Fonctions de référence

Fonctions de référence 1. Rappel sens de variation d'une fonction Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R f est croissante sur I si pour tout nombre a et b de I tels que a < b alors f(a) < f(b) Remarque : si on obtient l inégalité stricte f(a) < f(b) on dit que f est strictement croissante sur I. f est décroissante sur I si pour tout nombre a et b de I tels que a < b alors f(b) < f(a) Remarques : On constate que le sens de l inégalité entre les nombres a et b est inversé pour leurs images par la fonction. Si on obtient l inégalité stricte f(b) < f(a) on dit que f est strictement décroissante sur I. On dit que f est monotone (ou strictement monotone) sur I, si elle est toujours croissante (strictement croissante) ou toujours décroissante (strictement décroissante) sur I. 2. Rappels fonctions usuelles Il est obligatoire de connaître et d avoir en mémoire le domaine de définition, le tableau des variations ainsi que la représentation graphique des fonctions usuelles vues en classe de seconde. a. Fonction linéaire f(x) = ax Domaine de définition : D f = R = ]- ; + [ C est une fonction linéaire, son image est une droite passant par l origine. C est la première bissectrice du repère. Mathématiques Dérivation 1 1 ère STMG

b. Fonction affine f(x) = ax + b Domaine de définition : D f = R = ]- ; + [ C est une fonction affine, son image est une droite ne passant pas par l origine (pour b 0). Deux représentations graphiques ont été tracées d une façon générale. Elles coupent toujours l axe des abscisses en x = - b a et l axe des ordonnées en y = b appelé ordonnée à l origine. c. Fonction carré f(x) = x² Domaine de définition : D f = R = ]- ; + [ Son image est une parabole. Mathématiques Dérivation 2 1 ère STMG

d. Fonction trinôme du second degré (a 0) f(x) = ax² + bx + c (a 0) Domaine de définition : D f = R = ]- ; + [ Son image est une parabole. b² 4ac 4a Coordonnées du sommet : S ( -b ; - ) 2a -b Pour x S = la fonction présente un maximum si a > 0 ou un minimum si a < 0 de valeur y S = - 2a b² 4ac 4a Remarques : Deux représentations graphiques ont été tracées d une façon générale. Elles peuvent être plus haut, plus bas, plus à droite ou à gauche en fonction des coefficients. 1 e. Fonction inverse f(x) = (x 0) x Domaine de définition : D f = R* = ]- ; 0[ U ]0 ; + [ Son image est une hyperbole. Mathématiques Dérivation 3 1 ère STMG

d f. Fonction homographique f(x) = (c 0 et x - ) c ax + b cx + d d d d Domaine de définition : D f = R\{- } = ]- ; - [ U ]- ; + [ c c c Son image est une hyperbole. Variations : Représentations graphiques : Remarque : deux représentations graphiques ont été tracées d une façon générale. Pour la première a = 7 ; b = 2 ; c = 3 ; d = 2, fonction croissante, Pour la seconde a = 5 ; b = 1 ; c = 2 ; d = 1, fonction décroissante. Elles pourraient être plus haut, plus bas, plus à droite ou à gauche, en fonction des coefficients. Mathématiques Dérivation 4 1 ère STMG

3. Fonction racine f(x) = x (pour 0 < x) a. Généralités Domaine de définition : D f = R + = [0 ; + [ On remarquera que zéro (0) est inclus car f(0) = 0 = 0 est calculable, donc bien défini. La fonction racine est strictement croissante sur son ensemble de définition. b. Comparaison pour x > 0 On compare x ; x et x² pour x > 0 Deux cas : Si x є [0 ; 1] alors x² x x En effet, 0 x 1 d où en multipliant par x qui est positif, 0 x² x De plus, la fonction racine est croissante. On obtient donc x² x x sur [0 ; 1] Si x є ]1 ; + [ alors x < x < x² Même procédure : 1 < x donc x < x² d où x < x² = x Ce qui donne x < x < x² 4. Fonction cube f(x) = x 3 Domaine de définition : D f = R = [- ; + [ Variations et représentation graphique : la fonction cube est strictement croissante sur son ensemble de définition. Mathématiques Dérivation 5 1 ère STMG

