Probabilité conditionnelle ; indéendance de deux événements on se limitera au cas où l'ensemble d'éreuves est ni). Alication à des calculs de robabilités. Chantal Menini 13 mai 2009 1 Introduction. Nous commençerons ar un exemle. En 2005-2006 les eectifs exrimés en milliers) en classes réaratoires se réartissaient de la façon suivante Source Insee : Regards sur le arité www.educnet.education.fr/insee/ ). Filles Garçons Scientique 13.8 33.5 Economique 8.8 7.2 Littéraire 8.5 2.9 On eut alors se oser les questions suivantes : si l'on rend au hasard un élève de classe réaratoire quelle est la robabilité que ce soit une lle? Quelle est la robabilité que ce soit une lle et qu'elle soit en réaration scientique? Sachant que c'est une lle qu'elle est la robabilité qu'elle soit en réaration scientique? Pour réondre à ces questions il faut comléter le tableau en calculant les eectifs totaux suivants Filles Garçons Total Scientique 13.8 33.5 Economique 8.8 7.2 Littéraire 8.5 2.9 Total 31.1 43.6 74.7 Pour le calcul des deux remières robabilités on modélise en renant our univers l'ensemble des élèves de classes réaratoires que l'on munit de la robabilité uniforme. La robabilité qu'un élève ris au hasard soit une lle nous noterons F cet événement) est alors la fréquence des lles soit P F ) = 31.1 74.7 0.42 et la robabilité qu'un élève ris au hasard soit une lle et en réaration scientique nous noterons F S cet événement) est de même P F S) = 13.8 74.7 0.18. Pour le troisième calcul la modélisation se fera en renant our univers l'ensemble des lles de classe réaratoire muni de la robabilité uniforme et la robalité qu'une lle rise au hasard soit en réaration scientique est alors = 13.8 31.1 0.44. P F S) On remarquera alors que = P F ), on aellera cette robabilité robabilité conditionnée ar F ou encore robabilité sachant F. 2 Probabilité conditionnelle Dans tout ce qui suit nous travaillerons sur un esace robabilisé Ω, PΩ), P ). Dénition 2.1 Soient A un événement tel que > 0 et B un autre événement. On aelle robabilité de B conditionnée ar A ou robabilité de B sachant A le réel, noté P A B), déni ar Remarque 2.2 P A A) = 1 P A B) = Proosition 2.3 P A est une robabilité sur Ω, PΩ)). P B A). 1
Preuve. P A est bien une alication dénie sur PΩ) et à valeurs dans R +. P A Ω) = P Ω A) = = 1 et si B et C sont deux événements incomatibles, alors B A et C A sont incomatibles et P B C) A) P B A) C A)) P B A) P C A) P A B C) = = = + = P A B) + P A C). Remarque 2.4 Une conséquence imortante est que toutes les roriétés connues des robabilités sont valables our une robabilité conditionnée selon un événement. Proosition 2.5 Soient A et B deux événements tels que P A B) > 0 alors P A ) B = P A B). Preuve. Commençons ar remarquer que P A est bien déni uisque P A B) > 0 et P A B) > 0. Pour tout événement E, P A ) B E) = P AB E) P A B) = P A B E)) P A B) = P A B)E). 3 Indéendance. Dénition 3.1 Soient A et B deux événements d'un esace robabilisé Ω, PΩ), P ) avec > 0. Alors B est indéendant de A si P A B) = P B). Remarque 3.2 Avec la dénition de la robabilité conditionnée ar A on voit que P A B) = P B) équivaut à P B A) = P B) ce qui nous conduit à la dénition lus générale suivante. Dénition 3.3 Soit Ω, PΩ), P ) un esace robabilisé, alors 1. Deux événements A et B sont dits indéendants si P A B) = P B). 2. N événements A 1,...,A N sont dits indéendants dans leur ensemble si our tout comris entre 2 et N, tous indices 1 i 1 < < i N on a P A i1... A i ) = P A i1 ) P A i ). Remarque 3.4 Indéendance et incomatibilité sont deux choses diérentes, en eet si deux événements A et B de robabilité non nulle sont incomatibles alors P A B) = 0 P B). L'indéendance dans leur ensemble de N événements imlique l'indéendance deux à deux faire = 2 dans la dénition) mais la réciroque est fausse. Pour s'en convaincre on eut faire l'exercice suivant. Exercice 1. On jette deux dés de façon indéendante et équirobable. Soient A l'événement le chire du remier dé est imair, B l'événement le chire du deuxième dé est air et C l'événement les deux dés ont la même arité. Montrer que A, B et C sont indéendants deux à deux mais ne sont as indéendants dans leur ensemble. Proosition 3.5 Soient A et B deux événements indéendants alors A et B sont indéendants. Cette roriété se généralise à un nombre ni d'événements. Preuve. P A B) = P A B) = P B) = 1 P B)) = P B). 