TP1 MT12 Génération de textures, IFS et support de mesures singulières

TP1 MT12 Génération de textures, IFS et support de mesures singulières 1 Introduction Historiquement, les ensembles fractals ont été construits au moyen de soustractions successives (voir Cantor et Sierpinski comme exemples de base) Par exemple, dans le cas bidimensionnel, on part d un domaine régulier élémentaire D (segment, triangle, carré,) et on lui ôte une suite de domaines (C n ) de plus en plus petits de telle sorte, qu à l infini, le domaine E = D\ n C n soit d intérieur vide On a alors, via un processus infini un ensemble résiduel E au sens suivant Définition L ensemble E est dit résiduel s il est non vide Un exemple classique : l ensemble de Cantor On part du segment D = [0, 1] et on lui applique les transformations suivantes (et dans l ordre) : On le divise en trois parties égales On lui enlève son tiers central C 0 =]1/, 2/][ On itère alors le procédé sur chacun des sous-segments [0, 1/] et [2/, 1] et ainsi de suite Par récurrence, si E k est construit, on obtient E k+1 en coupant tous les segments fermés de E k en trois segments égaux et en ôtant, le tiers central qui doit être ouvert afin que E k+1 soi fermé A l étape k + 1, on obtient alors un ensemble E k+1 = E k \C k où les C k sont les tiers centraux de chacun des intervalles ouverts dont E k est la réunion On a ainsi pour les premiers itérés : E 0 = [0, 1] E 1 = [0, 1 ] [2, 1] L ensemble de Cantor est alors défini par E 2 = [0, 1 9 ] [2 9, 9 ]] [6 9, 7 9 ] [8 9, 1] E = E k k=1 1

( ) n 2 C est donc un fermé de [0, 1] de mesure de Lebesgue nulle vu que E n = quand et que E n, n C est un fractal dont la dimension, au sens de Haussdorff est ln 2 C est un nuage de points qui, n est hélas pas dénombrable car équipotent à l intervalle [0, 1] EN topologie, un tel ensemble est dit totalement discontinu 101 Cantor et IFS On peut aussi montrer que si f 1 : [0, 1] [0, 1] et f 2 : [0, 1] [0, 1] sont des applications affines telles que f 1 (x) = x (1) et f 2 (x) = x + 2 (2) on a alors E = f(e) := f ( E) f 2 (E) () En tant que fonctions de la variable réelle, les fonctions f 1 et f 2 ont les points fixes respectifs 0 et 1 102 Exercice de programmation Ecrire un programme SCILAB permettant de visualiser quelques ensembles E k, k = 2,,, kmax 10 Exercice crayon papier S inspirer de la construction de l ensemble de Cantor afin de construire un fermé d intérieur vide de mesure non nulle 11 Construction d une mesure sur l ensemble de Cantor 111 Préliminaires On commence par donner une définition d intervalles triadiques de rang p Définition Soit p N On appelle intervalle triadique de [0, 1] de rang p tout intervalle I k,p du type I k,p= [k p, (k + 1) p ], 0 k p 1 Si E est l ensemble de Cantor, on s intéresse uniquement aux intervalles triadiques R k dont l intérieur a une intersection non vide avec E On note alors par R le réseau discret R = k R k (4) 2

112 Définition d une fonction additive sur le réseau discret On définit une fonction additive g : F R + \ {0} telle que pour tout intervalle triadique R k du réseau R on ait g(r k ) = 2 k Le lecteur pourra vérifier que la fonction g est additive 11 Construction de la mesure canonique Les intervalles triadiques R k de rang k étant disjoints, on sait alors qu il existe alors une mesure de Borel µ coincidant avec g sur R ; le support de la mesure µ est E Comme E = 0 (l ensemble de Cantor est négligeable au sens de la mesure de Lebesgue) : la mesure µ est dite mesure singulière Ceci a pour conséquence que ce type de mesure n admet pas, en général et n est donc pas une mesure absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue 2 Fonction de répartition et escalier du diable Dans RIl, est difficile d illustrer une mesure sur un intervalle On peut, cependant, représenter le graphe de sa fonction de répartition La fonction de répartition F : [0, 1] [0, 1] de la mesure µ est définie par F (x) = µ([0, x]) Avec cette définition, il est un peu tôt de montrer que que F coincide avec l escalier du diable tel qu il a été abordé en TD Cette fonction de répartition a une dérivée nulle presque partout (sauf sur l ensemble de Cantor qui est de mesure de Lebesque nulle) mais on montre qu au sens des distributions, la dérivée de F coincide avec µ Exercice 22 ( Une autre définition de l escalier du diable : papier crayon + Scilab ) Soit (f k ) : [0, 1] [0, 1] la suite de fonctions définie par f 0 (x) = x, 0 x 1 et pour k 0 f k (x) si 0 x 1 f k+1 (x) = 1 1 1 si 2 x 2 2 1 + f k (x 2) si x 1 1 Montrer que le suite de fonctions (f k ) est continue sur l intervalle [0, 1] 2 Montrer que (f k ) converge uniformément sur l intervalle [0, 1] On note F sa limite En déduire que F est continue sur [0, 1] 4 Montrer que F est croissante sur [0, 1] 5 Ecrire une fonction scilab permettant de tracer f k pour k = 2,,, 7 6 Expliquer l auto-similarité de F en s aidant de la suite (f k ) (5)

