Exercices d oraux de la baque CCP 204-20 - Corrigés BANQUE PROBABILITÉS EXERCICE 96 (a La variable aléatoire X est régie par ue loi biomiale E effet, expérieces idetiques et idépedates (car les tirages se fot avec remise sot effectuées chaque expériece a deux issues : «la boule tirée est blache» avec ue probabilité p = 2 0 = est pas blache» avec ue probabilité p = 4 La variable aléatoire X est régie par ue loi biomiale de paramètres = et p = O sait alors que ( X(Ω = 0, et 0,, p(x = = Plus explicitemet, ( 4 p(x = 0 = = 024 32 = 0,32768 p(x = = ( 4 4 = 26 62 = 0,4096 ( 2 ( 3 4 p(x = 2 = 0 = 28 62 = 0,2048 ( 3 ( 2 4 p(x = 3 = 0 = 32 62 = 0,02 ( 4 p(x = 4 = 4 = 4 62 = 0,0064 ( p(x = = = 32 = 0,00032 ( ( 4 L espérace de X est E(X = p = = et la variace de X est V(X = p( p = 4 = 4 = 0,8 (b Y = 2X 3( X = X Par suite, Y(Ω = {, 0, } = {, 0,,0,,0} Esuite, 0,, p(y = = p(x = = ( ( ( 4 Esuite, E(Y = E(X = = 0 et V(Y = V(X = 2 V(X = 2 4 = 20 et «la boule tirée 2 (a X(Ω = {0,,2} La loi de probabilité e chage pas( si o suppose les tirages simultaés 0 Le ombre de tirages simultaés de boules parmi 0 est Soit 0,2 Au cours d u tirage de boules, o obtiet ( boules ( blaches si et seulemet si o tire boules parmi les 2 8 2 blaches et boules parmi les 8 oires Il y a doc tirages où o obtiet boules blaches Doc, ( ( 2 8 0,2, p(x = = ( 0 Plus explicitemet, p(x = 0 = p(x = = 8 7 6 4 4 3 2 0 9 8 7 6 4 3 2 2 8 7 6 4 3 2 0 9 8 7 6 4 3 2 = 4 0 9 = 2 9 = 2 0 9 = 9 http ://wwwmaths-fracefr c Jea-Louis Rouget, 204 Tous droits réservés
p(x = 2 = 8 7 6 3 2 0 9 8 7 6 4 3 2 = 4 0 9 = 2 9 L espérace de X est E(X = 0 2 9 + 9 +2 2 = et la variace de X est 9 V(X = E ( X 2 (E(X 2 = 0 2 9 + 9 +4 2 9 2 = 4 9 (b Comme à la questio, Y(Ω = {, 0,2 } = {, 0, } et ( 2 0,2, p(y = = p(x = = Esuite, E(Y = E(X = 0 et V(Y = 2 E(X = 00 9 EXERCICE 0 X pred les valeurs 0, ou 2 ( 8 ( 0 2 (a X = 2 est l évéemet «toutes les boules vot das le même compartimet» Il y a 3 répartitios possibles des boules das les 3 compartimets (pour chacue des boules, il y a 3 possibilités de compartimet Parmi ces répartitios, il y e a ue et ue seule pour laquelle toutes les boules sot das le compartimet o, ue et ue seule pour laquelle toutes les boules sot das le compartimet o 2 et ue et ue seule pour laquelle toutes les boules sot das le compartimet o 3 Doc p(x = 2 = 3 3 = 3 (b Soit E l évéemet : «le troisième compartimet est vide et les deux premiers e le sot pas» O a alors p(x = = 3 p(e Soit, Soit E l évéemet «boules sot das le compartimet o et sot das le compartimet o 2» E = E et les E,, sot deux à deux disjoits Doc, p(x = = 3p(E = 3 p(e Soit, Le ombre de répartitios des boules telles que d etre elles soiet das le compartimet ( o et soiet das le compartimet o 2 est ecore le ombre de tirages simultaés de boules parmi les à savoir ( = Doc p(e = Efi, Par suite, 3 p(e = 3 = ( 3 = 2 2 3 p(x = 0 = p(x = p(x = 2 = 2 2 3 3 = 3 2 + 3 p(x = 0 = 3, p(x = = 2 2 3 et p(x = 2 = 3 2 + 3 http ://wwwmaths-fracefr 2 c Jea-Louis Rouget, 204 Tous droits réservés
