Espaces vectoriels. Soit E un ensemble muni d une opération d addition notée + et d une opération de multiplication par

Algèbre : Chapitre 1 Espaces vectoriels Dans ce chapitre nous allons étudier des ensembles qui ont des propriétés particulières et que nous allons appeler espaces vectoriels. Tous les ensembles dont nous allons parler sont des ensembles que vous connaissez déjà il faudra juste bien apprendre le vocabulaire pour en parler avec des termes propres. I Espaces vectoriels sur R 1 Définition Définition 1 Soit E un ensemble muni d une opération d addition notée + et d une opération de multiplication par un réel notée. On dit que (E,+, ) est un R-espace vectoriel ssi : (E, +) est un groupe commutatif, c est-à-dire : * ( u, v ) E 2, u + v E (Loi interne) * ( u, v, w) E 3, ( u + v )+ w = u +( v + w) (Associativité) * 0 E E tel que u E, u + 0 E = 0 E + u = u (Élément nul) * u E, v E, tel que u + v = v + u = 0 E (on notera v = u) (Opposé) * ( u, v ) E 2, u + v = v + u. (Commutativité) l opération vérifie : * λ R, et u E, λ u E. * (λ,µ) R 2, u E, λ (µ u) = (λµ) u * u E, 1 u = u * (λ,µ) R 2, u E, (λ+µ) u = λ u +µ u * λ R, ( u, v ) E 2, λ ( u + v ) = λ u +λ v Remarques : On écrira souvent λ u à la place de λ u. Soit E un R-espace vectoriel, les éléments de E sont appelés vecteurs et ceux de R sont appelés scalaires. Exemple 1 : Les classiques Notation Description R ensemble des réels (par ex : 0, 1, 2,...) R 2 ensemble des couples de réels (par ex : (0,0), ( 2,4),...) R 3 ensemble des triplets de réels (par ex : (0,0,0), ( 2,4,3),...) R n (n N ) ensemble des n-uplets de réels (notation : (x 1,x 2,,x n ) ) M n,p (R) R[X] ensemble des matrices à n lignes et p colonnes ensemble des polynômes à coefficients réels R n [X] (n N ) ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à n R N ensemble des suites réelles Algèbre : Chapitre 1 Page 1 Espaces vectoriels

2 Familles, combinaisons linéaires Définition 2 Une famille de n vecteurs d un espace vectoriel E est un n-uplet ( v 1, v 2,..., v n ) où les v i sont des vecteurs de E. Attention, dans une famille de vecteurs l ordre est important. On ne travaillera ici qu avec des familles finies de vecteurs. Exemple 2: (1,2,3) est une famille de 3 vecteurs de R. ((1,2),(2,3),(3,4)) est une famille de 3 vecteurs de R 2. (X (( 2 +1,X,X )) 3 ) est une famille de 3 vecteurs de R[X]. 1 2 est une famille de 1 vecteur de M 3 4 2 (R). Définition 3 Soit( v 1, v 2,..., v n )unefamilledenvecteurs d unespace vectoriel E.Onappellecombinaison linéaire des ( n v i )...n tout vecteur de la forme λ ivi, où pour tout i, λ i est un réel. Les λ i sont appelés les coefficients de la combinaison linéaire. Exemple 3: v 1 + v 2 + v 3 est une combinaison linéaire de ( v 1, v 2, v 3 ) et 2 v 1 v 2 + 3 v 3 est une autre combinaison linéaire de ( v 1, v 2, v 3 ). Exemple 4 : Méthode ( ) ( ) ( ) 3 4 1 3 1 2 Soit M =, A = et B =. 