(φ)<0] si n > n 0. 0 sinon,

2. Opportunité d arbitrage et marchés viables Un marché viable sera un marché sur lequel on ne peut gagner d argent sans risque (c est-à-dire dans tous les états du monde), ce que l on traduit par la notion importante d absence d opportunité d arbitrage. Nous allons préciser cette notion et donner une caractérisation des marchés viables en fonction des propriétés des prix actualisés des actifs financiers. 2.1. Stratégie d arbitrage et marchés viables. Nous commençons par faire une restriction naturelle sur les stratégies considérées. Définition 2.1. Une stratégie φ est dite admissible si elle est autofinancée et telle que, à toute date n 0,..., N}, la valeur du portefeuille V n (φ) est positive ou nulle. La notion suivante exprime qu une stratégie permet un arbitrage. Définition 2.2. Une stratégie d arbitrage est une stratégie admissible telle que la valeur initiale du portefeuille est nulle et la valeur finale n est pas nulle presque sûrement. Nous arrivons finalement à la définition d un marché viable. Définition 2.3. Un marché financier est viable s il n existe pas de stratégie d arbitrage. Nous nous placerons dorénavant dans le cadre des marchés viables. Voici une première caractéristique de tels marchés. Proposition 2.1. Si le marché est viable et si φ est une stratégie autofinancée de valeur initiale nulle alors sa valeur finale ne peut satisfaire V N (φ) 0 et P [V N (φ) > 0 > 0. Démonstration : Soit φ une stratégie autofinancée et de valeur initiale nulle. Supposons par l absurde que V N (φ) 0 et P [V N (φ) > 0 > 0. Alors φ n est pas admissible puisque le marché est viable et on note n 0 le plus grand entier n pour lequel P [V n (φ) < 0 > 0. Clairement, n 0 1,..., N 1} et, pour tout n > n 0, V n (φ) 0. Soit alors ψ le processus défini, pour tout n 0,..., N}, par φn 1 [Vn0 ψ n = (φ)<0 si n > n 0 0 sinon, et soit ψ l unique stratégie autofinancée de même valeur initiale que ψ, et qui coïncide avec ψ pour les actifs à risque, définie par la Proposition 1.2. Alors, pour tout n 1, Ṽ n (ψ) = ψ k ( S k S k 1 ), d où Ṽ n (ψ) = 0 sinon, k=1 1 [Vn0 (φ)<0 k=n 0+1 1 φ k ( S k S k 1 ) si n > n 0

2 et donc ( Ṽ n (φ) Ṽ n (ψ) = Ṽn 0 (φ))1 [Vn0 (φ)<0 si n > n 0 0 sinon. Comme Ṽn(ψ) 0 pour tout n, ψ est une stratégie admissible et P [ṼN (ψ) > 0 P [V n0 (φ) < 0 > 0, ce qui contredit la condition de viabilité du marché. 2.2. Martingales. Nous allons caractériser les marchés viables grâce à la notion de martingale. Remarquons que, dans le cas d un espace probabilisé fini, comme c est le cas ici, toute les variables aléatoires sont intégrables et donc la condition d intégrabilité des martingales est automatiquement satisfaite. De même, les variables sont toutes de carré intégrable et donc l espérance conditionnelle n est autre qu une projection dans L 2 et, lorsque (M n ) n=0..n est une martingale, la meilleure estimation au sens des moindres carrés de M n+1 à la date n est M n. En fait, puisque les tribus sont finies, cette estimation est en fait une moyennisation de M n+1 sur les événements engendrant la tribu F n. Enfin, comme on suppose en outre que P [ω} > 0 pour tout ω Ω, la probabilité conditionnelle est définie de façon unique. Voici quelques propriétés utiles sur les martingales. Proposition 2.2. Soit (M n ) n 0 une suite adaptée à une filtration (F n ) n 0. (1) (M n ) n 0 est une martingale si et seulement si, pour tout n 0, M n est intégrable, et pour tout k 0, M n = E [M n+k F n. (2) Si (M n ) n 0 est une martingale alors E [M n = E [M 0 pour tout n 0. (3) On suppose que (M n ) n 0 est à valeurs réelles et de carré intégrable. Soit (H n ) n 0 un processus réel de carré intégrable adapté et prévisible. Alors la suite (X n ) n 0, définie par X 0 = H 0 M 0 X n = H 0 M 0 + H k (M k M k 1 ) pour n 1, k=1 est une martingale. (4) On suppose que (M n ) n=0..n est une suite adaptée de variables aléatoires réelles et de carré intégrable. Alors (M n ) n=0..n est une martingale si et seulement si, pour tout processus réel adapté, prévisible et de carré intégrable (H n ) n=1..n, on a [ N E H n (M n M n 1 ) = 0. n=1 Démonstration : Les propositions (1) et (2) ont déjà été vues dans le cours sur les martingales.

