Chapitre 7. Etudes de fonctions

. Dérivée première et croissance.. Croissance et décroissance Chapitre 7. Etudes de fonctions Au début de ce cours d analyse, nous avons défini la croissance et la décroissance d une fonction. Pour rappel : Une fonction f est croissante sur un intervalle [a, b] inclus dans son domaine si et seulement si a, b : < f ( ) f ( [ ] ), Une fonction f est décroissante sur un intervalle [a, b] inclus dans son domaine si et seulement si a, b : < f ( ) f ( [ ] ), Choisissons donc deu valeurs et appartenant à l intervalle [a, b]. On a : y f ( ) f ( ) Si la fonction f est croissante, par définition et y ont le même signe ; le tau y d accroissement est donc positif. Quand la valeur de se rapproche de celle de, ce rapport reste positif et devient la dérivée f de la fonction. Si la fonction f est décroissante, par définition et y sont de signes contraires ; y le tau d accroissement est donc négatif. Quand la valeur de se rapproche de celle de, ce rapport reste négatif et devient la dérivée f de la fonction. On peut donc en conclure : Une fonction f est croissante si sa dérivée première est positive ; elle est décroissante si sa dérivée première est négative... Etrema Les notions de minimum et de maimum ont été étudiées au début du cours d analyse. Ce qui précède montre clairement que Une courbe représentative d une fonction présente un etremum en un point si, en ce point, la dérivée première de cette fonction s annule et change de signe. Une courbe représentative d une fonction présente un minimum en un point si, en ce point, la dérivée première de cette fonction s annule et si de négative, elle devient positive. Une courbe représentative d une fonction présente un maimum en un point si, en ce point, la dérivée première de cette fonction s annule et si de positive, elle devient négative. Il y a lieu de noter que ces conditions sont suffisantes, mais pas nécessaires : parmi les eemples qui précèdent, on peut trouver de nombreuses fonctions qui présentent des etremums sans que la dérivée change de signe et/ou sans que la dérivée s annule en ce point. Il suffit de considérer les fonctions qui présentent un point de rebroussement ou un point anguleu par eemple. 5 ième année ième partie : Analyse- Chapitre 7 : Etudes de fonctions p

.Dérivée seconde et concavité.. Concavité La courbe représentative de la fonction f : f ( ) tourne sa concavité vers le haut ou vers le bas. Dans le cas de la figure de gauche, le coefficient de direction de la tangente augmente lorsque augmente, c est-à-dire lorsque la dérivée première f de f est croissante, c est-à-dire lorsque la dérivée seconde f de f est positive. Dans le cas de la figure de droite, le coefficient de direction de la tangente diminue lorsque augmente, c est-à-dire lorsque la dérivée première f de f est décroissante, c est-à-dire lorsque la dérivée seconde f de f est négative. Conclusion Si une fonction f est continue dans l intervalle fermé [a, b] et deu fois dérivable dans l intervalle ouvert ]a, b[, la courbe représentative de cette fonction tourne sa concavité vers le haut si sa dérivée seconde est positive ; elle tourne sa concavité vers le bas si sa dérivée seconde est négative... Point d infleion Une courbe représentative d une fonction admet un point d infleion en I si et seulement si cette courbe admet une tangente en ce point et la concavité de cette courbe change de sens en ce point. Si la dérivée seconde d'une fonction s'annule en changeant de signe, il y a un point d infleion. Cas particulier : Point d infleion à tangente horizontale. En un tel point, la dérivée première et la dérivée seconde de la fonction s annulent. 5 ième année ième partie : Analyse- Chapitre 7 : Etudes de fonctions p