7 Montrer que l on a aussi ( 2 n x f n (x) = 1 Cn (t)dt ) 0 Exercice Crayon papier 1 Concernant l allure de F, que constatez vous au fur et à mesure des itérations? 2 Que peut-on conjecturer concernant la dérivabilité de F? Bonus Montrer que F n est pas dérivable sur E Montrer que l on a un excellent contre-exemple à une extension du théorème fondamental de l analyse 21 L escalier du diable généralisé (à implémenter) Dans la section précédente, lors du partage d un intervalle I du réseau, on construit deux intervalles fils : un à gauche I g et l autre à droite I d et on a pris µ(i g ) = µ(i d ) = 1 2 µ(i) La généralisation consiste à prendre deux réels strictement positifs p 1 et p 2 tels que p 1 + p 2 = 1 et l on décide maintenant d attribuer aux intervalles seconde génération les valeurs respectives p 1 et p 2 ; plus précisément µ(i g ) = p 1 µ(i) (6) et µ(i d ) = p 2 µ(i) (7) Ecrire un programme scilab permettant de tracer l escalier du diable correspondant On pourra raisonner comme pour le cas p 1 = p 2 = 1/2 ; on se servira de l approximation (à prouver) de la fonction de répartition par la suite de fonctions (f k ) définie comme suit f 0 (x) = x, 0 x 1 et pour k 0 f k+1 (x) = p 1 f k (x) si 0 x 1 1 p 1 si x 2 2 p 1 + p 2 f k (x 2) si x 1 (8) 4

Idée intuitive de la notion de mesure dans le plan Visualisation via Scilab On adopte la notation complexe pour les transformations On consid` ere l IFS (avec probabilités) défini par w 1 (z) = z 2 w 2 (z) = z 2 + 1 2 w (z) = z 2 + i 2 w 4 (z) = z 2 + 1 2 + i 2 avec les probabilités p 1 = 01, p 2 = 02, p = 0 et p 4 = 04 Ecrire un programme scilab permettant de visualiser l attracteur (c est un carré plein ayant comme sommets (0, 0, 1, 0), (1, 1), (0, 1) On pendra comme ensemble initial le point 0, 0) ou point apprtenant à l intérieur du carré unité On fera varier le nombre d itérations d une manière graduée de 1000 à 10 000 itérations Quelle idée avez vous de l attracteur? Montrer que si le nombre d itérations est suffisamment grand ( 10000) alors le nombre de points du carré de départ visités par w i, i = 1, 2, de l IFS sont du même ordre Quel est cet ordre? Faire varier les probabiiltés Quel type de figure obtient-on? Prendre les transformations donnant pour attracteur 1 L ensemble de Sierpinski 2 Le flocon de neige de Von Koch Une fougère (recherche sur la toile l IFS correspondant) On voit que le résultat des itérations est qu en différents endroits du carré, des points pleuvent sur l attracteur de l IFS (qui est le carré rempli, dans le cas de l IFS donné ci-dessus)) à différentes vitesses Ce que l on voit n est rien d autre que la trace floue d objets mathématiques appelés mesure L attracteur de l IFS est le support de cette mesure 1 Comment mesurer un Borélien? On calcule la mesure de la boule B unité, on suppose que la mesure µ est normalisée de telle sorte que µ(attracteur) = 1 On applique l algorithme des itérations aléatoires ayant comme attracteur le traingle de Sierpinski On a comme résultats une suite de points (x n, y n ) On note N (B, n) le nombre de points appartenant à {(x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),, (x n, y n )} B, pour n = 1, 2, On définit alors la masse de B via le réel positif N (B, n) µ(b) = lim (9) n n 5

