Introduction à la logique de provisionnement en Solvabilité 2

Introduction à la logique de provisionnement en Solvabilité 2 Séminaire Sépia «Solvabilité 2 : l évaluation des provisions techniques en assurance vie» Paris, 10 juin 2008 Pierre THEROND ptherond@winter-associes.fr

Introduction ti Les problématiques d évaluation de contrats d assurance sont devenues monnaie courante : gestion des risques, mise en place de couvertures, calcul de provisions techniques (Solvabilité 2, IFRS 4, IFRS Contrats d assurance phase 2), d exigence de capitaux (Solvabilité 2), valorisation de compagnies (Embedded Value, cession de sociétés). Sépia 10 juin 2008 Page 2

Introduction ti La diversité des produits d assurance vie conduit les assureurs à distinguer diverses situations : engagements g couverts : contrats en UC ; engagements partiellement couverts : contrats en UC avec garantie plancher gérée activement par l assureur ; engagements non couverts présentant du risque financier : contrats d épargne et de retraite ; contrats non couvrables sans risque financier : temporaires décès, arrêt de travail, etc. Sépia 10 juin 2008 Page 3

Introduction ti Les spécifications techniques de QIS4 précisent le contexte d évaluation des provisions techniques en distinguant : les engagements g non-couvrables pour lesquels marge pour risque et best estimate doivent être distingués ; les engagements couvrables, pour lesquels l approche financière classique de valorisation doit être employée (prime de risque incluse dans le prix obtenu). N.B. Dans tous les cas, l évaluation doit être market-consistent (TS.II.A.1) Sépia 10 juin 2008 Page 4

Introduction ti Cette distinction repose sur les approches classiques : de l assurance, où l on cherche à contrôler les variations adverses d un risque mutualisable ; de la finance, où l on cherche à éliminer un risque systématique. Depuis quelques q années, le recours opérationnel aux méthodes financières pour valoriser les engagements d assurance s est accru. Sépia 10 juin 2008 Page 5

Introduction ti Depuis Brennan et Shwartz (1976) et Briys et de Varenne (1994), la littérature académique s intéresse à ce problème et s appuie notamment sur l analogie entre garanties d assurance vie et dérivés financiers pour chercher à évaluer ces contrats. L application directe des théories de la finance de marché se heurte néanmoins à certains écueils : interdépendance de risques financiers et non-financiers, comportements observés différents de ceux «d investisseurs rationnels» latitude de réduction du risque par la gestion des actifs importante. Sépia 10 juin 2008 Page 6

Sommaire 1. Retour sur les modèles financiers 2. Engagements couvrables 3. Engagements partiellement couvrables 4. Engagements non couvrables avec risque financier 5. Engagements sans risque financier Sépia 10 juin 2008 Page 7

1. Retour sur les modèles financiers i 1. Back to basis : le modèle binomial S 0 S S u d S uu S S ud dd ( ) ( ) S u = 1 + u S, avec une probabilité p S d = 1 + d S, avec une probabilité 1- p Sépia 10 juin 2008 Page 8

1. Retour sur les modèles financiers i 1. Back to basis : le modèle binomial On cherche le prix (en 0) d un contrat offrant à la possibilité d acquérir le titre S au prix K àladatet. Le flux d un tel contrat au à son terme (lorsque t = 1 par exemple) vaut : C 0 u ( 1 ) 0 C = S K + = + u S K + d u ( 1 ) 0 C = S K + = + d S K + d On recherche donc le prix C 0. Sépia 10 juin 2008 Page 9

1. Retour sur les modèles financiers i 1. Back to basis : le modèle binomial On remarque qu en prenant : une position longue (achat) sur une action, et une position courte (vendeuse) sur un certain nombre n d options, il est possible de constituer un portefeuille dont la valeur en 1 est certaine. En effet, il suffit pour cela de déterminer n tel que : Su ncu = Sd ncd soit : n = ( u ) d S + + S u K S d K Sépia 10 juin 2008 Page 10

1. Retour sur les modèles financiers i 1. Back to basis : le modèle binomial Un portefeuille constitué dans ces proportions procure un montant certain en 1, il est donc sans risque. En l absence d opportunité d arbitrage (AOA), un tel portefeuille procure le taux sans risque r. Sa valeur actuelle est donc : On en déduit la valeur du Call en 0 : {( ) ( ) } 1 1 0 0 0 0 + r S n C = + d S n + d S K e 1 {( r 1 ( 1 ) ) r + ( 1 ) } n C = + d e S ne + d S K 0 0 0 Sépia 10 juin 2008 Page 11

