Table des matières. 4 Espaces de Hilbert 88 4.1 Généralités... 88 4.2 Le Théorème des bases hilbertiennes... 99 4.3 Exemples...

Table des matières 1 Espaces linéaires à semi norme 3 1.1 Parties remarquables d un espace linéaire.................. 3 1.2 Sémi-normes sur un espace linéaire...................... 7 1.3 Espace linéaire à semi-norme......................... 11 1.4 Ouverts et fermés dans un espace linéaire à semi-normes.......... 15 1.5 Suite, convergentes et suite de Cauchy.................... 18 1.6 Densité et séparabilité............................. 21 1.7 Bornés ; précompacts et extractables..................... 23 1.8 Produit fini d espaces linéaires à semi-normes................ 32 1.9 Applications aux opérateurs linéaires et aux fonctionnelles linéaires.... 34 1.9.1 Opérateurs linéaires.......................... 34 1.9.2 Théorème du graphe fermé...................... 37 2 Espaces de Banach 41 2.1 Définitions Applications linéaires continues................. 41 2.2 E. v. n de dimension finie........................... 53 2.3 Théorème de Hahn - Banach.......................... 56 2.3.1 Le Théorème de Hahn - Banach (Forme analytique)......... 57 2.3.2 Le Théorème de Hahn - Banach (Forme géométrique)....... 59 2.3.3 Théorèmes de l application ouverte, du graphe fermé, de Banach.. 62 2.3.4 Le théorème de Banach - Steinhaus.................. 67 2.4 Fonctions numériques semi-continues inférieurement (s.c.i.)......... 67 2.5 Somme directe topologique........................... 73 3 Topologies Faibles 75 3.1 Rappels..................................... 75 3.2 Définition et propriétés élémentaires de la topologie faible σ (E,E ).... 76 3.3 La topologie faible σ (E,E)......................... 79 3.4 Espaces réflexifs................................. 82 4 Espaces de Hilbert 88 4.1 Généralités................................... 88 4.2 Le Théorème des bases hilbertiennes..................... 99 4.3 Exemples.................................... 106 1

TABLE DES MATIÈRES 2 5 Opérateurs Linéaires 109 5.1 Définitions.................................... 109 5.2 Théorie spectrale................................ 113

Chapitre 1 Espaces linéaires à semi norme Sommaire 1.1 Parties remarquables d un espace linéaire........... 3 1.2 Sémi-normes sur un espace linéaire................ 7 1.3 Espace linéaire à semi-norme................... 11 1.4 Ouverts et fermés dans un espace linéaire à semi-normes.. 15 1.5 Suite, convergentes et suite de Cauchy.............. 18 1.6 Densité et séparabilité....................... 21 1.7 Bornés ; précompacts et extractables.............. 23 1.8 Produit fini d espaces linéaires à semi-normes......... 32 1.9 Applications aux opérateurs linéaires et aux fonctionnelles linéaires................................ 34 1.9.1 Opérateurs linéaires........................ 34 1.9.2 Théorème du graphe fermé.................... 37 1.1 Parties remarquables d un espace linéaire On désigne par espace linéaire E, un espace vectoriel E sur C. Par conséquent un sous-espace linéaire de E est un sous-espace vectoriel de E. On désigne les éléments de E par les lettres f,g,h,u,v...,. Si A 1,A 2,...,A n, E et si α 1,α 2,...,α n C, on définit la combinaison linéaire. { } α i A 1 = α i f i f i A i i Si A E, on appelle l enveloppe linéaire de A l ensemble { } A = α i f i f i A i α i C, n N On vérifie que A est un sous-espace linéaire de E ; c est le plus petit sous-espace linéaire de E contenant A ; c est aussi l intersection de tous les sous-espaces linéaire contenant A. A est égale au sous-espace linéaire engendré par A. 3

CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME 4 A E, on dit que A est convexe si : f,g A; α,β 0 α + β = 1 = αf + βg A {αf + βg : α + β = 1, α 0, β 0} est le segment d extréminté f et g. Théorème 1.1.1. : Si A est convexe et si f 1 f 2...f n A α 1...α n α 1,α 2...α n 0 et α i = 1 alors n α i f i A Démonstration. Pour n = 1, et n = 2,le théorème est vrai par définition de la convexité. Supposons le théorème vrai pour n 1 (jusqu à l ordre n 1). Distinguons deux cas α n 1, vu que : par hypothèse de recurrence n 1 que n 1 α i α i f i, = (1 α n ) f i + α n f n, 1 α n α i 1 α n f i A et puisque (1 α n ) + α n = 1 on en déduit α i f i A. α n = 1 = α 1 = α 2 =... = α n 1 = 0 par suite n α i f i = α n f n A. Une partie A de E est dite absolument convexe si : f,g A α,β C ; α + β 1 = αf + βg A. -Il est évident que toute partie absolument convexe est convexe et que tout sous-espace linéaire de E est absolument convexe. Théorème 1.1.2. Si A est absolument convexe, il contient tout élément de la forme α i f ii A, α i C et α i = 1. En particulier toute partie absolument convexe E non vide contient 0. Démonstration. Par récurrence sur n : (n = 1, n = 2 évident) Supposons la propriété jusqu à l ordre n 1, - Si α n 1 alors n 1 α i α i f i = (1 α n ) 1 α n f i + α n f n A

CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME 5 par hypothèse de recurrence, vu que n 1 - Si α n = 1 alors soit donc α i 1 α n f i A et 1 α n + α n = 1. α 1 = α 2 = α n 1 = 0 ce qui implique que α 1 = α 2 =... = α n 1 = 0. α i f i = α n f n A. Vu que A est non vide, soit f A, alors : 0 = 0.f A, car 0 < 1. Proposition 1.1.1. Supposons A est absolument convexe. a) -Si α,β C alors α β = αa ( βa. ) b) - α 1,..., α n C = α i A = α i A. c) - Toute intersection quelconque d ensemble convexe (resp. absolument convexe) est convexe (resp. absolument convexe). d) - Si A 1,..., A n sont convexes (resp absolument convexes), α 1,..., α n C alors n α i A i est convexe (resp absolument convexe). Démonstration. a) Si β = 0 = α = 0 c est évident. Si β = 0 vu que : α β 1, α β f A donc αf = β.α f A ; f A. β Car b) Si n α i = 0, c est évident. Supposons α i 0, f 1,... f n A. ( ) ( ) α k α i f i = α i n α i f k ( k=1 α k n α i k=1 = 1 c est à dire k=1 ( ) α i.a. α k n α i f k A Inversement Si ( ) ( ) ( ) f α i A = g A : f = α i g = α i e iarg α i g. ( α = α e iarg α iarg car α = α e α) ).

CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME 6 mais comme e iarg α i = 1, e iarg α i g A par suite ( ) α i A α i A car f = α i i e iarg α i g α i A. Remarque 1.1.1. En générale si A n est pas absolument convexe cette égalité n est pas réalisée. Soit A E, on appelle enveloppe convexe de A, l ensemble { } A = α i f i ; f i A α i 0 : α i = 1, n N A est convexe, c est le plus petit ensemble convexe contenant A. C est aussi l intersection de tous les ensembles convexes contenant A. L enveloppe absolument convexe de A est : { } A = α i f i ; f i A, α i C α i 1, n N A est absolument convexe et c est le plus petit ensemble absolument convexe contenant A, c est aussi l intersection de tous les ensembles absoluments convexes contenant A. Soient A,B E, on dit que A absorbe B si : α > 0, λb A λ α. Si A est absolument convexe, A absorbe B α 0 : αb A. En effet λ α = λb = λ α α B λ ( ) α A A λ α 1. La condition est évidement nécessaire. α 0. α B A, α 1. A est dite absobante, si A absorbe tout élément de E : f E il existe α > 0, λ f A, λ < α. Proposition 1.1.2. Si A est absorbant, A contient 0 et on a : E = λ>0 λa = na = A. n=1

CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME 7 Démonstration. Soit f E, vu que A est Absorbante, on a α > 0. λ f A, λ α, en particulier α f A soit encore f 1A, en posant λ = 1, on voit que f λa, ceci α α étant vrai f E. On en déduit que E λa. Soit Soit λ > 0 ; soit en particulier λ>0 α,λ > 0, n 0 N : n n 0 n 0 N : on ait f A, α > 0 : µf A, µ α, λ n α. ( λ n f A, n n 0 Vu que λ ) n α, n n 0 finalement λ f na, n n 0, donc λ f na, f A, λ > 0 par suite donc λ>1 λa λ>0 na. n>1 { } n N : n 1 na =.f i : f i A A na A n>1 il est évident que A E d où le théorème. Toute intersection finie d ensembles absorbants est absorbante. En éffet : f E, α i > 0 : λ f A : λ α i, soit α = inf α i > 0 et λ α, = λ α i, i = λf A i, i. 1 i n 1.2 Sémi-normes sur un espace linéaire Définition 1.2.1. Une semi-norme sur E est une fonction réelle p : E R telle que : 1) - p est en circulairement homogène 2) - p est sous-additive : p (αf) = α p (f) f E α E. p (f + g) p (f) + p (g),fg E

CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME 8 Remarque 1.2.1. Une semi-norme telle que p (f) = 0 = f = 0 s appelle une norme sur E. Proposition 1.2.1. a) - p (0) = 0 et p (f) 0 f E b) - c) - Démonstration. a) ( ) p α i f i α i p(f i ) α C p (f) β (g) p (f g) f,g E p (0) = p (α.0) = α p (0), α C = p (0) = 0 0 = p (0) = p (f f) p (f) + p ( f) = 2p (f) = p (f) 0. b) pour n = 1 la propriété est vraie par définition. Supposons la vraie pour tous les k n 1 et α n 0. ( ) ( n 1 ) α k p α i f i = p α n. α n f k + α n f n α n c) n=1 α k α n p (f k ) + α n p (f n ). p (f) = p (f g) p (f g) + p (g) = p (f) p (g) p (f g) p (g) = p (g f + f) p (g f) + p (f) = p (g) p (f) p (g f). Vu que p (f) = p ( f), f E on obtient le résultat demandé. Exemples : Soient E un espace linéaire de dimension finie et soit {e 1...e n } une base de E. f E, f s ecrit de manière unique comme n α ie i. 1) - On peu p k (β = α k ) pour chaque k, k {1...n} et les fonctions sont bien définies à cause de l unité de α k, les p k sont des semi-normes sur E. 2) - Soient α 1...α 2 0 p (f) = n α k est une semi-norme. 3) - ( ) 1/2 p (f) = sup α i, p (f) = α k, p (f) = α i 2 1 i n sont des normes sur E, la dernière s appelle la norme euclidienne associée à la base {e 1...e n }. Théorème 1.2.1. : sont des semi-normes sur E. Si p 1,...p n sont des semi-normes sur E,les fonctions ( ) 1/2 sup p k, p k, p 2 i 1 i n k=1 k=1

CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME 9 Définition 1.2.2. : Soit p une semi-norme sur E, f E, r > 0. On appelle semi-boule fermée de centre f et de rayon r l ensemble noté B p (f, 1) = {g E, p (f g) r} de même on appelle semi-boule ouverte de centre f et de rayon r l ensemble : B p (f,r. ) = {g E : p (g f) < r} Si f = 0 pour simplifier l écriture, on pose par convention B p (0,r) = B p (r) B p ( 0,r 0 ) = B p ( r 0 ) Propriété 1.2.1. a) - b) - B p (f,r) = f + B p (r) B p ( f,r 0 ) = f + B p ( r 0 ) B p (r) = r B p (1) B p ( r 0 ) = r B p ( 1 0 ) c) - B p (r) et B p (r 0 ) sont absolument convexes et absorbantes f E : r 2p (f) f B ( ) p r 0, Si p (f) 0. Si p (f) = 0, c est évident. ( p (λf) = 0 = λ f Bp (r 0 ) B p (r) ) pour absolument convexe voir l inégalité triangulaire. d) - Soit A une partie absolument convexe de E, alors B p (f,r) A = B p (r) A B p ( f,r 0 ) A = B p ( r 0 ) A B p (f,r) A = f ± h A, h B p (r) h B p (r) ; h = 1 2 (f + h) 1 (f h) A } {{ 2 } Combinaison linéaire absolument convexe d élément de A. Remarque 1.2.2. : En générale une semi-boule de centre quelconque n est pas absolument convexe, absorbante.

CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME 10 Théorème 1.2.2. Si p et p sont des semi-normes sur E et si r et r sont des nombres strictement positifs, les assertions suivantes sont équivalentes. 1) - B p (r 0 ) B p (r 0 ) 2) - B p (r) B p (r ) 3) - p (f) r p (f) r f E. Démonstration. i) = ii) Soit f B r (r),p(f) r = α ]0, 1[,p(αj) < r = αf B p ( r 0 ) ( B ) p r 0 B p (r ) = p (αf) < r = p (f) < r, α ]0, 1[ α en faisant tendre α vers 1, on a p (f) r. ii) = iii) Soit ) ( ) r = p f E, ε > 0 ( p r p (f) + ε f = p (f) r r [p (f) + ε] en faisant tendre ε vers 0 on voit que p (f) r p (f). r iii) = i) évident, voir définition. r p (f) + ε f Définition 1.2.3. Soit A une partie absolument convexe de E, on appelle Jauge de A, la fonction p A définie sur A par p A (f) = inf {λ > 0, f λa}, f A. r La fonction p A est bien définie. En effet f A = f = (i) α i f i,f i A,α i C ( (i) la sommation est sur un ensemble d indice fini). f (i) α i A = (i) α i A λa, λ > (i) α i d où l existence de λ. r > p A (f) = f ra par définition de la borne supérieure ; λ : p A (f) < λ < r et f λa comme A est absolument convexe : λa ra = f ra. Remarque 1.2.3. A = E. En général p A n est pas définie sur E sauf si A est absorbant et

CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME 11 Théorème 1.2.3. Si A est absolument convexe, la jauge de A est une semi-norme sur A et on a B PA (1) A B pa (1). Démonstration. a) - deux cas sont à envisager : p A (αf) = α p A (f), f A, α C. α = 0 = αf = 0 λa, λ > 0 p A (αf) = p A (0) λ, λ > 0 = p A (αf) = 0 = α p A (f). α 0 p A (αf) = inf {µ > 0 : αf µa} = inf { α λ : λ > 0,αf α λa} = inf { α λ : λ > 0,αf α λa} = α inf {λ > 0 : f λa} = α p A (f) b) - Il suffit de montrer que Donc par passage à la limite on a p A (f + g) p A (f) + p A (g), f,g A p A (f + g) r + s, r > p A (f), s > p A (g) } r > p A (f) = f ra = f + g ra + sa = (r + s)a s > p A (g) = g sa p A (f + g) r + s p A (f + g) p (f) + p (g). c) - Si Si f B pa (i) = p A (f) < 1 = f 1.A. f A, f 1.A := p A (f) 1 = f B pa (1). 1.3 Espace linéaire à semi-norme Définition 1.3.1. : Soient P et Q deux familles de semi-normes sur E. On dit que P est plus fort que Q (en symbole P > Q ) ou que Q est plus faible que P (Q < P) si q Q, p P et une constante c > 0 : q cp.

CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME 12 Dans la définition précédente quand q varie, p et c varient également. On dit que P est équivalent à Q et on écrit (P Q) si P est à la fois plus faible et plus fort que Q. On vérifie que est une relation d équivalence sur la famille des ensembles de semi-normes sur E. Soit P un ensemble de semi-normes sur E. On dit que : P est filtrant si p 1...p n P. p P et c > 0 sup p i cp 1 i n c est dire : P est séparant si : p i cp i : 1 i n. (p (f) = 0 p P = f = 0) ( f 0, p P : p (f) 0). P est un système de semi-normes sur E s il est à la fois filtrant et séparant. Remarque 1.3.1. i) Une norme toute seule constitue toujours un système de semi-normes sur E. ii) Si P est un système de semi-normes sur E et si P Q alors Q est un système de semi-norme sur E. Théorème 1.3.1. Si P = (p 1,...p n ) est un système fini de semi-norme il est équivalent à un de ces éléments qui est une norme sur E. Démonstration. P est filtrant = p k P et c > 0 : sup p i cp k, 1 i n il suffit de prendre Q = {p k } on voit que P Q. comme P est séparant on a f = 0. Si p k (f) = 0 p i (f) = 0 i : 1 i n, Théorème 1.3.2. Si P = {P n,n N} est un système dénombrable de semi-norme sur E, l ensemble { } Q = q n = sup p i,n N 1 i n est un système de semi-norme sur E équivalent à P. Démonstration. Vu que P est filtrant Soit q n = sup p i, Q, p i P. 1 i n Soit p k {p 1,...,p n,... } p n P, q n = sup p i cp k, p k P, et c > 0. 1 i n p n sup p i = q n Q. 1 i n

CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME 13 Définition 1.3.2. Un espace linéaire à semi-normes, est un espace linéaire E muni d un système de semi-normes P sur E, noté (E,P) où E s il n y a pas d ambiguité. (E,P), un espace linéaire à semi-normes est dit normable si P est équivalent à une norme sur E. On voit que si P est fini, E est normable. (E,P) est dit métrisable si P est équivalent à système dénombrable de semi-normes sur E. Remarque 1.3.2. Si P Q (sont deux système de semi-normes sur E). Les notions topologiques introduites relativement à (E,P) et à (E,Q) sont les mêmes. Un système P de semi-normes sur E définit une topologie sur E, cette topologie coincide avec celle engendrée par une norme si le système P est fini. Et elle coincide avec celle engendrée par une métrique si P est dénombrable d ou les terminologie normable et métrisable. Convention : Si E est normable, on choisira pour P une norme ; si cette norme est fixée on dit que E est normé. Si E est métrisable, on choisira une suite de semi-normes telle que : p n p n+1, foralln. Soit L un sous-espace linéaire de E, soit p une semi-norme sur E. La restriction de p à L est une semi-norme. Si p est un système à L des éléments de P est un système de semi-norme sur L appelé système induit par P sur L. Si L est un sous espace linéaire d un espace linéaire à semi-norme (E,P),on le munit toujours du système de semi-norme induit par P. L devient un espace linéaire à semi-normes noté (L,P) ou L si aucune ambiguité n est possible. Théorème 1.3.3. Soit (E,P) un espace linéaire à semi-norme. Soit L un sous espace linéaire de dimension finie de (E,P) Si (e 1,...e n ) est une base de L alors la système de semi-norme induit par P sur L est équivalent à la norme enclidienne associée à la base (e 1...e n ). Démonstration. f L, f = ( ) 1/2 α i e i, f = α i 2 P est plus faible que la norme euclidienne sur L. ( ) p P, p (f) = p α i e i ( ) 1/2 ( ) 1/2 α i p (e i ) p (e i ) 2 p (e i ) 2 (inégalité de Schwarz ) p P, p (f) c. f < P sur L.

CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME 14 Soit f 1 L,f 1 0, comme P est séparant, p 1 P p 1 (f 1 ) 0. Considérons : L 1 = {f L : p 1 (f) = 0}, L 1 est un sous espace linéaire propre de L (f 1 / L 1 ) donc dim L 1 n 1. Si L 1 est réduit à {0} on s arrête. Si L 1 {0}, Considérons : soit f 2 L 1 : f 2 0, p 2 P p 2 (f 2 ) 0. L 2 = {f L 1 : p 2 (f) = 0}, L 2 est un sous espace propre, diml 2 n 2. Après n opérations au plus on obtient des semi-normes p 1,p 2...p n P tels que : Soit f L : Comme P est filtrant, a ces sémi-normes L n = {f L n 1 : p n (f) = 0} = {0}. p 1 (f) = p 2 (f) =... = p n (f) = 0 = f = 0. p 1...p n, p P : et c > 0 : sup p i cp. 1 i n p est une norme sur L plus fort que la norme euclidienne. Raisonnons par l absurde, Suppose que p ne soit pas plus fort que sur L. f m L : 1 = f m mp (f m ), m, (on peut supposer f m = 1 sinon, on le remplace par Ecrivons Soit f m = n α m,i e i. f m f m ). α m = (α m,1 α m,2...α m,n ) C n. ( ) 1/2 α m = α m,i 2 = f m = 1, m. α m est une suite bornée de C n. Par le théorème de Bolzano Weierstrass,( α m ) contient une sous suite ( α m ) qui converge. Soit α = lim α m = (α 1,...,α n ). ( ) 1/2 α m α = α m,i α i 2 0, m. Soit f L, f = α i e i f = α = lim α m m = 1 ( est continu)

CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME 15 soit f m = α m f = f = 1 ( f m = 1, m) Vu la première partie : Vu que p (f m ) p (f) C f m f = C α m α 0,m p (f m ) p (f). p (f m) 1 m = lim m,p(f m) = 0 = p (f). Comme p est une norme = f = 0 = α = 0. Ce qui est en contradiction avec le fait que f = 1. Corollaire 1.3.1. Dans un espaces linaire de dimension finie, tous les systèmes de seminormes sont équivalentes en particulier toutes les normes sont équivalentes. 1.4 Ouverts et fermés dans un espace linéaire à seminormes Soit (E,P) un espace linéaire à semi-normes. U E est dit ouvert si : f U, p P, r > 0 B p (f,r) = f + B p (r) U F U,F est dit fermé si E F est ouvert. On montre que F est fermé F contient tout f E : F B p (f,r) p P et r>0. On va voir si on remplace P par un système équivalent de semi-normes, ces notions changent, on a le résultat suivant. Théorème 1.4.1. Deux systèmes équivalents du semi-normes définissent les mêmes ouverts et fermés. Démonstration. Soit U un ouvert pour P f U, p P ;r > 0 : f + B p (r) U ( r ) ( r ) q Q et c > 0 : p c q = B q B p (r) = f + B q f + B p (r) U. c c Théorème 1.4.2. Toute réunion d ouverts est ouvert. Toute intersection finie d ouverts est ouvert.

CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME 16 Ce théorème montre que les ouverts ainsi définis déterminent une topologie sur E et (E,P) devient un espace topologique. Dans toute la suite, sauf mention explicite du contraire, tout espace linéaire à seminormes est munie de la topologie déterminée par son système de semi-normes. Exemples : a) - p P, r > 0 B p ( f,r 0 ) et B p (f,r) sont respectivement ouverts et fermés. - Soit en effet - Soit Soit g B p ( f,r 0 ) r < r p (g f) B p (g,r ) B p (f,r) h B p (g,r ) p (h f) p (h g) + p (g f) r + p (g f) < r. g E B p (f,r) r < p (f g) r B p (g,r ) B p (f,r) = φ = B p (g,r ) E B p (f,r). Les semi-boules B p (f,r 0 ) et B p (f,r) constituent une base de voisinage de f. En conséquence toute semi-norme sur (E,P) est continue sur E p P,p est continue car p (g) p (f) p (f g) ε si g B p (f,ε). b) - Tout f E constitue un fermé, plus généralement Soit r = 1 p (g f). 3 f,g E avec f g p P,r > 0 B p (f,r) B p (g,r) =. g f 0 P étant séparant p P p (f g) 0 h B p (f,r), p (h g) p (h f) p (f g) p (f g) r = 2r. donc h / B p (g,r). c) - Tout sous espace linéaire a dimension fine de E est fermé. Plus généralement la somme de 2 sous espaces linéaires de E. L un F fermé. L autre L de dimension finie est fermé. Supposons L = {e} (le reste se fera par recurrence sur n), e E. F + {e} est fermé. e F, {e} F = F + {e} = F fermé. e / F = p P, et r > 0 : B p (e,r) F =. f F α C p (f + αe) α r. Si α = 0 évident car p 0 (f) 0 f E.

CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME 17 Si Supposons α 0. ( ( )) ( ) f f p (f + αe) = p α α + e = α p α + e = α p ( fα ) e α r. g E : B p (g.r) (F + {e} ), p P et r > 0 = g (F + {e} ). Il suffit de prouver que g αe F pour un certain α C. p P f m F,α n C : sup ( p 0 ;p ) (g f m α m e) 0 m en effet P est filtrant q M > 0 sup ( p 0,p ) M q. D autre part comme ( B p g, 1 ) ( (F + {e} ) φ, f m + α m e B p g, 1 ) m m par conséquent. sup ( p 0,p ) (g f m α m e) M q (g f m α m e) 1 m 0,m. La suite numérique α m est de Cauchy dans C donc converge : vu que α m α n 1 r 0 p0 (f m + α m e f n α n e) 1 (f r 0p0 m + α m g) + 1 (g f r 0p0 n α n e) 0,n,m. Soit α = limα m, alors α ne dépend pas p et de la suite f m + α m e. m En effet si p et f m + α me sont telles que sup ( p 0,p ) (g f m α ne) 0,m on a α m α m 1 (f r 0p0 m + α me f m α m e) 1 ( g + f r 0p0 m + α me) + 1 (g f r 0p0 m α m α m e) 0,m. p P, on peut donc écrire : p (g αe f m ) p (g α m e f m ) + p ((α m α) e) p (g f m α m e) + α m α p (e) 0,m donc toute boule de centre g αe rencontre F, donc g αe F car F est fermé. Définition 1.4.1. L adhérence Ā de A E est l intersection des fermés contenant A. f Ā p P r > 0 B p (f,r) A φ. L intérieur A de A E est la réunion des ouverts contenus dans A. f A 0 p P, r > 0 : B p (f,r) A.

CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME 18 1.5 Suite, convergentes et suite de Cauchy Soit (E,P) un espace linéaire à semi-normes f n E converge vers f E ou tend vers f E si : V (f), r / n > r f n V p P ε > 0 N. n N, p (f n f) ε p P,p(f n f) 0,n. Propriété 1.5.1. a) - La limite d une suite convergente est unique. En effet, soient f m f,f m g. p P,p(f g) p (f f m ) + p (g f m ) 0,m = p (f g) = 0, p P donc f = g car P est séparant. b) - Toute sous suite d une suite convergente converge vers la même limite. c) - Toute combinaison linéaire de suites convergentes converge vers la combinaison linéaire correspondante de ses limites. Théorème 1.5.1. Si E est métrisable,l adhérence d une partie A de E est l ensemble des limites des suites convergentes. Démonstration. Soit B l ensemble de l énoncé. Si f B, f m A : f m f. m tout voisinage de f rencontre A donc f Ā. * E étant métrisable donc P est équivalent à un système dénombrable de semi-normes. On peut donc supposer que P = {p n : n N}, avec p ր n. Soit f Ā, m B ( p m f; 1 m) A ( f m B pm f; 1 ) m A fixons p n P, m n p n (f m f) p m (f m f) 1 m 0,m f m E est de Cauchy dans E si V (0), N : r,s N f r f s V p P s > 0; N; r,s N p (f s f r ) ε. p P, p (f r f s ) 0, i nf (r,s). Théorème 1.5.2. Toute suite convergente dans E est de Cauchy. Si f m est de Cauchy et si une des sous-suites de f m est convergente, la suite f m converge vers la même limite.

CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME 19 Démonstration. Si ε > 0, p P N : r,s N p (f r f s ) ε. f nk f, M : r M p (f mk f) ε 2 m sup (M,N) p (f m f) p (f m f mk ) + p (f mk f) ε. Définition 1.5.1. : Une partie A de E est complète si toute suite de Cauchy d éléments de A converge vers un élément de A. Exemples : a) - Si A est complet, tout sous-ensemble fermé de A est complet. b) - Tout compact de E est complet. Soit (f m ) une suite de Cauchy dans K, K étant un compact. F k : p,r;b p (f,r) contient une infimité de f m. ( i.e il existe une infimité de m : f m B p (f,r)). Supposons que toute semi-boule B p (f,r) ne contienne qu un nombre fini de f m. K étant compact, B p1 (f 1,r 1 )...,B pn (f n,r n ) : K N B pi (f i,r i ). Cela entrainerait que les termes de la suite sont finis, et cela pour toute suite de Cauchy dans E, ce qui est absurde. ε > 0, p P, N r,s N p (f r f s ) ε/2 n N : p (f n f) ε 2 p (f m f) p (f m f n ) + p (f n f) ε. Définition 1.5.2. : Un espace linéaire à semi-normes est un : - espace de Banach s il est normable et complet. - espace de Frechet s il est métrisable et complet. Tout espace linéaire à semi-norme de dimension finie est un espace de Banach : Soit n = dime;p est équivalent à la norme encludienne associée à une base donnée de E, car tous les systèmes de semi-normes sont équivalentes donc équivalentes à la norme encludienne que constitue à elle seule une système de semi-normes, par conséquent E est normables. E est complet :

CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME 20 En effet, soit f m de Cauchy dans E, si (e 1,...e n ) est une base de E f m = ( )1 2 α mi e i ; f m f n = α mi α ni 2 0,m. pour chaque i fixé. La suite numérique α mi est de Cauchy dans C donc converge vers α i C. soit f = α i e i E f m f = ( α mi α i 2 )1 2 0,m. Théorème 1.5.3. : Tout sous espace linéaire de E de Frechet pour le système de semi-norme induit est fermé dans E. Démonstration. Soit L le sous-espace en question P Q = {q n : n N} sur L Vu que (E,P) est métrisable. Si n, p n P; c > 0 : q n c p n, sur L = {p n ;n N} P sur L. f L, f m : f m m contient une intersection fini d ouverts, f m est de Cauchy dans L en effet ( B pi f, 1 ) L, vu que n n; n B pi ( f, 1 m) φ. r,s n n ( B pi f, 1 ) m p n (f r f s ) p n (f r f) + p n (f f n ) 1 r + 1 s 0,r,s. L étant complet, la suite f m f 0 L. Prouvons que f = f 0, cela revient à montrer que f m f dans E. Soit p P, n N et c > 0 : p (h) cp n (h) ; h L h L, h n L : sup (p,p n ) (h n h) 0, n par continuté la majoration est valable sur l adhérence de L. p (h) c pn (h) h L p (f m f) c p n (f m f) c 0,m. m

CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME 21 1.6 Densité et séparabilité Soient A E, D E. On dit que D est dense dans A si : f A, p P r > 0 B p (f, r) D φ A D. D n est pas nécessairement contenu dans A, par exemple Q et R Q. Q est dense dans R Q, Q R = R Q. Théorème 1.6.1 (Théorème de BAIRE). Dans un espace de Frechet, toute intersection dénombrable d ouver (dans E). U 1,U 2,... denses dans E, U = U i est dense dans E. Théorème 1.6.2 (Variante du Théorème de BAIRE). : (obtenu par passage au complémentaire). Dans un espace de Frechet, toute réunion dénombrable de fermés d intérieurs vides est d intérieur vide. Démonstration. U est dense dans E si B semi-boule dans E, B rencontre U. Soit B une semi-boule dans E. U 1 B est non vide, soit f U 1 B. p 1 P, r 1 > 0, (on peut supposer r 1 1) : B p1 (f 1,r 1 ) U 1 B f 2 U 2 B p1 (f 1,r 1 ), non vide. p 2 P, r 2 > 0, (on peut supposer p 2 p 1, r 2 < 1 2 ) : B p 2 (f 2,r 2 ) U 2 B p1 (f 1,r 1 ). De proche en proche, on détermine une suite f m E,p m E,r m > 0. p m p m 1, r m < 1 m ; B p m (f m,r m ) U m B pn 1 (f m 1,r m 1 ). La suite f m ainsi construite est de Cauchy. p P, n : p p n ( p ր n ) et on a : dès que : r 1 s n p (f r f s ) p n (f r f s ) 1 s 0, s. E étant complet, f : f m f. m, les termes de la suite (f n ) appartiennent à B pm (f m,r m ) m. Comme B pm (f m,r m ) est fermé = f B pm (f m,r m ) m donc ( ) f U m m = f B U i, f B U, B U φ.

CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME 22 Définition 1.6.1. A E, est dite séparable si A contient un sous ensemble dénombrable dense. A E, est totale dans E si A est dense dans E. Propriété 1.6.1. a) Si A est séparable = Ā, A, A, A sont séparables. Soit D un sous-ensemble dénombrable dense dans A : A D = Ā D, d où Ā est séparable.. Si D est dense dans A alors D est dense dans A Soit B = α j f j ; f, D, α j Q + iq ; B est dénombrable. (j) Soit f D = f = α i f i. (i) Soit g = (i) β i f i ; β i Q + i Q. p P p (g f) (i) α i β i p (f i ) ε, si on choisit les β i assez proche de α i. Ce qui est possible car Q + i Q est dense dans C. Toutes boules de centre un élément de D rencontre B, par suite B est dense dans D, donc B est dense dans A. b) S il existe une partie dénombrable et totale dans E alors E est séparable. En particulier tout espace linéaire de dimension finie est séparable. Si D est dénombrable : D = E. Vu que l ensemble des combinaisons linéaires rationnelles de D est dense dans E, on déduit que E contient une partie dénombrable dense, donc séparable. c) Si E est métrisable, toute partie d un ensemble séparable est séparable (le résultat est en général faux si E n est pas métrisable). Si A séparable, B A est séparable. E métrisable, soit P = {p m : m N}. Soit D = {f n : n N},D dense dans A : Considérons les ensembles non-vides de la forme D B pm ( ) f n, 1 k ).. ( Soit f m,n,k D B pm f n, 1 k {f m,n,k : m,n,k N} est dénombrable et dense dans B, contenu dans B. En effet, soit ( f B A, k,m, f n D : f m B pm f n, 1 ) ( = f B pm f n, 1 ) k k p m (f f m,n,k ) p m (f f n ) + p m (f n f m,n,k ) 1 k + 1 k = 2 k toute semi-boule de centre f rencontre D. 0k

CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME 23 1.7 Bornés; précompacts et extractables Définition 1.7.1. A E, est bornée si A est absorbée par tout voisinage de 0 autrement dit : p P, r > 0, A est absorbé par B p (r) p P, r > 0 ε > 0 : A εb p (r) p P supp (f) < +. f A Propriété 1.7.1. a) Si A 1...A n sont bornés = n A i est borné b) Si A 1...A n sont bornés α i...α n C = n α ia i est borné c) A borné = Ā, A, A bornés. Théorème 1.7.1. Soit q une semi-norme sur E (n appartient pas nécessairement à P). Si une semi-boule B q (f,r) est bornée alors q est une norme sur E plus forte que P. En particulier si une des semi-boules B p (f,r),p P est bornée alors E est normable. Démonstration. p P, supp(f) f B q(p) B q (f,r) borné = B q (r) est borné c < +, q (f) r = p (f) c donc p c q, P étant plus faible que q on ne déduite que q est une norme. r Théorème 1.7.2. Si A est un borné absolument convexe de E, la jauge p A de A est une norme sur A plus fort que le système de semi-norme induit par P sur A. Si de plus A est complet alors A est un espace de Banach pour p A et sur B pa (s) = A. Démonstration. A borné p P supp (f) c < + f A f A, p A (f) < 1 = f A = p (f) c = p cp A sur A. Donc p A est une norme sur A plus forte que P. Si A est complet donc f A, p A (f) = 1 = p A (αf) < 1, α ]0, 1[ = αf A α 1 f = lim n 1 + 1 f A. n Soit f m une suite de Cauchy dans A pour p A. La suite numérique p A (f m ) est bornée c : p A (f m ) c, m. Soit g m = f m c p A (g m ) 1 = g m A, m

CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME 24 g m est de Cauchy pour p A ε > 0, N : n,m N p A (g n g m ) ε = g m g n εa g n est ainsi de Cauchy pour P (P étant plus faible que p A ). Comme A est complet, g A : g m g pour P. n N fixé g g n = lim m (g m g n ) εa. p A (g g n ) ε g n g pour p A. = f n f = cg A pour p A. Définition 1.7.2. A E, est précompact si p P r > 0 f 1...f n E : A Remarque 1.7.1. (i) On peut exiger que les f i A. ( r En effet si A {f 1,...f n } + B p 2 avoir A {g 1,...g n } + B p (r). n B p (f i,r) = {f 1,...f n } + B p (r). ), il suffit de choisir g i A (ii) On peut exiger que les f i D où D est dense dans A. Si ( r ) A {f 1,...f n } + B p, f i A 2 { ( r )} f i + B p pour 2 il suffit prendre pour obtenir g i D { ( r )} f i + B p 2 A {g 1,...g n } + B p (r). Théorème 1.7.3. Une partie A de E est précompact si et seulement si p P et pour toute suite f m A, il existe une sous suite f nk p (f mr f ms ) 0 (r,s). Démonstration. - La condition est suffisante. En effet si A n est pas précompact Soit p P,r > 0 : A {f 1,...f n } + B p (r). f 1 E : A f 1 + B p (r), f 2 A : p. (f 2 f 1 ) > r A {f 1,f 2 } + B p (r), f 3 A : p. (f 3 f 1 ), (f 3 f 2 )p > r ainsi de suite,on construit une suite f n d éléments de A telle que p (f m f n ) > r, m n.

CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME 25 On ne peut donc par en extraire une sous-suite de Cauchy. - La condition est nécessaire Soit p P et f n A. Comme A est précompact { } A g (1) 1...g (1) n1 + B p (1). Une des semi-boules { } g (1) i + B p (1), soit g 1 + B p (1) contient une infinité de f m. Soit f m1 g 1 + B p (1).. Considérons A (g 1 + B p (1)),un sous ensemble de A donc précompact. Alors A (g 1 + B p (1)) ( Une des semi-boules g (2) 1 i +B p ( ) 2 1 g 1 + B p avec m 2 > m 1 de proche en proche. 2 Si les g 1...g n 1 et f m1,...,f mk 1 sont choisis : A [ k 1 j=1 g j + B p ( 1 j { } ( g (2) 1...g (2) 1 n2 + B p 2 ). ) ( ) 1, soit g 2 +B p,contient une infinité de f m, f n2 2 ) ] { ( ) } 1 g m (k) 1...g n (k) +Bp 1 k avec g (k) i A [ k 1 j=1 { g i + B p ( 1 j )} ]. Une des semi-boules g (k) i + B p ( 1 k ) ( ) 1, soit g k + B p k contient une infinité de f m ; f mk g k + B p ( 1 k ) avec m k > m k 1. Si s > r : p (f mr f ms ) p (f mr g r ) + p (g r g s ) + p (g s f ms ) 1 r + 1 r + 1 s 0,r s la sous-suite f mk de f m est de Cauchy dans E pour p. Théorème 1.7.4. Si E est métrisable, une partie A et E est précompact si et seulement si de toute suite f m A,on peut extraire une sous-suite de Cauchy. Démonstration. La condition est suffisante d après le théorème précédent. La condition est nécessaire. Supposons A précompact. Soit P = {p n : n N} un système dénombrable de semi-normes sur E. Soit f m A. à p 1 : f (1) m une sous-suite de f m de Cauchy pour p 1

CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME 26 à p 2 : f m (2) une sous-suite de f m (1) de Cauchy pour p 2 à p 3 : f m (3) une sous-suite de f m (2) de Cauchy pour p 3. p 1 : f (1) 1, f (1) 2, f (1) 3,... p 2 : f (2) 1, f (2) 2, f (2) 3, f (2) 4,... p 3 : f (3) 1, f (3) 2, f (3) 3, f (3) 4, f (3) 5,... p k : f (k) 1, f (k) 2, f (k) 3, f (k) k, f(k) k+1,... on pose f mk = f (k), c est une extraction diagonale de f(k) k m. f m1 = f (1) 1, f m2 = f (k) 2, f m2 = f (3) 3 i, (f mk ) k i est une sous-suite de la suite f (i) m. E. f (i) m étant de Cauchy pour chaque p i = (f mk ) k i est une suite de Cauchy pour dans Exemples : a) Toute suite de Cauchy dans E est précompact. En effet p P, r > 0 M : m,n N = p (f m f n ) r en particulier p (f m f N ) r, m N m N f m f n + B p (r). {f n } {f 1, f 2...,f N } + B p (r). b) Tout borné de dimension finie de E est précompact. A E de dimension < + A est de dimension < +. Soit A, un borné de E. A {e 1,...e n } = L, e 1...e n linéairement independant. Le système de semi-normes sur L est équivalent à la norme eucludienne sur L. Soit f m une suite dans A., A borné. { f m } est bornée car p, c : p (f) c, f A posons f m = f m = α mi e i ( α m = (α m1,α m2. α m = f m, α mi 2 )1 2. α mn ) C n α m

CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME 27 est une suite bornée de C n, vu le théorème de Bolzano-weierstrass α m contient une soussuite α m qui converge dans C n, donc de Cauchy dans C n. f m est correspondante à α m est de Cauchy pour dans L donc de Cauchy dans E, d ou A est précompact. c) Tout compact est précompact : Propriété 1.7.2. alors K h k {f + B p (r i )} = K n {f i + B p (r i)} {f 1...f n } + B p. a) - Toute union finie de précompacts est précompacte. Si { } ( ) A i f (i) 1, f (i) 2, f n (i) ε i + B p n α i α i A i e i { f (i) 1, f (i) n i } + B p (ε). c) - A précompact = Ā, A, A sont précompact ; pour Ā c est évident car n A B p (f i, r) qui est fermé réunion finie de fermés donc Ā n B p (f i, r), car il est le plus petit fermé contenant : A est précompact? p f, r > 0, f 1...f n : A {f 1, f n } + B p ( r 2 f 1, f n est un borné de dimension finie donc précompact. En effet : f f 1... f n. f = α i f i α i 1. g 1 g n p (f) α i p (f i ) α i sup p (f i ) sup p (f i ) = C. i i n i i n tel que ( r ) f 1, f n {g 1, g n } + B p = fa {g 1, g n } + B p (r). 2 c) - Tout précompact est borné )

CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME 28 (La réciproque n est en général pas vraie sauf si A est de dimension finie) p P, f 1,...f n : A {f 1,...,f n } + B p (1) f A, f i : f f i +B p (1) = p (f) p (f i )+1 (p (f) p (f i ) p (f f i ) 1) f A, p (f) sup p ( f i ) + 1 = C. i i n d) - Si E est métrisable, A compact = A séparable. (Si E n est pas métrisable, c est en général faux). Soit P = {p n : n N} m,n, F m,n A : A F m,n + B pn ( 1 m posons D = m,n F m,n, D est dénombrable et D A. ) Si D est dense dans A. En effet : 1 p n, r > 0 m : m r. ( ) ( 1 1 f A, g F m,n : f g + B pn = g f + B pn m m ). Théorème 1.7.5. Si une des semi-boule B p (f,r) avec p P est précompact, alors l espace E est de dimension finie. Le théorème dit que les espaces de dimension finie sont les seuls espaces à avoir des système de voisinages précompacts. Démonstration. Il suffit de montrer que f 1 f n E : E f 1...f n. B p (f,r) précompact = B p (1) = 1 r [f B p (f,r)] est précompact donc borné, Vu un théorème antérieur {p}est une norme à P. Soit ε ]0, 1[, f 1 f n E : B p (1) {f 1 f n } + ε B p (1) f B p (1) f = f i1 + ε gi, f i1 {f 1 f n }, g 1 B p (1) g 1 B p (1), f i2,g 2 : g 1 = f i2 + ε g2 avec f i2 {f 1 f n },g 2 B p (1) donc f = f i1 + ε f i2 + ε 2 g 2.On obtient ainsi une suite f ik : i k {1, 2...n},g k B p (1) finalement f = f i1 + ε f i2 + ε 2 f i3 +... + ε m 1 f im + ε m g m, m. m f ε k 1 f ik = 2 m g m k=1

CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME 29 ( p f donc ) m ε k 1 f ik = ε m p (g m ) ε m 0,m k=1 m ε k 1 f ik f dans E. k=1 m ε k 1 f ik f 1...f n, m k=1 m = lim ε k 1 f ik = f f 1,...f n = fermé (Vu un théorème antérieur). m k=1 Comme : B p (1) = E = E f 1...f n soit E = f 1...f n. Définition 1.7.3. Soit A E, on dit que A est extractable si de toute suite f m A,on peut extraire une sous-suite f mk qui converge vers un élément de A. Propriété 1.7.3. a) - Toute réunion finie d extractables est extractable (ce n est pas vrai si la réunion n est pas finie ). Soit f m n A i, les A i sont en nombre fini donc il existe i 0 tel que A i0 contient les f m pour une infinité de m, donc une sous-suite f m de f m :,A i0 étant extractable on peut extraire une sous-suite f m de f m : qui converge vers un élément de A i0 donc de n A i. b) - A i,i I extractable A i est extractable. Soit f m n A i alors i0 fixé dans If m A i0. i I Commr A i0 est exctractable, il contient une sous-suite f mk qui converge vers f A i0. i, f mk A i = f mkj de f mk dans A i = f mkj f = f A i0. c) - Si A i...a n sont exctractable, α 1...α n C alors n i α ia i est extractable., il suffit de prouver que si Soit A,B extractables = αa + B est extractable, α C. f m αa + B = f m = α gm + h m,g m A,h m B de g m, on peut extraire une sous-suite g m g A. Considérons la sous-suite h m correspondant à g m, on peut extraire une sous-suite h m qui converge vers h B, à h m on considère la sous-suite g m correspondante, g m g. Considérons f m = αg m + h m α g + h α A + B.

CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME 30 d) - A extractable A précompact et complet. f m A; {f mk } contient {f mk } f A en particulier {f mk } est de Cauchy donc, A est précompact. Si f m est de Cauchy, f mk f A = f m f A. Théorème 1.7.6. Si E est métrisable, on a A compact A extractable A pécompact complet. Démonstration. On sait que A compact = A précompact complet A extractable = A précompact complet. Il reste à prouver que : A précompact = A extractable et complet. A précompact complet = A extractable? f m A, = f mk de Cauchy donc converge vers f A. A précompact complet = A complet? Raisonnons par l absurde, supposons A non compact : = un recouvrement ouvert {Ω i } i I de A dont on ne peut extraire aucun recouvrement fini. J fini, J I A i J Ω i φ. Soit le système de sémi-normes sur E. A étant précompact, P = {p n : n N p n p n+1 } A f (1) 1, f n (1) 1 A : { } ( f (1) 1 1, f n (1) 1 + B p1 2 ne peut être recouvert par un nombre fini de Ω i. C est à dire [ ( )] 1 A f 1 + B p1 Ω i φ, J fini I. 2 i J ) A f 1 + B p1 ( 1 2 ) étant précompact par le même raisonnement f 2 A [ ( )] 1 f 1 + B p1 : 2 A [ ( )] ( )] 1 12 f 1 + B p1 [f 2 + B p2 Ω 2 2 i φ, J fini I. i J

CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME 31 De proche en proche, on détermine une suite f m A : [ ( )] 1 f 1 + B p1 2 f m+1 f m + B pm 1 2 et A [ f 2 + B p2 ( 1 2 ne peut être recouvert par un nombre fini de Ω i, en particulier, [ ( )] 1 f m + B pm Ω 2 m i 0, J fini I. i J La suite f m ainsi construite est de Cauchy : En effet : m, r s m. )] [ ( )] 1... f m + B pm 2 m A étant complet, Ω i0 étant ouvert, p m (f r f s ) p m (f r f r 1 ) +... + p m (f s 1 f s ) m assez grand on a : et c est à dire dès que 1 2 r 0 m 2 p r (f r f r 1 ) +... + p s 1 (f s 1 f s ) 1 2 +... + 1 0,r,s. r 2s 1 ( 1 f }{{} m +B pm 2 m f A : f m f. f A = i 0 I : f Ω i0. p n0,r 0 > 0 : f + B pn0 (r 0 ) Ω i0. ( r0 ) f m f + B pn0 (f m f) 2 ( ) 1 ( r0 ) B pm B 2 m pn0, 2 et on a : ) ( r0 ) f + B pn0 = f + B pn0 (r 0 ) Ω i0. } {{ 2 } } {{ } Ce qui contredit le fait les f m + B pm ( 1 2 m ) ne peuvent pas être reconverts par un nombre fini des Ω i. Donc A est compact.

CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME 32 1.8 Produit fini d espaces linéaires à semi-normes Soient (E 1,P 1 ), (E 2,P 2 ),...,(E n, P n ) espaces linéaires à semi-normes. On appelle produit des espaces linéaires (E i,p i ) à sémi-norme, l espace linéaire n muni du système de semi-normes défini par : f = (f i,...,f n ) n E i ;p P. p (f) = sup p i (f i ), p i P i 1 i n on vérifie aisément que l on a un système de semi-normes. E i Vu que on a : p (αf) sup p i (αf i ) = α = sup p i (f i ) = α p (f) 1 i n 1 i n p i (f i ) sup p j (f j ) 1 i n Soit Soit p (f + g) = sup p i (f i + g i ) sup p i (f i ) + sup p i (g i ) = p (f) + p (g). 1 i n 1 i n 1 i n donc P est filtrant. Si p (f) = 0 p 1,...p r P p j (f) = sup p j i (f i), p j i P i, 1 i n i, c i ; q i : sup p j i c iq i. 1 i r C = sup c i, q = sup q i 1 i n 1 i n sup p j c q, 1 i r p P = sup p i (f i ) = 0, p i P i 1 i n j = 1, 2...r. p i (f i ) = 0 = f i = 0, i, soit f = 0, le système est séparant. Notons aussi que ce système de semi-normes est équivalent aux systèmes. P : p (f) = p i (f i ), p i P i, p P P : p (f) = ( p 2 i (f i ) )1 2, p i P i, p P.

CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME 33 Théorème 1.8.1. Une partie U de E i est ouvert pour la topologie définie par son système de semi-normes P si et seulement si elle est réunion de partie de la forme U i, où U, est ouvert dans E. Démonstration. La condition est nécessaire : En effet, soit U un ouvert de n E i f = (f 1,...,f n ) U, p = sup p i (abus de notation), p i P i,r > 0 : f + B p (r) U 1 i n d autre part donc [ f1 + B p1 B p (r) = B p1 (r) B p2 (r)... B pn (r) ( r 0 )] [ f 2 + B p2 ( r 0 )]... ([ f n + B pn ( r 0 )]) U soit U = la réunion des éléments de cette forme (ci-dessus) [ ( U = f1 + B )] p1 r 0 [ ( f 2 + B )] p2 r 0... [ ( f n + B )] pn r 0. f=(f 1,...,f n) U La condition est suffisante. De fait, soit U i un ouvert dans E i. Soit Si on pose on voit que f = U = f 1,...,f n n i, f i U i p i,r i > 0 : f i + B pi (r i ) U i. r = inf 1 i n r i, U i p = sup p i 1 i n f 1 +B p (r) = [f 1 + B p1 (r)]... [f n + B pn (r)] U = [f 1 + B p1 (r 1 )]... [f n + B pn (r n )] n E r. Propriété 1.8.1. a) - Une suite d élément de n E r est convergente (rep de Cauchy si et seulement si rsn projection sur E i est convergente (rep de Cauchy). Il suffit de voir que : si on pose p = sup p i, p i (f i ) p (f) = p = sup p i (f i ). 1 i n 1 i n Si p (f) 0 = p i (f i ) 0, i = p (f) 0.

CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME 34 b) - Tout produit fini d espace nombrable (rep métrisable de Banach de Frechet) est nombrable, (rep métrisable de Banach, de Frechet. L espace n E i est séparable = i,e i est séparable. Une partie A de n c i est bornée (rep précompact) i, sa projection sur E i est bornée (rep précompact). Si A précompact, i fixé soit p j P. Compétitions p j pour obtenir une semi-norme p = sup p i 1 i n r > 0, f (m) = A ( ) f (m) 1, f (n) 2, f n (n) n E i, mm k (un nombre fini) : k [ f (m) + B p (r) ] = A j n=1 Réciproquement : Supposons A i précompact i. Soit = A A 1 A 2... A n k [ f (m) + B pi (r) ]. n=1 p = sup p i, r > 0 : 1 i n i, f (1) i,...f (k i) i E i : A i k 1 k 2 k 3 m 1 =1 m 2 =1 m 3 =1... k ( f (m) + B p (r) ) n=1 k n m n=1 (f m 1 1, f m 2 2,...f mn ) + B p (r). Remarque 1.8.1. Si on remplace précompact par compact; la propriété d) n est pas valable. on prend par exemple A le disque ouvert plus 4 points bien disposés.a n est pas compact pourtant la projection de A sur chaque axe est compact. 1.9 Applications aux opérateurs linéaires et aux fonctionnelles linéaires 1.9.1 Opérateurs linéaires Soient E,F deux espaces linéaires Un opérateur linéaire de E dans F est une application F,E F telle que : T (αf + βg) = α T (f) + βt (g) f,g E ; α,β C. On appelle image par T de A E l ensemble : TA = {Tf f A} en particulier l image de T est T E notée R (T) n

CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME 35 l image inverse par T de B F est : T 1 B = {f E : Tf B} le noyau de T est T 1 {0} noté N (T) R (T) et N (T) sont des sous-espaces linéaires de F respectivement de E. Soit T un opérateur linéaire de E dans F., q une sémi-norme sur F l application E R : f q (Tf) est une semi-norme sur E. En effet : q (T (αf)) = α q (Tf) : α C, f E q (T (f + g)) = q (Tf + Tg) q (Tf) + q (Tg), f,g E. Soient (E,P) et (F,Q) des espaces linéaires à semi-normes. Un opérateur linéaire T de E dans F est continue s il est continue en tout par f E f E n voisinage de T (f), V voisinage de f : g V = T (g) W f E, q i Q ε > 0 p P r > 0 : p (g f) r = q (T g Tf) ε f E q Q ε > 0 T 1 B q (Tf,ε) et un voisinage de f. Théorème 1.9.1. Si T est un opérateur linéaire de E dans F les assertion suivantes sont équivalentes : (i) T est continue (ii) T est continue en 0 (iii) q Q ε > 0, T 1 B q (ε) est un voisinage de 0 (iv) q Q p P c > 0 q (Tf) = cp (f), f E. Démonstration. (i) = (ii) ; (ii) = (iii) (évident). T 1 B q (ε) voisinage de 0 = p P.,r > 0. ( B p (r) T 1 B q (ε) p (f) r, = q (Tf)ε ) = q (Tf) ε p (f). f E. r (ii) = (i) f E, q Q.ε > 0, p P,c > 0 ( g B p f, ε ) = p (g f) ε c c = q (T g T f ) = q (T (g f)) ε. Exemple : Si E est de dimension finie tout opérateur linéaire de E dans F est continu. Si (l i...l n ) est une base de E f = α i f i E q Q

CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME 36 on peut écrire ( ) q (Tf) = q α i T (l i ) ( )1 ( 2 α i q (Tl i ) α i 1 q ( 2 T (l i ) 2))1 c f. T est continue. Théorème 1.9.2. Si T est un opérateur linéaire continu de E dans F, alors l image par T de E. - Toute suite convergente (resp de Cauchy) est une suite convergente (resp de Cauchy). - Tout borné (resp compact, précompact extractable) est borné (resp compact, précompact, extractable). Démonstration. - Soit f m f, q Q, p P, c > 0 - Soit A E. Si A est borné donc q (Tf m Tf) c p (f m f) 0, m q (Tf s Tfr) c p (f r fs) 0, r,s. p P, supp (f) < + f A q Q, p P : q (Tf) c p (f), f A sup f A q (Tf) csupp (f) < +. f A Si A est compact : Soit (V i ) i I un recouvrement ouvert de TA, (T 1 (V i )) i I et un recouvrement ouvert de A : n = n : A T 1 (V i ) par suite n V i TA. Si A est précompact. Soit q Q, r > 0 : p P, c > 0 q (Tf) c p (f). ( r ) f 1,...f n A : A {f 1,...f n } + B p = TA {Tf 1,...Tf n } + B q (r). c Si A est extractable. Soit g m une suite d éléments de TA,..., f m A. Tf m = g m. A étant extractable, f mk, une sous-suite de f m f A, mais Tf m est une sous-suite de g m g T A, vu ce qui précède.

CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME 37 Théorème 1.9.3. Si E est métrisable, un opérateur linéaire de E dans F est continu si et seulement si transforme toute suite tendance vers 0 en une suite bornée. Démonstration. La condition est suffisante. En effet supposons T non continu posons = q Q, f m E : 1 = q (Tf m ) > m 2 p m (f m ) g m = mf m 0,m,p m (g m ) = mp m (f m ) 1 m 0,m q (Tg m ) = m q (Tf m ) = m, m, ce qui est absurde. (Tg m ). La condition est évidemment nécéssaire. Théorème 1.9.4. Si E est de Frechet, un opérateur linéaire T : E F est continu si et seulement si q Q, ε > 0T 1 B q (ε) est fermé dans E. Démonstration. La condition est trivialement nécéssaire. La condition est suffisante, soit q Q, soit ε > 0 : T 1 B q (ε) soit fermé dans E. T 1 B q (ε) es absolument convexe et aborbant. Donc E = (réunion de fermer, dénombrable). E = E φ, Vu le théorème de Baire donc m : est un voisinage de 0 donc T est continu. m=1 T 1 B q (ε) 0 m T 1 B q (ε) φ 0 T 1 B q (ε) φ, T 1 B q (ε) 1.9.2 Théorème du graphe fermé : Soit T un opérateur linéaire de E F. Le graphe de T est l ensemble G (T) = {(f,t f ) f E}. Le graphe de T est un sous-espace linéaire de E F. Si T est continu = G (T) est fermé dans E F.

CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME 38 En effet si T continu mais alors (f,g) / G (T) = g Tf = q Q,r > 0 : B q (g,ε) B q (Tf,ε) =. = p P,r > 0 : T B p (f,r) B q (Tf,ε) T B p (f,r) B q (g,ε) = φ = [B p (f,r) B q (g,ε)] G (T) = φ. Si E et F sont métrisables, E F est aussi métrisable. Dans ce cas G (T) est fermé dans E F ((f m,tf m ) (f,g) = Tf = g) (f } m f dans E = g = Tf). Tf m g dans F Théorème 1.9.5 (du graphe fermé). Si E etf sont de l espace de Frechet. Un opérateur linéaire T de E dans F est continu si et seulement si il vérifie l assertion (f m f dans E, Tf m g dans F) = g = Tf. Démonstration. La condition est éidemment nécessaire. La condition est nécessaire suffisante. Il suffit de prouver que q Q, T 1 B q (1) est un voisinage de 0. Posons B = B q (1), T 1 B est absolument convexe et absorbant. Vu le théorème de Baire E = m : m m=1 m T 1 B = m=1 0 T 1 B φ = m T 1 B. 0 T 1 B φ. Donc T 1 B est un voisinage de 0. Par conséquent p P,r > 0 : Bp (r) T 1 B. Soit q 1 q 2... lessémi-normes qui majorent q (de Q). Considérons ( ) ( ) ( ) 1 1 1 B 1 = B q1, B 2 = B q2,...b 2 2 2 m = B qm... 2 m par le même raisonnement que précédemment p 1 P,r 1 > 0 : Bp 1 (r 1 ) T 1 B 1, p 1 p, r 1 < 1 2 p 2 P,r 2 > 0 : Bp 2 (r 2 ) T 1 B 2, p 2 p 1, r 2 < 1 2 2 p m P,r m > 0 : Bp m (r m ) T 1 B m, p m p m 1, r m < 1 2 m.

CHAPITRE 1. ESPACES LINÉAIRES À SEMI NORME 39 Montrons que T 1 B 2T 1 B. Soit f T 1 B, successivement La suite f 0 T 1 B : f f 0 B p1 (r 1 ) T 1 B 1 f 2 T 1 B 1 : f f 0 f 1 B p1 (r 1 ) T 1 B 1. f m T 1 B m : f f 0 f 1...f m B pm (r m ) T 1 B m. m f k f, m car p m (f k=0 Considérons m k=0 Tf k, est telle que n, r, s n ) m f k 0, m. ( s ) s s s 1 q n Tf k q n (Tf k ) q k (Tf k ) 0, r, s 2k k=r k=r k=r k=r par conséquent m k=0 Tf k est une suite de Cauchy dans F de Frechet donc : m g F : Tf k g on note que : et que on a alors : car k=0 Tf 0 B, Tf k B k 2 k B, k 1 Vu que B k = 2 k Bq m (1) k=0 B = Bq (1) avec q q k Bq m (1) B q (1) m Tf k B + k=0 ( m 2 k B = 1 + k=1 1 + s 2 )B k 2B, m. k=1 m 2 k < 2 et B est absolument convexe donc g 2B. Vu l hypothèse du théorème : ( m m ) f k f dans E,T f k g dans F = g = Tf k=0 k=1 k=0 g = Tf 2B = f 2T 1 B. on conclut que 2T 1 B est un voisinage de 0 donc T 1 B q (1) est un voisinage de 0 et par suite T est continu.