Calcul intégral et suite numérique Intégration Exercices corrigés Objectifs abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : étudier le sens de variation d une suite définie par une intégrale Exercice 2 : montrer qu une suite définie par une intégrale est majorée ou minorée Exercice 3 : déterminer la limite d une suite définie par une intégrale (avec le théorème des gendarmes) Exercice 4 : justifier la convergence d une suite définie par une intégrale Exercice 5 : démontrer qu une suite définie par une intégrale est convergente et en préciser la limite Exercice 6 : déterminer la limite d une suite définie par une intégrale (après calcul du terme général) Exercice 7 : donner la limite d une suite définie par une intégrale (avec un changement de variable) Accès direct au site www.sos-devoirs-corriges.com 1
Exercice corrigé 1 (1 question) Niveau : facile Soit la suite numérique définie par : Montrer que la suite est croissante. Correction de l exercice 1 Retour au menu Rappel : Linéarité de l intégrale (linéarité additive et linéarité multiplicative) Soient deux réels et. Si et sont deux fonctions continues sur un intervalle [ ] avec, alors : ( ) Pour tout entier naturel, D après la linéarité de l intégrale, il vient que : Or, pour tout réel [ ], d après la croissance de la fonction exponentielle, il vient que, c est-à-dire. Par conséquent, pour tout réel [ ],. Par ailleurs, pour tout réel [ ],, d où. Enfin, pour tout réel [ ] et pour tout entier naturel,. L intégrande est donc une fonction positive ou nulle sur [ ], c est-à-dire. Rappel de la notion d intégrande : Dans une intégrale, la fonction qui est intégrée est appelée intégrande. Rappel : Positivité de l intégrale Soit une fonction continue sur un intervalle [ ] avec. Alors, pour tout réel [ ] : 2
D après la positivité de l intégrale, en intégrant sur [ ], il vient finalement que : Pour tout entier naturel, donc la suite est croissante. 3
Exercice corrigé 2 (1 question) Niveau : facile Soit la suite numérique définie par : Montrer que la suite est minorée. Correction de l exercice 2 Retour au menu Pour tout réel [ ] et pour tout, et. D où pour tout [ ]. Par conséquent, d après la positivité de l intégrale, en intégrant sur [ ] (avec ), on a : pour tout entier naturel donc la suite est minorée par 0. 4
Exercice corrigé 3 (1 question) Niveau : moyen Soit la suite numérique définie par : Déterminer la limite de la suite. Correction de l exercice 3 Retour au menu Rappel : Conservation de l ordre par intégration (ordre et intégrale / intégration d une inégalité) Soient et deux fonctions continues sur un intervalle [ ] avec. Alors, pour tout réel [ ] : Remarques : On dit que l intégrale conserve l ordre. La réciproque n est pas vraie. Pour tout réel [ ],. Or, la fonction logarithme népérien est continue et croissante sur l ensemble des réels strictement positifs, d où, c est-à-dire. De plus, pour tout réel [ ], donc, en multipliant l inégalité par, il résulte que. Ainsi, comme l intégrale conserve l ordre, en intégrant sur [ ], il vient que : [ ] [ ] Rappel : Théorème des gendarmes (aussi appelé théorème d encadrement) Soient, et trois suites de nombres réels et soit un réel. Si, pour tout entier supérieur à un certain entier, Alors, 5
Or, donc la suite est encadrée par deux suites de limite nulle. Finalement, d après le théorème des gendarmes,. Autrement dit, la suite tend vers 0. Fonction définie par Primitives définies par Conditions sur et 6
Exercice corrigé 4 (3 questions) Niveau : facile Soit la suite numérique définie par : 1) Démontrer que, pour tout entier naturel,. 2) Etudier la monotonie de la suite. 3) En déduire la convergence de la suite. Correction de l exercice 4 Retour au menu 1) Démontrons que, pour tout entier naturel,. La fonction sinus est continue et positive ou nulle sur [ ], si bien que pour tout entier naturel,. De surcroît, l intégrale d une fonction continue et positive étant positive, pour tout,. 2) Etudions la monotonie de la suite. Pour tout entier naturel, Or, pour tout réel [ ], d une part, c est-à-dire et, d autre part,. Donc, pour tout,. En vertu de la conservation de l ordre par intégration, il vient que, c est-à-dire. La suite est décroissante. 3) Concluons. Rappel : Convergence d une suite monotone Toute suite croissante et majorée est convergente. Toute suite décroissante et minorée est convergente. D après la première question, la suite est décroissante. Il résulte que la suite est minorée par 0. En outre, d après la question précédente, elle est convergente. 7
