Leçon N 9 : La fonction exponentielle. Définition La fonction exponentielle à base e notée f(x) = e x est calculable pour tout réel x. Elle est définie par f(0) = 1 et par f (x) = f(x) pour tout x réel (c est-à-dire, elle a la particularité que sa dérivée est égale à la fonction elle même!). Donc nous avons e 0 = 1 et pour tout réel x, (e x ) = e x. L exponentielle à base e est une fonction strictement positive : x R, e x > 0. Tableau de variations x + f (x) + f(x) 0 + lim e x = 0 x lim e x = + x + Pour tout a et b réels, e a = e b a = b. Pour tout a et b réels, e a e b a b. Traçons la courbe (Voir calculette) y 5 4 3 y = e x 1-3 - 0 1 3 x Contrairement au logarithme népérien ln, l exponentielle à base e est une fonction qui croît très vite : e 0 = 1 ; e 7,39 et e 10 06,4. (Attention, sur la calculette, nous tapons nd ln pour avoir e puis e() pour calculer e. e^ provoque une erreur) Au fait que peut-on dire de e : e 1 = e,718 (déjà vu avec ln).
En économie ou en physique, elle servira à traduire des phénomènes à croissante très rapide comme la chute des revenus d une entreprise ou bien le développement d un virus. Les propriétés de calculs ressemblent exactement aux propriétés des puissances : Pour tout a et b réels, e a+b = e a e b. (a R * et n Z, p Z, a n+p = a n x a p ) (Exemple : e +3 = e e 3 ) Pour tout réel b, e b = 1. (a R * et n Z, a n = b e (Exemple e 1 = e 1, à vérifier à la calculette e 1 0,37 et Pour tout a et b réels, e a b = 1 e e a b 1 0,37) 1 e 1 ) n a. (a R * et n Z, p Z, a n p = (Exemple: e 1 x e e = =, x R) x x e e Pour tout a et b réels, (e a ) b = e ab. (a R * et n Z, p Z, (a n ) p = a np ) Exemple : e x = (e x ), x R) IMPORTANT La fonction exponentielle à base e est la fonction réciproque du logarithme népérien. Expliquons simplement ceci : En seconde, nous avons vu que si x 0, y = x était équivalant à x = y ; autrement dit que la fonction «racine carrée» était la fonction réciproque de «l élévation au carré». Ici, nous aurons : y = e x x = ln y (évidemment nous prenons y strictement positif). (Exemple : nous avons vu que ln 1 = 0 donc e 0 = 1 ; ln e = 1 donc e 1 = e ; ln 0,69 et donc e 0,69 etc.) Cette propriété a des conséquences importante : Pour tout x R, e ln x = x. (de même, nous avions : x = x si x 0) Pour tout x R, ln e x = x. (de même, nous avions : ( ) x = x si x 0) Compléments Soit u(x) une fonction définie et dérivable sur R : (e u(x) ) = u (x) e u(x). Soit f(x) = a x (a > 0 et a 1) avec x R. (C est la fonction exponentielle à base a) a x > 0 pour tout réel x, faisons agir ln ; ln f(x) = ln a x = x ln a et donc f(x) = e xln a, x R. Conclusion : Pour tout a > 0 et a 1, pour tout x réel, a x = e xlna. Toutes ces fonctions sont des fonctions positives. Passons aux exos, d abord du calcul pour se familiariser puis les problèmes de BAC. a a n ) p
TERMINALE STG FICHE sur la fonction exponentielle Exercice 1 Calculer e e 3 e 1 ; e 3. Que peut-on dire de la fonction f(x) = e x ; g(x) = e x? Résoudre : Je cherche x R tel que e x = 5 ; Je cherche x R tel que e x+ = e 3 x. Je cherche x R tel que 3 e x = e x +1. Donner la fonction dérivée de f(x) = e x, x R. Donner la fonction dérivée de f(x) = 5e 0,8 x, x R. Donner la fonction dérivée de f(x) = x e x, x R Exercice 1. On place un capital de 000 à intérêts composés au taux mensuel de 0,7 %. (a) Quelle est la valeur acquise au bout d un mois? De deux mois? (b) Quelle est la valeur acquise au bout de n mois? (c) Quel est le taux d évolution du capital au bout d une année?. (a) Donner une valeur décimale arrondie à 10 5 près du nombre réel t 1 que (1+t1) 1 = 1,1. Pour un placement annuel au taux de 1 %, t 1 est le taux mensuel équivalent. (b) Donner une valeur décimale arrondie à 10 5 près du nombre réel t tel que (1+t ) 1 = 1,03. Pour un placement annuel au taux de 3 %, t est le taux mensuel équivalent. (c) Une publicité d un organisme bancaire annonce : «Pour un placement d un capital de 1 000 sur un an, le taux annuel est 1 % sur les deux premiers mois puis 3 % sur dix mois». Déterminer le taux d évolution du capital sur un an. Exercice 3 Une étude de marché s intéresse à l évolution de l offre et de la demande d un composant électronique, en fonction du prix unitaire x exprimé en milliers d euros. On modélise les nombres de milliers de composants électroniques offerts et demandés, respectivement, par les fonctions f et g définies sur l intervalle [0, 5] par : f(x) = e 0,5x 8 1 et g(x) = 0,5x e + 1 La courbe représentative de la fonction g est tracée sur le graphique fourni en annexe. Partie A. Étude de la fonction «offre». 1. Calculer f (0).. Étudier le sens de variation de f sur l intervalle [0, 5]. 3. Tracer la courbe représentative de f sur le graphique fourni en annexe. Partie B. Détermination du prix d équilibre On appelle prix d équilibre d un produit, le prix pour lequel l offre est égale à la demande.
