Thalès et les proportions 1. Introduction 1.1. En vue de doser ses cocktails toujours de la même manière, un barman désire faire graver sur ses verres une règle graduée indiquant la hauteur de liquide centimètre par centimètre. a) Trace la règle graduée qu'il faudra graver sur la vue de face du verre présenté ci-dessous et détermine de la manière la plus précise, l'écart entre deux graduations....... Classe de 3 ème 1
b) Détermine graphiquement 65 mm de hauteur du liquide, ensuite vérifie par calcul la longueur de ce liquide à l aide des graduations que tu as tracées précédemment............. c) Quelle est la hauteur du liquide contenu dans le verre présenté et qui correspond à une marque gravée située à 49 mm du fond du verre?............ 1.2. Partage ce segment en 7 parties de même longueurs. Classe de 3 ème 2
2. Théorème de Thalès 2.1 Cas particulier du théorème de Thalès 2.1.1 Voila la route qui conduit chez les Selaht. arbre A arbre B arbre C arbre A' La commune a décidé de planter des arbres du côté droit de la route. Seulement elle aimerait que la distance entre l'arbre A et l'arbre B ainsi que la distance entre l'arbre B et l'arbre C soient égales respectivement à la distance entre l'arbre A' et l'arbre B' ainsi que celle entre l'arbre B' et l'arbre C'. On sait où la commune veut planter l'arbre A'. Quelle méthode devraitelle utiliser pour trouver l emplacement précis où planter les autres arbres?.................. Classe de 3 ème 3
Des droites parallèles (au moins trois) déterminément sur deux droites parallèles qui les coupent des segments homologues de longueurs égales. Classe de 3 ème 4
2.1.2 a) La comtesse de Selaht, a investi dans la construction d'un parc pour les amoureux de la nature juste à côté de sa résidence. Voici le plan du chantier : = 240 m = 1 200 m = 400 m = 2 000 m = 320 m = 1 600 m Calcule les rapports suivants : BD AC et CE AC BD CE =... =... =... =... =... =... Que constates-tu?............ Classe de 3 ème 5
b) Pour combler au maximum les amoureux de la nature, Mme la comtesse a dressé un plan de tous les parcs à moins de 50 km de sa résidence. Il y en a 5 (A, B, C, D et E). Ces parcs sont plus magnifiques les uns que les autres! Du simple buisson au majestueux séquoia géant en passant par de magnifique pavot de Californie, ces parcs raviront tous les passionnés de la flore. Calcule les rapports suivants : =... =... =... =... =... =... Que constates-tu?............ Classe de 3 ème 6
Une parallèle à l'un des côtés d'un triangle partage les deux autres (ou leurs prolongements) en segments de longueurs proportionnelles. Classe de 3 ème 7
Attention Il ne faut pas confondre les égalités relatives au théorème de Thalès et celles relatives aux triangles semblables. Triangles semblables CB ED Théorème de Thalès CB ED Classe de 3 ème 8
2.1.3 Une parallèle aux bases d'un trapèze partage les deux autres côtés (ou leurs prolongements) en segments de longueurs proportionnelles. Classe de 3 ème 9
2.2. Exercices a) Dans chaque cas, détermine x. Classe de 3 ème 10
b) Dans les configurations de Thalès ci-dessous, détermine la valeur de x et de y. BE ǁ CF ǁ DG Classe de 3 ème 11
BA ǁ GD ǁ FE Classe de 3 ème 12
c) Dans un trapèze ABCD (AB DC), on trace une droite d AB qui coupe [AD] en x et [BC] en Y. Complète le tableau ci-dessous. 1 3,4 4,2 5,04 2 1 3 4 5 2 1....... 2....... 3....... 4....... 5....... Classe de 3 ème 13
2.3 Formulation 1 (avec les projections parallèles) Les projections parallèles conservent le rapport des longueurs. Données A, B et C d 1 D, E et F d 2 AD BE CF Thèse Démonstration Par les points D et E, on trace les droites a et b parallèles à d 1. La droite a coupe BE en G et la droite b coupe CF en H. Classe de 3 ème 14
