Morphologie mathématique Topologie et Images Luc Brun (d après le cours de M. Coster) Morphologie mathématique p.1/39
Plan Topologie Topologie à base de distances, de voisinages, d ouverts, Définitions : fermé,intérieur, adhérence, frontière. Notion de continuité et de limite Notion de continuité Limite inférieure et limite supérieure d une suite numérique Application de la notion de continuité et de limite aux ensembles Distance d un point à un ensemble, distance euclidienne entre ensembles Définition de la limite d une suite d ensemble Opérateurs classiques et continuité Autres notions relatives à la topologie L homéomorphisme La connexité Caractéristiques d une surface Propriétés topologiques Morphologie mathématique p./39
Boules dans un espace métrique Topologie : Étude de la notion de «proximité» et des propriétés qui s y rattachent. Définition d un voisinage : Les boules Boule ouverte de centre : Boule fermée de centre : Sphère de centre : Morphologie mathématique p.3/39
Voisinages Problème de la distance : Distances non symétriques :. Voisinage du voilier Voisinage d un circuit Nécessité d une définition plus générale de la notion de proximité. Morphologie mathématique p.4/39
iltres de voisinages : Hausdorff filtre de voisinage. 1. Tout surensemble d un voisinage de est un filtre de voisinages de est un voisinage de. ssi :. L intersection de deux voisinages de est un voisinage de 3. Tout voisinage de contient 4. Pour tout, il existe de chaque point de. : tel que est un voisinage! Morphologie mathématique p.5/39
" Base de voisinages Un ensemble consititue une base de voisinage de ssi : "! Dans un espace métrique, l ensemble des boules ouvertes consitue une base de voisinages. x Morphologie mathématique p.6/39
# + * ), ), / ). Ouverts et topologie Ouvert : Un ensemble points. est dit ouvert s il est voisinage de chacun de ces # # Topologie : On appelle topologie sur E toute partie de telle que : $ %&% %&%(' et 0 3 3 0 3 0 10 Les éléments de s appellent les ouverts de la topologie. Remarque : Les deux définitions sont équivalentes. Une base de voisinages définie une topologie, Étant donné une topologie un voisinage de est un ensemble contenant un ouvert contenant. Morphologie mathématique p.7/39
5 4 4 4 + * 8 9, 8, / 8. Les ermés Un ensemble est dit fermé si son complémentaire est ouvert. 617 Propriétés : $ %&% %&%(' et 10 3 3 0 3 0 10 Morphologie mathématique p.8/39
<!, <!, + <!, Espaces topologiques séparés Séparation : Un espace topologique :; est dit séparé ssi : ; et ou = = et Séparation : Un espace topologique : * > est dit séparé ssi : * et et = et = Séparation ssi : : Un espace topologique :, > est dit séparé (ou séparé) :,? Morphologie mathématique p.9/39
@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ 9 9 Intérieur est intérieur à ssi L ensemble des points intérieurs de est un voisinage de., noté est le plus grand ouvert contenu dans A. Propriétés : est appelé l intérieur de. est ouvert, Propriété d idempotence : Propriété de croissance : @ @ @ Distributivité par rapport à l intersection : @ mais : @ A Morphologie mathématique p.10/39
9 9 @ @ Adhérence Un point de est dit adhérent à A ssi : + = On appelle adhérence de A, noté, l ensemble des points adhérent à. Propriété 1 : est l intersection de tous les fermées contenant. C est donc le plus petit fermé contenant. Propriétés : et est un fermé de, Propriété d idempotence : Propriété de croissance : Distributivité par rapport à l union : mais : A et 6 7 6 7 617 617 Morphologie mathématique p.11/39
B @ @ B D @ B rontière est un point frontière de ssi : et + = + = 617 L ensemble des points frontière de définit la frontière de notée. 6C7 6 7 La frontière est un fermé (intersection de fermés) A Morphologie mathématique p.1/39
Notion de continuité et de limite Topologie Topologie à base de distances, de voisinages, d ouverts, Définitions : fermé,intérieur, adhérence, frontière. Notion de continuité et de limite Notion de continuité Limite inférieure et limite supérieure d une suite numérique Application de la notion de continuité et de limite aux ensembles Distance d un point à un ensemble, distance euclidienne entre ensembles Définition de la limite d une suite d ensemble Opérateurs classiques et continuité Autres notions relatives à la topologie L homéomorphisme La connexité Caractéristiques d une surface Propriétés topologiques Morphologie mathématique p.13/39
E 8 ;! E E Continuité d une fonction de dans est continue en ssi : E ; ; Autre caractérisation : L image réciproque d un voisinage est un voisinage, est continue sur ssi elle est continue en chaque point Autres caractérisations : L image réciproque d un ouvert est un ouvert, L image réciproque d un fermé est un fermé.. Morphologie mathématique p.14/39