1. Par lecture graphique, donner une valeur approchée à 0,1 millier d euros près du prix d équilibre de ce produit.. Déterminer par un calcul la valeur exacte du prix d équilibre, puis en donner l arrondi à 1 euro. Calculer la valeur exacte de l offre au prix d équilibre. 3. On rappelle que le chiffre d affaires réalisé pour q objets vendus au prix unitaire p est égal au produit p q. On se place au prix d équilibre. Quel est alors le chiffre d affaires réalisé par les fabricants? On arrondira le résultat à 1 euro. Annexe (Cg) Exercice 4 (BAC STG Polynésie 008)
Correction Exercice 1 Calculer e e 3 e 1 = e 3 + 1 = e 0 = 1. (Pour tout a et b réels, e a+b = e a e b ) e 3 = 1 0,05. 3 e Que peut-on dire de la fonction f(x) = e x ; g(x) = e x? f est une fonction exponentielle définie sur R, c est une fonction positive pour tout x R. f (x) = ( 1) e x = e x < 0 pour tout x réel. f est donc une fonction monotonement décroissante sur R. Voyons la courbe : y 5 4 3 1-3 - 0 1 3 4 5 6 7 8 x g(x) = e x (C est en fait le carré de la fonction exponentielle à base e, e x = (e x ), x R) C est aussi une fonction positive. g (x) = e X > 0 pour tout réel x. C est donc une fonction monotonement croissante. La courbe est : y 5 4 3 1-3 - 0 1 3 x
Je cherche x R tel que e x = 5 Nous pouvons faire agir ln car e x > 0 et 5 > 0. ln e x = ln 5 et donc x = ln 5. (ln e x = x, pour tout x réel) Je cherche x R tel que e x+ = e 3 x Pour tout a et b réels, e a = e b équivaut à a = b. Donc nous aurons x + = 3 x soit x = 1 et donc x = 0,5. (Vérification : e 0,5 + est-il égal à e 3 0,5? oui e,5 = e,5 ) Je cherche x R tel que 3 e x = e x +1 (un peu plus difficile) Nous utilisons ln car les deux membres sont des fonctions positives. ln (3 e x ) = ln ( e x + 1 ) (ln ab = ln a + ln b avec a et b positifs) ln 3 + ln e x = ln + ln e x + 1 ln 3 + x = (ln ) + x+ 1 (ln e u = u) 1 + ln 3 ln = x 3 Remarque : 1 = ln e et donc x peut s écrire : x = ln 3 ln e ln = ln. e 3 Vérification : calculons la valeur des deux membres de l équation pour x = e ln 3 e 3 e x = 3 e 3 9 = 3 = e e 3 9 ln + 1 ln e x +1 = e e = e 4e pas évident! + 9 1 ln = e 4e 9 e = e 9 = e 4e f(x) = e x, x R. f est dérivable, nous utilisons (e u ) = u e u (u(x) étant définie et dérivable) f (x) = ( 1) e x = e x, pour tout réel x. f est alors toujours décroissante pour tout réel x. (Voir la courbe sur calculette) f(x) = 5e 0,8 x, x R. f est définie et dérivable pour tout réel x, f (x) = 5 (0,8) e 0,8x = 4 e 0,8x. (Voir la courbe sur calculette) f(x) = x e x, x R. Nous avons le produit de deux fonctions ((uv) = u v + uv ) définies et dérivables. f (x) = 1 e x + x e x = e x (1 + x), x R. La courbe est :