Nombre dérivé, tangente en un point 1. Nombre dérivé Pour une fonction f définie sur un intervalle I. Soit h un réel strictement positif (très petit), x et x + h deux réels de I. Ce sont des valeurs très proches et ordonnées (x et strictement plus petit que x + h). a. Taux d'accroissement Le taux d accroissement de f entre x et x + h est le nombre f(x) = f(x + h) - f(x) h Exemples : f : x 2x + 3 est définie sur R Taux d accroissement en x = 3 : Sur R\{-2} g est définie par. Taux d accroissement pour x = 1 : b. Nombre dérivé Le nombre dérivé de f en x est le nombre Remarque : le nombre dérivé est la limite quand h tend vers zéro du taux d accroissement. Exemple : Soit f : x 3x² 2x 1 définie sur R Calculer le nombre dérivé de f pour x = 2 puis pour x = 1 3 Soit. Pour x = 2 on a. 1 Pour x =, sans avoir à refaire tous les calculs, on a. 3 Remarque : Si le nombre dérivé en x existe, on dit que la fonction est dérivable en ce point. Mathématiques Dérivation 6 1 ère STMG

c. Calculatrices et nombre dérivé Utilisation d une calculatrice pour déterminer le nombre dérivé : sur Texas instrument (82 stat, 83 & 84) dans le menu «Math» (descendre en 8e ligne ou taper 8). Fonction «nbrdérivé(» (ou «nderiv(» si elle est en anglais) écrire la fonction, une virgule (pas le point, la touche au dessus de la touche 7), la variable (en général c est X), une virgule, puis la valeur de X. sur TI-NSpire dans une page calcul, touche menu, choix 4 nombre dérivé, il est demandé la valeur de x, (par exemple x = 2) on obtient alors, on entre la fonction dans les parenthèses. sur Casio dans le menu «RUN puis OPTN/CALC puis d/dx» écrire la fonction, une virgule (pas le point, la touche au dessus de la touche DEL), puis la valeur de X). 2. Tangente en un point à la courbe représentative d'une fonction a. Rappel, coefficient directeur Soient A [x ; f(x)] et B [x + h ; f(x + h)] deux point de la courbe représentative d une fonction f définie sur un intervalle I. La droite (AB) a pour coefficient directeur entre A y x et B le nombre a = = f(x + h) - f(x) h C est le taux d accroissement de f entre x et x + h. b. Tangente à la courbe représentative d'une fonction dérivable en un point La position limite de la droite (AB) quand B se rapproche de A (donc h tend vers 0), est la tangente à la courbe représentative de f au point A. Son coefficient directeur est donc le nombre dérivé de f pour l abscisse de A. Cette droite est de la forme y = ax + b, avec a = f'(x) Elle passe par A [x ; f(x)] donc y = f(x) = ax + b d où b = f(x) ax Exemple : pour définie sur R, équation de la tangente en x = 2. Pour x = 2, Les coordonnées du point A sont Le nombre dérivé en x = 2 est La tangente, droite d équation passe par A, ses coordonnées vérifient, d où b = 13 Équation de la tangente : Mathématiques Dérivation 7 1 ère STMG

c. Tracer la tangente en un point de la courbe représentative d'une fonction On suppose obtenu le nombre dérivé en un point (il faut alors calculer la valeur de la fonction en ce point) et peut être l équation de la tangente en ce point. Par exemple, pour la fonction précédente définie sur R, dont on a cherché le nombre dérivé en x = 2, puis l équation de la tangente en x = 2, on a déterminé puis après avoir calculé. Se placer au point. Pour tracer la droite tangente il faut un deuxième point. Depuis A, avancer d une unité horizontalement, puis vers le haut si f' > 0 (ou vers le bas si f' < 0) d autant d unités que la valeur de f' Si f' = 0 la tangente est horizontale. Mathématiques Dérivation 8 1 ère STMG