Remarque On peut énoncer le théorème de Thalès avec d'autres segments que ceux qui sont utilisés dans la thèse de la page précédente. Ce qui donne trois égalités pour le même théorème: 2.4 Formulation 2 (avec les segments homologues) Des droites parallèles (au moins trois) déterminent sur deux droites qui les coupent des segments homologues de longueurs proportionnelles. Données A, B et C d 1 D, E et F d 2 AD BE CF Thèse Démonstration La 2 ème formulation du théorème de Thalès découle directement de la 1 ère. Nous le verrons dans la suite de ce chapitre mais une des propriétés des proportions est que dans toute proportion, on peut permuter les moyens. Classe de 3 ème 15
2.5 Extension du théorème de Thalès La première formulation du théorème de Thalès permet d'étendre celui-ci a b c d 1 d 2 d 3 Dans quelles conditions sont placées les droites? Classe de 3 ème 16
3. Exercices a) Inscris en dessous de chaque dessin s il s agit d une configuration de Thalès ou pas. Justifie ta réponse.. Classe de 3 ème 17
b) Dans chaque cas, détermine x. La représentation graphique proposée ne correspond pas aux mesures imposées. Classe de 3 ème 18
4. Thalès pour construire 4.1 La quatrième proportionnelle Définition La quatrième proportionnelle des réels positifs a, b et c est le réel x te que. Construction Pour déterminer graphiquement la quatrième proportionnelle de trois réels positifs, on utilise le théorème de Thalès. Il existe plusieurs solutions. En voici deux. Première solution Trace deux demi-droites de même origine A. Sur l'une d'elles, reporte deux segments consécutifs [AB] et [BC] de longueurs respectivement égales à a et b. Sur l'autre demi-droite, reporte le segment [AD] de longueur c. Trace la droite BD et, par le point C, la droite parallèle à la droite BD qui coupe la droite AD au point E. Le segment [DE] est le segment de longueur x. Classe de 3 ème 19
Deuxième solution Trace deux demi-droites de même origine A. Sur l'une d'elle, reporte deux segments consécutifs [AB] et [BC] de longueurs respectivement égales à a et c. Sur l'autre demi-droite, reporte le segment [AD] de longueur b. Trace la droite BD et par le point C, la droite parallèle à la droite BD qui coupe la droite AD au point E. Le segment [DE] est le segment de longueur x. Classe de 3 ème 20
4.2 Partage d'un segment en n parties de même longueur Pour partager un segment [AB] en 5 parties de même longueur: Trace une demi-droite d'origine A; Reporte sur celle-ci cinq segments consécutifs d une même longueur quelconque: AP 1 P1 P2 P2 P3 P3 P4 P4 P5 Trace les points P 1, P 2, P 3 et P 4 puis trace les droites parallèles à P 5 B; Par application du théorème de Thalès, les points d'intersection de ces parallèles avec le segment [AB] déterminent cinq segments de même longueur: A Q1 Q1 Q2 Q2 Q3 Q3 Q4 Q4 B. Classe de 3 ème 21
4.3 Coordonnées du milieu d'un segment Les coordonnées du milieu M d'un segment [AB] s'obtiennent en calculant la moyenne arithmétique des abscisses et la moyenne arithmétique des ordonnées des extrémités du segment. Données A (x A ; y A ) B (x B ; y B ) M milieu de [AB] Thèse M Démonstration Classe de 3 ème 22
Cas particulier Si A et M milieu de [OA], alors M = 5. Exercices a) Trace une droite graduée, munie du repère (O, I) tel que =6 cm. Place sur ce segment les points E, F et G dont les abscisses respectives sont ; et. Classe de 3 ème 23
b) Détermine graphiquement et par calcul la quatrième proportionnelle des nombres: 1) 3 ; 5 et 2 2) 7 ; 8 et 5 Classe de 3 ème 24