4 Deux résultats de décomosition. 4.1 Probabilités conditionnelles comosées. Proosition 4.1 Soient Ω, PΩ), P ) un esace robabilisé, A et B deux événements avec > 0 alors P A B) = P A B). Preuve. Ceci résulte directement de la dénition de la robabilité conditionnée ar A. Proosition 4.2 Soient Ω, PΩ), P ) un esace robabilisé, A i ) 1 i n une suite nie d'événements tels que P 1 i n 1 i) A > 0 ; on a P 1 i n A i = P A 1 )P A1 A 2 )P A1 A 2)A 3 ) P A1... A n 1)A n ). 2
Preuve. Commençons ar remarquer que toutes les robabilités conditionnées introduites sont bien dénies uisque our tout entier comris entre 1 et n 1, P 1 i i) A P 1 i n 1 i) A > 0. La reuve se fait ar récurrence sur n. Soit H n ) l'hyothèse de récurrence : A i ) 1 i n une suite nie d'événements tels que P 1 i n 1 i) A > 0 alors P 1 i n i) A = P A 1 )P A1 A 2 )P A1 A 2)A 3 ) P A1... A n 1)A n ). H 2 ) est vériée c'est la rosition 4.1). Montrons que H n ) imlique H n+1 ) our n 2. P 1 i n i) A > 0 et avec la roosition 4.1 P 1 i n+1 A i = P A 1... A n )P A1... A n)a n+1 ). Puis en utilisant H n ) cf. P A 1... A n 1 ) P A 1... A n ) > 0) on a H n+1 ). H 2 ) est vériée, H n ) imlique H n+1 ) our tout n 2 donc H n ) est vérié our tout n 2. 4.2 Formule des robabilités totales. Dénition 4.3 Une famille nie d'événements A i ) 1 i n deux à deux incomatibles et tels que 1 i n A i = Ω est aelée système comlet d'événements. Théorème 4.4 Soient Ω, PΩ), P ) un esace robabilisé et A i ) 1 i n un système comlet d'événements ayant tous une robabilité strictement ositive, alors our tout événement A = n P A i )P Ai A). i=1 Preuve. = P A 1 i n A i)) = n i=1 P A A i) et le résultat nal avec la roosition 4.1. 4.3 Arbre de robabilité. P B) P C) P A E) A E A P A E) A E P B E) B E B P B E) B E P C E) C E C P C E) C E Les rêgles de calculs dans un arbre de robabilités sont les suivantes : Pour calculer la robabilité d'un événement gurant au bout d'une branche, on fait le roduit des robabilités gurant sur les branches conduisant à cet événement on arlera de la robabilité du chemin). Cette rêgle n'est autre que la roriété des robabilités comosées. Par exemle ici P A E) = P A E). La robabilité d'un événement est la somme des robabilités des chemins conduisant à cet événement. Cette rêgle est la formule des robabilités totales. Par exemle ici P E) = P A E) + P B)P B E) + P C)P C E). La somme des robabilités des branches ayant même origine vaut 1. Ceci rovient du fait que sur les branches gurent des robabilités et que l'on a un système comlet d'événements. Par exemle ici P A E) + P A E) = 1. Exercice. 2 Une exérience est conduite our étudier la mémoire des rats. Un rat est mis devant trois couloirs. Au bout de l'un d'eux se trouve la nourriture qu'il aime, au bout des deux autres, il reçoit une décharge électrique. Cette exérience élémentaire est réétée au lus 50 fois et s'arrète dès que le rat a trouvé le bon couloir. Sous chacune des hyothèses suivantes : 3
H 1 ) le rat n'a aucun souvenir des exériences antérieures, H 2 ) le rat se souvient de l'exérience immédiatement récédente, H 3 ) le rat se souvient des deux exériences récédentes, avec qu'elle robabilité la remière tentative réussie est-elle la remière? la deuxième? la troisième? la -ième? Avec qu'elle robabilité aura t-il échoué à chacune des 50 tentatives? 