Optimisation sans contrainte Chercher à minimiser (c est à dire trouver le minimum d ) une fonction coût moyen de production CM(x), chercher à maximiser (c est à dire trouver le maximum d ) une fonction bénéfice B(x), sont des actions qu on peut ranger dans le domaine des mathématiques (ou de l économie) appelé optimisation. Chercher à produire des voitures consommant le moins d essence possible, ou chercher les meilleurs placements financiers pour réduire au maximum ses impôts (on parle alors d optimisation fiscale) sont aussi des actions qui entrent dans le domaine de l optimisation. L écriture C(x) d un coût de production signifie que le coût ne dépend que d un seul paramètre x, il peut bien sûr dépendre de plusieurs paramètres x, y, z Par exemple, le coût de production global d une entreprise, peut dépendre des différents coûts de production d objs x, y, z Dans ce cas, on parle de fonction à plusieurs variables C(x, y, z, ). De même pour le bénéfice, il peut dépendre de la vente d un obj x, ou de la vente de plusieurs objs x, y, z On note alors B(x, y, z, ) la fonction bénéfice des variables x, y, z, Par exemple, le coût de production (exprimé en milliers d euros) de deux objs A B est donné par la formule C = 0,3x + 0,7y 0,5xy + 4,5 où x y représentent les quantités produites des objs A B. Si on regarde la formule en détail, on peut comprendre que 0,3x est le coût de production des x objs A 0,7y est le coût de production des y objs B 0,5xy est l économie liée au fait de produire deux objs à la fois 4,5 est la location de l atelier de production Si on ne produit aucun obj A aucun obj B, le coût (en milliers d euros) est C(0 ; 0) = 0,3 0 + 0,7 0 0,5 0 0 + 4,5 = 4,5 C est la location de l atelier de production. Si on produit 10 objs A 5 objs B, le coût est de C(10 ; 5) = 0,3 10 + 0,7 5 0,5 10 5 + 4,5 = 7 Si on produit 4 objs A 15 objs B, le coût est de C(4 ; 15) = 0,3 4 + 0,7 15 0,5 4 15 + 4,5 = 136,8 Si l obj A est vendu à 1000 euros l unité (c est à dire 1 millier d euros), que l obj B est vendu 700 euros l unité (c est à dire 0,7 millier d euros), le bénéfice (exprimé en milliers d euros) sera alors B = 1x + 0,7y C = x + 0,7y (0,3x + 0,7y 0,5xy + 4,5) 1) Les idées développées pour trouver les minimums maximums des fonctions d une variable seront (en partie) généralisées pour les fonctions de plusieurs variables. Effectuons un résumé de ce qu on sait sur la recherche d extrémums des fonctions d une variable : Soit f: R R une fonction dérivable sur R, soit x 0 R tel que f(x 0 ) soit un maximum local ou un minimum local alors f (x 0 ) = 0. Remarques : Si f(x 0 ) est un maximum ou un minimum pour f, on dit que c est un extrémum pour f. Un maximum global est aussi un maximum local, un minimum global est aussi un minimum local. Donc, si f(x 0 ) est un extrémum global alors on a aussi f (x 0 ) = 0. Définition : Le nombre x 0 tel que f (x 0 ) = 0 s appelle un point critique de f En mathématique, un nombre est souvent appelé point car tout nombre réel est repéré par un point sur la droite graduée. 1
