Notes de cours et exercices Séquence Sciences Naturelles ( ème année du éme cycle) La factorisation Module 1
Définitions Module 1 Factorisation Factorisation : la factorisation est le processus par lequel une expression algébrique est transformée en un produit de deux ou plusieurs facteurs. Ex : Variable : Coefficient : Constante : Monôme : une variable est une lettre, le plus souvent x ou y qui peut prendre plusieurs valeurs. un coefficient est le chiffre placé devant une variable. Il est multiplié à celle-ci. S il n y a pas de coefficient devant une variable, c est que celui-ci a pour valeur 1. aussi appelé terme constant, la constante est un chiffre non accompagné d une variable. un monôme est une constante ou une variable accompagnée de son coefficient. Ex : Binôme : un binôme est une somme ou une différence de deux monômes. Ex : Polynôme : un polynôme est une expression algébrique composée de plus qu un monôme. Un binôme est un polynôme. Ex : Résoudre : en factorisation, résoudre revient à trouver la ou les valeur(s) que peut prendre x.
Les méthodes de factorisation (4) Module 1 Factorisation 1) La mise en évidence simple (MES) Utilisation : avec un polynôme Principe : trouver le terme commun à tous les monômes et le mettre en évidence 3 Ex1 : 4 3x + x 10x Ex : y + 1 6y ) La mise en évidence double (MED) Utilisation : avec un polynôme à 4 termes Principe : Faire une MES avec chaque binôme composant le polynôme Faire une autre MES avec le binôme ainsi formé *On peut vérifier la réponse à l aide de la distributivité* Ex1 : 6x 15x + xy 5y Ex : x 14x + 8x 56 Ex3 : 15x 40x + 3x 8 Ex3 : 7x + 18x + 1x 8 3
3) Différence de carrés Utilisation : avec un binôme dont les deux termes sont des carrés ET il faut la présence d une soustraction Principe : une différence de carrés se factorise ainsi ( premier terme + second terme) ( premier terme second terme) Ex1 : 9 4 x 49 Ex : 5x y + 81 6 4 Ex3 : x x Ex4 : ( x + 1) 36x 4) Factorisation du trinôme (méthode S/P) Utilisation : avec un trinôme sous la forme ax + bx + c. ATTENTION! *Tous les trinômes ne sont pas nécessairement factorisables* Principe : Trouver deux nombres dont la somme donne b et le produit ac Remplacer le terme du milieu par ces deux nombres Utiliser une MED pour terminer la factorisation Ex1 : x + 13x + 15 Ex : x + 11x + 4 4
Les opérations sur les polynômes Module 1 - Factorisation 1) Addition ou soustraction de polynômes Principe : il s agit d additionner ou de soustraire ensemble les termes semblables Ex 1 : Voici deux polynômes g ( x) = x + 13x 6 et f ( x) = 6x 9x + 14. Effectue : g ( x) + f ( x) Effectue : f ( x) g( x) ) Multiplication de polynômes Principe : distributivité terme par terme. *Mettre les flèches peut aider* Ex1 : effectue g( x) f ( x) Ex : (x 4)(3x + 6)(3x 1) 5
3) Division de polynômes Principe : cette division s effectue un peu comme celle que l on a apprise au primaire. Ex1 : ( a b + 3a 4b 6a) ( a ) Ex : ( b + 10ab + 0a b + 4) (b + 4) Ex3 : (5xy + 10y 9x y 3) (5y 3) 6
Les opérations sur les fractions rationnelles Module 1 Factorisation 1) Simplification de fractions rationnelles Principe : factoriser le numérateur et le dénominateur séparément, puis réduire. Ex1 : x + x 6 x + 10x + 1 Ex : 5x + x 16 x 3x Ex3 : 5x 3 x 4x + 0x + 0 ( x 4) Ex4 : ( x 9) 5 7