7 3 1 2 5 1 On cherche à savoir si M est une combinaison linéaire de (A,B). En d autres termes on cherche à savoir si on peut trouver deux réels que pour l instant nous allons noter a et b et qui vérifient : M = aa+bb Or on a : ( ) ( ) ( ) 3 4 1 3 1 2 M = aa+bb = a +b 7 3 1 2 5 1 ( ) ( ) 3 4 a b 3a+2b = 7 3 a+5b 2a+b a b = 3 a = 3+b { 3a+2b = 4 5b+9 = 4 b = 1 a+5b = 7 4b 3 = 7 a = 2 2a+b = 3 3b+6 = 3 Donc on a M = 2A B et donc M est une combinaison linéaire de (A,B). On remarque que le choix de a et b est ici unique mais ça n est pas forcément le cas. Exemple 5 : Rédaction Le vecteur (3, 1, 3) est-il une combinaison linéaire des vecteurs ((1, 1,2),(5, 3,1),( 2,2, 4))? On cherche trois réels a,b,c tels que (3, 1, 3) = a(1, 1,2)+b(5, 3,1)+c( 2,2, 4). On a : (3, 1, 3) = a(1, 1,2)+b(5, 3,1)+c( 2,2, 4) (3, 1, 3) = (a+5b 2c, a 3b+2c,2a+b 4c) a+5b 2c = 3 { b = 1 a 3b+2c = 1 a = 2c 2 2a+b 4c = 3 Algèbre : Chapitre 1 Page 2 Espaces vectoriels

On a donc, par exemple, (3, 1, 3) = 4(1, 1,2)+(5, 3,1)+3( 2,2, 4) et donc (3, 1,3) est une combinaison linéaire des vecteurs ((1, 1,2),(5, 3,1),( 2,2, 4)). On remarque ici que le choix des réels a, b, c n est pas unique. Définition 4 L ensemble de toutes les combinaisons linéaires d une famille ( v 1,..., v n ) est noté vect( v 1,..., v n ). Cette notation sera très importante pour tout ce que nous allons faire en algèbre. Exemple 6: Soit l ensemble E = {(x,y, 2x+y)/(x,y) R 2 }. On a : E = {(x,y, 2x+y)/(x,y) R 2 } = {(x,0, 2x)+(0,y,y)/(x,y) R 2 } = {x(1,0, 2)+y(0,1,1)/(x,y) R 2 } = vect((1,0, 2),(0,1,1)) II Sous-espaces vectoriels 1 Définition, propriétés Définition 5 Soit E un R-espace vectoriel et F un ensemble. On dit que F est un sous-espace vectoriel de E ssi : F est un sous-ensemble de E. F est non vide pour tout couple ( u, v ) de vecteurs de F, u + v est un vecteur de F pour tout vecteur u de F et tout réel λ, λ u est un vecteur de F. Exemple 7: Soit l ensemble E = {X M 3,1 (R)/AX = 3X} où A est une matrice de M 3 (R) fixée. Montrons que E est un sous-espace vectoriel de l espace vectoriel M 3,1 (R). On remarque que E est bien un sous-ensemble de M 3,1 (R). On remarque ensuite que E n est pas vide : en effet la matrice colonne qui ne contient que des zéros, vérifie bien A0 = 30 donc elle appartient à E. Soient Y et Z deux matrices appartenant à E. On veut montrer que Y +Z appartient à E. Onremarquetoutd abordquecommey etz sontdeuxmatricesdee,ellesappartiennent àm 3,1 (R) donc Y +Z appartient aussi à M 3,1 (R). De plus A(Y +Z) = AY +AZ = 3Y +3Z = 3(Y +Z). Donc on a bien Y +Z E. Soit Y appartenant à E et a un réel quelconque. On veut montrer que ay appartient à E. Comme Y appartient à M 3,1 (R), ay appartient aussi à M 3,1 (R). De plus A(aY) = aay = a3y = 3(aY). Donc on a bien ay E. Ainsi, par définition, E est un sous-espace vectoriel de M 3,1 (R). Pour montrer qu un ensemble est un sous-espace vectoriel vous pourrez soit utiliser la définition soit la propriété suivante : Propriété 1 Soit E un R-espace vectoriel et F un ensemble. F est un sous-espace vectoriel de E ssi : F est un sous-ensemble de E. F est non vide. ( u, v ) F 2, (λ,µ) R 2, λ u +µ v F Algèbre : Chapitre 1 Page 3 Espaces vectoriels

