Correction Exercices sur les variables aléatoires Exercice 1 Soit une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramètre (1/). a. Rappeler les valeurs de son espérance et de sa variance ; en déduire la valeur de ( ). On sait que Ce qui donne () 1 () 1 1 1 1 ( ) () ( ) 6 b) A l'aide de ce qui précède, déterminer lim Et 1, ( ) 1 1 1 1 () lim ( ) lim lim c) Pour tout entier naturel non nul, établir les inégalités : Posons et 6. La suite ( ) est évidemment croissante puisque 0. Elle est convergente. Elle est donc majorée par sa limite et donc De la même façon on a
( ) lim ( ) lim Et donc pour la même raison que précédemment 6 6 Exercice Les parties A, B et C sont indépendantes et dans chaque partie l'urne considérée initialement est la suivante : Une urne contenant 4 boules indiscernables au toucher : 1 blanche et 3 rouges. Pour les parties B et C on pourra utiliser les événements : " le -ième tirage donne une boule rouge " et : " le -ième tirage donne une boule blanche ", pour entier naturel non nul. Partie A On tire simultanément deux boules dans cette urne puis on les remet dans l'urne. Quelle est la probabilité d'obtenir deux boules rouges? Il y a 4 façons de choisir deux boules parmi 4 et 3 façons de choisir deux rouges parmi 3. 3 () 4 3 6 1 On effectue maintenant une succession de tirages simultanés de boules dans cette urne (en remettant les boules dans l'urne après chaque tirage) jusqu'à obtenir un tirage constitué de boules rouges. Soit la variable aléatoire égale au rang du tirage où l'expérience s'arrête. Quelles sont les valeurs prises par? (Ω) Reconnaître la loi de. On précisera ( ) pour tout entier 1 Nous sommes dans la situation standard d une loi géométrique. Le succès a une probabilité égale à 1/. donc G 1, ( ) 1 1 1 En déduire son espérance et sa variance. On sait que () 1 1 () 1 1 1
Calculer la probabilité que l'expérience s'arrête au plus tard au quatrième tirage. Il faut ici que l évènement 4 se réalise. ( 4) 1 1 1 1 1 1 4 1 8 1 15 16 16 Partie B On effectue des tirages d'une boule sans remise dans l'urne jusqu'à obtenir une boule blanche. Soit la variable aléatoire égale au rang du tirage où l'expérience s'arrête. Quelles sont les valeurs prises par? évidemment (Ω) 1,,3,4 Décrire l'événement ( ) et calculer ( ). L évènement ( ) signifie que l on a obtenu une boule rouge au premier tirage puis la boule blanche au second. On peut écrire ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 1 3 1 4 Déterminer la loi de, son espérance () et sa variance (). ( 1) ( 1) ( ) 1 4 ( 3) ( 3) ( ) ( ) ( ) 3 4 3 1 1 4 On en déduit que ( 4) 1 4 U,,, () 1 1 4 1 4 3 1 4 4 1 4 10 4 5 () 1 1 4 1 4 3 1 4 4 1 4 5 5 4 Soit la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges restant dans l'urne au moment où l'expérience s'arrête. Exprimer en fonction de.
