E ERE DE van MOE 1 Jean-ouis YME Résumé. ous présentons une preuve originale et purement synthétique concernant le cercle de de van amoen trouvé par ordinateur en 2000. Tous les résultats cités peuvent tous être démontrés synthétiquement. VISIO Figure : - + - ' ' - + ' + Traits : un triangle quelconque, le point médian de, ''' le triangle médian de et +, -, +, -, +, - les centres des cercles circonscrits des triangles ', ', ', ', ', '. Donné : les points +, -, +, -, +, - sont cocycliques. VISUISTIO es points +, -, +, -, +, - sont deux à deux distincts. 1 amoen (van) F. M., Problème 10830, mericam Mathematical Monthly 107 (2000) 863 ; solution des éditeurs du Monthly 109, 4 (2002) 396-397.
2 - + - ' ' - M + ' + otons le point d'intersection des droites (+-) et (+-). M le point d'intersection des droites (+-) et (+-) et le point d'intersection des droites (M) et (+-). Par hypothèses, (1) (+-) est la médiatrice de [] ; il s'en suit que (+-) (') ; (2) (+-) est la médiatrice de ['] ; il s'en suit que (') (+-) ; d'après l'axiome IVa des perpendiculaires, (+-) // (+-). Mutatis mutandis, nous montrerions que (+-) // (+-). onclusion partielle : le quadrilatère +M- étant un parallélogramme, est le milieu de [+-]. - ' " - " + * * M ' - + ' +
3 otons ", ", *, * les milieux resp. de [], [], ['], [']. D'après Thalès "a droite des milieux" appliqué (1) au triangle, ("") // () ; (2) au triangle, () // ('') ; (3) au triangle '', ('') // (**) ; par transitivité de la relation //, ("") // (**). D'après Desargues "e théorème faible" (f. nnexe 3) appliqué aux triangles homothétiques "" et M**,, et M sont alignés ; par construction,, et M sont alignés ; d'après l'axiome d'incidence Ia,,, et M sont alignés. - ' " + ' - - " + ' + onclusion partielle : () est la -médiane du triangle +-. - ' " + ' - - " + ' +
4 Par hypothèses, (1) (+-) est la médiatrice de [] (2) (+-) est la médiatrice de [] ; en conséquence, est le centre du cercle circonscrit du triangle ; il s'en suit que (') est la médiatrice de []. - ' " + ' - - " + ' + ous avons : (') () et () // ("") ; d'après l'axiome IVa des perpendiculaires, (') (""). D'après Vigarié "Isogonale et perpendiculaire" (f. nnexe 4), () étant la -médiane de +-, (') est la -symédiane de +-. 2 - + - ' ' - 1' + ' + otons 1', 2 les cercles circonscrits de ', '.
5 D'après "Deux cordes égales" (f. nnexe 2), (') passe par le milieu de [-+]. - Tl + 0 - ' - + + otons 0 le cercle circonscrit de +et Tl la tangente à 0 en. D'après "Symédiane et antiparallèle" (f. nnexe), Tl // (-+). onclusion partielle : le cercle 0, les points de base + et -, les moniennes naissantes (+-) et (-+), les parallèles Tl et (-+), conduisent au théorème 1" de Reim ; en conséquence, les points -, +, + et - sont cocycliques. Mutatis mutandis, nous montrerions que les points -, +, + et - sont cocycliques les points -, +, + et - sont cocycliques. Scolie : ces trois cercles sont deux à deux sécants. Raisonnons par l'absurde en affirmant que ces trois cercles sont distincts deux à deux.