Conclusion : Avant de chercher un extrémum d une fonction dérivable f, on doit d abord chercher ses points critiques. Attention, si x 0 vérifie f (x 0 ) = 0, f(x 0 ) n est pas forcément un extrémum local pour f. Par exemple, si f(x) = x 3, alors f (x) = 3x. 0 est un point critique de f car f (0) = 3 0 = 0, mais f(0) = 0 3 = 0 n est ni un maximum local, ni un minimum local pour f. En eff, pour tout x < 0 < y, x 3 < 0 < y 3. Propriété : Si f (x 0 ) = 0 que f (x) change de signe en x 0 alors f(x 0 ) sera un extrémum pour f. C est ce qui est utilisé dans les tableaux de variations. ) Généralisons les idées précédentes aux fonctions de deux variables f(x ; y) Une fonction de deux variables f(x ; y) n est pas forcément croissante ou décroissante sur un intervalle donné, elle peut varier d une certaine façon par rapport à x d une autre par rapport à y. Par exemple f(x ; y) = x y est croissante par rapport à x décroissante par rapport à y. En eff, x 1 < x x 1 y < x y f(x 1, y) < f(x, y) y 1 < y y 1 > y x y 1 > x y f(x, y 1 ) > f(x, y ) La dérivation perm de donner facilement les variations d une fonction f(x ; y) par rapport à chacune des variables : Soit une fonction f de deux variables, on pourra la définir ainsi f: R R f où R = R R est l ensemble des couples de nombre réels (x ; y). R s appelle aussi le plan réel, en référence à l ensemble des coordonnées (x ; y) du plan, c est à dire à l ensemble des points du plan. Nous noterons (x ; y) la dérivée partielle de f par rapport à x obtenue en dérivant la fonction d une x variable x f(x ; y), en considérant y comme une constante, c est à dire comme un nombre fixé. De même, nous noterons (x ; y) la dérivée partielle de f par rapport à y obtenue en dérivant la y fonction d une variable y f(x ; y), en considérant x comme une constante, c est à dire comme un nombre fixé. Remarque : D autres notations peuvent être utilisées pour les dérivées partielles x = xf = 1 f y = yf = f Exemples : Si f(x ; y) = x + 4xy y 3 alors (x ; y) = x + 4 1 y 0 = x + 4y x y (x ; y) = 0 + 4x 1 3y = 4x 3y Si g(x ; y) = 3xe y ln(x) + y alors
g x (x ; y) = 3 1 ey 1 x + 0 = 3ey 1 x g y (x ; y) = 3xey 0 + 1 = 3xe y + Si h(x ; y) = 4xy e x y + 1 alors h x (x ; y) = 4 1 y e x y + 0 = 4y e x y h y (x ; y) = 4x y ( 1ex y ) + 0 = 8xy + e x y Si f est une fonction de trois variables (x, y, z) f(x, y, z), on notera (x, y, z), (x, y, z) (x, y, z) x y z ses dérivées partielles par rapport aux variables x, y z. Exemple : Si f(x ; y ; z) = 3zx + y alors (x, y, z) = 3z 1 + 0 = 3z x (x, y, z) = 0 + y = y y (x, y, z) = 3 1 x + 0 = 3x z Remarque : On range souvent les dérivées partielles d une fonction f dans une matrice une seule colonne, appelée gradient de f. On note cte matrice x f = [ y ] On peut aussi noter grad(f) = f. Dans le cas où f est une fonction de trois variables (x, y, z), on a (x, y, z) x f(x, y, z) = (x, y, z) y [ z (x, y, z) ] Exemples : Le gradient de f = x + y est f = [ x + 0 0 + y ] = [x y ] Le gradient de g = e xy + y est ye xy g = [ 1yexy + 0 x 1e xy + 1 ] = [ xe xy + 1 ] Le gradient remplace en quelque sorte la dérivée pour les fonctions d une variable. Si on dérive à nouveau par rapport à x par rapport à y on obtient 4 dérivées x y partielles secondes x ( ) = f x ( x) 3