Si ( ), il y a eu ( 1) boules rouges et une boule blanche, il reste dans l urne 3 ( 1) 4 boules rouges. 4 En déduire la loi de, son espérance () et sa variance (). (Ω) 0,1,,3 ( ) (4 ) ( 4 ) 1 4 () (4 ) 4 () 4 5 3 Partie C () ( 4) (1) () () 5 4 Dans cette partie, on effectue des tirages d'une boule avec remise dans l'urne jusqu'à ce que l'on obtienne boules consécutives de la même couleur. On note la variable aléatoire égale au numéro (rang) du tirage où l'expérience s'arrête. Par exemple si les tirages ont donné successivement rouge, blanc, rouge, blanc, rouge, rouge alors X6. Quelles sont les valeurs prises par? Il faut au moins deux tirages pour obtenir deux boules de la même couleur. On peut imaginer qu il peut y en avoir autant que l on veut. donc (Ω) \1 Calculer ( ) et ( 3). ( ) ( ) ( ) Puisqu il y a remise, il y a indépendance des tirages successifs. donc par incompatibilité, puis par indépendance : ( ) ( )( ) ( )( ) 3 4 1 4 10 16 5 8 ( 3) ( ) ( ) par incompatibilité, puis par indépendance, on a : ( 3) ( )( )( ) ( )( )( ) 1 4 3 4 3 4 1 4 3 16 Décrire l'événement ( 4), puis l'événement ( ) pour tout entier 1 et montrer que pour tout entier naturel non nul : ( ) 5 8 3 16
La réalisation de l évènement ( 4) signifie que l on a eu deux premiers tirages distincts, les troisièmes et quatrièmes tirages étant identiques mais différents du second (sinon l évènement 3 aurait été réalisé). donc ( 4) ( ) ( ) De la même façon l évènement ( ) est composé d une série de ( ) premiers tirages tels que deux tirages successifs soient différents et de deux tirages identiques et différents du è. Cela signifie en particulier que les deux derniers tirages sont identiques au premier. ( ) ( ) ( Dans les ( ) premiers tirages, il y a autant de boules rouges que de blanches soit ( 1). donc par incompatibilité puis par indépendance : ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) 3 4 1 4 1 4 3 4 3 4 1 4 3 4 3 4 1 4 1 4 3 4 1 4 3 4 1 4 3 4 1 4 3 4 1 4 9 16 1 16 3 4 1 4 5 8 5 8 3 16 Décrire l'événement ( 5), puis l'événement ( 1) pour tout entier 1 et montrer que pour tout entier naturel non nul : ( 1) 3 16 On peut décrire l évènement ( 5) de la façon suivante : ( 5) ( ) ( ) De la même façon on aura : ( 1) ( ) ( ) Les ( 1) premiers tirages contiennent boules de la même couleur que la première et ( 1) boules de la même couleur que la deuxième, les deux derniers tirages étant de la même couleur que la deuxième. donc par incompatibilité puis par indépendance : ( 1) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) 3 4 1 4 1 4 3 4 1 4 1 4 1 4 3 4 3 4 1 4 3 4 3 4 3 4 1 4 1 4 1 4 3 4 3 4 3 4 1 4 3 4 1 4 1 4 3 4 3 16 3 4 1 4
Calculer les sommes ₁ ( ) et ( 1). Vérifier que lim ₁ ₂ 1 ( ) 5 8 3 16 5 3 8 16 5 1 3 16 8 1 3 16 3 1 16 ( 1) 3 16 3 16 1 10 13 1 3 16 1 3 13 1 3 16 La suite géométrique de raison est convergente et sa limite est égale à 0. lim 10 13 et lim 3 13 lim 1 13 16 1 3 16 Exercice 3 Etude du jet d'une pièce équilibrée. On lance indéfiniment une pièce équilibrée (c'est-à-dire donnant Pile ou Face avec la probabilité 1/) et l'on désigne par T la variable aléatoire indiquant le numéro du jet où, pour la première fois, la pièce donne Face. Déterminer pour tout entier 1 la probabilité des événements, et. Nous sommes dans la situation standard d une loi géométrique de paramètre 1/. donc (Ω) également, ( ) 1 1 1 alors ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 En déduire l'espérance () de la variable aléatoire. On sait que Etude du jet de deux pièces équilibrées. () 1 1 On considère le jeu suivant : on lance indéfiniment un ensemble de deux pièces équilibrées. Autrement dit, on lance une première fois les pièces, puis on relance une seconde fois les pièces, et ainsi de suite. On désigne : Par la variable aléatoire indiquant le numéro du jet où, pour la première fois, chacune des pièces a amené au moins une fois Face.
