CHAPITRE N 1 PARTIE B LES OUTILS DE LA MECANIQUE CLASSIQUE TS Introduction Afin de décrire le mouement d un objet, il faut définir le système étudié et préciser le référentiel d étude. On se limitera à des systèmes de dimensions très faibles par rapport à celle de leurs déplacements. Un tel système est modélisé par un point unique, qui contiendrait toute sa masse : on parle du modèle du point matériel. Pour simplifier les écritures, l étude est limitée aux mouements plans (à deux dimensions) mais peut-être généralisée aux espaces à trois dimensions. I. Comment choisir le référentiel d étude? 1. Notion de référentiel Un référentiel est un objet par rapport auquel on étudie le mouement Attention a na pas confondre le référentiel géocentrique (lié au centre de la terre) et le référentiel terrestre (lié à un objet fixe à la surface de la terre) A ce référentiel sont attachés 2 repères : - un repère d espace, choisi de tel sorte que la description du mouement soit la plus simple possible - Un repère de temps : l origine des dates est souent choisie afin de coïncider aec le début du mouement. 1
2. Notion de repère d espace Le repère cartésien (O; i, j, k ) Il a pour origine un point O fixe et pour ecteurs unitaire les ecteurs i, j et k constant Le repère de frenet (M; τ, n ) Pour traiter les mouements circulaires il est souent plus simple d utiliser un autre repère : il s agit du repère de Frenet Le repère de Frenet a pour origine le point M en mouement et comporte 2 ecteurs unitaire τ et n associé au point M décriant une courbe - - τ ecteur tangent à la trajectoire et dans le sens du mouement n ecteur centripète en M et normal à la trajectoire (perpendiculaire à τ ) dirigé ers le centre du cercle O. Les deux axes tournent au même temps que le point matériel le long de sa trajectoire. 3. Centre d inertie Quand un solide est en mouement de chute, il existe un point de ce solide qui décrit un mouement plus simple que les autres : le centre d inertie, noté G. Lorsque l étude du mouement d un solide est réduite à celle de son centre d inertie, les informations relaties à la rotation du solide sur lui-même sont perdues. II. Quels outils pour décrire le mouement? 1. Le ecteur position Dans un référentiel donné, la position d un point M est repéré à chaque instant par le ecteur position OM Dans le repère (O, i, j, k ) le ecteur position OM à pour coordonnée : OM(t) = x(t) i +y(t) j + z(t) k Soit : OM : x(t) y(t) z(t) Ces trois coordonnées sont fonctions du temps et pour simplifier les notations, on pourra écrire : OM = x i + y j + z k et : OM : On pourra simplifier de même l écriture des grandeurs dépendant du temps. x y z 2
2. Le ecteur itesse Vitesse moyenne La itesse moyenne d un point entre deux positions est la distance parcourue diisée par la durée du parcours Le ecteur itesse moyenne d un point M à l instant t i lorsqu il passe par la position M i est donné par la relation : (t i ) = M i-1 M i+1 aec =2τ Or M i-1 M i+1 = OM i+1 OM i-1 = OM i D où: (t i ) = OM i Vitesse instantanée La itesse instantanée du point est égale à sa itesse moyenne entre deux positions infiniment proches, soit lorsque tend ers 0. Par définition, le ecteur itesse instantanée (t) est donc égal à la limite de OM lorsque tend ers zéro : (t i )= lim 0 OM i = d OM (t i ) dom (t i ) représente la dériée du ecteur position OM par rapport au temps à la date t i Dans un référentiel donné, à toute date t, le ecteur itesse instantanée d un point M est égale à la dériée par rapport au temps du ecteur position OM : = d OM Dans le repère (O ; i, j, k ), les coordonnées du ecteur itesse (t) sont : = x i + y j + z k = dx i + dy j + dz k soit: : x = dx y = dy z = dz Le ecteur itesse instantanée en un point de la trajectoire a les caractéristiques suiantes : Origine : position M(t) occupé à l instant t par le point mobile M Direction : la tangente à la trajectoire au point M(t). Sens : celui du mouement. Valeur ou norme : (t) = x ² + y ² + z ² en m.s - 1 Remarque : A chaque instant le coefficient directeur de la tangente à la courbe x=f(t) donne la aleur de la itesse x. Voir FICHE METHODE Vitesse et dériée 3