y 1-4 -3-0 1 3 x Exercice On place un capital de 000 à intérêts composés au taux mensuel de 0,7 %. 1) On retrouve ici une suite de valeurs d un capital. Soit C 0 = 000. Au bout d un mois, nous aurons un capital de C 1 : 0,7 C 1 = 000(1 + ) = 000(1,007) = 014. 100 Au bout de deux mois, nous aurons un capital de C : 0,7 C = 014(1 + ) = 000 ( 1,007)(1,007) = 000 (1,007) 08,10. 100 Il s agit d une suite géométrique de premier terme C 0 = 000 et de raison 1,007. Conclusion : C n = C 0 (q) n soit C n = 000 (1,007) n, n entier nombre de mois. Mais en utilisant les fonctions exponentielles, nous pourrions dire que nous avons une fonction C telle que C(x) = 000 (1,007) x x étant le nombre de jours exprimés en mois. Par exemple, si on considère 3 mois et 10 jours (1 mois commercial étant considéré de 30 10 1 10 jours, alors 3 mois et 10 jours donnent 3 + = 3 + =. nous pourrions calculer le 30 3 3 10 10 capital alors acquis, C = 000 (1,007) 3 047,05. 3 Il s agit d une fonction exponentielle à base 1,007 ( y = a x avec a > 0 et a 1). Pour calculer le taux d évolution au bout d une année, on utilise C 1 = 000 (1,007) 1, soit C 1 000 (1,08731) 174,6. Le taux d évolution sera à 10 5 prés, 1,08731 1 = 0,08731 (soit 8,73%). ) On cherche t 1 tel que (1+t1) 1 = 1,1. Nous pouvons utiliser ln ou 1 Nous avons deux quantités positives donc : ln ((1+t1) 1 = ln 1,1 1 ln (1 + t 1 ) = ln 1,1 ln1,1 ln (1 + t 1 ) = 1 ln (1 + t 1 ) 0,009444 et donc 1 + t 1 e 0,009444 ; 1 + t 1 1,00949 t 1 0,00949 à 10 5 prés.
Ou bien (1+t1) 1 = 1,1 1 + t 1 = 1 1, 1 1 + t 1 1,00949 et donc t 1 0,00949. ( ième solution plus rapide) Pour un placement annuel au taux de 1 %, t 1 est le taux mensuel équivalent. On cherche de même t tel que (1+t ) 1 = 1,03. 1 + t = 1 1, 03 1 + t 1,0047 et donc t 0,0047 à 10 5 prés. Pour un placement annuel au taux de 3 %, t est le taux mensuel équivalent. Pour les deux premiers mois, on aura un capital de 1000 (1 + 00949) puis ce capital deviendra :[1000(1,00949) ]( 1,0047) 10 1044,5. Déterminons le tau d évolution global : 1044,5 1000 0,0445 soit environ 4,5%. 1000 Nous sommes loin des 1% annoncés pendant deux mois. Exercice 3 La fonction f donne l offre en fonction du prix unitaire x et g donne la demande en fonction de ce prix unitaire x, x est entre 0 et 5000 (x [0;5], x en milliers d euros). f(x) = e 0,5x 8 1 et g(x) = 0,5x e + 1 f et g donnent les quantités de composants en milliers de composants. f et g contiennent des fonctions exponentielles. Partie A. Étude de la fonction «offre». 1. f (0) = e 0,5(0) 1 = e 0 1 = 1 1 = 0. f(0) = 0.. Étude du sens de variation de f sur l intervalle [0, 5] Nous calculons la fonction dérivée de f : f (x) = 0,5 e 0,5x. ((e u ) = u e u ) Cette fonction f est toujours positive pour x [0 ; 5] en effet e u(x) > 0 pour toutes les valeurs de u(x) donc f sera une fonction monotone, toujours croissante. Tableau de variations x 0 5 f(0) = 0 f (x) + f(5) = e,5 1 11,18 f(x) e,5 1 soit environ 1118 composants. 0 3. Traçons les deux courbes (Cf) et (Cg) sur le même graphique :