Démonstration : Hors programme Il faut démontrer une équivalence donc la démonstration se passe en deux étapes. Si F est un sous-espace de E alors par définition F est un sous-ensemble non vide de E et pour tout ( u, v ) F 2 et (λ,µ) R 2 on a λ u F et µ v F et donc λ u +µ v F. Réciproquement, si F vérifie les trois points ci dessus, on a bien que F est un sousensemble non vide de E. De plus en prenant λ = µ = 1 on vérifie que u + v F, et enfin en prenant µ = 0 on vérifie que λ u F. Donc d après la définition F est bien un sous-espace vectoriel de E. Remarque : Pour montrer que F n est pas vide, le plus souvent on montre que 0 E appartient à F. Propriété 2 Soit (E,+, ) un R-espace vectoriel et F un sous-espace vectoriel de E. Alors (F,+, ) est lui-même un R-espace vectoriel. Méthode : Pour vos concours, lorsqu on vous posera la question Montrer que l ensemble F est un espace vectoriel., dans 99,999 % des cas vous n utiliserez pas la définition 1. Vous remarquerez plutôt que F est un sous ensemble d un espace vectoriel classique, vous montrerez que F est un sous-espace vectoriel de cet espace vectoriel classique et vous conclurez (grâce à la propriété 1) que F est donc lui même un espace vectoriel. Exemple 8: Soit R[X] le R-espace vectoriel des polynômes. Soit a un réel fixé et E a l ensemble des polynômes qui s annulent en a. Montrer que E a est un R-espace vectoriel. Écrivons tout d abord clairement l ensemble E a : E a = {P R[X]/P(a) = 0} On remarque tout d abord que E a est un sous-ensemble de l ensemble R[X]. Ainsi au lieu de montrer directement que E a est un espace vectoriel nous allons démontrer que c est un sous-espace vectoriel de R[X] puis nous pourrons conclure que c est bien un espace vectoriel. On a bien E a qui est non vide car le polynôme nul est bien dans cet ensemble. Considérons deux polynômes Q et R appartenant à l ensemble E a et deux réels c et d. Notre but est de montrer que le polynôme cq + dr est aussi dans cet ensemble E a. Pour cela, il faut donc démontrer que cq+dr s annule en a. On sait par hypothèse que Q(a) = 0 et R(a) = 0. Donc (cq+dr)(a) = cq(a)+dr(a) = 0+0 = 0. On a donc bien cq+dr E a. E a est donc un sous-espace vectoriel de R[X] (propriété 1) et c est donc bien un espace vectoriel (propriété 2). 2 Sous-espace vectoriel engendré Propriété 3 Soit ( v 1, v 2,..., v n ) une famille de vecteurs d un espace vectoriel E. Alors l ensemble vect( v 1,..., v n ) est un sous-espace vectoriel de E. On l appelle le sous-espace engendré par la famille ( v 1,..., v n ). Utilisation : Pour montrer qu un ensemble est un espace vectoriel, il est parfois judicieux de montrer que c est un sous-espace engendré par une famille de vecteurs. Pour cela il faut savoir reconnaitre quand est ce que l on peut écrire un ensemble donné sous la forme vect(...). Algèbre : Chapitre 1 Page 4 Espaces vectoriels

Exemple 9 : Méthode {( ) x 2x y Considérons l ensemble E = ;(x,y) R }. y x+2y 2 On voudrait écrire E comme l ensemble des combinaisons linéaires d une famille de matrices bien fixée. Il faut donc faire apparaitre les lettres comme des coefficients de la combinaison linéaire : {( ) ( ) } x 2x 0 y E = + ;(x,y) R 2 0 x y 2y { ( ) ( ) } (( ) ( )) 1 2 0 1 1 2 0 1 = x +y ;(x,y) R 2 = vect, 0 1 1 2 0 1 1 2 (( ) ( )) 1 2 0 1 E est le sous-espace engendré par, donc E est un espace vectoriel. 