3 (a E(X = 0 3 2 ( 3 3 + 2 2 2 2 +2 = 3 3 3 = 3 3 = 0 Aisi, s il y a u grad ombre de boules, il y a peu de chaces qu u compartimet (b lim E(X = lim + reste vide EXERCICE 06 + 3 Formule de Bayes ( 2 3 Soit (Ω, P u espace probabilisé Soit (A i i u système complet d évéemets de cet espace tel que pour tout i,, P(A i 0 Soit B u évéemet tel que P(B 0 Alors, Démostratio Soit i, Puisque P(B 0, i,, P B (A i = P(A i P Ai (B P(A j P Aj (B P B (A i = P(A i B P(B j= = P(A i P Ai (B P(B Puisque (A j j u système complet d évéemets de cet espace tel que pour tout j,, P(A j 0, o a Doc, P(B = P(A j B = P(A j P Aj (B j= j= P B (A i = P(A i P Ai (B P(A j P Aj (B j= 2 (a Notos A l évéemet «le dé est pipé» et B l évéemet «o obtiet le chiffre 6» La probabilité demadée est P B (A ( A,A est u système complet d évéemets O a P(A = 2 00 = 4 0 et P( A = 4 = 3 4 Esuite P A(B = 2 et P A (B = 6 Doc, D après la formule de Bayes, P(B = P(A P A (B+P ( A P A (B = 4 2 + 3 4 6 = 4 0 P B (A = La probabilité que ce dé soit pipé est 2 P(A P A (B P(A P A (B+P ( A P A (B = 4 2 4 (b Notos A l évéemet «le dé est pipé» et B l évéemet «o obtiet fois le chiffre 6» La probabilité demadée est P B (A ( A,A est u système complet d évéemets O a toujours P(A = 4 0 et P( A = 3 4 Esuite P A(B = 2 et P A (B = 6 Doc, P(B = P(A PA(B+P ( A PA (B = 4 2 + 3 4 6 0 D après la formule de Bayes, = 2 http ://wwwmaths-fracefr 3 c Jea-Louis Rouget, 204 Tous droits réservés
P B (A = P(A P A (B P(A P A (B+P ( A P A (B = 4 2 4 2 + 3 4 = 6 + 3 La probabilité que ce dé soit pipé est + 3 (c lim = 0 et doc lim + 3 p = Ceci sigifie que si au bout d u grad ombre de lacers, o a obteu à + chaque fois le 6, il est quasimet sûr que le dé est pipé EXERCICE 08 Pour N, otos A l évéemet «au -ème tirage, la boule proviet de l ure U» (l évéemet A est doc l évéemet «au -ème tirage, la boule proviet de l ure U 2» ( A,A est u système complet d évéemets et P(A = P ( A = 0 D après la formule des probabilités totales, 2 p = P(B = P(A P A (B +P ( A PA (B = 2 2 + 2 4 7 = 7 3 La probabilité p que la première boule tirée soit blache est 7 3 2 Soit N ( B,B est u système complet d évéemets D après la formule des probabilités totales, P(B + = P(B P B (B + +P ( B PB (B + = p 2 +( p 4 7 = 6 3 p + 4 7 3 La suite (p N est arithmético-géométrique La foctio affie x 6 3 x+ 4 admet u poit fixe et u seul : 7 x = 6 3 x+ 4 7 4 3 x = 4 7 x = 20 4 O sait alors que pour tout etier aturel o ul, p + 20 ( 4 = 6 p 20 4 ul, et doc puis que pour tout etier aturel o p 20 ( 4 = 6 ( p 20 ( = 6 ( 7 3 4 3 3 20 = 3 ( 4 43 3 6, Pour tout etier aturel o ul, p = 20 4 3 43 EXERCICE 0 p = 20 4 3 ( 43 3 6 ( 6 3 Ω est l esemble des tirages successifs sas remise des +2 boules ou ecore l esemble des permutatios des +2 boules Le ombre de tirages successifs et sas remise des + 2 boules est ( + 2! ou ecore card(ω = ( + 2! L ure cotiet +2 boules La première boule blache peut apparaître au premier, deuxième ou troisième tirage ou ecore X(Ω =,3 X = est l évéemet : «la première boule tirée est blache» O a possibilités de tirer la première boule parmi les blaches puis pour chacue de ces possibilités, o a (+! possibilités de tirer les + boules restates Doc http ://wwwmaths-fracefr 4 c Jea-Louis Rouget, 204 Tous droits réservés