. Représentation graphique de quelques fonctions Nous adopterons le plan de travail suivant :. Détermination du domaine de définition et de continuité. Parité et périodicité. Etude de f() Zéro(s) Pôle(s) Signe 4. Etude de f () Zéro(s) (qui permettent de déterminer les éventuels etrema) Pôle(s) Signe (qui permet de déterminer la croissance et la décroissance) 5. Etude de f () Zéro(s) (qui permettent de déterminer les éventuels points d infleion et les équations de tangentes en ces points) Pôle(s) Signe (qui permet de déterminer la concavité de la courbe) 6. Recherche des équations des éventuelles asymptotes 7. Tableau récapitulatif ière ligne : valeurs particulières de la variable par ordre croissant ième ligne : le signe de f() ième ligne : la croissance ou décroissance de f() 4 ième ligne : la concavité de f() 5 ième ligne : Asymptotes, zéro(s), intersection avec l ae des Y, etrema, points d infleion, points anguleu ou de rebroussement et allure du graphique de f(). 6 ième ligne : Détermination de quelques points particuliers si nécessaire 8. Tracé du graphique de f() Asymptotes Points particuliers tels que le(s) zéro(s), l intersection avec l ae des Y, les etrema, les points anguleu, de rebroussement ou d infleion Tracé de la courbe Valeurs de la variable qui annulent le dénominateur. 5 ième année ième partie : Analyse- Chapitre 7 : Etudes de fonctions p.

.. La fonction homographique Nous avons étudié précédemment la fonction f ( ) et avons vu que son graphique est constitué de deu branches séparées par deu droites, ses asymptotes. Nous avons d ailleurs précisé qu une telle courbe s appelle une hyperbole. Définition Une fonction homographique est une fonction réelle qui à tout nombre associe a + b le nombre y moyennant c 0. c + d Donc une fonction homographique est une fonction : a + b f ( c 0) c + d Propriétés n Toute fonction homographique peut se mettre sous la forme f : m + + p Il suffit de diviser a + b par c + d pour obtenir le résultat annoncé. Ceci signifie qu une fonction homographique possède toujours deu asymptotes : a Une asymptote horizontale d équation y ou y m suivant la forme que l on c prend pour l équation générale de la fonction homographique ; Une asymptote verticale d équation d c ou p suivant la forme que l on prend pour l équation générale de la fonction homographique. Toute fonction homographique peut se déduire de la fonction transformations géométriques que nous avons étudiées l an dernier. f : par des Voici deu eemples de fonctions homographiques. Etude de la fonction f 6 + : 6. Domaine de définition et de continuité : R \{ } 6 +. Parité et périodicité : f ( ) f ( ). Cette fonction n est donc ni paire, ni 6 impaire ; elle n est pas périodique.. Etude de y Zéro : Pôle : 5 ième année ième partie : Analyse- Chapitre 7 : Etudes de fonctions p.4

Intersection avec l ae des ordonnées : Signe : y 6 + - 0 + + + 6 - - - 0 + 6 6 + 0 -? + 4. Etude de y ' Zéro : Néant. Pôle :. Signe : 6 + y ' 6 6( 6) (6 + ) ( 6)² 8 6 8 6 ( 6)² 4 ( 6)² ' -4 - - - ( 6)² + 0 + 4 y ' ( 6)² -? - La fonction est donc partout décroissante. Elle n admet pas d etremum. 5. Etude de y " Zéro : Néant. Pôle :. 4 y" ( 6)². 4. ( 6)³ 5 ( 6)³ ' 5 ième année ième partie : Analyse- Chapitre 7 : Etudes de fonctions p.5

Signe : 5 + + + ( 6)³ - 0 + 5 y" ( 6)³ -? + La fonction tourne sa concavité vers les y négatifs pour les valeurs de inférieures à et vers les y positifs pour les valeurs de supérieures à 6. Recherche des équations des éventuelles asymptotes A.V. : 6 + 6 + lim + ; lim 6 6 > < Cette fonction admet donc une asymptote verticale d équation. 6 + A.H. : lim. 6 Cette fonction admet donc une asymptote horizontale d équation y. La recherche de l équation de l asymptote horizontale montre qu il n y a pas d asymptote oblique. 7. Tableau récapitulatif y ' - - -? - y " - - -? + y ց ց ց? ց A.V. 8. Détermination de quelques points particuliers - - 0 f ( ) 5 4 8 6 9 5 ième année ième partie : Analyse- Chapitre 7 : Etudes de fonctions p.6