1. Retour sur les modèles financiers i 1. Back to basis : le modèle binomial Si l on cherche à exprimer la valeur du call en fonction de ses flux possibles en fin de période, après quelques développements et réductions, on obtient : C qc q C e r = + où q = ( r ) e 1 d u d { ( ) } 0 u 1 d Dans l univers de probabilité où la probabilité de hausse du cours de l action vaut q (et non p), le prix d un actif est égal à l espérance de ses flux futurs actualisée au taux sans risque. q désigne la probabilité risque-neutre. Sépia 10 juin 2008 Page 12

1. Retour sur les modèles financiers i 2. Hypothèses des modèles financiers Le modèle binomial présenté précédemment et plus généralement le modèle de Black et Scholes (1993) et ses dérivés (cf. Hull (1999)) reposent sur deux hypothèses principales relatives au marché : sa perfection ; sa complétude. Sépia 10 juin 2008 Page 13

1. Retour sur les modèles financiers i 2. Hypothèses des modèles financiers On qualifie de parfait un marché idéalisé dans lequel : les titres sont divisibles, les ventes à découvert sont autorisées sans limite, les agents économiques disposent de la même information et aucun d entre eux n a la capacité de faire bouger les prix par son seul comportement, il n y a pas de friction (frais, fiscalité) sur les achats et les cessions de titres, les taux de prêts et d emprunts sont identiques. Sépia 10 juin 2008 Page 14

1. Retour sur les modèles financiers i 2. Hypothèses des modèles financiers Dans un tel marché, les méthodes de valorisation des actifs financiers, et notamment des dérivés, reposent sur l hypothèse d absence d opportunité d arbitrage. On dit qu il y a absence d opportunité d arbitrage lorsque aucune stratégie financière n est systématiquement préférable à une autre. Sépia 10 juin 2008 Page 15

1. Retour sur les modèles financiers i 2. Hypothèses des modèles financiers Par ailleurs, un marché est complet lorsque tous les états du monde d arrivé sont atteignables par une certaine composition du portefeuille des actifs du marché. C est Cest cette dernière hypothèse qui assure l unicité de la mesure de probabilité sous laquelle les prix actualisés sont des martingales. Lorsque ce n est nest pas le cas, il existe une infinité de probabilités équivalentes pour lesquelles la propriété martingale est vérifiée. L obtention d un prix est alors conditionnée par le choix d une de ces mesures de probabilité (cf. Ballotta (2005), Planchet & Thérond (2005)). Sépia 10 juin 2008 Page 16

1. Retour sur les modèles financiers i 3. Spécificités de l assurance Si les hypothèses de marché complet et parfait ne sont pas réunies, les garanties d assurance offrent d autres spécificités : latitude de gestion du rendement financier (rendement comptable rendement économique de l actif) lactif); latitude dans la revalorisation de l épargne : PB discrétionnaire ; comportements des assurés différent de celui des investisseurs sur un marché organisé : versements libres, rachats, prorogations, conversion en rente, etc. Sépia 10 juin 2008 Page 17

1. Retour sur les modèles financiers i 3. Spécificités de l assurance Dans une certaine mesure (cf. TS.II.A.16-31) des spécifications QIS4 par exemple), le risque sous-jacent du contrat peut être découpé : en risque couvrable, en risque non-couvrable. La partie couvrable du risque peut être évaluée en référence au prix de la couverture (approche risque-neutre ou déflateurs par exemple). La partie non-couvrable devra s exprimer sous la forme : Best Estimate t + Risk Margin Sépia 10 juin 2008 Page 18

Sommaire 1. Retour sur les modèles financiers 2. Engagements couvrables 3. Engagements partiellement couvrables 4. Engagements non couvrables avec risque financier 5. Engagements sans risque financier Sépia 10 juin 2008 Page 19