) Addition ou soustraction de fractions rationnelles Principe : Factoriser les dénominateurs pour réduire si possible. Trouver un dénominateur commun Distribuer le numérateur pour trouver les termes semblables Factoriser le numérateur Simplifier si possible Ex1 : 6x 8x x 15 15x + + 14x + 3 1x + x 8 13x 4 Ex : m + mn + m + n m + mn + 10m + 5n 6m + 3m 4mn n 3m + 15m mn 10n 8
) Multiplier des fractions rationnelles Principe : Factoriser tous les numérateurs et dénominateurs séparément Effectuer les multiplications SANS distribuer Simplifier si possible * Ressemble énormément au point 1) la réduction de fractions rationnelles* Ex1 : 9s t 7st 3s t 4t 4st + s s + st + 10t 5s Ex : Un réservoir contient x + 3x + x 3 utilise une pompe dont la capacité est de litres d eau. Pour le vider, on x + 1 8x 1 litres/minute. Quelle expression correspond au temps qu il faudra pour vider le réservoir? 9
Exercices et problèmes Module 1 Factorisation #1 Factorise ou simplifie, selon le cas, toutes les expressions algébriques suivantes sur feuilles mobiles. a) 1 x + 4y b) 6x x + 4 c) x ( m + n) + y( m + n) ax + ay d) bx + by e) ax + x + ay + xy f) y 9 g) x 4 h) x y i) x y 9y + ax 9a j) ( x + y) z k) x 4 81 40x 60 l) y a 9 m) a + 6 n) x + 7x + 10 o) x 10x + 16 p) x + 4x 1 q) x + x + 1 r) x y + 1xy + 3 s) x + x + 5 t) 3x + 18x + 15 u) 8a 50 v) x + 15x + 7 w) 6x 11x + 3 x) 18a + 3ab b y) 6x 14x + 4 x 1 z) x x + 1 6 aa) m 8 + m 3 5 3 4 bb) 4a b 8a b + 3a b cc) 10x y( x 1) 15xy( x 1) dd) 3 1x + 8x 6x + 4x 3 1a b + 3bc 8a bc 4ac y + 36x ee) 3 ff) gg) 1 b 3 hh) xyz x yz ii) a x 4x a y + 4y jj) ( 3x + y) ( x y) kk) a 4 16 ll) 5ax + 5bx + 0a 0b x 1 mm) (x x)( x + 1) nn) x + 40x + 144 oo) x 30x + 144 pp) x + x 1 qq) x 11x 10 rr) a + ab + b ss) x 3 10x 4 4 3a b 51a b + 48b 3 uu) 3a 60a + 300a vv) 3x + 8x + 5 ww) 8x + x 15 4x + 1xy + 9y tt) xx) yy) 6x 16x + 6 ( x + xy + y x zz) )( x y xy + y ) 10
# Une jardinière a acheté des vases pour des fleurs. Voici une partie de la facture qu elle a reçue. Quantité Description Coût total (en $) n Modèle A c 4n 1 Modèle B 3 c n 1 Modèle C c Quelle expression correspond au pris d un ensemble constitué d un vase de chaque modèle? #3 L âge de Pierre est donné par l expression (( x + 4) 9) ans et celui de Frédéric, par ( x + 8x + 7) ans. Quelle fraction rationnelle représente le rapport entre l âge de Pierre et l âge de Frédéric? #4 Quelle expression correspond au volume d un prisme à base rectangulaire x 7 x +14 dont les dimensions sont les suivantes : hauteur, profondeur et x 4 3x largeur x. #5 Un manufacturier de chandails doit effectuer une livraison à 3 clients. Au premier client, il doit expédier 600 chandails dans des boîtes qui en contiennent n. Au deuxième, il doit en livrer le double dans des boîtes en contenant ( n + 8) chandails. Il utilise, pour le troisième client qui a commandé 1800 chandails, des boîtes contenant ( 3n + 1) chandails. Quelle expression correspond au nombre de boîtes qu il devra manipuler? #6 L aire d un rectangle est donnée par le trinôme A ( x) = 