9. Graphique Étude de la fonction f 4 + : + R \ 0. Domaine de définition et de continuité : { } 4 +. Parité et périodicité : f ( ) f ( ). Cette fonction n est donc ni paire, ni impaire ; elle n est pas périodique.. Étude de y : Zéro : 4 Pôle : 0 Intersection avec l ae des ordonnées : Néant. Signe : 0 4 4 + + + + 0 - - 0 + + + 4 + -? + 0-5 ième année ième partie : Analyse- Chapitre 7 : Etudes de fonctions p.7

4. Étude de y ' 4 + y ' 4. ( 4 + ) ( )² 8 + 8 6 4 ² 6 4 ² ² Zéro : Néant. Pôle : 0. Signe : 0 - - - - ² + 0 + -? - ² La fonction est donc partout décroissante. Elle n admet pas d etremum. 5. Étude de y " ' Zéro : Néant. Pôle : 0. Signe : y" ² ³ ' 0 + + + ³ - 0 + ³ -? + Cette fonction tourne sa concavité vers les y négatifs pour les valeurs de inférieures à 0 et vers les y positifs pour les valeurs de supérieures à 0 6. Recherche des équations des éventuelles asymptotes A.V. : 4 + 4 + lim ; lim + 0 0 > < Cette fonction admet donc une asymptote verticale d équation 0. 5 ième année ième partie : Analyse- Chapitre 7 : Etudes de fonctions p.8

4 + A.H. : lim. Cette fonction admet donc une asymptote horizontale d équation y. La recherche de l équation de l asymptote horizontale montre qu il n y a pas d asymptote oblique. 7. Tableau récapitulatif 0 4 y ' -? - - - y " -? + + + y ց? ց ց ց A.V. 8. Détermination de quelques points particuliers 9. Graphique - - f ( ) 7 5 4 4 5 ième année ième partie : Analyse- Chapitre 7 : Etudes de fonctions p.9

.. Étude de la fonction y ² +. Domaine de définition et de continuité : R. Parité et périodicité f ( ) ( ) ( )² + ² + f Cette fonction est donc paire et nous pouvons nous contenter de l étudier dans R +. Cette fonction n est pas périodique.. Étude de y Zéro : Néant. Pôle : Néant. Intersection avec l ae des ordonnées : ( 0, ) Signe : 4. Étude de y ' ' y ' ² + ( ² + ) Zéros : 0. Pôles : Néant. Signe : 5. Étude de y " ' ( ² ) y" ( ² + ) ( ² + ) y + 0 y 0 - Zéros : (L autre zéro, à savoir n est pas à prendre en compte puisque nous + étudions cette fonction uniquement dans R ). Pôles : Néant. Signe : 0 y - - 0 + 6. Asymptotes A.V. : Il n y a pas d asymptote verticale car la fonction ne peut tendre vers l infini quand la variable tend vers une valeur finie. A.H. : lim f ( ) lim 0 ² + il eiste donc une asymptote horizontale d équation y 0 5 ième année ième partie : Analyse- Chapitre 7 : Etudes de fonctions p.0

7. Tableau récapitulatif 0 y 0 - - - y - - 0 + y ց ց ց M I 8. Points supplémentaires 4 4 y 0,94 0, 0,75 0,5 0, 0, 0,06 9. Graphique Lorsque les aes ne sont pas normés, ce graphique peut prendre la forme : 5 ième année ième partie : Analyse- Chapitre 7 : Etudes de fonctions p.

