Calculs et entraînement. Eercice 1. [limites ] Calculer les limites suivantes : 1. lim + e + ln. lim + (ln ) 3 + sin 3. lim + 1 + + 4. lim + e 1 sin + cos 7. lim + + 1 1 10. lim + 1 13. lim 5. lim e 1 8. lim sin + cos 11. lim 1 + 1 14. lim + 1 6. lim + e /3 e 5 + ln + cos 9. lim 1+ 1. lim 15. lim + Eercice. [continuité ] Étudier la continuité des fonctions suivantes : { 0 si 0 1. e 1/ si > 0. { sin 1 si > 0 3. 0 si = 0 4. si < 0 0 si = 0 ln si > 0 0 si = 0 ln si > 0 si 1 Eercice 3. [prolongement par continuité ] Étudier le domaine de définition et la continuité des fonctions suivantes. Dire si celles-ci sont prolongeables par continuité au etrémités de leurs domaines de définition. 1. e 1/. e 1/ 3. α ln 4. 5. sin 1 6. + Eercice 4. [dérivation ] Étudier le domaine de définition, de dérivabilité et la dérivée des fonctions suivantes : 1. f : ln. f : (1+) α ln(3) (α Ê) 3. f : 4. f : e 5. f : ( + 1) α (α Ê) 6. f : 7. f : (1+ ) 8. f : 5 + 1 (+ 1) 9. f : 5 + 1 ( + 1) 3 10. f : (3+ 1) ln ( ) 11. f : ln 1+ + 1 1. f : ln ( e + e ) 13. f : ln ( cos ()+1 ) 14. f : lntan 15. f : arctan(e ) 16. f : ( arctan ) Eercice 5. [limites ] Calculer les limites suivantes : 1/6
1. lim ln ln 4. lim lncos sin. lim e 1 ln(1+cos ) 5. lim + π cos 3. lim e 1 a a 6. lim a 4 a 4 (avec a> 1) Eercice 6. [prolongement par continuité ] Étudier le domaine de définition et la continuité des fonctions suivantes. Dire si celles-ci sont prolongeables par continuité au etrémités de leurs domaines de définition. 1. (1+ ) 1. sin cos 1 3. Eercices usuels Eercice 7. [point fie ] Soit f une application continue de [a,b] dans [a,b]. Montrer que f admet un point fie (i.e.il eiste [a,b] tel que f ()= ). Eercice 8. [Intersection de graphes] Soient f, g deu fonctions continues de [a,b] dans Ê. On suppose que (f (a) g (a))(f (b) g (b)) 0. Montrer qu il eiste 0 [a,b] tel que f ( 0 )=g ( 0 ). Eercice 9. [caractérisation des fonctions constantes parmi les fonctions continues] Soit I un intervalle non trivial de Ê. Soit f : I Ê une fonction continue. On suppose que l ensemble f (I ) est fini. Montrer que f est constante. Eercice 10. [escp question courte 000] Déterminer les fonctions continues de Ê dans Ê telles que : Ê, cos f ()=sin f () Eercice 11. [escp question courte 011] Soient a,b Ê. Soit f : Ê Ê la fonction définie par : Ê, f ()= a+ b+. 1. À quelle condition sur a et b la fonction f est-elle bijective?. On suppose cette condition remplie. Calculer f 1 (y) en fonction de y. Eercice 1. [étude locale de fonction] On considère la fonction définie sur Ê par : Ê, { sin 1 f ()= si 0 0 si = 0 Étudier la continuité, la dérivabilité de f puis la continuité de f. Eercice 13. [étude globale de fonction] Soit f une fonction dérivable de Ê dans Ê. 1. Montrer que si f est paire, alors f est impaire.. Montrer que si f est impaire, alors f est paire. 3. Montrer que si f est T -périodique, alors f est T -périodique. Eercice 14. [etremums] Soit f la fonction définie sur [0,1] par f ()=. /6