En faisant varier n de 5000 à 100000 avec un pas de 5000, calculer la mesure de chacune de boules suivantes { B 1 = (x, y) : x2 + y 2 < 05} { B 2 = (x, y) : (x 5)2 + (y 05) 2 < 02} { B = (x, y) : (x 5)2 + (y 05) 2 < 05} { B 4 = (x, y) : (x 2)2 + (y 1) 2 < 2} Que peut-on dire de B 4? Refaire le travail en prenant p 1 = 0275, p 2 = 0125 et p = 05 2 Facultatif : Mesures de Besicovich ( sur le plan) et leurs applications à la génération de Textures (inspiré de l ouvrage de Claude Tricot On peut représenter une mesure (ou plutôt son esquisse) sur le plan à l aide de niveaux de gris ou de couleurs La mesure de Besicovitch dans le plan se construit sur le réseau de carrés dyadiques de [0, 1] [0, 1] On imite le processus suivi lors de la section précédente : on commence par se donner 4 probabilités p 1, p 2, p, p 4 tels que 4 p i = 1; i=1 au premier niveau de l algorithme, on considère les 4 carrés Ω k,1, k = 1, 2,, 4 de rang 1 : le côté de chaque carré est de longueur 1/2 on pose alors µ(ω k,1 ) = p k On itère alors le procédé sur chaque carré dyadique Le processus récursif permet alors d obtenir pour un nombre d itérations assez élevé une texture qui se répète Le niveau de gris d un pixel mesure le nombre relatif de visites : plus le pixel est de niveau de gris foncé et plus la mesure est élevée On montre que l on peut étendre cette mesure (qui est restreinte aux carrés dyadiques) à une mesure de Borel Ecrire un programme SCILAB permettant de visualiser la distribution de la mesure associée aux probabilités p 1 = p 2 = p = 025, p 4 = 0241 p 1 = p = 0245, p 2 = p 4 = 0255 6

4 Définitions et outils préliminaires Definition 41 On dit qu une transformation T du plan t : R 2 R 2 est affine si elle est la composée d une translation avec n une transformation linéaire On peut ainsi l écrire sous la forme T (x, y) = (ax + by + e, cx + dy + f) (10) Tet elle est ainsi la composée d une application linéaire T 1 (x, y) = (ax + by, cx + dy) et d une translation T 2 (x, y) = (x + e, y + f) On pourra utiliser la représentation matricielle pour l application linéairte On écrit donc ( ) ( ) ( ) a b x e T (x, y) = + c d y f La transformation est identifiée à partir de six paramètres Pour la déterminer, il suffit donc d avoir six équations à six inconnues, comme le précise le résultat suivant Theorem 41 Il existe une unique transformation affine T transformant trois points distincts non colinéaires P 1, P 2 et P en trois points Q 1, Q 2 et Q On commence par parler des applications linéaires dans R 2, on suppose que R 2 est muni de la base canonique On se donne u : R 2 R 2 une transformation linéaire du planon note A la matrice associée : elle détermine complètement la transformation Rappelons les exemples les plus familiers : ( ) λ 0 L homothétie de rapport λ, λ > 0 est donnée par A = ( 0 λ ) cos θ sin θ Rotation d angle θ de centre l origine : A = R θ = sin θ ( cos θ ) 1 0 Symétrie par rapport à l axe Ox : la matrice est A = S 1 = 0 1 Les matrices R θ et S 1 sont des matrices orthogonales (vu en MT2) et on montre que toute matrice orthogonale est soit une ( matrice orthogonale ) R( θ ou R θ S 1 Ainsi, ) une transformation cos θ sin θ cos θ sin θ orthogonale est du type R θ = ou sin θ cos θ sin θ cos θ Autre transformation : une combinaison des matrices de rotation et d homothétie Dans ce cas, on a une similitude représentée par une matrice du type ( ) a b A = b a où a et b sont des réels En notant ρ = a a 2 + b 2 et θ l angle tel que cos θ = a2 + b et 2 b sin θ = Nous n avons cité que les exemples familiers ; il est clair qu une contraction a2 + b2 ou dilatation en abscisse et en ordonnée avec des rapports respectifs ρ 1 et ρ 2 est donnée par une matrice diagonale avec A(1, 1) = λ 1 et A(2, 2) = λ 2 etc 7