3) 5 ; 10 et 3 4) 8 ; 3 et 9 Classe de 3 ème 25
c) Soit un triangle ABC tel que, et. Par un point D appartenant à [AB], on mène la parallèle à BC qui coupe AC en E. Détermine le point D pour que Classe de 3 ème 26
d) Dans chaque cas, détermine graphiquement et vérifie par calcul les coordonnées du milieu du segment. 1. [A B] avec A (0;0) et B(6;4)... 2. [C D] avec C(0;1) et D(6;5)... 3. [E F] avec E(2;0) et F(8;4)... 4. [G H] avec G(2;1) et H(8;6)... Classe de 3 ème 27
6. Réciproque du théorème de Thalès Enoncé Si deux droites sont coupées par deux droites parallèles et si une troisième droite coupe les deux premières en des point situés du même côté par rapport à chaque parallèle et de telle sorte que le rapport des longueurs des segments homologues ainsi déterminé soit constant, alors la troisième droite est parallèle aux deux premières. Données A,B et C D,E et F d1 d2 C et F sont situés du même coté par rapport à AD et BE Thèse CF BE AD Démonstration Nous allons utiliser un procédé de raisonnement appelé démonstration par l'absurde. Son mécanisme est le suivant. 1. On suppose que la thèse est fausse. 2. On montre que cette supposition conduit à un résultat absurde en contradiction avec l'hypothèse 3. On en conclut alors que la supposition faite est fausse, donc que la thèse est vraie Classe de 3 ème 28
7. Exercices a) Sachant que = 15 cm, = 20 cm, = 18 cm et = 24 cm. Les droites HJ et IK sont-elles parallèles?............... b) Sachant que = 12 cm, = 11 cm, = 8 cm et = 6 cm. Les droites IM et LK sont-elles parallèles?............... Classe de 3 ème 29
7. Les propriétés des proportions 7. 1. Introduction La figure ci-dessous représente une configuration de Thalès. a b c d 1 d 2 Complète les égalités suivantes de deux manières différentes. Classe de 3 ème 30
7.2 Propriétés 1) Dans une proportion, le produit des extrêmes est égal au produit des moyens... Justification:...... 2) Si on permute les moyens d'une proportion, on obtient une nouvelle proportion... Justification:...... 3) Si on permute les extrêmes d'une proportion, on obtient une nouvelle proportion... Justification:...... 4) Si on permute, entre eux, les moyens et les extrêmes d'une proportion, on obtient une nouvelle proportion... Justification:...... Classe de 3 ème 31
7.3 Exercices a) Résous les équations suivantes. Classe de 3 ème 32
Voici quatre configurations de Thalès. Corrige les proportions et calcule x............................ Classe de 3 ème 33
........................... Classe de 3 ème 34
8. Démonstrations a) Démontre que le segment qui joint les milieux de deux côtés d'un triangle est parallèle au troisième côté et en vaut la moitié (c'est le théorème des milieux aussi appelé le petit Thalès). b) Dans le triangle ABC isocèle en A, on trace la hauteur [BH]. Par le point C, on mène la droite perpendiculaire à [AC]. Elle coupe le prolongement de [AB] en D. Démontre que Classe de 3 ème 35
c) Voici trois demi-droites d'origine O. Si tu sais que XY X'Y' et XZ X'Z' Démontre que YZ Y'Z' d) Démontre que le rapport des aires de deux triangles de même base est égal au rapport de leurs hauteurs. Classe de 3 ème 36
e) Démontre que le rapport des aires de deux triangles de même hauteur est égal au rapport de leurs bases. f) Démontre que le rapport des aires de deux parallélogrammes de même base (hauteur) est égal au rapport des longueurs de leurs hauteurs (bases). Classe de 3 ème 37
g) Démontre que le rapport des aires de deux parallélogrammes de même hauteur est égal au rapport des longueurs de leurs bases. Classe de 3 ème 38