2. Engagements couvrables Possibilité de mettre en place un portefeuille répliquant parfaitement les flux dont on observe sur le marché le prix. La provision technique est alors égale au prix du portefeuille de couverture. Cela concerne essentiellement les contrats en unités de comptes sans garantie plancher. Ce type de contrats ne supporte pas de risque d assurance. En IFRS, ils ne sont pas considérés comme des contrats d assurance! Des risques opérationnels demeurent provenant notamment de la communication auprès des assurés (renonciation, délai de placement, etc.) Sépia 10 juin 2008 Page 20

Sommaire 1. Retour sur les modèles financiers 2. Engagements couvrables 3. Engagements partiellement couvrables 4. Engagements non couvrables avec risque financier 5. Engagements sans risque financier Sépia 10 juin 2008 Page 21

3. Engagements partiellement t couverts Cas des garanties plancher en cas de décès L assuré a payé une prime K investie en 0 dans une unité de compte (UC) de valeur S 0 = K. Ilsevoitgarantir : 0 g à tout instant t, le montant de l unité de compte S t ; s il décède en τ, la quantité : ( ) = + [ ] max S, K S K S + τ τ τ Ca n est nestpas le flux d une duneoption financière à cause de τ! En considérant la mutualisation (même imparfaite!) des décès, il est néanmoins possible de couvrir partiellement t le risque. Sépia 10 juin 2008 Page 22

3. Engagements partiellement t couverts Cas des garanties plancher en cas de décès Sépia 10 juin 2008 Page 23

Sommaire 1. Retour sur les modèles financiers 2. Engagements couvrables 3. Engagements partiellement couvrables 4. Engagements non couvrables avec risque financier 5. Engagements sans risque financier Sépia 10 juin 2008 Page 24

4. Engagements non couvrables avec risque financier Parmi eux les contrats d épargne en euros et, plus généralement, l ensemble des contrats avec des dispositions de participation aux bénéfices financiers! Les contrats d assurance vie en euros représentaient en 2006 : 61 % de la collecte assurance de personnes (vs 20 % pour les UC) ; 105,5 G ; 900 G de provisions techniques. Source : rapport annuel FFSA, 2006. Sépia 10 juin 2008 Page 25

4. Engagements non couvrables avec risque financier i 1. Lecture optionnelle Considérons un contrat d assurance vie de type «épargne en euros». La réglementation impose pour ce type de contrats : une clause de participation aux bénéfices techniques et financiers ; une possibilité de rachat avant le terme moyennant une pénalité limitée. Par ailleurs, les dispositions contractuelles ou la communication de l assureur peuvent prévoir : un taux minimum garanti ou un taux annuel garanti ; la possibilité d effectuer des versements libres ou programmés ; la tacite reconduction au-delà du terme. Sépia 10 juin 2008 Page 26

4. Engagements non couvrables avec risque financier i 1. Lecture optionnelle La plupart de ces garanties peuvent s interpréter comme des options financières. Exemple : Évolution de l épargne acquise sur une année (TMG + PB) ( ) PM 1 PM 1 tmg β ρ tmg + t+ = t + + t avec : ρ t = taux de rendement des placements, tmg = taux minimum garanti, β = taux de participation aux bénéfices. Sépia 10 juin 2008 Page 27

4. Engagements non couvrables avec risque financier i 1. Lecture optionnelle Du point de vue de l assuré, on a la correspondance : Garantie du contrat Dérivé financier correspondant Clause de participation bénéficiaire Option d achat européenne Clause de remboursement anticipé Option de vente américaine Garantie de taux sur des versements futurs Swaptions Sépia 10 juin 2008 Page 28

4. Engagements non couvrables avec risque financier i 1. Lecture optionnelle Outre les limites traditionnelles de la théorie financière les garanties d assurance présentent d autres spécificités : latitude dans la revalorisation de l épargne : gestion du rendement financier (rendement comptable rendement économique de l actif) et caractère discrétionnaire de la PB ; comportements des assurés différent de celui des investisseurs «rationnels» sur un marché organisé : versements libres, rachats, prorogations, conversion en rente, etc. interdépendance de risques financiers et non-financiers (cf. Frantz, Chenut & Walhin (2003) pour l analyse de cet aspect sur les contrats en UC). Sépia 10 juin 2008 Page 29