y ( x ) = f y x x ( y ) = f x y y ( ) = f y ( y) On les range cte fois dans une matrice à lignes colonnes appelée matrice Hessienne de f, notée f f ( x) x y H(f) = f f [ y x ( y) ] Elle remplace en quelque sorte la dérivée seconde des fonctions d une variable réelle. Attention, la notation f ( x) ne signifie absolument pas qu il y a des puissance de, ce n est qu une notation pour dire qu on a dérivé deux fois par rapport à x. De même pour les notations f, f f y x x y ( y), il n y a pas de puissance de. Exemples : Pour calculer la matrice Hessienne de f = x y y + e y x, on commence par calculer ses dérivées partielles premières : x = xy + e y y = x y 1 + e y x puis ses dérivées partielles secondes f ( x) = x (xy + e y ) = 1 y + 0 = y f y x = y (xy + e y ) = x y + e y = 4xy + e y f x y = x (x y 1 + e y x) = x y 0 + e y 1 = 4xy + e y f ( y) = y (x y 1 + e y x) = x 1 0 + e y x = x + e y x on les range ensuite dans la matrice f f ( x) x y y 4xy + e y H(f) = f = [ f [ y x ( y) 4xy + e y x + e y x ] ] Si g = e x y + x y 3x 3 + y 3 alors g x = 1ex y + xy 3 3x g y = 1ex y + x + 3y g = [ ex y + xy 9x e x y + x + 3y ] de plus 4
g ( x) = x (ex y + xy 9x ) = e x y + y 18x g y x = y (ex y + xy 9x ) = e x y + x g x y = x ( ex y + x + 3y ) = e x y + x g ( y) = y ( ex y + x + 3y ) = ( e x y ) + 6y = e x y + 6y H(g) = [ ex y + y 18x e x y + x e x y + x e x y + 6y ] On peut remarquer dans les exemples précédents que f = f. En fait, on a un x y y x théorème précis qui le justifie sous des conditions particulières qui seront toujours vérifiées dans ce cours. Théorème de Schwarz : Lorsque les fonctions f f existent sont continues alors elles sont égales. x y y x 3) Types de points critiques pour les fonctions de deux variables Soit une fonction f: R R f on dit qu elle adm un minimum local en (x 0, y 0 ) si il existe un rectangle D = ]a, b[ ]c, d[ contentant le point (x 0, y 0 ) tel que D f f(x 0, y 0 ) on dit qu elle adm un maximum local en (x 0, y 0 ) si il existe un rectangle D = ]a, b[ ]c, d[ contentant le point (x 0, y 0 ) tel que D f f(x 0, y 0 ) on dit qu elle adm un point col ou un point selle en (x 0, y 0 ) si il existe un rectangle D = ]a, b[ ]c, d[ contentant le point (x 0, y 0 ) tel que D f(x 0, y) f(x 0, y 0 ) f(x, y 0 ) ou bien tel que D f(x 0, y) f(x 0, y 0 ) f(x, y 0 ) (après un éventuel changement de variables) Un point col (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )) est un point où f adm un minimum local par rapport à une variable un maximum par rapport à l autre Autrement dit, Un point col (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )) est un point où f adm un minimum local dans une direction un maximum local dans la direction perpendiculaire. Pour déterminer à quel point critique on a affaire, la technique est aisée dans les cas où la fonction f est suffisamment régulière, c est à dire à dire dans les cas où on peut utiliser le théorème de Schwarz : 5