0 1 1 2 Il faut savoir repérer rapidement les ensembles qui peuvent s écrire sous la forme vect(...). Exemple 10: Montrer que l ensemble E = {(a+2b c+d,2a+3b d,b c+2d)/(a,b,c,d) R 4 } est un espace vectoriel. E = {(a+2b c+d,2a+3b d,b c+2d)/(a,b,c,d) R 4 } = {(a,2a,0)+(2b,3b,b)+( c,0, c)+(d, d,2d)/(a,b,c,d) R 4 } = {a(1,2,0)+b(2,3,1)+c( 1,0, 1)+d(1, 1,2)/(a,b,c,d) R 4 } = vect((1,2,0),(2,3,1),( 1,0, 1),(1, 1,2)) Donc E est le sous-espace engendré par ((1,2,0),(2,3,1),( 1,0, 1),(1, 1,2))et donc c est un espace vectoriel. III Dimension d un espace vectoriel 1 Familles génératrices Définition 6 Soit E un R-espace vectoriel. Une famille finie ( v 1,..., v p ) de vecteurs de E est dite génératrice de E si et seulement si on a E = vect( v 1,..., v p ). Propriété 4 La famille ( v 1,..., v p ) est une famille génératrice de E si et seulement si pour tout u E, il existe (λ 1,...,λ p ) R p tel que p u = λ ivi. Propriété 5 Si ( v 1,..., v p ) est une famille génératrice de E alors : pour tout u E, ( v 1,..., v p, u) est aussi une famille génératrice de E. si on change l ordre des vecteurs de la famille ( v 1,..., v p ) alors la famille reste une famille génératrice de E. si λ 1,..., λ p sont des réels non nuls alors la famille (λ 1 v1,...,λ p vp ) est aussi génératrice de E. Algèbre : Chapitre 1 Page 5 Espaces vectoriels

Exemple 11: La famille (1,X,...,X n ) est une (( famille ) ( génératrice )) de R n [X]. 1 2 0 1 Dans l exemple 9, la famille, est une famille génératrice de E. 0 1 1 2 Pour trouver une famille génératrice d un espace vectoriel E donné, il faut écrire ce dernier sous la forme vect(...). La famille que l on a à la place de... est une famille génératrice de E. Propriété 6 Soit E un espace vectoriel et ( v 1,, v n ) une famille génératrice de E. Si v n est une combinaison linéaire de ( v 1,, v n 1 ) alors la famille ( v 1,, v n 1 ) est aussi génératrice de E : E = vect( v 1,, v n ) = vect( v 1,, v n 1 ) Démonstration : Hors programme On souhaite ici montrer que la famille ( v 1,, v n 1 ) est génératrice de E. Prenons donc u un vecteur quelconque de E. On sait par hypothèse que la famille ( v1,, v n ) est génératrice de E donc cela signifie qu il existe (a 1,,a n ) des réels tels que n u = a ivi. On sait aussi que l on peut écrire n 1 v n = λ ivi où les λ i sont des réels. On a donc : n n 1 n 1 n 1 n 1 u = a ivi = a ivi +a nvn = a ivi +a n λ ivi = (a i +a n λ i ) v i Donc u s écrit comme une combinaison linéaire de la famille ( v 1,, v n 1 ), ce qui signifie que cette famille est bien génératrice de F. Cette propriété est à bien retenir, nous verrons son utilité dans la recherche de base. 2 Familles libres Définition 7 Soit E un R-espace vectoriel. Une famille finie ( v 1,..., v p ) de vecteurs de E est dite libre ssi pour tout p-uplet (λ 1,...,λ p ) R p on a : p λ ivi = 0 = λ 1 =... = λ p = 0 Une famille qui n est pas libre est dite liée. Remarques : Lorsqu une famille est libre on dit aussi que ses vecteurs sont linéairement indépendants. Par définition la famille ( v 1,..., v p ) est liée ssi il existe (λ 1,...,λ p ) (0,...,0) (on dit aussi que les λ i p sont non tous nuls) tels que λ ivi = 0. Dès que l un des vecteurs de la famille est le vecteur nul, la famille est liée. Algèbre : Chapitre 1 Page 6 Espaces vectoriels