4. Engagements non couvrables avec risque financier Exemple : gestion du portefeuille financier Portefeuille de contrats d épargne : durée fixe = 8 ans ; TMG annuel = 2,5 % ; participation p aux bénéfices financiers = 90 % ; Hypothèses : Pas de PB (discrétionnaire) au-delà de l engagement contractuel ; Pas de rachat avant le terme, ni de décès. Objectif : donner une valeur à ce portefeuille de contrats. Sépia 10 juin 2008 Page 30

4. Engagements non couvrables avec risque financier Exemple : gestion du portefeuille financier Si l on note PM k, la valeur de l épargne à la date anniversaire k, le processus de revalorisation, à chaque date anniversaire est le suivant : PM ( 1 max { 2,5%;90% % ρ } ) = + PM k + 1 k + 1 k où ρ k est le rendement financier sur la k-ème période. Sépia 10 juin 2008 Page 31

4. Engagements non couvrables avec risque financier Exemple : gestion du portefeuille financier L assureur a investi en 0 la prime dans un actif financier composé : pour 30 % d actions de volatilité 20 % ; pour 70 % d un bon de capitalisation sans risque qui sert un rendement de 4 %. On suppose que le taux sans risque est constant sur les 8 ans. Sépia 10 juin 2008 Page 32

4. Engagements non couvrables avec risque financier Exemple : gestion du portefeuille financier Étudions 2 stratégies de gestion du portefeuille financier : l assureur ne touche plus à ses actifs jusqu au terme du contrat : ( ) ( ) θsk + 1 θ Bk ρ ( k ) = 1 θs + 1 θ B k 1 k 1 chaque début d année, le portefeuille est recomposé pour conserver la répartition initiale (30/70) : S ρ( ) θ k B k = + ( 1 θ k ) 1 S B k 1 k 1 Dans l univers risque-neutre, les deux processus de rendement ont, sur une période, une même espérance égale au sans-risque. Sépia 10 juin 2008 Page 33

4. Engagements non couvrables avec risque financier Exemple : gestion du portefeuille financier Distribution empirique de la revalorisation de l épargne au terme 8% Pas de recomposition 7% Recomposition annuelle 6% 5% 4% 3% 2% 1% 0% 20% 28% 35% 43% 50% 58% 65% 73% 80% 88% 95% 103% 110% 118% 125% 133% 140% 148% 155% 163% 170% Sépia 10 juin 2008 Page 34

4. Engagements non couvrables avec risque financier Exemple : gestion du portefeuille financier Quelques remarques : La politique de recomposition annuelle conduit à une distribution plus resserrée autour de la moyenne. Dans les deux cas, l espérance de revalorisation au terme est de l ordre de 51 % (gain de 10 % sur 8 ans par rapport à un investissement sans-risque). Les profils de rendement sont très différents (cf. graphiques suivants). Sépia 10 juin 2008 Page 35

4. Engagements non couvrables avec risque financier Exemple : gestion du portefeuille financier Évolution du taux de revalorisation moyen 5,34% Pas de recomposition Recomposition annuelle 5,32% 5,30% 5,28% 5,26% 5,24% 5,22% 5,20% 5,18% 5,16% 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Sépia 10 juin 2008 Page 36

4. Engagements non couvrables avec risque financier Exemple : gestion du portefeuille financier Évolution du coefficient de variation du taux de revalorisation 80,0% Pas de recomposition Recomposition annuelle 79,5% 79,0% 78,5% 78,0% 77,5% 77,0% 76,5% 76,0% 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Sépia 10 juin 2008 Page 37

Sommaire 1. Retour sur les modèles financiers 2. Engagements couvrables 3. Engagements partiellement couvrables 4. Engagements non couvrables avec risque financier 5. Engagements sans risque financier Sépia 10 juin 2008 Page 38

5. Engagements sans risque financier Contrats «risque» classiques : Temporaire décès ; Vie entière ; Rentes de conjoint / éducation ; Arrêt de travail ; Etc. Sépia 10 juin 2008 Page 39

5. Engagements sans risque financier Plus classique àmettreenœuvreque les engagements g présentés supra, l évaluation des provisions nécessite néanmoins : d utiliser des hypothèses best estimate : mortalité, incidence et maintien en arrêt de travail, réduction, etc. de déterminer la profondeur de primes à prendre en compte ; de calculer une marge pour risque. N.B. Ces problématiques concernent également l ensemble des engagements vus précédemment! Sépia 10 juin 2008 Page 40