Après avoir trouvé un point critique (x 0, y 0 ) pour f c est à dire un couple de nombres (x 0, y 0 ) tels que f(x 0, y 0 ) = [ 0 0 ] on calcule le déterminant de la matrice Hessienne de f en (x 0, y 0 ) : f ( x) d (H(f(x 0, y 0 ))) = (x f 0, y 0 ) x y (x 0, y 0 ) s f y x (x f = r = rt s 0, y 0 ) ( y) (x s t 0, y 0 ) Si rt s < 0 alors f adm un point selle (appelé aussi point col) en (x 0, y 0 ) Si rt s > 0 r > 0 alors f adm un minimum local en (x 0, y 0 ) Si rt s > 0 r < 0 alors f adm un maximum local en (x 0, y 0 ) Si rt s = 0 alors on ne peut pas conclure par cte méthode. Remarque : Le choix des ltres r, s t vient du mathématicien français Gaspard Monge (fin du 18 e siècle) Exercice corrigé : a) Etudier les points critiques éventuels de la fonction f = x + y x + 3 b) Etudier les points critiques éventuels de la fonction g = x 3 + y 3 15xy c) Etudier les points critiques éventuels de la fonction h = x 3 + 3xy 75x 7y Correction : a) Le gradient de f est égal à f = [ x 1 4y ] Les points critiques éventuels de f vérifient f = [ x 1 4y ] = [0 0 ] c est à dire x 1 = 0 4y = 0 x = 1 = 0,5 y = 0 4 = 0 Le seul point critique de f a pour coordonnées (0,5 ; 0) La matrice Hessienne de f vaut forcément H(f) = [ 0 0 4 ] H(f(0,5 ; 0)) = [ 0 0 4 ] d (H(f(0,5 ; 0))) = 8 comme 8 > 0 > 0 alors f adm un minimum local en (0,5 ; 0) b) Le gradient de g = x 3 + y 3 15xy est égal à g = [ 3x + 0 15 1 y 0 + 3y 15x 1 ] = 15y [3x 3y 15x ] Les points critiques éventuels de g vérifient c est à dire g = [ 3x 15y 3y 15x ] = [0 0 ] 3x 15y = 0 3y 15x = 0 6
3x = 15y 3y 15x = 0 3 15 x = y 3y 15x = 0 0,x = y 3(0,x ) 15x = 0 La deuxième équation d inconnue x s écrit aussi 3 0,04x 4 15x = 0 C est à dire 0,04x 4 5x = 0 0,04x 3 x 5x = 0 (0,04x 3 5)x = 0 0,04x 3 5 = 0 ou x = 0 c est à dire x 3 = 5 ou x = 0 0,04 x 3 = 15 ou x = 0 finalement, x = 15 1 3 = 5 ou x = 0 Lorsque x = 5 ; y = 0, 5 = 5 lorsque x = 0 ; y = 0, 0 = 0 Donc les deux points critiques de g sont (5; 5) (0; 0) Comme g = [ 3x 15y 3y ], la matrice Hessienne de g est égale à 15x H(g) = [ 6x 15 15 6y ] H(g(5; 5)) = [ 6 5 15 30 15 ] = [ 15 6 5 15 30 ] d (H(g(5; 5))) = 900 5 = 675 comme 675 > 0 30 > 0 alors g adm un minimum local en (5 ; 5) H(g(0; 0)) = [ 6 0 15 15 6 0 ] = [ 0 15 15 0 ] d (H(g(0; 0))) = 5 comme 5 < 0 alors g adm un point col en (0 ; 0) c) Le gradient de h = x 3 + 3xy 75x 7y est égal à h = [ 3x + 3y 75 ] 6xy 7 Les points critiques éventuels de h vérifient h = [ 3x + 3y 75 ] = [ 0 6xy 7 0 ] c est à dire 3x + 3y 75 = 0 6xy 7 = 0 7