5 Probabilité des causes. Très souvent lorsque l'on connait P A B), l'événement A est considéré comme la cause et l'événement B comme la conséquence ; ar exemle si on considère un test de déistage d'une maladie A sera l'événement la ersonne est malade et B le test est ositif. Mais souvent on a besoin de connaitre la robabilité de la cause sachant la conséquence ; si on rerend l'exemle du test de déistage, sachant que le test est ositif on veut connaitre la robabilité que la ersonne soit malade. Nous utiliserons our cela la formule de Bayes. Lemme 5.1 Soient Ω, PΩ), P ) un esace robabilisé, A 1 et A 2 deux événements de robabilité non nulle alors P A1 A 2 ) = P A2 A 1 ) P A 2) P A 1 ). Preuve. D'arès la roosition 4.1 P A 1 )P A1 A 2 ) = P A 1 A 2 ) = P A 2 )P A2 A 1 ). Théorème 5.2 Formule de Bayes) Soient Ω, PΩ), P ) un esace robabilisé et A i ) 1 i n un système comlet d'événements tels que our tout i P A i ) > 0. Alors our tout événement A de robabilité non nulle et our tout i P A A i ) = P A i)p Ai A) n. P A j )P Aj A) j=1 Preuve. Avec le lemme ci-dessus P A A i ) = P Ai)P A i A) et on termine avec la formule des robabilités totales. Exercice 3. On considère un test servant à déister une maladie. Soient les événements M =l'individu est malade et P 0 =le test est ositif. On sait exérimentalement que P M P 0 ) = 10 3 et que P M P 0 ) = 2 10 3 aliqué à une maladie qui touche un individu sur 10000. Calculer la robabilité que l'individu soit malade lorsque le test est ositif. 6 Modélisation d'un sytème évolutif. Un exercice tye que l'on trouve dans tout chaitre sur les robabiltés conditionnelles est le suivant Exercice 4. On disose de deux urnes U 1 et U 2, dans l'urne U 1 il y a 7 boules noires et 3 blanches et dans l'urne U 2 il y a 9 boules noires et 11 blanches, les boules sont indiscernables au toucher. On choisit une urne au hasard uis on tire une boule, qu'elle est la robabilité de tirer une boule noire? Exercice que l'on résolvera de la façon suivante. On note U i l'événement choix de l'urne U i et N res. B) l'événement choix de la boule noire res. blanche). Le choix des urnes est équirobable donc P U 1 ) = P U 2 ) = 1/2. Dans chaque urne les boules sont indiscernables au toucher donc il y a encore équirobabilité, d'où P U1 N) = 7 7+3 et P U 2 N) = 9 9+11. Avec la formule des robabilités totales P N) = 1 2 7 10 + 9 20 ) = 0.575. On constate que l'information donnée ar l'enoncé induit la connaissance de P Ui et non celle du modèle robabiliste Ω, PΩ), P ) our lequel P Ui est la robabilité conditionnée ar l'événement U i. On doit donc se oser la question de l'existence d'un tel modèle. Proosition 6.1 Soient Ω i, 1 i n des ensembles nis ; on suose connu la robabilité sur Ω 1 notée 1, our tout 2 n et tout ω 1,..., ω 1 ) Ω 1 Ω 1, la robabilité sur Ω notée ω1,...,ω 1). Alors il existe un esace robabilisé Ω, PΩ), P ) tel que P {ω 1 } Ω 2 Ω n ) = 1 {ω 1 }) P {ω1} {ω 1 } Ω Ω n){ω 1 } {ω } Ω +1 Ω n ) = ω1,...,ω 1) {ω }) 1) On eut rendre Ω = Ω 1 Ω n et P déni ar P {ω 1 } {ω n }) = 1 {ω 1 }) ω1) 2 {ω 2 }) ω1,...,ωn 1) n {ω n }). 4
Remarque 6.2 Lorsque our tout ω1,...,ω 1) ne déend as de ω 1,..., ω 1 ) mais uniquement de, alors, la robabilité P obtenue est la robabilité roduit et les événements Ω 1 Ω 1 {ω } Ω +1 Ω n et Ω 1 Ω j 1 {ω j } Ω j+1 Ω n sont indéendants our tout j. Preuve. P est donné sur les événements élémentaires de Ω et est à valeurs ositives. Raelons que l'alication dénie sur PΩ) ar P E) = P {ω}) sera bien une robabilité si et seulement si P {ω}) = 1 cf. leçon 04). En utilisant ω E que our tout, ω1,...,ω 1) P {ω}) = 1 {ω 1 }) ω Ω ω 1 Ω 1 est une robabilité nous avons que ω 1) 2 {ω 2 })... ω 2 Ω 2 ω Ω ω 1,...,ω n 1) n {ω n }) ω n Ω n En outre la relation 1) se vérie aisémént. Si l'on revient à notre exemle avec les urnes, Ω 1 = {1, 2} et 1 {1}) = 1 {2}) = 1/2 modélisation du choix de l'urne) ; Ω 2 = {n, b} et 1) 2 {n}) = 7 10, 2) 2 {n}) = 9 20. Alors Ω = {1, n), 2, n), 1, b), 2, b)} et P {1, n)}) = 1 7 2 10,etc...En utilisant que U i = {i, n), i, b)} our i = 1 ou 2 et que N = {1, n), 2, n)} on a bien que P U i ) = 1/2 et P U1 N) = 7 10 etc... )... ) = 1. Remarque 6.3 0n notera que dans les exercices 2 et 3 aussi l'enoncé nous donne des indications directes sur les robabilités conditionnés ar la ou les étaes récédentes. 