4 ème année Maths Isométries : Déplacements - Antidéplacements Novembre 009 A LAATAOUI Exercice n 1 : ABCD est n carré direct ; ( AB, AD) [ est la médiatrice d segment [ BC Soit f ne isométrie distincte de la symétrie S et telle qe : f ( B) = C et f ( D) = A 1- a) Montrer qe le point O = B D est invariant par f et qe c est l niqe point d plan invariant par f b) En dédire la natre et les caractéristiqes de f - Soit g = f S et ϕ = S f a) Chercher g( A ) et ( ) b) Montrer qe ϕ = S( BD) c) En dédire la natre de g ϕ Exercice n : g C En dédire qe g = S( AC ) Soit ABC n triangle rectangle en A tel qe ( CA, CB) [ 1 Montrer qe le triangle OCA est éqilatéral a) Montrer q il existe n niqe déplacement f qi envoie O sr A et B sr C b) Montrer qe f est ne rotation Constrire son centre I 3, on désigne par O le milie d segment [BC c) En calclant ( IB, IO) et ( IO, IA) montrer qe I appartient a segment [AB d) Calcler le rapport IA, en dédire qe I est le barycentre des points pondérés (A,) et (B,1) IC 3 Soit r la rotation de centre C et d angle 3 a) Déterminer la natre et les éléments caractéristiqes de f r b) Soit C l image de C par f, montrer qe O, I et C sont alignés 4 a) Montrer q il existe n niqe antidéplacement g qi transforme O en A et B en C b) Montrer qe g est ne symétrie glissante dont on précisera l axe et le vecter 1 Déplacements Antidéplacements 09 10 wwwespacemathscom
c) Montrer qe g(c) = C 5 Soit h= t S( AB) Donner la natre et les éléments caractéristiqes de h BC Exercice n 3 : On considère dans le plan orienté n rectangle ABCD de centre O tel qe AB BC On désigne par I et J les miliex respectifs de [AB et [CD 1 Montrer q il existe n niqe déplacement f tel qe f(a) = C et f(i) = J caractériser f = et ( AB, AD) [ Soit g = R I, f a) Montrer qe g est ne rotation dont on précisera l angle b) Déterminer g(a) c) Dédire ne constrction d point Ω centre de g 3 Soit h l antidéplacement tel qe h(a) = C et h(i) = J a) Montrer qe h est ne symétrie glissante b) Montrer qe h(b) = D c) On pose h(d) = D Montrer qe ( CD, CD ') [ et AD = CD d) En dédire qe D est le symétriqe de B par rapport à C e) En dédire la forme rédite de h 4 a) Constrire le point C = h(c) b) Le cercle de diamètre [AB recope [AC en E, le cercle de diamètre [CD recope [CC en E Soit F le symétriqe de E par rapport à (IJ) Montrer qe h( E ) = E et qe EF = IJ Exercice n 4 : (session principale 003) Soit ABC n triangle rectangle en C tel qe CA, CB [ et soit r la rotation de centre A et d angle Soient D = r(c) et E = r 1 (B) Déplacements Antidéplacements 09 10 wwwespacemathscom
On désigne par I le milie d segment [CD 1 a) Montrer q il existe n niqe déplacement f tel qe f(a) = D et f(c) = A b) Préciser la natre et les éléments caractéristiqes de f Soit g = f o r a) Montrer qe g est ne translation b) Soit F = g(e) Montrer qe f(b) = F et en dédire la natre d triangle BIF c) Montrer qe les points C, A et F sont alignés 3 Soit G = t ( I) où t désigne la translation de vecter AD AD AD a) Montre q il existe n niqe antidéplacement ϕ tel qe ϕ ( C) = D et ϕ ( I) = G b) Montrer qe ϕ est ne symétrie glissante dont on précisera le vecter et l axe Exercice n 5 : (session de contrôle 008) Le plan est orienté dans le sens direct Dans la figre ci contre, ABCD est n losange de centre O, I est le milie d segment [AB, J est le milie d segment [AD et 1 a) Montrer q il existe n niqe antidéplacement f qi transforme A en B et B en D b) Caractériser f c) Déterminer l image d triangle ABD par f Soit S n antidéplacement qi transforme l ensemble {A, B, D} en l ensemble {B, C, D} et tel qe S(A) = C a) Déterminer l image d segment [BD par S b) En dédire qe S est la symétrie orthogonale d axe (BD) 3 Soit g n antidéplacement qi transforme l ensemble {A, B, D} en l ensemble {B, C, D} et tel qe g(a) = D a) Montrer qe g(d) = B b) Caractériser alors g 3 Déplacements Antidéplacements 09 10 wwwespacemathscom