.. Etude de la fonction ³ f : y ( + )². Domaine de définition et de continuité : R \{ } ³. Parité et périodicité : f ( ) f ( ). Cette fonction n est donc ni paire, ni ( )² impaire ; elle n est pas périodique.. Étude de y Zéro : 0. Pôle : -. Intersection avec l ae des ordonnées : ( 0,0 ) Signe : 4. Étude de y ' - 0 ³ - - - 0 + ( + )² + 0 + + + ³ ( + )² -? - 0 + ³ y ' ( + )² ²( + )² ³( + ) 4 ( + ) ²( + ) ³ ( + )³ ² + ³ ³ ( + )³ ³ + ² ( + )³ ²( + ) ( + )³ Zéros : 0,. Pôle :. Signe : - - 0 ² + + + + + 0 + + - 0 + + + + + ( + )³ - - - 0 + + + ²( + ) y ' ( + )³ + 0 -? + 0 + 5 ième année ième partie : Analyse- Chapitre 7 : Etudes de fonctions p. '

5. Étude de y " ' ²( + ) y" ( + ) [ ( + ) + ² ]( + )³ ²( + )( + )² 6 ( + ) ( ² + 6 + ²)( + ) ²( + ) 4 ( + ) ² + 6 + ² + ³ + 6 ² + ³ ³ 9 ² 4 ( + ) 6 4 ( + ) Zéro : 0. Pôle :. Signe : - 0 6 - - - 0 + 4 ( + ) + 0 + + + 6 y" 4 ( + ) -? - 0 + Puisque la dérivée seconde s annule en 0, la courbe admet en ce point un point d infleion. De plus, la dérivée première est aussi nulle en ce point, la tangente au point d infleion est donc horizontale. La courbe tourne sa concavité vers les y négatifs pour les valeurs de inférieures à 0 et vers les y positifs pour les valeurs de supérieures à 0. 6. Asymptotes A.V. : ³ lim ( + )² Cette fonction admet donc une asymptote verticale d équation. A.O. : f ( ) ³ ³ lim lim lim ( + )² ( + + ²) ³ ³ ( + )² lim lim ( )² ( )² + + ³ ² ³ lim ( + )² ² lim ( + )² Cette fonction admet donc une asymptote oblique d équation y 5 ième année ième partie : Analyse- Chapitre 7 : Etudes de fonctions p.

7. Tableau récapitulatif - - 0 y + 0 -? + 0 + y - - -? - 0 + y 7 ր 6 ց? ր 0 ր M A.V. I 8. Points supplémentaires 9. Graphique - 0 y 8 7-8 0 0,5 9 6 Ce premier graphique permet de voir clairement la tangente horizontale au point d infleion. 5 ième année ième partie : Analyse- Chapitre 7 : Etudes de fonctions p.4

Ce deuième graphique permet de se faire une idée plus complète de l allure de la courbe..4. Etude de la fonction + ². Domaine de définition et de continuité : ], ] [, + [. Parité et périodicité : f ( ) + ( )² f ( ). Cette fonction n est donc ni paire, ni impaire ; elle n est pas périodique.. Étude de y Zéro : Néant. Pôle : Néant. Intersection avec l ae des ordonnées : Néant. Signe : - ////// + ² - - ////// + 4. Étude de y ' ( ) ' y ' + ² + ² 5 ième année ième partie : Analyse- Chapitre 7 : Etudes de fonctions p.5

Zéro : Néant. Pôles : et. Signe : - ////// y ' + ² -? //////? + 5. Étude de y " ' ² ² ² ² y" + ² ( ² ) ( ² ) ( ² ) Zéro : Néant. Pôles : et. Signe : - ////// -? //////? - y" ( ² ) 6. Recherche des équations des éventuelles asymptotes A.V. : Il est évident qu il n y a pas d asymptote verticale. A.H. : ( ) ( ) lim + ² + + lim + ² F( ) v. v. ( + ² )( ² ) lim ² ( ² ² + ) lim + ² lim 0 + Cette fonction admet donc une asymptote horizontale à gauche d équation y 0 A.O. : + + ² lim lim ² + + Nous trouvons donc une asymptote oblique à droite. 5 ième année ième partie : Analyse- Chapitre 7 : Etudes de fonctions p.6