Par ₁ la variable aléatoire indiquant le numéro du jet où, pour la première fois, la première pièce a amené Face, par ₂ la variable aléatoire indiquant le numéro du jet où, pour la première fois, la seconde pièce a amené Face. Déterminer la probabilité ( 1) Attention : le au moins une fois nous indique que vraisemblablement nous n aurons pas ici une loi géométrique. La réalisation de l évènement ( 1) signifie que dès le premier lancer les deux pièces ont amené «face», autrement dit ( 1) par indépendance ( 1) ( )( ) 1 1 1 4 Comparer les événements ( ) et (₁ ) (₂ ) pour 1. La réalisation de l évènement signifie que la première pièce a amené au moins une fois face avant le è lancer et qu il en est de même pour la seconde. Les évènements ( ) et ( ) sont donc réalisés. Réciproquement si ces deux évènements sont réalisés alors «face» est sorti au moins une fois pour chaque pièce avant le è lancer et donc ( ) est réalisé. ( ) ( ) ( ) En déduire les probabilités ( ), puis, plus généralement ( ) pour 1. Comme il y a indépendance des résultats sur chacune des pièces, les variables et sont indépendantes. donc ( ) ( )( ) ( 1) ( )( 1) ( ) 1 1 1 1 1 1 3 4 3 4 9 16 Les variables et correspondent au nombre de lancers qu il faut attendre pour obtenir un face. Elles obéissent à des lois géométrique de paramètre 1/. d après la première partie ( ) ( )( ) 1 1 Déduire de ce résultat que : ( ) 1 3 4 1 4 ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) par incompatibilité ( ) ( 1) ( ) Et donc
Ce qui donne ici ( ) ( ) ( 1) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 () 1 1 1 1 () 1 1 4 1 4 1 1 4 1 1 4 1 3 4 1 4 On s'intéresse enfin à l'espérance et à la médiane de la variable aléatoire. Exprimer, sous forme de fraction irréductible, l'espérance () de. sous réserve de convergence Or () lim ( ) 1 On sait que si 0 1 alors ( ) 3 4 1 4 1 lim 1 (1 ) lim 1 1 1 1 lim 1 4 1 1 1 4 1 4 1 4 () 4 3 4 16 9 3 4 3 8 3 1 16 9 9 16 3 4 1 4 Etablir que l'inégalité ( ) 0,5 équivaut à l'inégalité. ( ) 1 1 1 On en tire en passant au logarithme népérien que ( ) 1 1 1 1 ln() ln 1 1 1 1 1 1
Ce qui donne Avec une calculatrice, on obtient ( ) 1 ln 1 1 ln 1 1 1,78 ln() Comme est un nombre entier, on a bien : ( ) Etude du jet de trois pièces équilibrées. ln() On considère le jeu suivant : on lance indéfiniment un ensemble de 3 pièces équilibrées. On désigne par la variable aléatoire indiquant le numéro du jet où, pour la première fois, chacune des 3 pièces a amené au moins une fois Face. En raisonnant comme à la question précédente, calculer la probabilité ( ) où 1, et déterminer, sous forme de fraction irréductible, l'espérance () de, puis l'entier tel que l'inégalité ( ) 0,5 soit équivalente à l'inégalité. On reprend la même démarche en introduisant la variable qui indique le numéro du jet où, pour la première fois, la troisième pièce a amené Face. ura encore ( ) ( ) ( ) ( ) Les trois variables,, suivent des lois géométriques de paramètre 1/ et sont mutuellement indépendantes. ura donc par indépendance ( ) ( )( )( ) 1 1 donc en utilisant ( ) ( ) ( 1) ( ) 1 1 1 1 1 3 1 3 1 1 1 3 1 3 1 () 1 () 3 1 3 1 3 4 1 4 1 8 1 8 3 1 3 1 4 1 8 9 4 1 4 7 8 1 8 On en déduit que sous réserve de convergence () lim Ce qui donne en considérant que enfin 3 1 9 4 1 4 lim 1 8 1 1 1 64 8 49 () 3 4 9 4 16 9 7 8 64 49 7 7 8 1 8
( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ln() ln 1 1 On trouve avec une calculatrice puisque est entier ln ln 1 1 ln() 1 1 ln(),7 ( ) 1 3 Exercice 4 Calculs préliminaires On considère deux nombres entiers naturels et tels que. 1 1 Etablir que 1 1 On reconnaît une forme peu courante de la formule de Pascal. L énoncé demandant d établir le résultat, on refait la démonstration : 1 1 1 ( 1)! ( )! ( 1)! ( 1)!! ( 1)! ( 1)! ( )!! 1 1 1 1 ( 1)! ( )!! ( 1)( 1) ( )! ( 1)! ( 1)! Or 1 ( )! ( 1)! ( 1)! ( )! ( 1)! ( 1)! Il y a donc bien égalité. En raisonnant par récurrence sur, en déduire la formule suivante : 1 1 Bien entendu, comme la somme commence à, il faut que l on ait.
pour Et La propriété est donc vérifiée pour., montrons que si 1 1 1 1 1 1 alors 1. 1 1 1 1 1 (d après la question précédente) En faisant 1,,3, en déduire une expression factorisée des trois sommes suivantes :, ( 1), ( 1)( ) 1 1 ( 1) 1 1 1 ( 1) ( 1) ( 1)( ) 6 1 1 ( 1)( 1) 1 3 3 ( 1)( ) 6 6 1 ( 1)( 1)( ) 6 3 4 4 On considère dans toute la suite de cette partie un nombre entier et une urne contenant jetons numérotés de 1 à. 0n extrait de cette urne jetons tirés au hasard et on désigne alors par : la variable aléatoire indiquant le plus petit des numéros des jetons tirés. la variable aléatoire indiquant le plus grand des numéros des jetons tirés. Lois des variables aléatoires X et e t Y Quel est le nombre de parties à éléments d'un ensemble à (respectivement ) éléments? Il y a par définition parties à éléments dans un ensemble à éléments. De la même façon, il y a parties à éléments dans un ensemble à éléments. En déduire la probabilité ( ) et montrer que ( ) () pour. () L évènement ( ) est réalisé si et seulement si le plus grand numéro des deux jetons tirés est inférieur ou égal à, autrement dit si l on a tiré deux jetons parmi ceux dont les numéros sont compris entre 1 et. Il y a façons de réaliser cette opération. Il y a d extraire deux jetons de l urne. donc
( ) ( 1) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) par incompatibilité ( ) ( ) ( 1) Et donc ( ) ( ) ( 1) On en tire ( 1) ( 1)( ) ( 1)( ) ( 1) ( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) En raisonnant de même, déterminer les probabilités ( ) et ( ) pour 1 1. L évènement ( ) signifie que le plus petit numéro des jetons tirés est supérieur ou égal à. Ce qui revient à dire que l on a tiré deux jetons dans l ensemble,, avec 1 1. 1 Cet ensemble contient ( 1) éléments. Il y a donc façons de réaliser ce tirage. donc 1 ( ) ( 1)( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) On en tire par incompatibilité : ( ) ( ) ( 1) ( 1)( ) ( )( 1) ( 1) ( 1) ( ) ( 1 ) Comparer les lois des variables aléatoires 1 et, autrement dit les deux probabilités ( 1 ) et ( ) pour. ( ( 1 )) ( 1) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( 1) Il faut également vérifier que ( 1 )(Ω) (Ω). (Ω), et (Ω) 1, 1 1 1 1 ( 1) 1 1 1 C est-à-dire 1 bien
( 1 )(Ω) (Ω) Les variables ( 1 ) et ont la même loi. En déduire que ( 1 ) () et ( 1 ) (), puis en déduire les expressions de () en fonction de () et de () en fonction de (). On en déduit évidemment qu elles ont la même espérance et la même variance. ( 1 ) () et ( 1 ) () Espérances et variances des variables aléatoires X et Y Exprimer sous forme factorisée les espérances (), puis () en fonction de. ( 1) ( 1)( 1) ( 1) () ( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 3 3 ( 1 ) 1 () () ( 1) () 1 n 1 3 3 ( 1) 3 Exprimer sous forme factorisée (( ), puis (²), () et () en fonction de. ( ) ( )( ) ( 1)( ) ( 1) ( 1) ( ) ( 1) ( 1)( 1)( ) ( 1) 4 ( 1)( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) () ( 1)( ) ( 1) 3 ( 1)(3 ) 6 alors