3. Le ecteur accélération Le ecteur accélération caractérise la ariation du ecteur itesse en fonction du temps. Le ecteur accélération d un point M à l instant t i lorsqu il passe par la position M i est donné par la relation : a (t i ) = i+1 - i-1 aec =2τ Or i+1 i-1 = d où a (t i ) = Par définition, le ecteur accélération a i (t) est égal à la limite de i lorsque t tend ers zéro : a (t i )= lim i 0 = d (t i ) i d (t i ) représente la dériée du ecteur itesse par rapport au temps à la date t i Dans un référentiel donné, à toute date t, le ecteur accélération d un point M est égale à la dériée par rapport au temps du ecteur itesse instantanée : a = d Soit : a (t) = d = d d OM = d² OM ² Dans le repère (O ; i, j, k ), les coordonnées du ecteur accélération a (t) sont : a = a x i + a y j + a z k a = d x a = d²x ² i + d y i + d²y ² j + d z j + d²z ² k k soit: a (t): a x (t) = d x = d²x ² a y (t) = d y = d²y ² a z (t) = d z = d²z ² Le ecteur accélération en un point de la trajectoire a les caractéristiques suiantes : Origine : position M(t) occupé à l instant t par le point mobile M Direction : celle du ecteur Sens : celui du ecteur Valeur ou norme : a (t) = a x ² + a y ² + a z ² en m.s - ² Remarque : A chaque instant le coefficient directeur de la tangente à la courbe x =f(t) donne la aleur de l accélération a x. 4
4. Bilan : 5. Le ecteur quantité de mouement. Définition Deux balles de masses différentes et lancées aec la même itesse ne parcourent pas la même distance. La masse est une caractéristique inariable d un système et elle interient dans une nouelle grandeur deenue nécessaire pour étudier le mouement : la quantité de mouement. Le ecteur quantité de mouement p d un point matériel est égal au produit de sa masse m par son ecteur itesse : p = m. Le ecteur quantité de mouement d un point matériel a les caractéristiques suiantes : Origine : position M(t) occupé à l instant t par le point mobile M Direction : celle du ecteur itesse Sens : celui du ecteur Valeur ou norme : p (t) =m. (t) = en kg.m.s -1 Remarque : La quantité de mouement p d un système constitué de plusieurs corps est égale à la somme des quantités de mouement de chacun des corps du système : p = p 1 + p 2 + = Loi de conseration de la quantité de mouement La loi de conseration de la quantité de mouement est une loi fondamentale de la mécanique qui permet d étudier le cas d un système isolé* ou pseudo isolé** constitué de plusieurs corps, qu il soit déformable ou non Dans un référentielle galiléen, le ecteur quantité de mouement d un système isolé ou pseudo isolé est un ecteur constant : p = p 1 + p 2 + = n i=1 n i=1 p i p i = cst *Un système est dit isolé s il n est soumis à aucune action mécanique extérieure. **Un système est pseudo isolé si les actions mécaniques qui s exercent sur lui se compensent. 5
Application à la propulsion par réaction 6
II. Mouements rectilignes et circulaires 7
III. Les lois de Newton 1. Première loi de Newton : énoncé du principe d inertie : Dans un référentiel galiléen, si la somme des forces extérieures appliquées à un système mécanique est nulle, son centre d inertie G est au repos ou a un mouement rectiligne uniforme. La réciproque est raie, d où : F ext = 0 est équialent à G = cst La première loi de Newton ne s applique qu au centre d inertie du solide. Elle ne dit rien sur le mouement des autres points. Le principe d inertie ne s applique que dans certain référentiels appelés galiléens. Pour une expérience de courte durée le référentiel terrestre est considéré comme galiléen. Un référentiel est galiléen si le principe d inertie est érifié. 2. La deuxième loi de Newton (principe fondamental de la dynamique) : Dans un référentiel Galiléen, la somme ectorielle des forces extérieures exercées sur un système mécanique de masse m est égale à la dériée par rapport au temps de son ecteur quantité de mouement p(t) p G F ext = d (t) Si la masse du système est constante cette relation deient : F ext = d ( m. G ) F ext =m = m. d G a G Si F ext = 0 alors a G = 0 et, par conséquent, G reste constant en direction, sens et norme (on retroue la première loi de Newton). 3. La troisième loi de newton : principe des actions réciproques Deux corps en interaction exercent l un sur l autre des forces opposées : La force F A/B exercée par le corps A sur le corps B et la force F B/A exercée par le corps B sur le corps A ont même direction, même aleur mais des sens opposés : F A/B = - F B/A 8
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