Exercice corrigé 5 (6 questions) Niveau : moyen Soit la suite numérique définie par : 1) Calculer les deux premiers termes de la suite. 2) Montrer que la suite est croissante. 3) Montrer que la suite est majorée. 4) En déduire la convergence de la suite. 5) Montrer que. 6) En déduire la limite de la suite. Correction de l exercice 5 Retour au menu 1) Calculons les deux premiers termes de la suite. [ ] Soit la fonction définie sur [ ] par. Cette fonction est dérivable sur [ ] et, pour tout réel [ ],. De plus, cette fonction est positive sur [ ] d où le résultat suivant : [ ( )] [ ] Fonction définie par Primitives définies par Conditions sur ( ) dérivable et Remarque :, c est-à-dire. On peut conjecturer que la suite est croissante. 2) Etudions la monotonie de la suite. Pour tout réel [ ],. Or, pour tout réel [ ], et donc, c est-à-dire. Il vient l inégalité puis, en vertu de la décroissance de la fonction inverse sur,. 8
Ainsi, en intégrant sur [ ], il résulte de la conservation de l ordre par intégration que : Finalement, suite pour tout entier naturel. La conjecture émise à la question précédente est vérifiée : la est croissante. 3) Montrons que la suite est majorée. Pour tout réel [ ],, d où. Et, par passage à l inverse, il s ensuit que. Ainsi, en intégrant sur [ ], il résulte de la conservation de l ordre par intégration que : [ ] [ ] Finalement,. La suite est donc majorée par le réel 1. 4) Montrons que la suite est convergente. D après la 2 ème question, la suite est croissante et, d après la 3 ème question, la suite est majorée. Par conséquent, la suite est convergente ; elle converge vers un réel que la dernière question permettra de préciser. 5) Etudions la limite de la suite. Pour tout réel [ ], on a : Or,. Ainsi, comme la fonction inverse est décroissante sur, on a : De plus,. Ainsi, comme la fonction opposé est décroissante sur,, on a : En définitive, on a : Par conséquent, comme l intégrale conserve l ordre, en intégrant sur [ ], il vient que : [ ] 9
En définitive, en utilisant cette minoration et la majoration obtenue à la 3 ème question, on a un encadrement de la suite, à savoir pour tout. Comme, d après le théorème des gendarmes,. La suite converge donc vers 1. 10
Exercice corrigé 6 (2 questions) Niveau : moyen Pour tout entier naturel non nul, on pose : 1) Calculer. 2) En déduire la limite de la suite. Correction de l exercice 6 Retour au menu 1) Exprimons en fonction de. Soit la fonction définie sur [ ] (avec ) par. Cette fonction est une fonction linéaire donc elle est dérivable sur et, pour tout réel [ ],. Pour tout entier naturel non nul, on en déduit que : [ ] [ ] Fonction définie par Primitives définies par Conditions sur dérivable 2) Déterminons désormais la limite de la suite. ( ) ( ) Rappel : Dérivabilité en un point et nombre dérivé Soit une fonction définie sur. Soit un réel de. est dérivable en si et seulement si. Ce nombre réel est alors appelé nombre dérivé de en et est noté. Ainsi,. 11
Or, et donc, d après le théorème sur la limite de la composée de deux fonctions, il résulte que. Finalement, il vient par produit des limites que. La suite tend vers e. Rappel : Limite de la composée de deux fonctions Soit une fonction définie sur un intervalle et soit une fonction définie sur un intervalle, telle que., et désignent des réels, ou. Si et si, alors. ( ) 12
Exercice corrigé 7 (3 questions) Niveau : difficile Soit la suite numérique définie par : 1) Calculer les 3 premiers termes de la suite. 2) Calculer l intégrale pour tout entier naturel. 3) En déduire la limite de la suite. Correction de l exercice 7 Retour au menu 1) Calculons les 3 premiers termes de la suite. [ ] [ ( )] En effectuant le changement de variable affine défini par, on a : [ ] [ ] [ ] 2) Exprimons l intégrale en fonction de pour tout entier naturel. En effectuant le changement de variable affine défini par, on a : [ ] [ ] 13
3) Précisons la limite de la suite. Pour tout entier naturel, ( ) ( ) Or, d une part, on a d où et. Ainsi, par produit des limites, il vient que ( ). Et, d autre part, on a. Reste donc à calculer. Rappel : Fonction exponentielle de base a (a>0) / Fonction puissance d un réel positif Soit un réel strictement positif. On appelle fonction exponentielle de base la fonction définie sur par. Pour tout entier naturel,. Or, d où ( ) (car ). De plus,. Ainsi, par composition des limites,, c est-à-dire. Et comme, par produit des limites, il vient que. Par conséquent, par quotient des limites, on a. La suite tend vers 0. 14