3x + 3y 75 = 0 y = 7 6x = 1 si x 0 x 3x + 3 ( 1 x ) 75 = 0 y = 1 x 3x + 3 144 x 3 5 = 0 y = 1 x x + 144 x 5 = 0 y = 1 x x 4 + 144 5x = 0 y = 1 x en posant X = x, la première équation s écrit X 5X + 144 = 0 Δ = ( 5) 4 1 144 = 49 les y correspondants sont X 1 = ( 5) + 49 1 = 16 X = x = 16 ou x = 9 ( 5) 49 1 x = 4 ou x = 4 ou x = 3 ou x = 3 y = 1 1 = 3 ou y = 4 4 = 3 ou y = 1 1 = 4 ou y = 3 3 = 4 Les quatre points critiques de h sont (4 ; 3) ; ( 4 ; 3) ; (3 ; 4) ( 3 ; 4). Comme h = [ 3x + 3y 75 ], la matrice Hessienne de h est égale à 6xy 7 H(h) = [ 6x 6y 6y 6x ] 6 4 6 3 18 H(h(4 ; 3)) = [ ] = [4 6 3 6 4 18 4 ] d (H(h(4 ; 3))) = 4 18 = 5 comme 5 > 0 4 > 0 alors h adm un minimum local en (4 ; 3) = 9 H(h( 4 ; 3)) = [ 6 ( 4) 6 ( 3) 18 ] = [ 4 6 ( 3) 6 ( 4) 18 4 ] d (H(h( 4 ; 3))) = 4 18 = 5 comme 5 > 0 4 < 0 alors h adm un maximum local en ( 4 ; 3) 6 3 6 4 4 H(h(3 ; 4)) = [ ] = [18 6 4 6 3 4 18 ] 8
d (H(h(3 ; 4))) = 18 4 = 5 comme 5 < 0 alors h adm un point col en (3 ; 4) H(h( 3 ; 4)) = [ 6 ( 3) 6 ( 4) 4 ] = [ 18 6 ( 4) 6 ( 3) 4 18 ] d (H(h( 3 ; 4))) = 18 4 = 5 comme 5 < 0 alors h adm un point col en ( 3 ; 4) 4) Démonstration de la propriété Si f: R f R adm des dérivées partielles secondes continues sur R, si (x 0, y 0 ) est un point critique de f alors en notant f ( x) d (H(f(x 0, y 0 ))) = (x f 0, y 0 ) x y (x 0, y 0 ) s f y x (x f = r = rt s 0, y 0 ) ( y) (x s t 0, y 0 ) on a le résultat suivant : Si rt s < 0 alors f adm un point selle (appelé aussi point col) en (x 0, y 0 ) Si rt s > 0 r > 0 alors f adm un minimum local en (x 0, y 0 ) Si rt s > 0 r < 0 alors f adm un maximum local en (x 0, y 0 ) a) Définition de la dérivée d une fonction d une variable réelle en un point x 0 Soit f x R f(x) une fonction réelle x 0 R un nombre fixé. Si le taux d accroissement f(x) f(x 0 ) adm une ite finie lorsque x tend vers x x x 0, 0 autrement dit si f(x) f(x 0 ) = C R x x 0 x x 0 alors le nombre C s appelle la dérivée de f en x 0 se note f (x 0 ). Exemple : Soit la fonction f(x) = x alors f(x) f(x 0 ) x x 0 = x x 0 x x 0 x x0 x x 0 (x + x 0 )(x x 0 ) = = x + x x x0 x x 0 = x 0 + x 0 = x 0 0 x x0 Ainsi f (x 0 ) = x 0 x 0 étant un nombre quelconque fixé, on a la formule générale quelle que soit x R : f (x) = x b) Approximation d une fonction dérivable par une fonction affine Soit f x R f(x) une fonction réelle x 0 R un nombre fixé. Si f (x 0 ) existe, autrement dit si f(x) f(x 0 ) = f (x x x 0 x x 0 ) R 0 alors on pourra approcher le nombre f(x) par f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) à condition que x soit suffisamment proche de x 0. En eff, on pourra écrire f(x) = f(x 0 ) + (x x 0 )f (x 0 ) + ψ(x) 9