() ( ) () ( 1)(3 ) ( 1) 6 3 ( 1)( ) 18 () ( 1) (1) () () ( 1)( ) () 18 Montrer que la probabilité ( ) est égale à () pour 1. L évènement ( ) correspond au tirage de la paire,. Il n y a donc qu un seul évènement élémentaire qui remplit cet évènement. On en déduit que ( ) 1 1 ( 1) ( 1) Exercice 5 On effectue tirages au hasard dans une urne contenant boules numérotées de 1 à. Un tirage consiste à extraire une boule de l'urne, la boule tirée étant remise dans l'urne. On note la variable aléatoire égale au numéro du tirage au cours duquel, pour la première fois, on a obtenu une boule déjà obtenue auparavant. Montrer que (), 1 Il faut au moins deux tirages pour obtenir un numéro déjà tiré. Si au bout de tirages, aucun numéro n est sorti deux fois, cela signifie que tous les numéros ont été tirés une fois et donc le tirage suivant fera sortir un numéro déjà tiré. Au bout de ( 1) tirages on obtient nécessairement un numéro déjà tiré. Tous les évènements du type ( ) où, 1 peuvent être réalisés. Par exemple le tirage : 1,,, 1,1 réalise l évènement ( ). donc bien (), 1 Montrer que 1,, ( ) L évènement est réalisé par tous les tirages pour lesquels il n y a pas eu de répétition dans les premiers tirages. Ils correspondent à des listes ordonnées de nombres sans répétition, c est-à-dire à des arrangements de nombres pris parmi. Il y a listes et donc tirages de ce type. Les premiers tirages si l on impose pas qu il n y ait pas répétition correspondent à des listes ordonnées de nombres pris parmi les numéros possibles avec répétitions éventuelles, c est-à-dire à des applications d un ensemble à éléments dans un ensemble à éléments. Il y a applications de ce type.
donc ( ) Montrer que :,, ( ) ( 1) ( ). Or par incompatibilité Et donc ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) Calculer ( 1) puis en déduire la loi de. Pour 1, on a ( 1) ( )! ( ) Montrer que l'espérance () de la variable aléatoire est : () () ( ) Il faut séparer le cas 1 des autres puisque la formule donnant la probabilité n est pas la même. () ( ) ( 1)! ( 1)! ( 1)! On procède à un changement d indice dans la première somme en posant 1. On obtient : Soit en posant à nouveau : () ( 1) ( 1)!
() ( 1) ( 1)! On isole les termes «en trop» dans les deux sommes et l on remet tous les termes communs à nouveaux sous un signe somme unique : () ( 1)! ( 1)!! ( 1) Pour aboutir à la formule demandée, il ne reste plus qu une étape à franchir : montrer que! ( 1)! 1 Et!! 1 On peut donc écrire () Exercice 6 On réalise une suite de lancers d'une pièce équilibrée, chaque lancer amenant donc pile ou face avec une probabilité 1/. On note (resp. ) l'événement : "on obtient pile (resp. face) au lancer". Pour ne pas surcharger l'écriture, on écrira, par exemple, ₁₂ à la place de ₁ ₂. On note la variable aléatoire qui prend la valeur si l'on obtient pour la premiére fois pile puis face dans cet ordre aux lancers 1 et ( désignant un entier supérieur ou égal à ), prenant la valeur 0 si l'on obtient jamais une telle succession. Calculer P(X). Par indépendance, on a donc ( ) ( ) ( )( ) 1 1 1 4 En remarquant que ( 3) ₁₂₃ ₁₂₃, calculer ( 3).