3 Pour (3), on remarque que (X n ) n 0 est adaptée à la filtration (F n ) n 0 et que, pour tout n 0, X n+1 = X n + H n+1 (M n+1 M n ). D où E [X n+1 F n = X n + E [H n+1 (M n+1 M n ) F n. Comme (H n ) n 0 est prévisible, H n+1 est F n -mesurable et E [X n+1 F n = X n + H n+1 E [M n+1 M n F n. Nous concluons par la propriété de martingale de (M n ) n 0. Démontrons enfin (4). Si (M n ) n=0..n est une martingale et (H n ) n=1..n est prévisible, on pose H 0 = 0 et on définit la martingale (X n ) n=0..n comme dans (3). D après (2), E [X n = E [X 0 = 0, ce qu il fallait démontrer. Réciproquement, soit n 0 0,..N 1} et soit A F n0. On définit le processus H = (H n ) n=1..n par 1A si n = n H n = 0 + 1 0 sinon. Le processus H est donc prévisible et [ N E H n (M n M n 1 ) = E [1 A (M n0 +1 M n0 ). n=1 Dire que cette quantité est nulle signifie donc que M n0 +1dP = M n0 dp, ce qui conclut la preuve. A 2.3. Caractérisation des marchés viables. Nous retournons maintenant au modèle de marché et nous concluons la section avec un théorème de caractérisation des marchés viables. Le cas qui va nous intéresser est celui dans lequel les prix actualisés des actifs sont des martingales. Proposition 2.3. Si les prix actualisés des actifs sont des martingales alors, pour toute stratégie autofinancée φ, la suite (Ṽn(φ)) n=0..n est une martingale. Démonstration : D après la Proposition 1.1-(d), si φ est une stratégie autofinancée, alors Ṽ n (φ) = φ 0 S 0 + φ k ( S k S k 1 ) k=1 pour tout n 1 et donc, d après la proposition 2.2-3., (Ṽn(φ)) n=0..n est une martingale. Théorème 2.1. Le marché est viable si et seulement si il existe une probabilité P définie sur (Ω, F) et équivalente à P sous laquelle les prix actualisés des actifs sont des martingales. A