De plus, lim + ² lim + ² + v. v. + + ( + ² )( ² ) lim + ² ² ² + lim + ² lim 0 + ² L équation de l asymptote oblique s écrit donc y. Comme il eiste une asymptote horizontale à gauche, il n'y a pas d'asymptote oblique à gauche. 7. Tableau récapitulatif - ////// y -? //////? + y -? //////? - y ց - ////// ր ////// 8. Détermination de quelques points particuliers 9. Graphique - - - y -0, -0, -,7 5,8 5 ième année ième partie : Analyse- Chapitre 7 : Etudes de fonctions p.7

.5. Etude de la fonction sin + cos. Domaine de définition et de continuité : R. Parité et périodicité : f ( ) sin ( ) + cos( ) f ( ). Cette fonction n est donc ni paire, ni impaire ; mais elle est périodique. En effet f ( + π ) sin ( + π ) + cos( + π) sin( + 4 π ) + cos( + π ) sin + cos f ( ) Ceci permet de n étudier cette fonction que dans l intervalle [ π, π ].. Étude de y π π Zéros :,. Pôle : Néant. Intersection avec l ae des ordonnées : (0, ) Signe : π π π π y - - 0 + 0 - - 4. Étude de y ' π Zéros :, Pôle : Néant. Signe : π, 6 y ' cos sin 5π 6 π π 5π π π 6 6 y ' + 0 + 0-0 + 5. Étude de y " π Zéros :, Pôle : Néant. Signe : y" 4sin cos π 0, 5,,89. π π π -,89-0,5 π y " + 0 + 0 + 0-0 + 5 ième année ième partie : Analyse- Chapitre 7 : Etudes de fonctions p.8

6. Recherche des équations des éventuelles asymptotes A.V. : Il est évident qu il n y a pas d asymptote verticale. A.H. : L intervalle dans lequel la fonction est étudiée étant limité, il ne peut y avoir d asymptote horizontale. A.O. : L intervalle dans lequel la fonction est étudiée étant limité, il ne peut y avoir d asymptote oblique. 7. Tableau récapitulatif π -,89 π π π 5π -0,5 6 6 π y ' + + + 0 + + + 0 - - - 0 + y " + 0 + 0 + 0 - - - 0 + + + y - ր ր ր 0 ր ր ր ց 0 ց ր - I M m 8. Détermination de quelques points particuliers 9. Graphique π π π π 4 4 4 4 y + + 5 ième année ième partie : Analyse- Chapitre 7 : Etudes de fonctions p.9

b 9.. Étude de la fonction f : y a a Remarque Nous supposerons a et b positifs. (restriction facile à lever).. Domaine de définition La fonction est partout définie et continue dans l intervalle a, a.. Parité et périodicité b b f ( ) a² ( )² a² ² f ( ) a a Cette fonction est donc paire et il est possible de ne l étudier que sur l intervalle [ ] Visiblement, cette fonction n es pas périodique.. Étude de y 0,a. Zéros : a, a Pôles: néant. Signe : Signe : y > 0 -a a y 0 + 0 4. Étude de y b y a a Zéro : 0 Pôle : Néant. Signe : - a 0 a y / + 0 - / 5. Étude de y y ab ca h Zéro : néant. Pôle : Néant. Signe : y < 0 - a a y / - / 6. Asymptotes Il est évident qu il n y a pas d asymptote verticale. De plus, la fonction n étant définie que dans un intervalle borné, il n y a pas d asymptote horizontale, ni d asymptote oblique. 5 ième année ième partie : Analyse- Chapitre 7 : Etudes de fonctions p.0