par incompatibilité, puis par indépendance : ( 3) ( )( )( ) ( )( )( ) 1 1 8 1 4 Sur le modèle de la question précédente, écrire, pour tout entier supérieur ou égal à 3, l'événement ( ) comme réunion de ( 1) événements incompatibles. Pour comprendre comment se construit ( ), on peut commencer par décrire ( 4). On sait que les réalisations de cet évènement se terminent par. Les deux premiers tirages peuvent être deux piles, deux faces, un face suivi d un pile, mais pas un pile suivi d un face sinon l évènement ( ) aurait été réalisé. D une façon générale, les réalisations de l évènement ( ) sont de la forme suivante : Elles se terminent par. S il y a des piles et des faces avant cette terminaison, elles doivent être de la forme Il peut n y avoir que des piles Ou que des faces Dès qu un pile apparaît (en dehors de celui du rang ( 1)), il ne peut pas être suivi d un face et il n y alors que des piles. Les réalisations de ( ) sont donc constituées par des suites de lancers commençant par faces (0 ) suivis de ( ) piles, puis d un pile et d un face. Il y a donc autant de réalisations que le nombre de faces possibles, c est-à-dire ( 1). Elles sont toutes incompatibles. Déterminer ( ) pour tout entier supérieur ou égal à. Chacune des ( 1)réalisations de ( ) est un suite de lancers indépendants dont les probabilités de sortie pour chaque éventualité sont de 1/. Chaque réalisation a donc une probabilité égale à. On en déduit que On sait que On doit avoir Calculer P(X0). ( ) ( 1) 1 lim pour qu il s agisse bien d une loi de probabilité. (Ω) ( ) 1 1 ( ) ( 0) ( )
Ce qui donne donc On sait que Et donc ura donc Et donc lim ( ) ( 0) lim ( 0) ( 0) 1 1 ( 0) 1 4 1 ( ) ( 0) 1 4 lim 1 lim 1 quand 0 1 (1 ) L évènement ( 0) est quasi-impossible. lim 1 1 1 1 1 4 1 4 ( ) ( 0) 1 4 ( 0) 1 4 1 ( 0) 1 ( 0) 0 On se propose, dans cette question, de retrouver le résultat de la question 4) par une autre méthode. Montrer que, désignant un entier supérieur ou égal à 3, si le premier lancer est un pile, alors il faut et il suffit que ₂₃ se réalise pour que ( ) se réalise. D après ce que nous avons dit précédemment, les réalisations de ( ) sont de la forme. Si le premier lancer est un pile, il n est plus possible qu il y ait un face avant le dernier lancer. Si le premier lancer n est pas un pile, c est un face. La suite des ( 1) tirages suivants est formée d une liste respectant les conditions de réalisation de ( ), c est-à-dire ne comportant que des piles ou une série de faces puis des piles, jusqu au dernier tirage qui est un face. Il s agit des évènements réalisant l évènement ( 1) En déduire, en utilisant la formule des probabilités totales que: 3 ( ) 1 ( 1) 1 donc
( ) ( ) ( 1) Par incompatibilité, puis par indépendance, on en tire ( ) 1 1 ( 1) On pose, pour tout entier k supérieur ou égal à, ( ). Montrer que la suite ( ) est arithmétique. Retrouver le résultat annoncé. donc d après la question précédente : ( ) 1 ( 1) 1 ( 1) Ce qui donne 1 La suite ( ) est bien une suite arithmétique de raison 1. pour tout, Et donc ( ) 4 1 4 1 1 1 ( ) 1 Montrer que a une espérance (), puis la calculer. dmettra que, pour 1 1, on a lim 1 (1 ) sous réserve