4 Rappelons que deux probabilités définies sur un même espace mesurable P et Q sont équivalentes si elles admettent les mêmes négligeables. Dans le cas d un espace probabilisé fini et avec la condition que P charge tous les singletons, Q est équivalente à P si Q satisfait également cette propriété. Dans la suite, on notera E l espérance relative à la probabilité P. Démonstration : On commence par supposer qu il existe P équivalente à P sous laquelle les prix actualisés sont des martingales. Soit φ une stratégie admissible de valeur initiale nulle; montrons que φ n est pas une stratégie d arbitrage. D après la Proposition 2.3, (Ṽn(φ)) n=0..n est une martingale sous P [. Par conséquent, [ E Ṽ N (φ) = E Ṽ 0 (φ) = 0. Mais comme P charge tous les singletons, et ṼN(φ) 0, on en déduit que cette variable est nulle, ce qu il fallait démontrer. Réciproquement, supposons que le marché est viable. On va utiliser un théorème de séparation pour définir P puis utiliser le point 4. de la Proposition 2.2 pour démontrer que, sous P, les prix actualisés des actifs sont des martingales. Lemme 2.1. Soit F un sous espace-vectoriel de R m (m 1) et soit K un convexe compact de R m disjoint de F. Il existe une forme linéaire ξ sur R m telle que F Kerξ et ξ(x) > 0 pour tout x K. Pour appliquer ce lemme, on remarque tout d abord que l ensemble des applications de Ω dans R peut-être identifié à R m avec m = card Ω et que l ensemble des variables réelles F N -mesurables en constitue un sous-espace que nous notons E (ici, avec l hypothèse F = P(Ω), toutes les applications sont mesurables et donc E = R m ). On définit F = ṼN (φ)/ φ stratégie autofinancée de valeur initiale nulle}. F est bien un sous espace vectoriel de E car ṼN est linéaire et l ensemble des stratégies autofinancées de valeur initiale nulle forme un espace vectoriel (F = Im ṼN). Enfin, on pose / } K = X E X 0 et ω ΩX(ω) = 1 D après la Proposition 2.1, F K c et on peut appliquer le Lemme 2.1. La forme linéaire ξ du lemme peut être identifiée à un vecteur (ξ ω ) ω Ω de R m. Du fait que ξ est strictement positive sur K, on déduit que ξ ω > 0 pour tout ω Ω. En effet, pour tout X E, ξ(x) = ξ, X R m = ω Ω ξ ω X(ω). Si enfin on applique cette relation aux X de K qui sont de la forme 1 si ω = ω0 X(ω) = 0 sinon pour tout ω 0 Ω, on obtient bien ξ ω0 > 0 pour tout ω 0 Ω dès que l on suppose ξ > 0 sur K..

5 On pose alors et on définit P par, pour tout ω Ω, ν = ω Ω ξ ω P [ω} = ξ ω ν. Comme P charge tous les singletons, elle est équivalente à P. Reste à montrer que, sous cette probabilité, les prix actualisés des actifs sont des martingales. Soit (H n ) n=1..n un processus prévisible réel et soit i 0 1,..., d} fixé. On pose V 0 = 0 et pour tout n 1 et tout i 1, φ i Hn si i = i n = 0 0 sinon. Enfin on appelle φ l unique stratégie autofinancée définie par la Proposition 1.2. Puisque F Kerξ, on a, ξ ω Ṽ N (φ)(ω) = 0, c est-à-dire ω Ω [ [ N E Ṽ N (φ) = E H n ( S i 0 i0 n S n 1 ) = 0. n=1 On applique alors la Proposition 2.2-4. et donc S i 0 est une martingale. Corollaire 2.1. Si le marché est viable, toute stratégie φ autofinancée de valeur finale positive ou nulle est admissible. Démonstration : Soit φ une stratégie autofinancée. Comme le marché est viable, il existe une probabilité P équivalente à P sous laquelle les prix actualisés des actifs sont des martingales et donc sous laquelle la suite des valeurs actualisées des portefeuilles définis par φ est une martingale. On en déduit que, pour tout n 0,..., N}, [ Ṽ n (φ) = E Ṽ N (φ) F n. Mais puisque ṼN (φ) est une variable aléatoire positive, on a bien Ṽn(φ) 0 pour tout n et donc φ est admissible.

6 Le modèle de Cox, Ross et Rubinstein II (3) Pour tout n 1,..., N}, on définit la variable aléatoire T n = S n /S n 1. Soit Q une probabilité équivalente à P. Montrer que (T n ) n=1..n est une suite adaptée à la filtration. On note E Q l espérance relative à cette probabilité. Montrer que le prix actualisé ( S n ) n=0..n est une martingale sous Q si et seulement si, pour tout n 0,..., N 1} E Q [T n+1 F n = 1 + r. (4) En déduire que, pour que le marché soit viable, il faut que r a, b[ de deux façons possibles : (a) avec une preuve directe, (b) en donnant des exemples d arbitrage si r a et si r b. (5) On suppose dorénavant que r a, b[. Montrer que ( S n ) n=0..n est une Q- martingale si et seulement si (T n ) n=1..n est, sous Q, une suite iid dont on déterminera la loi. (6) En déduire que, si r a, b[, le marché est viable