Exemple 12 : Méthode La famille (1+X +X 2,3+X +5X 2,2+X +3X 2 ) est-elle une famille libre ou liée de R[X]? Explication : Déterminer si cette cette famille est libre ou liée signifie qu il faut chercher 3 réels (il y a trois vecteurs dans la famille) a, b, c qui vérifient a(1+x+x 2 )+b(3+x+5x 2 )+c(2+x+3x 2 ) = 0. Bien évidemment la solution a = b = c = 0 fonctionne toujours. S il n y a pas d autre choix pour a, b et c que a = b = c = 0 alors on dira que la famille est libre. Dans le cas contraire on dit qu elle est liée. Rédaction : On cherche tous les réels a, b et c tels que a(1+x +X 2 )+b(3+x +5X 2 )+c(2+x +3X 2 ) = 0. Or on a : a(1+x +X 2 )+b(3+x +5X 2 )+c(2+x +3X 2 ) = 0 (a+5b+3c)x 2 +(a+b+c)x +(a+3b+2c) = 0 a+5b+3c = 0 a+b+c = 0 a+3b+2c = 0 a+5b+3c = 0 4b+2c = 0 L 2 L 1 L 2 2b+c = 0 L 3 L 1 L 3 { a = b c = 2b On voit qu on a ici une infinité de solutions pour a, b et c. Par exemple a = 1, b = 1 et c = 2 fonctionne. Donc la famille (1+X +X 2,3+X +5X 2,2+X +3X 2 ) est liée. Astuce : Parfois, un choix possible de a, b et c est évident. On peut alors éviter les calculs et répondre en disant je vois que... donc la famille est liée. Ici on aurait pu voir tout de suite que (1+X +X 2 )+(3+X +5X 2 ) = 2 (2+X +3X 2 ) et donc on peut tout de suite dire que la famille est liée. Exemple 13: La famille ((1,3, 3),(4,2, 3),( 1,7,6)) est-elle une famille libre ou liée de R 3? On cherche tous les réels a, b,c tels que a(1,3, 3)+b(4,2, 3)+c( 1,7,6) = (0,0,0). Or on a : a(1,3, 3)+b(4,2, 3)+c( 1,7,6) = (0,0,0) (a+4b c,3a+2b+7c, 3a 3b+6c) = (0,0,0) a+4b c = 0 a+4b c = 0 3a+2b+7c = 0 10b 10c = 0 L 2 3L 1 L 2 3a 3b+6c = 0 9b+3c = 0 L 3 3L 1 +L 3 a+4b c = 0 b = c a = b = c = 0 12c = 0 La famille ((1,3, 3),(4,2, 3),( 1,7,6)) est donc libre. Algèbre : Chapitre 1 Page 7 Espaces vectoriels

Voici maintenant quelques propriétés des familles libres ou liées. Propriété 7 Soit E un espace vectoriel Si on change l ordre des vecteurs d une famille libre (resp. liée), on obtient encore une famille libre (resp. liée). La famille ( u) est liée ssi u = 0 E. (Donc une famille formée d un seul vecteur non nul est libre) La famille ( u 1, u 2 ) est liée ssi il existe λ R tel que u 1 = λ u 2 ou u 2 = λ u 1. On dit alors que les vecteurs u 1 et u 2 sont colinéaires ou proportionnels. La famille ( u 1,..., u n ) est liée ssi l un des u i est égal à une combinaison linéaire des autres. Toute sous-famille d une famille libre est encore libre. Supposons que la famille ( u 1,..., u n ) est libre. Alors si deux combinaisons linéaires des ( u 1,..., u n ) n n sont égales, leurs coefficients sont égaux deux à deux : a iui = b iui i, a i = b i Remarque : Si une famille de vecteurs contient deux vecteurs égaux alors la famille est liée. Démonstration : Hors programme On peut changer l ordre dans une somme. Si ( u) est liée alors il existe λ 0 tel que λ u = 0 et donc d après la propriété 1 u = 0E. Réciproquement si u = 0 E alors pour tout λ R, λ u = 0 donc ( u) est liée. Si ( u 1, u 2 ) est liée alors il existe (λ 1,λ 2 ) (0,0) tel que λ 1 u1 +λ 2 u2 = 0. Si λ 1 0 alors on a u 1 = λ 2 u2, et si λ 1 = 0 alors λ 2 0 et nécessairement u 2 = 0 E λ 1 donc u 2 = 0 u 1. Réciproquement si u 1 = λ u 2 alors u 1 λ u 2 = 0 et donc, comme (1,λ) (0,0), la famille ( u 1, u 2 ) est liée.(on procède de même si u 2 = λ u 1 ) Comme la famille ( u 1,..., n u n ) est liée, il existe (λ 1,...,λ n ) (0,...,0) tel que λ iui = 0. Au moins l un des λ i est non nul et on peut supposer que λ 1 0 sinon il suffit de changer l ordre des u i puis de les numéroter à nouveau. On peut donc écrire u1 = n λ iui i=2 λ 1 = n i=2 λ i λ 1 ui et donc u 1 est combinaison linéaire des autres vecteurs de la famille. Réciproquement, de même que précédemment on peut supposer que c est u 1 qui est combinaison linéaire des autres. On a donc l existence de (µ 2,...,µ n ) R n 1 tel que n u1 = µ iui et donc n u 1 µ iui = 0. Comme (1, µ 2,..., µ n ) (0,...,0) la famille i=2 ( u 1,..., u n ) est liée. i=2 Algèbre : Chapitre 1 Page 8 Espaces vectoriels