1. Montrer que f admet un maimum et un minimum sur [0,1].. Calculer f (0) et en déduire le minimum de f sur [0,1]. 3. Montrer que f admet son maimum sur ]0,1[ et le déterminer. Eercice 15. [théorème de Rolle ] Soit I un intervalle de Ê. Soit f : I Ê une fonction dérivable sur I. Soient a,b I. On suppose que : f (a)= f (b)=0, f (a)>0, f (b)>0 Montrer qu il eiste trois réels c 1,c,c 3 ]a,b[ avec c 1 < c < c 3 tels que : f (c 1 )= f (c 3 )=0 et f (c )=0. Eercice 16. [accroissements finis] Un sprinter court le 100m en moins de 10 secondes. Montrer qu il y a un instant de la course où sa vitesse instantanée est eactement de 36km/h. Eercice 17. [équation fonctionnelle] Soit f une fonction dérivable de Ê dans Ê, de dérivée continue sur Ê. On suppose que : Ê, f f ()= + 3 ( ) 1. Montrer que : Ê, f + 3 = f () + 3. En déduire que f est constante, puis déterminer f. Eercice 18. [égalités et inégalités classiques ] Établir : 1. Ê, e + 1. ] 1,+, ln(1+ ) 3. [0,π/], sin π 4. Ê, cos 1 5. [0,π/[, tan 6. Ê +, arctan + arctan 1 = π Eercice 19. [théorème de la bijection ] On considère la fonction f définie sur [0,π] par : [0,π], f ()=cos. 1. Montrer que f est une bijection de [0,π] dans [ 1,1]. On notera arccos la fonction réciproque.. Dresser le tableau des variations (avec les limites) de la fonction arccos sur [ 1, 1]. Tracer les graphes des fonctions f et arccos. 3. Montrer que arccos est dérivable sur ] 1,1[ et montrer que : ] 1,1[, arccos ()= 1 Eercice 0. [théorème de la bijection, bis ] On considère la fonction th définie sur Ê par : Ê, th()= e e e +e. 1. Étudier les variations (complètes) de th sur Ê. Tracer son graphe.. Montrer que : Ê, th ()=1 th() 3. Montrer que th est bijective de Ê dans un intervalle I que l on précisera. On notera th 1 = argth. 4. Montrer que argth est dérivable sur I et donner une epression de argth (y) pour tout y I. 5. Déterminer l epression de argth(y), pour tout y I. 3/6
Eercice 1. [suite récurrente ] Soit a> 0. On considère la suite (u n ) définie par : u 0 = a et n 1, u n+1 = 1 ( u n + a ) u n 1. Étudier les variations de f : 1 ( + a ) sur Ê +. Tracer le graphe de f ainsi que la première bissec- trice.. Démontrer que pour tout n Æ, u n [ a,+ [. 3. Étudier la monotonie de la suite (u n ) à partir du rang 1. 4. En déduire que (u n ) converge et préciser sa limite. 5. Écrire un programme Scilab qui demande un entier n Æ et un réel a> 0 à l utilisateur et renvoie la valeur de u n. Eercice. [suite récurrente, bis ] On considère la suite (u n ) définie par : u 0 = 0 et n 0, u n+1 = ln(+u n ) 1. Démontrer que l équation ln(+ )= d inconnue Ê + admet une unique solution notée α. Justifier que α ]1,[.. Étudier les variations de f : ln(+ ) sur Ê +. Tracer le graphe de f ainsi que la première bissectrice. 3. Démontrer que pour tout n Æ, u n Ê +. 