7. Tableau récapitulatif - a 0 a y / + 0 - / y / - - - / y 0 ր b ց 0 Points S M S 8. Points supplémentaires (dans le cas où a 4 et b ) - 4 - - - 0 4 y 0,,7,94,94,7, 0 9. Graphique (dans le cas où a 4 et b ) y M S S Remarque : la partie du graphique en dessous de l ae des correspond à la fonction b y a a et complète le graphique de y +. a b b 9.. Étude de la fonction y a a Remarque Nous supposerons a et b positifs (restriction facile à lever).. Domaine de définition : La fonction est partout définie et continue dans l intervalle, a a, +. Parité et périodicité b b f ( ) ( )² a² ² a² f ( ) a a Cette fonction est donc paire et il est possible de ne l étudier que sur l intervalle [ ] Visiblement, cette fonction n es pas périodique.. Étude de y Zéros : a, a Pôle : Néant. 0,a. 5 ième année ième partie : Analyse- Chapitre 7 : Etudes de fonctions p.

Signe : y > 0 4. Étude de y b y a a Zéros : néant Pôle : Néant. Signe : 5. Étude de y ab y a c h Zéros : néant Pôle : Néant. Signe : y < 0 -a a y + 0 0 + - a a y - / / + -a a y - / / - 6. Asymptotes A.V. : Il est évident qu il n y a pas d asymptote verticale. b A.H. : lim a a + : il n'y a donc pas d A.H. f b b A.O. : m lim ( ) lim a lim a a f b b m lim ( ) lim + + a a Lb p f m a a b O a b a NM QP a lim ( ) lim lim + + + e je j b a a + b a + + b a lim lim lim + a + + a a a a 0 A.O. d équation : y b a (en + ) f b b m lim ( ) lim a a Lb p f m a a b O a b + a NM QP a lim ( ) lim lim + e je j b a + a b a b a lim lim lim a a a a a 0 A.O. d équation : y b a (en ) 5 ième année ième partie : Analyse- Chapitre 7 : Etudes de fonctions p.

7. Tableau récapitulatif - a a y - / / + y - / / - y Points S S 8. Points supplémentaires (dans le cas où a 4 et b ) - 8-7 - 6-5 - 4 4 5 6 7 8 y,46,87,4,5 0 0,5,4,87,46 9. Graphique : (dans le cas où a 4 et b ) y AO y - 4 4 AO y Remarque La partie du graphique en dessous de l ae des correspond à la fonction b y a a et complète le graphique de y. a b.8. Étude de la fonction f : y p. La fonction est partout définie dans définition. + R. Elle est continue dans son domaine de. Étude de y Zéro : 0 Pôle : Néant. Signe : y > 0 0 y 0 + 5 ième année ième partie : Analyse- Chapitre 7 : Etudes de fonctions p.

. Étude de y p y Zéro : néant Pôle : Néant. Signe : y > 0 0 y / + 4. Étude de y y p 4 Zéro : Néant Pôle : Néant. Signe : y < 0 0 y / - 5. Asymptotes A.V. : Il est évident qu il n y a pas d asymptote verticale. A.H. : lim + p + Pas d A.H. f p A.O. : m lim ( ) lim 0 pas d A.O. + + Signalons cependant qu il eiste une direction asymptotique, sans asymptote : cette direction asymptotique est celle de l ae de la parabole. 6. Tableau récapitulatif 0 y / + y / - y 0 Point S 7. Points supplémentaires (dans le cas où p ) 0 4 5 6 7 8 9 y 0,8,46 4 4,47 4,90 5,9 5,66 6 8. Graphique (dans le cas où p ) y Remarque La partie du graphique en dessous de l ae des correspond à la fonction y et complète le graphique de y p p. 5 ième année ième partie : Analyse- Chapitre 7 : Etudes de fonctions p.4