d existence de la limite : Ce qui donne De même donc () ( ) (Ω) 1 lim 1 lim 1 1 () lim 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ce qui donne On sait que On sait que () lim 1 1 1 1 1 lim 1 1 1 1 4 donc en prenant l indication de l énoncé, on obtient : () 1 1 1 1 1 1 4 4 Exercice 7 On lance indéfiniment une pièce donnant "Pile" avec la probabilité et "Face" avec la probabilité 1. On suppose que 0,1 et on admet que les lancers sont mutuellement indépendants. Pour tout entier naturel, supérieur ou égal à, on dit que le lancer est un changement s'il amène un résultat différent de celui du ( 1) lancer. On note (resp. ) l'événement : "on obtient Pile (resp. Face) au lancer". Pour ne pas surcharger l'écriture on écrira, par exemple, ₁₂ à la place de ₁ ₂. Pour tout entier naturel supérieur ou égal à, on note la variable aléatoire égale au nombre de changements survenus durant les premiers lancers. Partie 1 : étude de quelques exemples. Donner la loi de ₂. Il ne peut y avoir qu au plus un changement. ura (Ω) 0,1 ( 0) par incompatibilité, puis par indépendance ( 0) ( ) ( ) De même ( 1) Et donc ( 1) Donner la loi de ₃. (Ω) 0,1, ( 0) ( ) ( ) Par incompatibilité, puis par indépendance, on a ( 0) Il est plus simple d examiner l évènement ( ) que l évènement ( 1).
( ) ( ) ( ) encore par incompatibilité, puis par indépendance : ( ) ( ) Or 1 ( ) Pour calculer ( 1), on se sert du fait que ( 0), ( 1), ( ) est un système complet d évènements. donc ( 1) 1 ( 0) ( ) 1 Vérifier que (₃) 4 et que (₃) (3 8). ( ) 0( 0) 1( 1) ( ) 1 1 L énoncé propose une formule qui semble assez éloignée de notre résultat. Il y a deux façons de procéder : soit on calcule autrement ( 1). En effet, l utilisation du système complet d évènements a contribué à l apparition des et qui évidemment nous gênent. On écrirait alors ( 1) Ce qui donne par incompatibilité, puis par indépendance : ( ) ( ) Sous cette forme, on retrouve bien ( ) 1 4 On peut également conserver la méthode du départ. Il s agit alors de montrer que 1 4 Ce qui revient à montrer que 1 3 0 On remplace par 1. On est amené alors à montrer que 1 (1 ) 3(1 ) 0 1 (1 ) 3(1 ) 1 ( 3 3 1) (3 3 ) 0 Pour le calcul de la variance, on peut choisir l une ou l autre des deux méthodes. () ( ) () 1 (1 ) (4)
Ou bien () 1 (4) Pour vérifier que l on obtient bien le résultat proposé par l énoncé dans la première forme, il suffit de procéder comme ci-dessus en remplaçant par 1. Pour la deuxième forme, on a : () 6 16 (3 8) Trouver la loi de ₄. évidemment (Ω) 0,1,,3. Pour déterminer la loi de probabilité, il est important de préciser Ω et surtout son cardinal. Ω contient des «mots» de quatre symboles écrits avec les lettres et. Chaque «mot» est une application de l ensemble 1,,3,4 dans l ensemble,. Il y a 16 applications possibles, donc 16 «mots» différents possibles. ( 0) Ce qui donne par incompatibilité, puis par indépendance : ( 0) ( 1) Et donc ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) enfin donc ( ) ( ) ( 3) ( 3) Calculer (₄). ( ) 1 ( ) ( ) 3 6( ) 6 6( ) 6( ) 6 1 6 Partie : étude du cas. Dans cette partie, désigne un entier naturel supérieur ou égal à. Exprimer ( 0) en fonction de, et.