6 - ' + P ' - - + ' + D'après Monge "e théorème des trois cordes" (cf. nnexe 5), les cordes [-+], [+-] et [+-] sont concourantes, ce qui est contradictoire ; en conséquence, les trois cercles sont confondus. onclusion : les points +, -, +, -, +, - sont cocycliques. Scolies : (1) la figure de van amoen est connue, en anglais, sous "The evasix configuration" ; ce nom a été donné par Klark Kimberling. (2) e cercle passant par +, -, +, -, +, -, est "le cercle de van amoen". ote historique : Floor van amoen de oes (Pays-as) a trouvé ce résultat par ordinateur en 2000. es nombreuses solutions analytiques réelles et complexes, aux calculs longs, menés avec Mapple ou Mathematica, n'ont pas été retenues par les rédacteurs du Montly ; ceux-ci ont proposés en 2002, leur propre solution qui, après analyse, est partiellement basée sur celle communiquée par van amoen. otons que l'argument démonstratif principal repose sur l'hexagone de atalan. a solution donnée par K. Y. i en 2001 dans la revue Mathematical Excalibur 2 de Hong-Kong, a recours aux aires et aux rapports de Thalès. Darij rinberg 3 dans son article intitulé "The amoen circle" affirme que "Der eweis des Satzes von amoen ist ziemlich schwierig". Sa démonstration trigonométrique légèrement différente de celle présentée dans Excalibur, utilise la notion d angle et la loi des cosinus. En 2003, dans un message Hyacinthos 4, il affirme avoir redécouvert sans le savoir, ce résultat en août 2002, à l'aide d'un logiciel de éométrie. En 2005, Deoclecio ouveia Mota Jr. 5 a proposé une preuve basée sur les transformations. En lui répondant, ikolaos Dergiades 6 précise que cette preuve permet de situer le centre du cercle de amoen. ommentaire : 2 3 4 5 6 i K. Y., onclyclic problems, Mathematical Excalibur 6 (2001) umber 1, 1-2 ; available at http://www.math.ust.hk/mathematical_excalibur/ rinberg D., The amoen circle, http://de.geocities.com/darij_grinberg./ rinberg D., proof of the amoen ircle Theorem, Message Hyacinthos # 6557 du 17/02/2003. ouveia Mota Jr. D., amoen ircle Synthetic proof, Message Hyacinthos # 11095 du 14/03/2005. Dergiades., amoen ircle Synthetic proof, Message Hyacinthos # 11097 du 14/03/2005.
7 une première réciproque a été envisagée en 2003 par lexei Myakishev et de Peter Y. Woo 7. a seconde ciaprès a été présentée en 2004 par Minh Ha guyen 8. - + - ' P ' - + ' + Traits : un triangle, P un point, ''' le triangle P-cévien de et +, -, +, -, +, - les centres des cercles circonscrits des triangles P', P', P', P', P', P'. Donné : P est le point médian ou bien l'orthocentre de si, et seulement si, les points +, -, +, -, +, - sont cocycliques. EXE 1. Un triangle de Möbius 9 1 I O O' 2 J Traits : 1, 2 deux cercles sécants, 7 8 9 Myakishev., Woo P. Y., On the ircumcenters of evasix onfiguration, Forum eometricorum vol. 3 (2003) 57-63. guyen M. H., nother Proof of van amoen's Theorem and its converse, Forum eometricorum vol. 5 (2005) 127-132. altzer R. dans son livre Statik attribue ce résultat à Möbius.
8 O, O' les centres resp. de 1, 2,, les points d'intersection de 1 et 2, et (IJ) une monienne brisée. Donné : (IJ) est une monienne si, et seulement si, <IJ = <OO'. 2. Deux cordes égales P' P Mb Pb O I O' 1 2 Traits : 1, 2 deux cercles sécants, O, O' les centres resp. de 1, 2,, les points d'intersection de 1 et 2, I le milieu du segment [OO'], Mb une monienne passant par P, P' les seconds points d'intersection de Mb resp. avec 1 et 2, et Pb la perpendiculaire à Mb en Donné : Pb passe par I si, et seulement si, le milieu du segment [PP']. 3. e théorème faible de Desargues ' ' O ' Traits : un triangle, et ''' un triangle tel que (1) (') et (') soient concourantes en O (2) () soit parallèle à ('') (3) () soit parallèle à ('')
9 Donné : (') passe par O si, et seulement si, () est parallèle à (''). 4. Isogonale et perpendiculaire 10 Q M O P Traits : O un triangle, M un point, P, Q les pieds des perpendiculaires abaissées de M sur (O) et (O), et un point. Donné : la droite (O) est l'isogonale de la droite (OM) par rapport aux droites (O) et (O) si, et seulement si, la droite (O) est perpendiculaire à la droite (PQ). 5. Symédiane et antiparallèle I a b D Traits : un triangle, 0 le cercle circonscrit à, a une -cévienne de, Ta la tangente à 0 en, b la -cévienne de, parallèle à Ta et D, I les points d'intersection de b resp. avec () et a. 10 Vigarié E., Journal de Mathématiques Élémentaires (1885) 33-.
10 Donné : a est la -symédiane de si, et seulement si, I est le milieu de [D]. 6. e théorème des trois cordes 11 I D 1 F E 2 Traits : 1, 2 deux cercles sécants,, les points d'intersection de 1 et 2,, D deux points de 2, E, F deux points de 1 et I le point d'intersection des droites () et (D). Donné : les points, D, E et F sont cocycliques si, et seulement si, les droites (), (D) et (EF) sont concourantes en I. 11 Monge, d'après Poncelet, Traité des propriétés projectives des figures, I (1822) 40.