4. À l aide de l inégalité des accroissements finis, démontrer que : n Æ, u n+1 α 1 u n α 5. En déduire que : 6. En déduire que (u n ) converge et préciser sa limite. n Æ, u n α 1 n 1 7. Déterminer un entier n tel que u n soit une valeur approchée de α à 10 6 -près. 8. Écrire un programme Scilab permettant de calculer une telle valeur approchée de α. Eercice 3. [suite implicite, EDHEC (E) 000, etraits modifiés, ] Pour tout entier n supérieur ou égal à 1, on définit la fonction f n par Ê + f n ()= n + 9 4 1. (a) Montrer que l équation f n ()=0 n a qu une seule solution strictement positive, notée u n. (b) Calculer u 1 et u. ] (c) Vérifier que : n Æ, u n 0; [ 3. (a) Montrer que pour tout ]0,1[ on a f n+1 ()< f n (). (b) En déduire le signe de f n (u n+1 ), puis les variations de la suite (u n ). (c) Montrer que la suite (u n ) est convergente. On note l sa limite. 3. (a) Déterminer la limite de (u n ) n lorsque n tend vers+. (b) Donner enfin la valeur de l. 4. Écrire un programme Scilab demandant un entier n et un réel strictement positif ε à l utilisateur et renvoyant une valeur approchée de u n à ε-près. 4/6
Eercice 4. [suite implicite, bis ] 1. Démontrer que pour tout n Æ, l équation n + 1 = 0 admet une unique solution n dans ]0,+ [.. Calculer 1 et. 3. Montrer que la suite ( n ) est majorée par 1. 4. Étudier la monotonie de la suite ( n ). 5. Démontrer que ( n ) converge vers un réel l tel que l 1. 6. Montrer que l=1. On pourra supposer par l absurde que ( n ) converge vers l ]0,1[. Eercices d approfondissement Eercice 5. [fonction bornée ] Soit f : Ê Ê une fonction continue. On suppose que f a des limites finies en+ et. Montrer que f est bornée. Eercice 6. [fonction bijective] Soit f une fonction continue de Ê dans Ê. On suppose qu il eiste a Ê + tel que :, y Ê, f () f (y) a y Montrer que f est une bijection de Ê dans Ê. Eercice 7. [équations fonctionnelles ] 1. Déterminer toutes les fonctions f : Ê Ê continues en 0 telles que : Ê, f ()= f (). On souhaite déterminer toutes les fonctions continues f : Ê Ê vérifiant :, y Ê, f (+y)= f ()+ f (y) (a) Montrer que f (0)=0 et en déduire que f est impaire. (b) Montrer que pour tout n Æ, f (n)=nf (). Montrer que cette relation reste valable pour n. (c) Montrer que pour tout r É, f (r )=ar où a= f (1). (d) On rappelle que tout réel est limite d une suite de nombres rationnels (eercice du premier chapitre). Montrer que f est nécessairement de la forme a. (e) Montrer que réciproquement les fonctions f : a conviennent. 3. On souhaite déterminer toutes les fonctions continues f : Ê Ê vérifiant :, y Ê, f (+y)= f ()f (y) (a) Montrer que s il eiste y Ê tel que f (y)=0, alors pour tout Ê, f ()=0. (b) Montrer que pour tout Ê, f () 0. (c) On suppose que f ne s annule pas sur Ê. On pose alors g = ln f : justifier. Montrer que g vérifie l équation fonctionnelle précédente. En déduire la forme de g, puis celle de f. (d) Montrer que réciproquement les fonctions de la forme trouvée conviennent. 5/6
4. Déterminer toutes les fonctions continues f : Ê Ê vérifiant : Ê, ( +y f ) f ()+ f (y) = On pourra étudier la fonction g : f () f (0). Eercice 8. [théorème de Rolle à l infini ] Soit a Ê et f une fonction continue de [a,+ [ dans Ê et dérivable sur ]a,+ [. On suppose f (a) = 0 et f () + 0. Montrer qu il eiste c ]a,+ [ tel que f (c)=0. Eercice 9. [théorème de Rolle itéré] Soit P une fonction polynomiale réelle. Montrer que l équation e = P() admet un nombre fini de solutions. 6/6