7 Quelques classiques. 7.1 Ruine du joueur. Un joueur a a euros en oche et il décide de jouer à un jeu our lequel il mise à chaque artie euros, s'il erd la artie il erd sa mise, s'il gagne la artie il remorte le double de sa mise. Les arties sont indéendantes et il a la robabilité de gagner une artie. Il s'est xé comme objectif de gagner 2a euros, il arrète de jouer et reart avec cette somme dès qu'il a atteint cet objectif ou bien il reart ruiné dès qu'il n'a lus d'argent disonible. Le but est de calculer la robabilité P n) que le joueur atteigne son objectif de gagner 2a euros lorsqu'il a n euros en oche. Avec la formule des robabilités totales en admettant que la robabilité qu'il atteigne son objectif lorsqu'il a n euros en oche sachant qu'il gagne la artie suivante est égal à la robabilité qu'il atteigne son objectif lorsqu'il a n + euros en oche) P n) = P n + ) + 1 )P n ). En renant our simlier a un multile de, nous obtenons que la suite de terme général u l = P l) satisfait la relation de récurrence u l+2 1 u l+1 + 1 u l = 0 avec our conditions aux bords u 0 = P 0) = 0 et u 2a = P 2a) = 1. Nous avons une relation de récurrence d'ordre 2 et our déterminer le terme général de la suite il faut chercher les racines de l'équation du second degré x 2 1 x + 1 = 0 qui sont 1 et 1. Elles sont distinctes our 1/2 our tous les jeux de casino est strictement inférieur à 1/2) et alors u l = α + β 1 ) l, α et β étant déterminés ar les conditions u0 = 0 et u 2a P a) = u a/ = 1 1 )a/ 1 1 = 1 )2a/ 1 + 1 = 1. Ce qui donne )a/, robabilité qui est maximale lorsque l'on mise le tout our le tout c'est à dire = a et vaut alors ce qui n'est guère surrenant). Si on refait les calculs dans le cas d'un jeu équitable = 1/2), l'équation x 2 1 x + 1 = 0 admet alors 1 our racine double et u l = α + lβ, les conditions aux bords nous ermettent d'en déduire que u l = l 2a uis que P a) = u a/ = 1/2 quelque soit le montant de la mise que l'on a décidé de mettre à chaque artie. 5
7.2 Diculté d'interrétation des résultats. Un test médical a our but de comarer deux méthodes de traitements de calculs rénaux), la méthode ar chirurgie notée C et la méthode ar ultra-sons notée U. 700 atients ont été traités, 350 ar chirurgie et 350 ar ultra-sons. 273 traités ar la méthode C ont guéri et 289 ar la méthode U. On en déduit donc, en renant our univers l'ensemble des atients traités muni de la robabilité uniforme et en notant R l'événement une ersonne rise au hasard armi les atients traités a été guérie, que P C R) = 273 350 0.78 et que P U R) = 289 350 0.83. Nous sommes donc tenté d'en conclure que la méthode ar ultra-sons est lus erformante. Une analyse lus ne tenant comte de la taille des calculs traités donne les valeurs suivantes : Méthode C Méthode U Gros calculs C g 191 réussites/71 échecs 60 réussites/26 échecs Petits calculs C 82 réussites/6 échecs 229 réussites/35 échecs Nous avons alors les robabilités conditionnelles P C Cg R) = 191 262 0.73 et P U C g R) = 60 86 0.7, la méthode ar ultra-sons est moins erformante sur les gros calculs. Ainsi que les robabilités conditionnelles P C C R) = 82 88 0.93 et P U C R) = 229 264 0.87, la méthode ar ultra-sons est aussi moins erformante sur les etits calculs... 8 Commentaires. Comte-tenu du titre il n'est as indisensable et même eut-être à éviter) de arler de l'indéendance de N événements dans leur ensemble uisqu'il est indiqué indéendance de deux événements. Il est bon tout de même d'avoir un minimum de connaissance dessus. La artie modélisation d'un sytème évolutif est techniquement comlexe, il est bon de l'avoir comrise au moins dans le cas de l'exemle des urnes uisque vous l'aurez constaté la luart des énoncés nous donnent des robabilités conditionnées sans se réocuer du modèle robabiliste sous-jacent. 9 Bibiograhie. Issac R., Une initiation aux robabilités, Vuibert. Ouvrard J-Y., Probabilités 1 - Caes Agrégation, Cassini. Ramis J.P., Mathématiques tout-en-un L2, Dunod. 6