car x x 0 x x 0 ψ(x) = 0 x x 0 ψ(x) f(x) (f(x 0 ) (x x 0 )f (x 0 )) = x x 0 x x0 x x 0 = x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0 f (x 0 ) = 0 On pourra aussi dire que la fonction affine x f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) approche f autour du point x 0. c) Approximation polynômiale d une fonction d une variable réelle Soit f x R f(x) une fonction réelle x 0 R un nombre fixé. S il existe un nombre ε > 0 tel que x ]x 0 ε ; x 0 + ε[ f (x) existe si f (x 0 ) existe, autrement dit si f (x) f (x 0 ) = f (x x x 0 x x 0 ) R 0 alors on pourra approcher le nombre f(x) par f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) à condition que x soit suffisamment proche de x 0. En eff, on pourra écrire f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) + φ(x) x x 0 φ(x) (x x 0 ) = 0 Car on peut appliquer le b) à la fonction f définie x ]x 0 ε ; x 0 + ε[ pour obtenir f (x) = f (x 0 ) + (x x 0 )f (x 0 ) + ψ 1 (x) ψ 1 (x) = 0 x x 0 x x 0 La fonction φ(x) = f(x) f(x 0 ) f (x 0 )(x x 0 ) f (x 0 ) (x x 0 ) étant définie dérivable x ]x 0 ε ; x 0 + ε[, on peut voir que φ (x) = f (x) 0 f (x 0 ) 1 f (x 0 ) (x x 0 ) = f (x) f (x 0 ) f (x 0 )(x x 0 ) = ψ 1 (x) que φ(x) = φ(x) φ(x 0 ) (x x 0 ) x x 0 (x x 0 ) x x 0 ψ 1 (x) = 0 x x 0 x x 0 φ(x) φ(x = 0 ) 1 = φ (x) 1 = ψ x x0 x x 0 x x 0 x x0 x x 1 (x) 1 = 0 x x0 x x 0 On pourra aussi dire que le polynôme x f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) f (x 0 ) (x x 0 ) approche f autour du point x 0 d) Généralisation aux fonctions de deux variables Théorème 1 : Considérons (x 0, y 0 ) R un couple de nombres fixés soit f: R f une fonction dont les dérivées partielles premières existent sont continues alors on aura f = f(x 0, y 0 ) + x f(x 0, y 0 )(x x 0 ) + y f(x 0, y 0 )(y y 0 ) + ψ ψ (x,y) (x 0,y 0 ) x x 0 + y y 0 = 0 Preuve : 10
Fixons y R utlisons l approximation affine de la fonction d une variable x f f = f(x 0, y) + x f(x 0, y)(x x 0 ) + ψ 1 ψ 1 = 0 x x 0 x x 0 De même pour la fonction d une variable y f(x 0, y) f(x 0, y) = f(x 0, y 0 ) + y f(x 0, y 0 )(y y 0 ) + ψ (y) ψ (y) = 0 y y 0 y y 0 En combinant les deux égalités, on obtient ( ) f = f(x 0, y 0 ) + x f(x 0, y)(x x 0 ) + y f(x 0, y 0 )(y y 0 ) + ψ 1 + ψ (y) Comme y x f(x 0, y) est continue, on peut écrire x f(x 0, y) = x f(x 0, y 0 ) y y 0 ce qui s écrit aussi x f(x 0, y) x f(x 0, y 0 ) = 0 y y 0 ou bien x f(x 0, y) = x f(x 0, y 0 ) + ψ 3 (y) ψ 3 (y) = 0 y y 0 l égalité ( ) devient alors f = f(x 0, y 0 ) + x f(x 0, y 0 )(x x 0 ) + y f(x 0, y 0 )(y y 0 ) + ψ 1 + ψ (y) + (x x 0 )ψ 3 (y) En posant ψ = ψ 1 + ψ (y) + (x x 0 )ψ 3 (y) on obtient le résultat souhaité. Théorème : Considérons (x 0, y 0 ) R un couple de nombres fixés soit f: R f une fonction dont les dérivées partielles premières secondes existent sont continues alors on aura f = f(x 0, y 0 ) + x f(x 0, y 0 )(x x 0 ) + y f(x 0, y 0 )(y y 0 ) + 1 xxf(x 0, y 0 )(x x 0 ) + 1 yyf(x 0, y 0 )(y y 0 ) + yx f(x 0, y 0 )(x x 0 )(y y 0 ) + ψ (x,y) (x 0,y 0 ) ψ x x 0 + y y 0 = 0 preuve : à faire en exercice e) Extrema locaux lorsque rt s > 0 Supposons que (x 0, y 0 ) soit un point critique de f alors l égalité du théorème s écrit f = f(x 0, y 0 ) + 1 xxf(x 0, y 0 )(x x 0 ) + 1 yyf(x 0, y 0 )(y y 0 ) + yx f(x 0, y 0 )(x x 0 )(y y 0 ) + ψ En utilisant les notations de Monge, on obtient f = f(x 0, y 0 ) + 1 r(x x 0) + 1 t(y y 0) + s(x x 0 )(y y 0 ) + ψ En posant X = x x 0 Y = y y 0, on écrit encore f = f(x 0, y 0 ) + 1 rx + 1 ty + sxy + ψ 11
