Qu est-ce qu un tenseur?

Qu est-ce qu un tenseur? On connait les : - scalaire (ex : norme X, produit scalaire e 1.X,...) - vecteur V = V 1 e 1 +V 2 e 2 +V 3 e 3 = V i e i ( sommation sur les indices repétés! ) Pratique : matrice uni-colonne associée à un vecteur. - gradient d un champ scalaire τ(x) (ex : température, densité, concentration...) on construit un vecteur τ = ( τ/ X i )e i gradient d un champ de vecteurs? (ex : déplacement ξ = x X, vitesse U(X)) on construit une matrice ( ξ) i j = ξ i / X j mais attention : depend du choix de la base {e i }! La notion de tenseur est une généralisation de la notion de vecteur en tant qu être mathématique invariant par changement de base. 1

Préambule : bases orthonormées Soit un espace euclidien E de dimension n, avec un produit scalaire (noté a.b). On se place dans tout ce qui suit dans le cas de bases {e i } orthonormées : e i.e j = δ i j en utilisant le symbole de kronecker δ i j = (0sii j; 1sii = j). 1. règles de changement de base de {e i }à { } e i : e i = B i je j 2. Le passage d une base orthonormé en une autre base orthonormé est une rotation, il en découle : t B = B 1 e i.e j = δ i j (B ik e k ).(B jl e l ) = B ik B jl δ kl = δ i j B ik B jk = B ik (B 1 ) k j = δ i j (B 1 ) i j = ( t B) i j = B ji 2

1. Calculer : δ i j δ jk,δ ii 3

TENSEURS EUCLIDIENS D ORDRE UN On part de la structure d espace vectorielle de l espace euclidien E (R 3 ). 1. Les tenseurs euclidiens d ordre 1 sont les vecteurs V de E. 2. A chaque vecteur V de E on peut associer la forme linéaire φ telle que : X E, φ(x) = V.X R Exemples de vecteurs : - positionx = φ(x, t) = x i e i - vitesse lagrangienne : U(X, t) - gradient d un champ scalaire τ(x) : dτ = τ.dx et τ = ( τ/ X i )e i Coordonnées cylindriques avec base orthonormée locale (e r, e θ, e z ) : dx = dr e r + rdθe θ + dze z τ = ( τ/ r)e r + 1 r ( τ/ θ)e θ+( τ/ z)e z 4

PRODUIT TENSORIEL DE DEUX VECTEURS On introduit la multiplication ou produit tensoriel de deux vecteurs (noté U V) en y associant la forme bilinéaire telle que : (X, Y) E E, (U V)(X,Y) = (U.X)(V.Y) R Il en découle : - DISTRIBUTIVITE (addition) [U (V 1 +V 2 )](X,Y) = [U V 1 +U V 2 ](X,Y) - DISTRIBUTIVITE (multiplication) λ R, λ[u V](X,Y) = [(λu) V](X,Y) = [U (λv)](x,y) - COMMUTATIVITE? ( (X, Y) E E,(U.X)(V.Y) (V.X)(U.Y)) U V V U On peut alors construire à partir de la base {e i }de E, un espace vectoriel E E ayant pour base { e i e j }. Cet espace est de dimension 9 (cas E = R 3 ) et n est pas isomorphe à E E. 5

TENSEURS EUCLIDIENS D ORDRE DEUX Un tenseur euclidien d ordre 2, noté T, est défini comme : 1. Un élément de l espace tensoriel E E : T = T i j (e i e j ) 2. Une forme bi-linéaire sur E E telle que : (X, Y) E E, T(X,Y) = T i j (e i e j )(X,Y) = T i j (e i.x)(e j.y) 3. Un élément associé à une application linéaire ϕ de E dans E. Soit l application qui au vecteur X associe le vecteur ϕ(x), on définit le tenseur euclidien T correspondant : T = φ(e j ) e j = (φ i j e i ) e j = φ i j (e i e j ) Les composantes du tenseur T sont égales aux composantes de la matrice de l application linéaire ϕ dans la base {e i } : T i j = φ i j. 6

2. Soit e un vecteur unitaire. Interpréter géométriquement le tenseur e e. 3. Etant donné une base orthonormé directe {e i }, à quelle conditions sur les f i le tenseur T = f i e i représente-t-il une rotation? 4.Déterminer le tenseur correspondant à une projection sur le plan perpendiculaire à e 3 et celui correspondant à une symétrie par rapport à ce plan. 7

DEFINITIONS USUELLES On peut introduire avec les tenseurs d ordre 2 toutes les définitions courament utilisées avec les applications linéaires (ou avec les matrices). Tenseur identité ou métrique : 1 = δ i j (e i e j ). Tenseur inverse de T, notée T 1, tel que : T ik T 1 k j = δ i j. Déterminant det(t) = det(ϕ) = det [ T i j ] Trace tr(t) = T ii = ϕ(e i ).e i Transposition : - produit vectoriel t (a b) = b a - tenseur t T = T ji (e i e j ) Tenseurs symétrique-antisymétrique : T = T a + T s avec T s = 1 2 (T + t T) et T s = 1 2 (T t T) 8

PRODUIT CONTRACTE DE DEUX TENSEURS Soit le produit contracté (notée. ) : 1. de deux vecteurs (tenseurs d ordre 1) : c est le produit scalaire U.V R, il est commutatif. 2. d un vecteur avec un produit tensoriel de deux vecteurs : à gauche a.(b c) = (a.b)c E à droite (a b).c = a.(b.c) E il n est pas commutatif. 3. d un tenseur d ordre 2 avec un tenseur d ordre 1 : - T.X = T i j (e i e j ).X = T i j X j e i = ϕ(x) - Y.T = Y.(e i e j )T i j = T i j Y i e j = t T.Y remarque : le produit contracté à gauche et à droite est associatif X.(T.Y) = (X.T).Y = X.T.Y = X i T i j Y j R d ou extraction des composantes de T : T i j = e i.t.e j 9

PRODUIT CONTRACTE DE DEUX TENSEURS D ORDRE DEUX Le produit contracté T.T est le tenseur associé à l application linéaire composée ϕ ϕ. Ainsi, T.T = T ik T k j (e i e j ) E E et on verifie également la relation : t (T.T ) = t T. t T PRODUIT DOUBLEMENT CONTRACTE C est la trace du tenseur T.T que l on note : T : T = tr(t.t ) R 10

5. Montrez les propriétés d associativité du produit contracté : - (T.F).u = T.(F.u) - u.(t.f).v = (u.t).(f.v) - (F.u) v = F.(u v) 11

GRADIENT D UN CHAMP DE VECTEUR Le champ de gradient du champ de vecteur T(X) est le champ de tenseur du deuxième ordre T défini par : dt = T.dX T = T i X j (e i e j ) DIVERGENCE D UN CHAMP DE VECTEUR La divergence du champ de vecteurs T(X) est le champs scalaire obtenu en prenant la trace du gradient : div(t) = tr( T) = T i X i 12

6. Déterminez les gradients suivants : - X - (αu), α(x) étant une fonction scalaire et U(X) un vecteur - U en coordonnées cylindriques, avec U = u(r)e r 13