H P P E E I Q Q Suites Limite : Une suite G définie dans converge vers ssi :!I H IL KJ est continue en ssi il existe que pour toute suite définie sur et convergent en admet pour limite. Soit une suite d un espace. d adhérence de la suite ssi : Limite et continuité : Valeurs d adhérence : 8 O ENM, tel, la suite est valeur IL! J G Autre Caractérisation : une sous suite de Posons est G <T SR est une valeur d adhérence de la suite s il existe convergent vers., l ensemble des valeurs d adhérence de L J. Morphologie mathématique p.15/39
Q X Q WVU _ Limite sup et inf Soit et une suite d éléments de IR et Q E Y J <T R L J. Les suites sont convergentent dans IR et admettent respecivement pour limite la plus grande et la plus petite valeur propre de. Les limites sup et inf de et. sont respetivement notées converge ssi :. On a alors : Z[ \ G Z[ \ ` Z[ \ Morphologie mathématique p.16/39
Application aux ensembles Topologie Topologie à base de distances, de voisinages, d ouverts, Définitions : fermé,intérieur, adhérence, frontière. Notion de continuité et de limite Notion de continuité Limite inférieure et limite supérieure d une suite numérique Application de la notion de continuité et de limite aux ensembles Distance d un point à un ensemble, distance euclidienne entre ensembles Définition de la limite d une suite d ensemble Opérateurs classiques et continuité Autres notions relatives à la topologie L homéomorphisme La connexité Caractéristiques d une surface Propriétés topologiques Morphologie mathématique p.17/39
a Distance d un point à un ensemble La distance d un point x à l ensemble Y est définie comme étant la distance entre x et le point de Y le plus proche de x. c e d []b x Morphologie mathématique p.18/39
f < D D < nop i i g < < D «Distance» entre deux ensembles Généralisation de la distance point/ensemble : Topologie à base de semi normes : Topologie au sens de Wijsman e d ikj chg [ b a Q E q < l m m nop g Topologie au sens AttouchWets X4 Q < Topologie au sens Hausdorff 7 nop 7 g Morphologie mathématique p.19/39
a a a a a <a a < s Q nop D i g <a a < s D Limites d ensembles Soit une suite d ensemble de Au sens de Wijsman si :, on dira que tend vers Au sens de AttouchWets Q 4 borné Au sens d Hausdorff : nop 7 g Remarque : Nous nous restreignons à la convergence de Wijsman. Morphologie mathématique p.0/39
, a a a, a u u a 4 a a Exemple Soit t s la suite d ensemble de IR. On a : définie par et * D t s IR * D t D v v s t D v v s t s Y x Yn La suite converge simultanément vers (convergence unique si elle existe) et. On se restreint à Morphologie mathématique p.1/39
8 ; 8 8 ; 89 \ ; 8 \ ; 8 \ ; 89 8 Continuité de la réunion Soit fermé un fermé fixe et soit. 8 une suite de fermés qui converge vers le 8 [ b 8 Z[ \ 8 []b ; 8 []b Morphologie mathématique p./39
, * a a a + a J Non continuité de l intersection A titre d exemple considérons la suite trivialement : s de IR. On a assez Z[ \, 5 s s IR v v s s Or, pour tout, et n est pas défini (ou vaut 0 celon certaines définitions). Toutefois l intersection vérifie une propriété de même nature que la continuité, mais un peu plus restrictive : il s agit de la semicontinuité. + s s Morphologie mathématique p.3/39
! 5 J! 5 x j Semi continuité supérieure et inférieure Soit une suite de fermés du plan, appartient à limite inf de ( ) s il existe une suite passant par chaque et convergent vers : 8 8 8 8 rw_ 8 KJ 8 et appartient à limite sup de dont une suite extraite et converge vers. 8 (, x ) s il existe une suite infini passe par chaque, 8 8 8 rw_ x J infini tel que et 8 On a : 8 8 rw_ Morphologie mathématique p.4/39
y IL J I y * } Caractérisation des limites sup et inf Soit un espace métrique ssi toute boule fermée centrée sur d un certain 8!I s { I zy J rencontre tous les 8 8 + = a partir ssi toute boule fermée centrée sur partir d un certain 8 rencontre une infinité de 8 a! s { y S infini J 8 + = On a : ~ 8 ~} 8 Z[ \ Morphologie mathématique p.5/39
Applications continues supérieurement/inférieur Soit alors une transformation définie sur à valeur dans. On dit que est semicontinue supérieurement pour tout fermé et toute suite qui converge vers si : 8 8 8 On dit que est semicontinue inférieurement pour tout fermé et toute suite qui converge vers si : 8 8 8 rw_ Si la transformation est à la fois semicontinue inférieurement et supérieurement, elle est continue Morphologie mathématique p.6/39
; 8 8 ; 8 ; 8 ; 8 y IL J ; 8 y IL J ; 8 ; 8 8 Semi continuité supérieure de l intersection Soit une suite de fermée que : 8 qui converge vers. Il s agit de montrer 8 rw_ Soit Z[ \ 8 :!I s { y!i s { y Z[ \ 8 et KJ KJ 8 8 et + = + = Morphologie mathématique p.7/39
s 8 5 + < s {!I < B8 Semi continuité inférieure de la complémentatio Soit une suite de fermée qui converge vers. n étant pas fermé on prend le plus petit fermé le contenant. Il s agit donc de montrer que : 8 8 6 7 8 617 8 617 rw_ Soit. 8 617 8 rw_ s = 8 rw_ 8 617 *!I s { IL J IL J 8 * * + = 8 617 8 6C7 Z[ \ On conclue de même si. On a donc conclu pour. 8 6 7 Morphologie mathématique p.8/39