41 Applications contractantes et Attracteurs Application Affine Contractante et Attracteur Nous interprèterons d une autre manière les objets fracatls : ils sont les points fixes d un système d applications affines contractantes Nous donnons les définitions de termes que nous utiliserons tout au long de l exposé On a tout d abord Definition On appelle compact de R 2 tout sous-ensemble de R 2 fermé et borné de R 2 On rappelle qu un sous-ensemble est fermé contient les limites de toutes ses suites convergentes (on est dans R 2 qui est un espace complet) Définition : 1 Une transformation affine du plan est une contraction si l image d un segment est un segment de longueur infériure 2 Un IFS est une collection finie de transformations affines L attracteur d un IFS {w 1, w 2,, w N } est l unique compact K R 2 (fermé et borné de R 2 ) tel que K = w ( K) w 2 (K) w N (K) (11) Nous allons revisiter les objets fractals du paragraphe précédent à partir de cette définition L objet fractal est obtenu comme suit : on part de E 0 R 2 compact, et on considère l itération E n = w 1 (E n 1 ) w 2 (E n 1 ) w N (E n 1 ) avec E 0 compact de R 2 et f : R 2 R 2 La limite de (E n ) est alors l attracteur K vérifiant K = w 1 (K) w 2 (K) w N (K) Nous montrons que l on a convergence de la suite (E k ) k pourvu que la suite d applications A k soit contractante par rapport à une distance appelée distance de Hausdorff La convergence du processus est aussi à prendre au sens de la métrique induite par cette même distance Il est tout à fait clair que cette approche est celle du point fixe Elle est due à Barnsley et est considéré comme un exemple de compression d images fractales 42 IFS aléatoire Un IFS aléatoire consiste en la donnée de N transformations w i, i = 1,, N et de N nombres 0 < p i < 1 tel que l on ait N i=1 p i = 1 La probabilité p i est attachée à w i En fait, seule une application est prise en considération selon le critère : la probabilité de sélectionner la transformation w i est p i Pour décrire les premières itérations : on suppose partir de (x 0, y 0 ), on tire aléatoirement un nombre k compris entre 1 et N et on chosit alors (x 1, y 1 ) = w k (x 0, y 0 ) et on répète l opération pour avoir (x 2, y 2 ) En itérant le procédé, on aboutit alors à un attracteur qui coincide avec le mème attracteur de l algorithme déterministe Cet algorithme aléatoire est intéressant dans le cas où l on désire dessiner un objet avec différentes textures 4 Ensemble de Cantor Il est clair que le partage de E 0 = [0, 1] en deux parties E 1 = [0,, 1 ] [2, 1] s écrit E 1 = w 1 (E 0 ) w 2 (E 0 ) 8

où A 1 et A 2 sont des homothéties de rapport 1 de centres respectifs 0 et 1 ; plus précisément w 1 (x) = 1 x et w 2 x = 1 x + 2 Nous avons abusivement confondu l endomorphisme et la matrice qui lui est associée La théorie des IFS nous assure que les itérations convergent vers E vérifiant l équation 44 Triangle de Sierpinski E = w 1 (E) w 2 (E) (12) On note A, B et C les sommets du triangle de départ E 0 L opération joindre les milieux et ôter le triangle central montre que l on a w(e) = w 1 (E 0 ) w 2 (E 0 ) w (E 0 ) òù w 1, w 2 et w sont des homothéties de rapport 1 2 et de centres respectifs A, B et C 45 Ensemble de Von Koch C est plus dur que les deux exemples précédents Nous partons donc de E 0 = [0, 1] et l on engendre 4 segments de longueur le tiers de celle de E 0 Notant A = (0, 0) et B = [1, 0], on se retrouve donc avec 2 points supplémentaires C et E alignés avec les points A et B et un point D sommet d un triangle équilatéral de côté 1 Plus précisément, on a [AC] = w 1 ([AB]) où w 1 est l homothétie de sommet A et de rapport 1 ; on a aussi [EB] = w 2 ([AB]) où w 2 est l homothétie de sommet B = (1, 0) et de rapport 1 Concernant les branches [CE] et DE, nous avons des similitudes suivies de translations ; en effet [CE] = w ([]AB) où w est la similtude de rapport 1 et d angle π suivie d une translation par ( 1, 0) Enfin, on a [ED] = w 4 ([]AB) où w 4 est la similitude de rapport 1, d angle π ( 1, 0) et de centre suivie d une translation par 9