virgule. EXERCICE 6 A chercher Justifier que les nombres suivants sont des décimaux. 5,5 4 5 8.. Écriture scientifique d un décimal Elle est de la forme a 10 n, où a est un décimal avec un chiffre avant la virgule différent de zéro, et n est un entier relatif. Exemple : l écriture scientifique de 0, 0000567 est :.. EXERCICE 7 A chercher a = 40000000 Donner l écriture scientifique des nombres : b = 0, 0000048 c = 0,000 10. rationnels. Un nombre rationnel s écrit sous la forme a b avec * * a,etb ( signifie privé de 0) Ne pas oublier que dans l écriture a, a divise b. b Le quotient peut-être entier, on obtient alors un entier relatif Si la division ne tombe pas juste, on obtient une écriture décimale illimitée périodique. 8
Exemple : 9 = 1, 85714 85714... Le groupe 85714 se répète à l infini : c est la période. 7 Exemple : 4, 4 5 = Si la division tombe juste, on obtient une écriture décimale (la période est alors 0) 5 Possède donc une écriture décimale. Ce n est pas le cas de 9 7 L ensemble des nombres rationnels se note, avec D EXERCICE 8 A chercher. Dire si les nombres 57 4 et 14 5 sont rationnels ou décimaux. Justifier..4 réels. Un nombre réel est un nombre qui appartient à l une des catégories vues plus haut, mais aussi aux irrationnels. Les irrationnels sont des nombres du type 5 ; cos5 ; π... L ensemble des nombres réels se note. EXERCICE 9 A chercher. Donner le plus petit ensemble auquel appartiennent les nombres suivants : 1 17 4 ; ; 7 5 7 4 ; 7 10 4 10 9
.5 Schéma de conclusion On retiendra la disposition suivante de ces différents ensembles de nombres les uns par rapport aux autres. D.6 Approximation d un nombre réel..6.1 La troncature. Elle est obtenue en «coupant» les décimales après le rang indiqué. Ainsi, si on considère le nombre,1415965 La troncature à l unité est La troncature au millième est,141 La troncature au millionième est,14159.6. L arrondi Il est obtenu en observant la décimale d qui suit le rang indiqué. Si d 5, on augmente de 1 la précédente décimale. Ainsi, toujours avec le nombre,1415965. L arrondi à l unité est (le chiffre des dixièmes est 1) L arrondi au millième est,14 (la décimale suivante est 5) L arrondi au millionième est,14159 (la décimale suivante est 6).6. L ordre de grandeur. Cette notion est très utile en physique pour avoir une idée rapide du résultat sans faire un calcul précis, donc sans calculatrice. Méthode : On écrit un nombre A sous la forme scientifique, ainsi : A= a 10 p L ordre de grandeur est donné par l arrondi de a à l unité, et on garde la puissance de 10. Exemple : 10
On voudrait un ordre de grandeur de A = 4578 0,000057 Pour avoir l ordre de grandeur de A, il suffit de multiplier les ordres de grandeur de chacun de ses facteurs. 7 4578 =,4578 10, donc son ordre de grandeur est 7 10 0,000057 =,57 10 5, donc son ordre de grandeur est 4 10 5 L ordre de grandeur de A est donc : 7 5 10 4 10 = 8 10 = 800 EXERCICE 10 A chercher 1. Soit a un nombre admettant pour troncature au centième la valeur 1,4 Donner l encadrement auquel peut appartenir le nombre a.. Cette fois, le nombre a admet pour arrondi au centième 1,4. Donner l encadrement auquel peut appartenir le nombre a.. Estimation d un ordre de grandeur. 1. Donner l ordre de grandeur de 10 En utilisant le résultat précédent, donner une estimation d un ordre de grandeur, en écriture scientifique de 004 11
. Quelques règles de calcul..1 Rappels sur les calculs avec les puissances. Soit a et b deux nombres réels non nuls ; m et n sont deux entiers relatifs. On retiendra les règles de calcul suivantes : n m n m+ n m m m m n a a a a = a ; a b = a b ; a = a ; = b b m ( ) ( ) m m m m a m n a 1 = a ou = a a a n n n m Attention : m Se souvenir que : 0 1 a = 1 ; a = a Et que 0 0 n'a pas de sens. (car 1 0 n existe pas) Dans ce cas le calcul 1 1 0 0 0 0 = n est donc pas possible et on ne pourra jamais obtenir 0 0. EXERCICE 11 A chercher. Simplifier les nombres suivants : A = 4 ( 5 ) ( 5 7 ) ( 7 ) ( 5 11 ) 4 B = C = ( 5ab) ( a b) 4 ( ab) 1
. Point méthode. On veut rendre rationnel le dénominateur d une fraction du type 1 a+ b Cela signifie qu il faut faire disparaître le symbole On utilisera l identité remarquable ( )( ) Ainsi : ( a+ b)( a b) = a b Propriété : du dénominateur. + =, qu on adaptera à la situation. a b a b a b On ne change pas la valeur d une fraction si on multiplie son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul. On va donc multiplier le numérateur et le dénominateur de la fraction par a conjuguée» de a+ b. Il vient : b, qui est «l expression 1 1 a b a b = = a+ b a+ b a b a b EXERCICE 1 A chercher Rendre rationnel le dénominateur des fractions : 4 = 7 = = = + 1