* 8 Exemple Soit 8 une suite de carrés séparés par une distance. 8 Z[ \ 8 8 617 8 617 rw_ Morphologie mathématique p.9/39
Autres notions relatives à la topologie Topologie Topologie à base de distances, de voisinages, d ouverts, Définitions : fermé,intérieur, adhérence, frontière. Notion de continuité et de limite Notion de continuité Limite inférieure et limite supérieure d une suite numérique Application de la notion de continuité et de limite aux ensembles Distance d un point à un ensemble, distance euclidienne entre ensembles Définition de la limite d une suite d ensemble Opérateurs classiques et continuité Autres notions relatives à la topologie L homéomorphisme La connexité Caractéristiques d une surface Propriétés topologiques Morphologie mathématique p.30/39
ƒ Œ ˆ Š Ž Homéomorphisme En déformant de manière continue une première surface, on peut tendre vers la forme d une seconde surface. Définition : Un homéomorphisme est une transformation bijective et bicontinue (entre espaces topologiques). Elle traduit un peu la notion de réversibilité en thermodynamique. Cette notion de réversibilité est importante : en effet le bouchage d un trou n est pas une transformation homéomorphe, car la transformation inverse n est pas continue. Morphologie mathématique p.31/39
+ Ensembles connexes Un ensemble est connexe s il ne vérifie pas une des propositions suivante (qui sont équivalentes) : 1. Il existe une partie propre de fermée.. Il existe une partition de 3. Il existe une partition de (autre que en ouverts en fermés. et ) à la fois ouverte et Un ensemble connexe ne peut pas être partitionné en un ensemble d ouverts ou de fermés. Morphologie mathématique p.3/39
➌ ➍ ➌ ➍ ➌ ➌ Connexitépararc Un ensemble estditconnexepararcssipourtout et appartenant à existe un chemin totalement inclus dans et connectant et. Un ensemble est dit simplement connexe ssi pour tout couple de point et et tout chemin, joignant et coïncide avec àune homotopie près., Ensemble connexe par arc Ensemble simplement connexe Un ensemble connexe par arc est connexe. Morphologie mathématique p.33/39
, Caractéristiques d une surface Les surfaces sont définis par 3 caractéristiques : orientation, genre et bord. Surface orientable et non orientable : Une surface est dite orientable si en partant d un point d une courbe fermée faisant le tour de la surface, on revient du même coté de la surface. surface orientable surface non orientable La sphère, le tore et toutes les autres combinaisons donnent des surfaces orientables. Toutes les surfaces dans IR sont orientables. Morphologie mathématique p.34/39
t š s š Genre d une surface On appelle genre d une surface g(s), le nombre maximal de coupures que l on puisse faire en maintenant la connexité de la surface Morphologie mathématique p.35/39
, š œ š t š s š Genre dans IR On appelle genre d une surface g(s), le nombre maximal de coupures que l on puisse faire en maintenant la connexité de la surface. Pour une surface de IR cela correspond au nombre de trous. Morphologie mathématique p.36/39
, Bord d une surface A moins d occuper tout l espace de référence E, une surface de IR possède au moins un bord, c est à dire une courbe la limitant. Par contre une surface sphérique ou une surface torique ne possède pas de bord. Surface à 4 bords. Morphologie mathématique p.37/39
, Théorème, définitions Théorème sur l homéomorphisme : Pour que deux surfaces soient homéomophes, il faut et il suffit qu elles soient toutes les deux orientables ou non orientables, qu elles aient même genre et même nombre de bord. Propriétés topologiques : Préservation de la connexité Par exemple lorsqu on bouche les trous d une surface dans IR, tous les points connexes issus de la surface initiale restent connexes. On ne fait que rajouter des points connexes. Homotopie : En terme de transformation d images, on dit que celle ci est homotopique si l ensemble d arrivée est homéomorphe de l ensemble de départ. Ainsi un objet troué doit rester avec le même nombre de trous. On en déduit immédiatement que le bouchage de trous n est pas une transformation homotopique. Morphologie mathématique p.38/39
Propriétés topologiques des opérateurs ensembli L union : Par union, ce qui était connexe dans chaque ensemble reste connexe dans l union. Par contre, des surfaces ont pu se connecter et des trous disparaître. L union préserve la connexité mais n est pas homotopique. L intersection : L intersection peut détruire la connexité et ne pas préserver l homotopie. Autres opérateurs Les autres opérateurs de bases ne possèdent aucune de ces propriétés Morphologie mathématique p.39/39