Partie B 1. Par lecture graphique, une valeur approchée du prix x d équilibre à 0,1 milliers d euros prés est : x, (abscisse du point I).. Déterminons par un calcul la valeur exacte du prix d équilibre. Au point I, nous avons f(x) = g(x) donc cherchons x [0 ;5] tel que : e 0,5x 8 b 1 = ( a = ac = b avec c 0) 0,5x e + 1 c (e 0,5x 1)( e 0,5x + 1) = 8 ((a b)(a + b) = a b ) (e 0,5x ) 1 = 8 e x = 9 soit x = ln 9. (Propriété: si e a = b (b>0) alors a = ln b) A 1 euro prés, cela donne x,197 milliers d euros soit x 197 euros. Calculons la valeur exacte de l offre au prix d équilibre. 0,5 f(ln 9) = e 0,5(ln 9) ln (9) 1 = e 1= e ln 3 1 = 3 1 = soit 000 composants. (Voir graphique) 3. On rappelle que le chiffre d affaires réalisé pour q objets vendus au prix unitaire p est égal au produit p q. Pour la vente de 000 composants au prix unitaire de 1000(ln 9), le chiffre d affaire sera : 1000(ln 9) (000) 4394449. Exercice 4 C(x) = x + e 0,5x x en centaines de sacs et C en centaines d euros. La recette est R(x) = 10x R en centaines d euros. Les deux courbes représentant C et R sont :
1) La courbe qui représente R est la droite en effet, R(x) = 10x est une fonction linéaire ) x,9 4 8 C(x) 10 15,4 70,6 R(x) 9 40 80 Ces lectures graphiques peuvent être vérifiées par le calcul. x =,9 ; C(,9) = (,9) + e 0,5(,9) 10,06 ; R(,9) = 10 (,9) = 9. x = 4 ; C(4) = (4) + e 0,5( 4) 15,4 ; R(4) = 10(4) = 40. x = 8 ; C(8) = (8) + e 0,5 (8) 70,6 ; R(8) = 10(8) = 80. 3) Pour être bénéficiaire, il faut que la vente rapporte plus que le coût c est-à-dire, graphiquement, il faut que la droite soit au dessus de la courbe du coût. Nous lisons approximativement x [1 ; 8] c est-à-dire entre 100 sacs et 800 sacs mais ceci n est pas précis, si nous voulons répondre plus précisément, il faut étudier la fonction B donnant le bénéfice : B(x) = R(x) C(x) = 10x (x + e 0,5x ) B(x) = 8x e 0,5x B (x) = 8 0,5 e 0,5x x réel Cherchons x R tel que B (x) = 0 8 0,5 e 0,5x = 0 soit 0,5 e 0,5x = 8 ou e 0,5x = 8 et donc e 0,5x = 16 ce qui donne : 0,5
ln16 0,5x = ln 16 ; x = ; x = ln 16 soit en conclusion x = ln 16 = ln 56 5,55. 0,5 Prenons x [0 ; 15] x 0 ln 56 15 B(0) = 8(0) e 0,5(0) = 0 1 = 1 B(15) = 8(15) e 0,5(15) B (x) + 0 = 10 e 7,5 1688! (C est une grosse perte) B(x) M 1 10 e 7,5 Remarque : Résoudre B (x) 0 8 0,5e 0,5x 0 ou 0,5e 0,5x 8 ou encore e 0,5x 16 ln16 Et donc 0,5x ln 16 ; soit x ou 0 x ln 56. 0,5 Evidemment après ln 56, B (x) sera négatif. L intérêt de cette étude est de donner le bénéfice maximum qui interviendra pour la fabrication d environ 555 sacs ( ln 56) et qui rapportera : B(ln 56) = 8 ln 56 e 0,5( ln 56) 8,36 donc environ 836 à 1 euro prés. Mais nous voulions chercher x tels que B(x) 0 Soit 8x e 0,5x 0 Nous ne savons pas faire ceci par le calcul, il faut donc agir par tâtonnement : Utilisons «la table» de la calculette après avoir entré la fonction B : x B(x) 0 1 0,1 0,5 0, 0,49 0,3 8 9,40 8,5,11 Pour avoir un bénéfice, il faudra fabriquer entre 14 et 84 sacs. Voilà qui est nettement plus Précis. Nous pouvons essayer : x = 0,15 ; B(0,15) 0,1 x = 0,14 ; B(0,14) 0,05 x = 0,13 ; B((0,13) 0,03 x = 8, ; B(8,) 5,6 x = 8,3 ; B(8,3),97 x = 8,4 ; B(8,4) 0,51 x = 8,41 ; B(8,41) 0,6 x = 8,4 ; B(8,4) 0,003 x = 8,43 ; B(8,43) 0,5 Partie Il s agit d étudier la fonction B (Voir ci-dessus)