Intéressons-nous au signe de 1 rx + 1 ty + sxy = 1 rx + syx + 1 ty polynôme de degré de coefficients 1 r, sy 1 ty. Lorsque le discriminant Δ = (sy) 4 1 r 1 ty = (s rt)y < 0, c est à dire lorsque s rt < 0, ou autrement dit, lorsque rt s > 0, le polynôme 1 rx + 1 ty + sxy = 1 rx + syx + 1 ty sera du signe de 1 r, c est à dire du signe de r. Par exemple si r > 0 alors 1 rx + 1 ty + sxy > 0 pour suffisamment proche de (x 0, y 0 ), c est à dire pour de 0, on aura aussi 1 rx + 1 ty + sxy + ψ > 0 f f(x 0, y 0 ) > 0 f > f(x 0, y 0 ) c est à dire que f adm un minimum local en (x 0, y 0 ). Si r < 0 alors 1 rx + 1 ty + sxy < 0 pour suffisamment proche de (x 0, y 0 ), c est à dire pour de 0, on aura aussi 1 rx + 1 ty + sxy + ψ < 0 f f(x 0, y 0 ) < 0 f < f(x 0, y 0 ) c est à dire que f adm un maximum local en (x 0, y 0 ). ψ(x,y) x x 0 + y y 0 ψ(x,y) x x 0 + y y 0 suffisamment proche suffisamment proche f) Point col lorsque rt s < 0 Il reste à étudier le cas où le discriminant Δ = (sy) 4 1 r 1 ty = (s rt)y > 0 c est à dire lorsque s rt > 0, autrement dit, lorsque rt s < 0. Dans le cas où r > 0 1 rx + syx + 1 ty = 1 rx + syx + (sy) r (sy) r + 1 ty = ( r sy X + = ( r (x x 0 ) + s(y y 0) ) (y y 0) (s rt) r r Définissons la variable x par : x = r (x x 0 ) + s(y y 0) Notons que lorsque = (x 0, y 0 ) alors x = 0. r r ) Y r (s rt) Ainsi, le polynôme précédent s écrit 1 rx + syx + 1 ty = x (y y 0 ) r l approximation polynômiale s écrit ou bien (s rt) f = f(x 0, y 0 ) + x (y y 0 ) (s rt) + ψ r f(x, y) = f(0, y 0 ) + x (y y 0 ) (s rt) + ψ(x, y) r ( ) 1
Cela donne en particulier pour y = y 0, f(x, y 0 ) = f(0, y 0 ) + x + ψ(x, y 0 ) Donc pour (x, y 0 ) suffisamment proche de (x 0, y 0 ), c est à dire pour x suffisamment proche de 0, c est à ψ(x,y) dire pour suffisamment proche de 0, pour ψ(x,y 0 ) suffisamment proche de 0, on x x 0 + y y 0 x aura f(x, y 0 ) f(0, y 0 ) = x + ψ(x, y 0 ) > 0 f(x, y 0 ) > f(0, y 0 ) Dans le cas particulier où x = 0, ( ) devient f(0, y) = f(0, y 0 ) (y y 0) (s rt) + ψ(0, y) r Donc pour y suffisamment proche de y 0 x = 0, c est à dire pour suffisamment proche de ψ(x,y) (x 0, y 0 ), c est à dire pour suffisamment proche de 0, pour ψ(0,y 0 ) suffisamment x x 0 + y y 0 y y 0 proche de 0, on aura f(0, y) f(0, y 0 ) = (y y 0) (s rt) + ψ(0, y) < 0 r f(0, y) < f(0, y 0 ) Finalement, f(x, y 0 ) > f(0, y 0 ) > f(0, y) pour tout couple (x, y) suffisamment proche de (0, y 0 ). C est à dire que f adm un point col en (0, y 0 ) où f est fonction des variables (x, y). La démonstration est similaire dans le cas où r < 0. Le cas où r = 0 est laissé à titre d exercice. Pour aller plus loin, lire ce cours en ligne http://wiki.epfl.ch/mathgeo/documents/old/semaine-5-6-011.pdf L auteur m est inconnu. 13