6x 7x 5. Quel pourrait être le périmètre de ce rectangle sachant que ses dimensions sont représentées par des binômes? #7 L aire d un carré est donnée par le trinôme A ( x) = 4x 1x + 9. On transforme ce carré en un rectangle en augmentant ses dimensions de 6 cm et cm. Quelle est l aire de ce rectangle? #8 Le volume d un prisme droit est donné par le polynôme 3 V ( x) = x + 5x 4x 3. La hauteur du prisme est donnée par le binôme x + 1. Quelle pourrait être le longueur totale des arêtes de ce prisme si chaque arête est représentée par un binôme? #9 Le cube ci-contre a une aire totale exprimée par A ( x) = 4x + 7x + 54. Exprime par un polynôme le volume de ce cube. 11
#10 Un rectangle a une aire égale à 100 cm. On désigne respectivement par x et y et P la largeur, la longueur et le périmètre du ce rectangle. Exprime à l aide de la variable x seulement la longueur et le périmètre du rectangle. #11 L aire d un losange est donnée par ( c + c + 1) cm. Sa petite diagonale mesure 1 cm de plus que son côté c. Quelle est la mesure de sa grande diagonale? #1 Une usine fabrique deux formats de boîtes de conserve cylindriques. Les dimensions (rayon et hauteur) de la grande boîte sont exactement le double de celles de la petite. Combien de petites boîtes peut-on fabriquer avec la quantité de métal utilisée pour fabriquer une grande boîte? Combien de fois le volume de la petite boîte est-il contenu dans celui de la grande? #13 Exprime le périmètre de chacune des figures suivantes par un polynôme. #14 Trouve le périmètre et l aire des figures suivantes. *NOTE IMPORTANTE* Des figures équivalentes sont des figures qui ont la même AIRE. Des solides équivalents sont des solides qui ont le même VOLUME. 1
Exercices et problèmes (CORRIGÉ) Module 1 Factorisation #1 a) 4(3x + y) b) (3x x + ) c) ( m + n)( x + y) d) b a e) ( x + y)( a + x) f) ( y + 3)( y 3) g) ( x + )( x ) h) ( x + y)( x y) i) ( y + a)( x + 3)( x 3) j) ( x + y z)( x + y + z) k) ( x 3)( x + 3)( x + 9) l) 0(x 3y) m) ( a 3) ( x + )( x + 5 n) ) o) ( x )( x 8) p) ( x )( x + 6) q) ( x +1) r) ( xy + 4)( xy + 8) s) x + x + 5 t) 3 ( x + 5)( x + 1) u) (a 5)(a + 5) v) ( x + 7)(x + 1) w) ( x 3)(3x 1) x) ( 3a + b)(6a b) y) ( x )(3x 1) z) ( x + 1) ( x 1) 6 aa) m ( m + 1) 3 bb) 8a b (3a + b 4ab ) cc) 5xy ( x 1)( x 3) dd) x ee) (3b 4ac)(7a b + c) 3 ff) y + 36x gg) ( 1 b )(1 + b) hh) xyz ( 1 x)(1 + x) ii) ( x y)( x + y)( a )( a + ) jj) 8x ( x + y) kk) ( a + 3)( a 3)( a + 9) ll) 5ax + 5bx + 0a 0b mm) 1 x ( x + 4)( x + 36 nn) ) oo) ( x 6)( x 4) pp) ( x 3)( x + 4) qq) ( x + 6)( x 17) rr) a + ab + b ss) x 3 10x 4 tt) 3b ( a 4)( a + 4)( a 1)( a + 1) uu) 3a ( a 10) vv) ( 3x + 5)( x + 1) ww) ( x + 3)(4x 5) xx) ( x + 3y) yy) ( x + 3)(3x 1) zz) ( x + y)( x y) 13
# c(n 11n + 1) n(4n 1)(n 1) $ #11 ( c + 1) #3 1 #4 #5 14x 3( x ) 600(3n + 4) n( n + 4) boîtes #6 longueur 3x 5 et largeur x +1. #7 A= 4x + 4x 3 #8 ( x + 3) et ( x 1) 3 #9 ( x + 3) u 3 #1 4 petites boîtes et 8 fois #13 a) 14 x + 4 b) 0a c) 6x + 6x 5x #14 a) aire : x + 56 et périmètre : 5 x + 5 b) aire : x 7 + x + 1 et périmètre : 7 x + 6 3x 3 c) aire : + x et périmètre : 3 x + 4x 4 + x #10 longueur 100 et périmètre ( x + 100) x 14