Soit (e 1,...,e p ) une famille libre. Comme on peut changer l ordre, il suffit ici de montrer que pour tout k = 1,...,p les k premiers vecteurs de la famille forment une famille libre. k Soit (λ 1,...,λ k ) R k tel que λ i e i = 0. On pose λ k+1 =... = λ p = 0, on a donc p λ i e i = 0. Comme la famille (e 1,...,e p ) est libre, on en déduit que λ 1 =... = λ p = 0 et donc la famille (e 1,...,e k ) est libre. Onsupposeiciquelafamille( u 1,..., u n )estlibre.s il existe(a 1,...,a p ) R p et(b 1,...,b p ) n n p R p tels que a iui = b iui alors on a (a i b i ) u i = 0 et d après la liberté on a donc pour tout i, a i = b i. 3 Dimension, base a Base Définition 8 Soit E un espace vectoriel et ( e 1,..., e n ) une famille de vecteur de E. On dit que la famille ( e 1,..., e n ) est une base de E ssi elle est libre et génératrice de E. Méthode : En général, pour trouver une base d un espace vectoriel E donné, on commence par trouver une famille génératrice. Je rappelle que pour cela le plus souvent on écrit E sous la forme vect( e 1,, e n ). Il faut alors vérifier que la famille ( e 1,, e n ) est aussi libre. Si elle est libre, c est gagné. Si elle n est pas libre, il faut alors se servir de la propriété 6 pour réduire la famille génératrice à un famille aussi libre. Exemple 14: Soit e 1 = (1,2, 3), e 2 = ( 2,0,5) et e 3 = ( 4,4,9). On pose F =Vect(e 1,e 2,e 3 ). Trouvons une base de F. D après la définition de F la famille (e 1,e 2,e 3 ) est génératrice de F. Regardons si cette famille est libre. On cherche tous les réels a, b, c tels que ae 1 +be 2 +c 3 = (0,0,0). On a : ae 1 +be 2 +c 3 = (0,0,0) (a 2b 4c,2a+4c, 3a+5b+9c) = (0,0,0) a 2b 4c = 0 2a+4c = 0 3a+5b+9c = 0 2b 6c = 0 a = 2c 5b+15c = 0 { a = 2c b = 3c Donc la famille n est pas libre, en particulier on a e 3 = 2e 1 +3e 2. D après la propriété 6 comme la famille (e 1,e 2,e 3 ) est génératrice de F et que e 3 peut s exprimer à l aide de e 1 et e 2, on peut dire que la famille (e 1,e 2 ) est aussi génératrice de F. Regardons maintenant si la famille (e 1,e 2 ) est libre. Algèbre : Chapitre 1 Page 9 Espaces vectoriels

On cherche tous les réels a et b tels que ae 1 +be 2 = (0,0,0). Or on a : ae 1 +be 2 = (0,0,0) (a 2b,2a, 3a+5b) = (0,0,0) a 2b = 0 2a = 0 3a+5b = 0 { a = 0 b = 0 Donc la famille (e 1,e 2 ) est libre et génératrice de F, donc c est une base de F. Propriété 8 La famille ( e 1,..., e n ) est une base de E si et seulement si pour tout u E il existe un unique n-uplet (λ 1,...,λ n ) R n tel que n u = λ iei. Les λ i sont appelés les coordonnées de u dans la base ( e 1,..., e n ). λ 1 On note alors u(λ 1,...,λ n ) ou bien. u... λ n Remarques : Attention si on change l ordre des vecteurs dans une base on conserve bien une base mais qui n est pas identique à la première. Pour trouver les coordonnées d un vecteur donné dans une base donnée il suffit d écrire ce vecteur comme combinaison linéaire des vecteurs de la base (cf. I 2) ) et de lire les coordonnées qui sont les coefficients de la combinaison linéaire. b Bases canoniques Pour certains espaces vectoriels que nous allons souvent rencontrer on peut trouver une base assez simple et que l on utilisera souvent. Ce type de base est appelé base canonique. Base canonique de R n : On définit, pour tout entier i allant de 1 à n, le vecteur e i de R n par : e i = (0,...,0, 1, 0,...,0) }{{} ième place La famille (e 1,...,e n ) est une base de R n que l on appelle base canonique de R n. Montrons que la famille (e 1,e 2,e 3 ) est une base de R 3. On cherche tous les réels a, b et c tels que ae 1 +be 2 +ce 3 = (0,0,0). On a : Donc la famille (e 1,e 2,e 3 ) est libre. ae 1 +be 2 +ce 3 = (0,0,0) a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1) = (0,0,0) (a,b,c) = (0,0,0) a = b = c = 0 Algèbre : Chapitre 1 Page 10 Espaces vectoriels

On veut maintenant écrire R 3 sous la forme vect(...). On a : R 3 = {(x,y,z)/x R,y R,z R} = {(x,0,0)+(0,y,0)+(0,0,z)/x R,y R,z R} = {x(1,0,0)+y(0,1,0)+z(0,0,1)/x R,y R,z R} = vect((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))= vect(e 1,e 2,e 3 ) Donc la famille (e 1,e 2,e 3 ) est génératrice de R 3. Ainsi la famille (e 1,e 2,e 3 ) est une base de R 3 Base canonique de M n,p (R) : Pour tous entiers i et j compris respectivement entre 1 et n et entre 1 et p, on définit la matrice E i,j dont tous les coefficients sont nuls sauf celui de la ième ligne et de la jème colonne qui lui vaut 1. 0 0 0 0 0...... 0 0 0.. 0 1 0. E i,j =. 0 0 0........... 0 0 0 0 0 La famille (E i,j ) est une base de M n,p (R) que l on appelle base canonique de M n,p (R). Base canonique de R n [X] : On pose pour tout i entier compris entre 0 et n, P i (X) = X i. La famille (P 0,...,P n ) est une base de R n [X] que l on appelle base canonique de R n [X]. Ces trois bases canoniques sont à connaitre par cœur et il n est pas nécessaire de redémontrer à chaque fois que ces familles sont des bases. c Dimension Définition 9 Soit E un espace vectoriel. On dit que E est de dimension finie s il existe une famille génératrice finie. Théorème 1 Tout espace vectoriel non réduit à {0} de dimension finie admet une base. Théorème 2 Soit E un espace de dimension finie non réduit à {0}. Alors toutes les bases de E ont le même nombre d éléments. Ce nombre est appelé dimension de l espace vectoriel E et est noté dim E. Par convention on dira que l espace {0} est de dimension 0. Ce théorème est admis en ECE. Remarques : On exclut l espace {0} car dans cet espace il n y a même pas de famille libre donc pas de base. Lorsqu un espace vectoriel ne possède pas de famille génératrice finie on dit qu il est de dimension infinie. Par exemple les espaces R N et R[X] sont de dimension infinie. Algèbre : Chapitre 1 Page 11 Espaces vectoriels