. Addition des fractions : utilisation du PPCM. Pour additionner plusieurs fractions, on doit les mettre au même dénominateur. Le dénominateur commun est le PPCM des dénominateurs...1 Recherche du PPCM. On décompose les nombres en produit de facteurs premiers. On fait le produit des facteurs communs ou non affectés de leur plus grand exposant. EXERCICE 1 A chercher Chercher PPCM (198 ; 5) puis de a = 5 7 et b= 5 11 Calculer : 5 7 = 18 4. Ai-je bien compris cette leçon? 4.1 Additionner des fractions. Écrire sous la forme d un seul quotient : A = 1 1 5 5 4 B = 1 5 5 7 4 5 5 14
4. Déterminer si un nombre rationnel est décimal. Parmi les nombres rationnels suivants, déterminer ceux qui sont des nombres décimaux. Indication : Si la décomposition du dénominateur s écrit sous forme d un produit de p et 5 q, avec p et q, alors la fraction est un nombre décimal. a = 14 7 18 b = 50 c = 99 80 d = 56 e = 5 0 f = 17 0 1 g = 0 4. Retrouver le rationnel. A partir de l écriture décimale périodique du nombre 0, 48571 a =, retrouver son écriture sous forme de fraction. 15
4.4 Simplifier des racines carrées. 5 A = 7 11 B = 400 4.5 Rendre rationnel le dénominateur d une fraction. Il s agit de faire disparaître la ou les racines carrées du dénominateur. Principe : Si le dénominateur n est constitué que d une racine carrée, on multiplie le numérateur et le dénominateur par cette racine carrée Si le dénominateur est une somme ou une différence contenant une ou deux racines carrée, on multiplie le numérateur et le dénominateur par l expression conjuguée du dénominateur. L expression conjuguée d une forme a b est une forme a+ b et réciproquement. On retrouve alors le produit remarquable ( a+ b)( a b) dont le résultat est racine carrée. a b et qui ne contient plus de 4 10 1 5+ 16
4.6 Utilisation des puissances de 10 4.6.1 Analyse de sang Dans 1 mm de sang, un être humain a environ 6 4,6 10 globules rouges et 8 10 globules blancs. Le corps contient 5L de sang. Calculer le nombre de globules rouges, puis le nombre de globules blancs, dans le corps humain ; présenter la réponse en écriture scientifique. 4.6. Année lumière. Une année lumière est la distance parcourue par la lumière en une année (dans le vide). a. En prenant 00 000 km/s pour la vitesse de la lumière, expliquer pourquoi une année lumière (1 al) vaut environ 9 460 milliards de km. b. La galaxie d Andromède est l objet le plus éloigné visible à l œil nu ; elle est distante de, millions d années-lumière. Exprimer cette distance en km. Voici une façon de démontrer que le nombre est un nombre irrationnel. 1. Supposons que soit un élément de Q, c'est-à-dire un rationnel. a Il pourrait donc s écrire =, avec a et b deux entiers premiers entre eux. b a) Montrer que a est un nombre pair. 17
b) Montrer que le carré de tout nombre impair est impair. En déduire que a est un nombre pair. c) On écrit alors a= p où p est un entier. En déduire que b² est un nombre pair, et donc que b est pair. d) En déduire que n est donc pas un rationnel. 18
5. Pour aller plus loin en arithmétique. 5.1 Divisibilité. Soit a et b deux entiers naturels. On dira que a divise b si : b = a c, avec c Remarque : a divise b b est un multiple de a 5. Écriture d un nombre décimal. 1. a Démontrer que : si un nombre peut s écrire sous la forme 5 avec a, p et q, alors c est un nombre décimal. Réciproquement, démontrer que si un nombre est un nombre décimal, alors son écriture sous la forme d une a fraction irréductible est de la forme avec a, p et q 5 p q 5. Déterminer si un nombre rationnel est décimal. Parmi les nombres rationnels suivants, déterminer ceux qui sont des nombres décimaux. 14 18 99 56 5 17 1 a = ; b = ; c = ; d = ; e = ; f = ; g = 7 50 80 0 0 0 Indication : Si la décomposition du dénominateur s écrit sous forme d un produit de p et 5 q, avec la fraction est un nombre décimal. p et q, alors 19
5.4 Retrouver le rationnel. A partir de l écriture décimale périodique du nombre 0,48571 a =, retrouver son écriture sous forme de fraction. 0