évidemment ( 0) par incompatibilité, puis par indépendance : ( 0) En décomposant l'événement ( 1) en une réunion d'événements incompatibles, montrer que ( 1) (ⁿ ⁿ ) Les évènements qui réalisent ( 1) sont de la forme termes On peut donc écrire ou. termes ( 1) termes termes termes termes Tous ces évènements sont incompatibles (ils ne peuvent pas se produire simultanément). donc par incompatibilité puis par indépendance : ( 1) Ici on peut «s apercevoir» que les deux sommes sont identiques puisque pour un donné si l on donne,. Si l on ne s aperçoit pas de cette régularité, on peut faire le calcul direct. On ne travaille que sur une seule somme. Pour écrire le résultat sur l autre somme il suffira de renverser les rôles de et. donc ura donc de même façon 1 1 1 ( ) 1 1 ( ) ( ) (On retrouve bien le fait que les deux sommes sont égales).
donc ( 1) (ⁿ ⁿ ) En distinguant les cas pair et impair, exprimer ( 1) en fonction de et. S il y a ( 1) changements, cela veut dire qu il y a changement à chaque fois. Si est pair cela revient à dire que l on a ( 1) () () () () termes termes par incompatibilité, puis par indépendance, on a Si est impair, on aura On en déduit que ( 1) () () () ( 1) (() () ) (() () termes ( 1) () termes ) () () ( ) () Retrouver, grâce aux trois questions précédentes, les lois de ₃ et ₄. Pour 3, on a ( 0) ( 1) ( ) ( ) ( ) () () On retrouve bien la loi de. Pour 4, on a ( 0) ( 1) ( ) Il faut utiliser ici l identité remarquable ( )( ) Cette identité est la forme particulière d une identité plus générale : ( )( ) ( ) Pour démontrer cette formule, on écrit en supposant 0 (le résultat est évident si 0) 1 1 Si l on pose 1, on sait que 1 1
Ce qui donne bien donc ici enfin 1 ( 1) 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( 3) () Pour tout entier naturel, supérieur ou égal à, on note la variable aléatoire qui vaut 1 si le lancer est un changement et 0 sinon ( est donc une variable de Bernoulli). Écrire à l'aide de certaines des variables et en déduire ( ). Déterminons la loi de. ( 1) ( ) ( ) par incompatibilité, puis par indépendance, on a : ( 1) ura donc ( ) Posons (Ω) 0, 1 (Ω) L évènement ( ) signifie que variables de cette somme ont pris la valeur 1, les ( 1 ) restantes prenant la valeur 0, c est-à-dire qu il y a eu changements et donc que ( ). Réciproquement si, il y a eu changements et donc variables de la somme prennent la valeur 1 et les ( 1 ) restantes la valeur 0, et donc est réalisé. On peut donc écrire On en déduit que ( ) ( ) ( 1)
Partie 3 : étude du cas pq. Vérifier, en utilisant les résultats de la partie 1, que ₃ et ₄ suivent chacune une loi binomiale. Si l on a, alors ( 0) 1 1 4 0 1 1 ( 1) 1 1 1 1 1 ( ) 1 4 1 1 On vérifie aisément de la même façon que B ; 1 B 3; 1 Montrer que, pour tout entier naturel supérieur ou égal à, suit une loi binômiale dont on donnera les paramètres. Nous avons vu que dans le cas général, la variable s écrit comme somme de ( 1) variables de Bernoulli de même paramètre. Ces variables correspondant aux tirages successifs sont indépendantes. Leur paramètre est égal ici à. On sait que alors que suit une loi binomiale de paramètres ( 1) et ½. donc B 1; 1