p(x = = (+! = (+2! +2 X = 3 est l évéemet : «les deux premières boules tirées sot oires» O a 2! = 2 possibilités de tirer les deux premières boules puis pour chacue de ces deux possibilités, o a! possibilités de tirer les boules restates Doc, Efi p(x = 3 = 2! (+2! = 2 (+(+2 p(x = 2 = p(x = p(x = 3 = +2 2 (+(+2 = (+(+2 (+ 2 (+(+2 2 = (+(+2 X(Ω =,3 et p(x = = +2, p(x = 2 = 2 (+(+2 et p(x = 3 = 2 (+(+2 2 La première boule umérotée peut sortir au premier, deuxième,, (+-ème tirage ou ecore Y(Ω =,+ Soit 2,+ L évéemet Y = est l évéemet «les premières boules e portet pas le uméro et la -ème! porte le uméro» Pour les premières boules, o a ( ( +2 = tirages possibles puis ( +!! pour chacu des ces tirages o a 2 possibilités pour la -ème boule et doc 2 tirages possibles pour les ( +! premières boules Pour chacu de ces tirages, o a (+2! tirages possibles des +2 boules restates Fialemet, p(y = =! ( +! 2 (+2! (+2! = 2(+2 (+(+2 L évéemet Y = est l évéemet «la première boule porte le uméro» Il y a 2 tirages possibles pour la première boule puis pour chacu de ces deux tirages, il y a (+! tirages possibles des + boules restates Doc Fialemet p(y = = 2 (+! (+2! = 2(+ (+(+2 = 2(+2 (+(+2 Y(Ω =,+ et,+, p(y = = 2(+2 (+(+2 EXERCICE 3 ère solutio Soit 0, Soit A ue partie fixée à élémets Le ombre de couples (A,B tels que A B est ecore le ombre de parties B telles que A B Ue partie B coteat A est la réuio de A et d ue partie de A Le ombre de parties B coteat A est doc ecore le ombre de parties de A Il y e a card ( P ( A = 2 ( ( Esuite, il y a parties à élémets et doc 2 couples (A,B tels que card(a = et A B E faisat varier, o obtiet a = =0 ( 2 = (2+ = 3 2ème solutio Notos F l esemble des couples (A,B tels que A B http ://wwwmaths-fracefr c Jea-Louis Rouget, 204 Tous droits réservés
Pour (A,B F, défiissos ϕ (A,B : E {0,,2} ϕ (A,B est ue applicatio de E das {0,,2} 0 si x A x si x B\A 2 si x / B Soit alors ϕ : F {0,,2} E ϕ est bie sûr ue bijectio Démotros-le (A,B ϕ (A,B - ϕ est ue applicatio de F vers {0,,2} E - Soit ((A,B,(A,B F 2 tel que ϕ (A,B = ϕ (A,B Soit x E x A ϕ (A,B (x = 0 ϕ (A,B (x = 0 x A Doc, A = A Soit x E x B\A ϕ (A,B (x = ϕ (A,B (x = x B \A Doc, B\A = B \A puis B = B car A B, A B et A = A Fialemet, (A,B = (A,B O a motré que ϕ est ijective - Soit f {0,,2} E Soiet A l esemble des x de E tels que f(x = 0 puis B la réuio de A et de l esemble des x de E tels que f(x = Alors A B puis ϕ((a,b = f O a motré que ϕ est surjective et fialemet que ϕ est bijective Puisque ϕ est ue bijectio, card(f = card ( {0,,2} E = 3 a = 3 2 Le ombre de couples (A,B tels que A B = est ecore le ombre de couples (A,A B tels que A B = C est aussi le ombre de couples (A,B tels que A B Il y e a b = a = 3 3 Pour chaque couple (A,B tels que A B =, il y a exactemet u triplet (A,B,C (P(E 3 tels que A, B et C soiet deux à deux disjoits et vérifiet A B C = E à savoir le triplet (A,B,C E (A B Réciproquemet, chaque triplet (A,B,C (P(E 3 tels que A, B et C soiet deux à deux disjoits et vérifiet A B C = E fourit u et u seul couple (A,B (P(E 2 tel que A B = Doc, c = b = a = 3 http ://wwwmaths-fracefr 6 c Jea-Louis Rouget, 204 Tous droits réservés