Note liminaire Programme selon les sections : - représentation graphique, opérations, conjugué, module, argument, forme trigonométrique : toutes sections - notation exponentielle : STISD STL - S Prérequis Cercle trigonométrique polynômes du second degré trigonométrie exponentielle valeur absolue 1. L ensemble des nombres complexes 2. Polynômes du second degré 3. Module argument 4. Notation exponentielle 5. Caractérisation des réels imaginaires purs Plan du cours 1. L ensemble des nombres complexes Définition : L ensemble des nombres complexes, noté C, est un ensemble de nombres défini par les propriétés suivantes : - C contient R l ensemble des réels - les règles de calcul dans C (addition soustraction, multiplication division) sont les mêmes que dans R - il existe dans C un nombre i tel que - un nombre complexe z peut s écrire de manière unique sous la forme avec a b réels. i correspond à un nombre «inventé» :. Dans l ensemble des nombres complexes, un carré n est plus forcément positif, comme c est le cas dans l ensemble des réels. La solution de l équation a donc deux solutions dans l ensemble des complexes (alors que dans l ensemble des réels, elle n a pas de solution) : 1
D où : la solution de l équation avec k réel a deux solutions dans l ensemble des complexes (alors que dans l ensemble des réels, elle n a pas de solution) : Rapports d inclusion : Les rapports d inclusion des différents ensembles de nombres sont les suivants : Définitions : Soit un complexe (a b réels) - a est appelée partie réelle de z. Elle se note également. - b est appelée partie imaginaire de z. Elle se note également On peut donc écrire z sous la forme : Un nombre complexe a une unique partie réelle une unique partie imaginaire. Un nombre réel z est un nombre complexe tel que (partie imaginaire nulle). Un nombre complexe z tel (partie réelle nulle) est dit imaginaire pur. Propriétés : si seulement si (parties réelle imaginaire nulles) identiques) si seulement si (parties réelles identique parties imaginaires Opérations : tout réel k 2
Exemples : 2 Nombre conjugué : Le nombre conjugué d un complexe est le nombre complexe égal à. On le note. Propriétés de conjugaison : tout d où 2. Polynômes du second degré Soit P un polynôme du second degré dans C (c est-à-dire défini tout réels (a, b c réels) : ) avec coefficients -Si alors le polynôme a deux racines réelles : -Si alors le polynôme a une racine double : 3
-Dans R si alors le polynôme n a pas de racine. -Dans C si alors le polynôme a deux racines complexes : Dans C un polynôme du second degré à coefficients réels est donc toujours factorisable : Exemple : donc P a deux racines complexes. 3. Module argument Représentation graphique : Un nombre complexe z peut être représenté par un point M dans un plan muni d un repère orthonormé direct. Le point M est l image de z dans le plan. Son abscisse correspond sa partie réelle son ordonnée à sa partie imaginaire. 4
Remarque : -L image du conjugué d un complexe est le symétrique du point M par rapport à l axe des abscisses. 5
Module : Le module d un complexe est le nombre réel égal à. On le note. Interprétation géométrique : Si un nombre complexe z a image un point M alors. Le module correspond à la distance entre le point M l origine du repère. Si un complexe z a image un point M un complexe z un point N alors (distance entre M N) Propriétés : ( est donc un nombre réel) tout (inégalité triangulaire) 6
Argument : Un argument d un complexe. On le note. ayant image un point M est une valeur (en radians) de l angle Remarques : - Le nombre 0 n a pas d argument. - Un complexe a une infinité d arguments : si est un argument de z, alors ( ) est aussi un argument de z. 7
Propriétés : ( ) ( ) Forme trigonométrique : Soit un argument de z ( ). L abscisse de M correspond à son ordonnée à. On peut donc écrire z sous la forme trigonométrique suivante : Remarque : Les parties réelle imaginaire sont bien uniques car. 8
Exemple : Propriété : Si deux nombres complexes sont égaux alors ils ont même module même argument à près. Opérations : tout 4. Notation exponentielle La notation exponentielle d un complexe est. Remarques : - Un nombre complexe de module 1 est de la forme. - On a : - Le nombre 0 n a pas de notation exponentielle (il n a pas d argument). Propriété : Si avec alors. 9
Conjugué : Le conjugué d un nombre complexe est. Opérations : tout 5. Caractérisation des réels imaginaires purs Réels : Un nombre z est réel si seulement si. Un nombre z est réel si seulement si. Un nombre z est réel si seulement si ou ( ). Représentation graphique : L image d un réel dans le plan muni d un repère orthonormé direct abscisses. est un point sur l axe des Remarque : Le module d un nombre réel est égal à sa valeur absolue. 10
Imaginaires purs : Un nombre z est imaginaire pur si seulement si. Un nombre z est imaginaire pur si seulement si. Un nombre z est imaginaire pur si seulement si ou ( ). Représentation graphique : L image d un imaginaire pur dans le plan muni d un repère orthonormé direct sur l axe des ordonnées. est un point Remarque : Le nombre 0 est à la fois un réel un imaginaire pur. - 11