hapitre 9 Produit scalaire TLE DES MTIÈRES page -1 hapitre 9 Produit scalaire Table des matières I Exercices I-1 1................................................ I-1 2................................................ I-1 3................................................ I-1 4................................................ I-1 5................................................ I-2 6................................................ I-2 7................................................ I-2 8................................................ I-2 9................................................ I-2 10................................................ I-3 11................................................ I-3 12................................................ I-4 13................................................ I-4 14................................................ I-4 15................................................ I-4 II ours II-1 1 Norme d un vecteur..................................... II-1 2 1 re méthode de calcul du produit scalaire......................... II-1 3 Produit scalaire et orthogonalité.............................. II-1 4 2 e méthode de calcul du produit scalaire......................... II-1 5 Produit scalaire et opérations............................... II-1 6 3 e méthode de calcul du produit scalaire......................... II-2 7 4 e méthode de calcul du produit scalaire......................... II-2
hapitre 9 Produit scalaire I EXERIES page I-1 I Exercices 1 1 re méthode de calcul du produit scalaire Pour trois points,,, le produit scalaire des vecteurs et s écrit. et il est donné par l égalité :. = 1 2 (2 + 2 2 ) Dans chacun des cas suivants, tracer la figure et calculer. : 2 1. = 5 cm = 7 cm = 6 cm 2. = 4 cm = 6 cm = 9 cm 3. = 5 cm = 12 cm = 13 cm 4. = 0 cm = 5 cm 5. = 8 cm = 0 cm 6. = = 6 cm = 0 cm 7. = 2 cm = 6 cm = 4 cm 8. = 3 cm = 5 cm = 8 cm Pour les trois points,,, dans quelles situations obtient-on. = 0? Justifier. 3 La norme d un vecteur u, notée u est la longueur du vecteur u. utrement dit pour un vecteur, on a =, c est à dire que la norme du vecteur est égale à la distance. On appelle u le vecteur et v le vecteur. 4 1. En utilisant la relation de hasles, calculer en fonction de u et v. 2. alculer u. v en fonction de u, v, u v. 2 e méthode de calcul du produit scalaire Dans un repère orthonormé, deux vecteurs u et v ont pour coordonnées (x ; y) et (x ; y ). 1. Écrire u 2, v 2, u v 2 en fonction de x, y, x, y. 2. alculer u. v en fonction de x, y, x, y.
hapitre 9 Produit scalaire I EXERIES page I-2 5 Dans un repère orthonormé, trois vecteurs u, v, w ont pour coordonnées (x ; y), (x ; y ), (x ; y ). 6 1. alculer (λ u). v et λ( u. v) en fonction de x, y, x, y, et comparer les résultats. 2. alculer ( u + v). w et u. w + v. w en fonction de x, y, x, y, x y et comparer les résultats. 3 e et 4 e méthode de calcul du produit scalaire,, sont trois points du plan. La perpendiculaire à la droite () passant par coupe la droite () en. On dit que est le projeté orthogonal de sur la droite (). Voir figure 1 ou 2 ci-dessous. 1. Démontrer que. =. (indication : décomposer en une somme de vecteurs). 2. Dans les deux figures ci-dessous, on donne les distances suivantes : = 9 et = 4. alculer. pour chacune des deux figures. Fig. 1 Fig. 2 7 Dans les deux cas suivants, tracer la figure puis calculer la valeur exacte de.. 1.,, sont trois points tels que = 4 cm, = 5 cm et (, ) = π 4. 2.,, sont trois points tels que = 6 cm, = 7 cm et (, ) = 2π 3. Exercices d application et problèmes. 8 1. Dans un repère orthonormé, placer les points ( 3 ; 2) (4 ; 1) ( 2 ; 3) 2. alculer.. 3. Les droites () et () sont-elles perpendiculaires? 9 Dans chacun des cas suivants, calculer.. On prendra comme unité un carreau du quadrillage.
hapitre 9 Produit scalaire I EXERIES page I-3 10 11 1. Tracer un triangle tel que = 8 cm = 7 cm = 5 cm. 2. alculer en degrés l angle ( ),. rrondir au dixième de degré. 1. Tracer un triangle isocèle de sommet principal tel que = 6 cm et ( ) 3π, = 4. 2. alculer la valeur exacte de.. 3. alculer. rrondir au centième près.
hapitre 9 Produit scalaire I EXERIES page I-4 12 13 14 15 1. Dans un repère orthonormé placer les points ( 3 ; 2), (4 ; 5), (3 ; 1), puis construire le point projeté orthogonal de sur la droite (). 2. alculer la distance (valeur exacte). 1. onstruire un triangle tel que = 4 cm = 6 cm = 8 cm. 2. onstruire le point, projeté orthogonal du point sur la droite (). 3. alculer. 4. alculer la valeur exacte de l aire (). 1. Tracer un repère orthonormé, placer les points ( 4 ; 3), (6 ; 6), ( 6 ; 2), et tracer le triangle (). 2. alculer une mesure en degré de l angle ( ),. rrondir au dixième près. 1. Dans un repère orthonormé placer les points ( 3 ; 1), ( 2 ; 2), (3 ; 3), D (1 ; 1), 2. Que peut-on dire de droites () et ()? Justifier. 3. Que peut-on dire de droites () et (D)? Justifier.
hapitre 9 Produit scalaire II OURS page II-1 II ours 1 Norme d un vecteur Définition La norme d un vecteur u, notée u est la longueur du vecteur u. Dans un repère orthonormé, la norme d un vecteur u de coordonnées (x ; y) est donnée par : u = x 2 + y 2 Pour un vecteur u et un nombre réel λ, λ u = λ u 2 1 re méthode de calcul du produit scalaire Définition Pour trois points,,, le produit scalaire des vecteurs et s écrit. et il est donné par l égalité :. = 1 2 (2 + 2 2 ) onséquences Pour deux vecteurs u et v, u. v = 1 2 ( u 2 + v 2 u v 2 ) Pour deux vecteurs u et v, u. u = u 2 u. v = v. u Si deux vecteurs u et v sont colinéaires et de même sens, Si deux vecteurs u et v sont colinéaires et de sens opposés, alors u. v = u v alors u. v = u v 3 Produit scalaire et orthogonalité Pour trois points,,, Définition. = 0 si et seulement si () () ou = 0 ou = 0 Dire que deux vecteurs u et v sont orthogonaux signifie que u. v = 0 4 2 e méthode de calcul du produit scalaire Si deux vecteurs u et v ont pour coordonnées (x ; y) et (x ; y ) dans un repère orthonormé, alors u. v = xx + yy 5 Produit scalaire et opérations Pour trois vecteurs u et v et un nombre réel λ, ( u + v). w = u. w + v. w (λ u). v = λ( u. v)
hapitre 9 Produit scalaire II OURS page II-2 6 3 e méthode de calcul du produit scalaire Définition Projeté orthogonal Pour un point et une droite (d) du plan, le projeté orthogonal du point sur la droite (d) est le point tel que la perpendiculaire à (d) passant par coupe (d) en.,, sont trois points du plan et est le projeté orthogonal du point sur la droite (). alors. =. onséquence. = si les points,, sont alignés dans cet ordre (fig. 1) ;. = si les points,, sont alignés dans cet ordre (fig. 2). Fig. 1 Fig. 2 7 4 e méthode de calcul du produit scalaire Pour deux vecteurs u et v distincts du vecteur nul, u. v = u v cos( u ; v)