Exemple 15: Reprenons l exemple 14. Nous avons trouvé une base de F qui était la famille (e 1,e 2 ). Comme cette famille contient deux vecteurs peut dire que F est un espace vectoriel de dimansion 2. Grâce aux bases canoniques trouvées plus haut on obtient les dimensions suivantes qui sont à connaitre par cœur : Théorème 3 dim(r n ) = n dim(m n,p (R)) = np dim(r n [X]) = n+1 Attention à part ces trois espaces vectoriels particuliers, lorsqu on vous demande la dimension d un espace vectoriel vous devez commencer par donner une base de cet espace vectoriel. Ensuite en comptant le nombre de vecteurs présents dans la base vous pouvez donner la dimension. Propriété 9 Soit E un espace de dimension finie n. Toute famille libre (resp. génératrice) de n vecteurs est une base de E Toute famille libre possède au plus n vecteurs. Toute famille génératrice possède au moins n vecteurs. Conséquences : Pour trouver la dimension d un espace vectoriel il faut chercher une famille et montrer qu elle est libre et génératrice mais lorsqu on connait la dimension n d un espace et que l on se donne une famille de n vecteurs, il suffit de montrer que cette famille est soit libre soit génératrice pour montrer que c est une base. Dans un espace de dimension n, toute famille de strictement plus de n vecteurs est donc forcément liée et toute famille de strictement moins de n vecteurs n est jamais génératrice. Exemple 16: On considère les quatre polynômes suivants : P 0 = (X 1)(X 2)(X 3) P 1 = X(X 2)(X 3) P 2 = X(X 1)(X 3) P 3 = X(X 1)(X 2) On souhaite montrer que (P 0,P 1,P 2,P 3 ) est une base de R 3 [X] On remarque ici que l on a une famille de 4 polynômes et que dim(r 3 [X]) = 4. La proposition 5 nous dit qu il suffit de montrer que la famille (P 0,P 1,P 2,P 3 ) est libre ou génératrice pour conclure que c est une base. Le plus simple est souvent de montrer que la famille est libre. Rédaction : Montrons que la famille (P 0,P 1,P 2,P 3 ) est libre. On cherche tous les réels a,b,c,d tels que ap 0 (X)+bP 1 (X)+cP 2 (X)+dP 3 (X) = 0. On a : ap 0 (X)+bP 1 (X)+cP 2 (X)+dP 3 (X) = 0 a(x 1)(X 2)(X 3)+bX(X 2)(X 3)+cX(X 1)(X 3)+dX(X 1)(X 2) = 0 Deux méthodes ici : soit on développe, ordonne puis on dit que les coefficients du polynôme doivent être nuls (cf. exemple 12), soit on donne des valeurs particulières à X pour trouver des infos sur a,b,c,d. Pour X = 0, on a : 6a = 0 Pour X = 1, on a : 2b = 0 Pour X = 2, on a : 2c = 0 Algèbre : Chapitre 1 Page 12 Espaces vectoriels

Pour X = 3, on a : 6d = 0 Donc on a a = b = c = d = 0 et donc la famille (P 0,P 1,P 2,P 3 ) est libre. La famille (P 0,P 1,P 2,P 3 ) est une famille libre de 4 vecteurs de l espace vectoriel R 3 [X] qui est de dimension 4 donc cette famille est une base de R 3 [X]. Théorème 4 : Théorème de la base incomplète Soit E un espace de dimension finie n et (e 1,...,e k ) une famille libre de E. Alors il existe des vecteurs e k+1,...,e n tels que (e 1,...,e n ) est une base de E. Ce théorème est admis en ECE. Le plus souvent l énoncé de l exercice vous donnera les vecteurs qui complètent la base et on vous demandera juste de vérifier que la famille donnée forme bien une base. d Dimension des sous-espaces Théorème 5 Soit E un espace vectoriel de dimension finie et F un sous-espace de E. Alors F est un espace vectoriel de dimension finie et dimf dime. De plus dimf = dime F = E. Propriété 10 Soit E un espace vectoriel de dimension finie et F et G deux sous-espace de E. Si F G alors dimf dimg et on a égalité ssi F = G. Définition 10 Soit E un espace vectoriel de dimension finie. Un sous-espace de E de dimension 1 s appelle une droite vectorielle de E. Un sous-espace de E de dimension 2 s appelle un plan vectoriel de E. Algèbre : Chapitre 1 Page 13 Espaces vectoriels