5. Engagements sans risque financier 1. Hypothèses pas nécessairement les mêmes que les hypothèses réglementaires actuelles ; souvent différentes des hypothèses du tarif : table de mortalité, actualisation, etc. notions d entity specific vs portfolio specific en IFRS phase 2. Sépia 10 juin 2008 Page 41

5. Engagements sans risque financier 2. Primes futures enjeu comptable majeur au regard de la problématique des frais d acquisition ; dispositions communes entre le draft de QIS4 et le DP de la norme IFRS phase 2, évolution dans la version finale de QIS4, orientations nationales complémentaires. Sépia 10 juin 2008 Page 42

5. Engagements sans risque financier 2. Primes futures Critères du Discussion Paper (IFRS) : Primes que l assurée doit payer pour conserver la garantie d assurabilité ; Primes que l assureur peut réclamer de manière exécutoire ; Primes dont la prise en compte a pour effet d augmenter la provision. Sépia 10 juin 2008 Page 43

5. Engagements sans risque financier 2. Primes futures Critère de QIS4 : primes périodiques pondérées par les probabilités d expérience d occurrence. Complété par les dispositions de l ONC : en assurance vie : référence à l «équilibre actuariel global à la souscription», exemption des versements libres et de la retraite supplémentaire, prise en compte des primes futures des contrats emprunteur ; en prévoyance : pas de prise en compte dès lors que primes ou garanties sont révisables annuellement. Sépia 10 juin 2008 Page 44

5. Engagements sans risque financier 3. Marge pour risque 1 Steps to calculate the Risk Margin under a Cost-of-Capital approach Project the SCR for future years until run-off of the current liability portfolio Dans QIS4, les SCR élémentaires relatifs aux risques financiers ne sont plus projetés : les primes de risque sont déjà incluses dans les prix évalués selon une approche market consistent. 2 1 2 3 4 5... Determine the cost of holding future SCRs, by multiplying the projected SCR by the CoC factor 1 2 3 4 5... 3 Discount the cost of holding future SCR's at the risk-free rate to get the CoC Risk Margin (RM) n RM = CoC _ factor SCR i v i =11 i Sépia 10 juin 2008 Page 45

Quelques références bibliographiques Ballotta L. (2005) «A Lévy process-based farmework for the fair valuation of participating life insurance contracts», Insurance: Mathematics and Economics 37 (2), 173-96. Brennan M.J., Schwartz E.S. (1976) «The pricing of equity-linked life insurance policies with an asset value guarantee», Journal of Financial Economics 3, 195-213. Briys E., de Varenne F. (1994) «Life insurance in a contingent clamin framework: princing and regulatory implications», The Geneva Papers on Risk and Insurance Theory 19, 53-72. Frantz C., Chenut X., Walhin J.F. (2003) «Princing and capital allocation for uni-linked life insurance contracts with minimum death guarantee», Proceedings of the 13th AFIR Colloquium, Masstricht. Grosen A., Jorgensen P. (2000) «Fair value of life insurance liabilities: the impact of interest rate guarantees, surrender option and bonus policies», Insurance: Mathematics and Economics 26, 27-57. Merlus S., Pequeux O. (2000) Les garanties plancher des contrats d assurance vie en unités de compte : tarification et couverture, mémoire d actuaire ENSAE. Planchet F., Thérond P.E. (2007) Mesure et gestion des risques d assurance, Paris : Economica. Thérond P.E. (2007) Mesure et gestion des risques d assurance : analyse critique des futurs référentiels prudentiels et d information financière,, thèse de doctorat, Université Lyon 1, ISFA. Thérond P.E. (2008) «Primes futures et nouvelles normes», La Tribune de l'assurance (7077) rubrique «le mot de l actuaire», 31/05/2008. Sépia 10 juin 2008 Page 46

Contacts Frédéric PLANCHET fplanchet@winter-associes.fr Pierre THEROND ptherond@winter-associes.fr ISFA WINTER & Associés Université Claude Bernard Lyon 1 50, avenue Tony Garnier F-69007 Lyon Bureau de Paris 43-46 avenue de la Grande Armée F-75116 Paris +33-(0)1-45-72-63-00 Bureau de Lyon 18, avenue Félix Faure F-69007 Lyon +33-(0)4-37-37-80-90 Sépia 10 juin 2008 Page Page 47 47