4 ème année Maths Isométries : Déplacements Antidéplacements Corrigé Novembre 009 A LAATAOUI Exercice n 1 : ABCD est n carré direct ; ( AB, AD) [ est la médiatrice d segment [ BC Soit f ne isométrie distincte de la symétrie S et telle qe : f ( B) = C et f ( D) = A 1 a) O= B D f( O) = f( B) f( D) car f conserve le milie f(o) = C A = O O est n point invariant par f Spposons q il existe n atre point O invariant par f f est soit ne symétrie axiale soit l identité d plan Spposons qe f est ne symétrie axiale f = S car f(b) = C Absrde Spposons qe f est l identité d plan f(b) = B Absrde Ainsi O est l niqe point invariant par f b) f est ne isométrie qi admet n sel point invariant O f est ne rotation de centre O f( O) = O f( B) = C f = r O, ( OB, OC ) [ Soit g = f S et ϕ = S f a) ga ( ) = f S ( A) = f( D) = A 4 Déplacements Antidéplacements 09 10 wwwespacemathscom
gc ( ) = f S ( C) = f( B) = C g est ne isométrie qi laisse fixe dex points distincts A et C g est soit ne symétrie axiale soit l identité d plan Or g est distincte de l identité car si non f soit égale à S ce qi est absrde Ainsi g est la symétrie axiale d axe (AC) b) ( B) = S f( B) = S ( C) = B ϕ ϕ ( D) = S f( D) = S ( A) = D ϕ = S(BD) c) g ο ϕ = S(AC) ο S (BD) = SO car (AC) (BD) en O Exercice n 4 : 1 a) AC = DA 0 il existe n déplacement niqe f tel qe f(a) = D et f(c) = A b) Soit α ne mesre de l angle de f 3 α ( AC, DA)[ + ( AC, AD)[ + [ [ [ 5 Déplacements Antidéplacements 09 10 wwwespacemathscom
α k f est ne rotation d angle Le centre de f est n point commn des médiatrices respectives des segments [AD et [CA I est le centre de f f = r I, a) g = f o r g est la composée de dex déplacements donc g est n déplacement d angle + = 0 g est ne translation Remarqe : f o r (A) = f(a) = D g est ne translation de vecter AD b) F = g(e) IB= IF f(b) = f ο r (E) = g(e) = F r ( B) = F BIF est n triangle rectangle et I, ( IB, IF ) [ isocèle f( C) = A c) ( CB) ( AF) f( B) = F Or (CB) (CA) (CA) // (AF) C, A et F sont alignés 3 G = t ( I) AD a) AD= IG AI = DG AI = DG Or IA = IC = ID CI = DG 0 il existe n antidéplacement niqe ϕ tel qe ϕ(c) = D et ϕ(i) = G b) ϕ est n antidéplacement donc ϕ est soit ne symétrie axiale soit ne glissante Pisqe [CD et [IG n ont pas la même médiatrice donc ϕ n est pas ne symétrie axiale ϕ est donc ne symétrie glissante ϕ = t S = S t o est n vecter directer de Exercice n 5 : ϕ(c) = D I le milie de [CD est n point de ϕ(i) = G = IG est donc la droite passant par I et de vecter directer IG 1 a) AB = AD et ( AB, AD) [ 3 ABD est éqilatéral AB = BD 0 il existe n antidéplacement niqe f tel qe f(a) = B et f(b) = D b) f est soit ne symétrie axiale soit ne symétrie glissante * f ο f(a) = D A f ο f n est pas l identité f n est pas ne symétrie axiale f est ne symétrie glissante * Soit f = t S = S t, avec vecter directer de 1 f ο f(a) = D t ( A) = D = AD = AD= IO f(a) = B A B = I 6 Déplacements Antidéplacements 09 10 wwwespacemathscom
f(b) = D B D = O = (IO) c) f(abd) est n triangle éqilatéral indirect car f est ne isométrie qi change les mesres des angles orientés en lers opposées Pisqe f(a) = B et f(b) = D f(abd) = BDC Soit S n antidéplacement qi transforme l ensemble {A, B, D} en l ensemble {B, C, D} et tel qe S(A) = C a) S({A, B, D}) = {B, C, D} et S(A) = C S({B, D}) = {B, D} S([BD) = [BD b) S([BD) = [BD Dex cas se posent : S(B) = B et S(D) = D S est n antidéplacement qi a des points invariants S = S(BD) S(B) = D et S(D) = B O = B D S(O) = D B = O S est ne symétrie axiale d axe la médiatrice de [BD qi est (AC) S(A) = A impossible car S(A) = C Ainsi le sel cas qi se pose est S = S(BD) 3 Soit g n antidéplacement qi transforme {A, B, D} en {B, C, D} et tel qe g(a) = D a) g({a, B, D}) = {B, C, D} et g(a) = D g({b, D}) = {B, C} Si g(d) = C g(b) = B g est ne symétrie axiale g ο g est l identité Or g ο g (A) = C A absrde g(d) C g(d) = B b) g est n antidéplacement tel qe : g(a) = D, g(d) = B et g(b) = C g ne pet pas être ne symétrie axiale car g ο g (A) = B A g est ne symétrie glissante de vecter 1 AB= JO et d axe la droite (JO) (miliex de [AD et [DB) 7 Déplacements Antidéplacements 09 10 wwwespacemathscom