Fonction dérivée et dérivée de fonction usuelle 1. Rappel : la fonction dérivée Définition d'une fonction dérivée d une fonction définie sur un intervalle I : Si f est dérivable en tout point d abscisse x d un intervalle I, on dit que f est dérivable sur I. Notation : on note f la fonction dérivée de f f' : x f'(x) 2. Dérivée des fonctions usuelles Tableau des fonctions usuelles et de leur fonction dérivée : Fonction Fonction dérivée Intervalle de définition f(x) = k k : nombre réel f'(x) = 0 R f(x) = x f'(x) = 1 R f(x) = ax + b f'(x) = a R f(x) = x² f'(x) = 2x R f(x) = x 3 f'(x) = 3x² R f(x) = x n n : nombre entier non nul f'(x) = nx n-1 1 f(x) = f'(x) = - R* = ]- ; 0[ U ]0 ; + [ x f(x) = x f'(x) = R* + = ]0 ; + [ 1 x² 1 2 x R Exemple d utilisation : pour définie sur R, sa fonction dérivée est car la dérivée de x 2 est 2x (comme on a 3x2, on multiplie 2x par 3) et la dérivée de x est 1 (que l on multiplie par -2). 3. Dérivation d'une somme, d'un produit, d'un quotient de fonctions Pour ce qui suit, on pose : soient u et v deux fonctions de x, et k un réel. Remarque : il faudrait écrire u(x) et v(x). Les notations simplifiées u et v sont générales jusqu au bac. a. Dérivée de la somme de deux fonctions dérivables La dérivée de la somme de deux fonctions définies et dérivables sur un même intervalle I est la somme des dérivées de ces deux fonctions : Formule : (u + v)' = u' + v' Exemple : soit u(x) et v(x) définies par u : x u(x) = x 3, définie et dérivable sur R, et, définie et dérivable sur. Ces deux fonctions sont définies et dérivables sur R* Mathématiques Dérivation 9 1 ère STMG

b. Dérivée du produit d'une constante par une fonction dérivable Formule : (k x u)' = (ku)' = k x u' = ku' Exemple : (3 x 2x) = 3 2x = 6x c. Dérivée du produit de deux fonctions dérivables (sur un même intervalle) Formule : (u x v)' = u'v + uv' Exemple : soit u(x) = x 2 + 1 et v(x) = 3x - 1. Ces deux fonctions sont définies dérivables sur R En général on écrit la préparation des calculs dans un tableau : u(x) = x 2 + 1 u'(x) = 2x v(x) = 3x - 1 v'(x) = 3 Ce qui permet de faire les calculs plus simplement. d. Dérivée du quotient de deux fonctions dérivables sur un même intervalle dont la seconde ne s'annule pas (sur cet intervalle) u v Formule : ( )' = u'v uv' v² Exemple : soit u(x) = 3x + 2 et v(x) = x 2 + 1. Ces deux fonctions sont définies dérivables sur R(car la fonction v ne s annule pas sur cet intervalle). On peut écrire la préparation des calculs dans un tableau : u(x) = 3x + 2 u'(x) = 3 v(x) = x2 + 1 v'(x) = 2x Ce qui permet de faire les calculs plus simplement :. Remarque : en général on ne développe pas le dénominateur. Mathématiques Dérivation 10 1 ère STMG

e. Tableau récapitulatif des opérations sur les fonctions dérivables : Somme de deux fonctions Produit d'une fonction par une constante Produit de deux fonctions Quotient (avec dénominateur non nul) Carré d'une fonction Inverse d'une fonction (non nulle) f. Dérivation et calculatrices Les calculatrices «numériques» (calculatrices habituelles) peuvent calculer un nombre dérivé mais elles ne donnent pas l expression des fonctions dérivées. Les calculatrices «formelles» (TI-Nspire CAS, Casio Graph 100), comme les logiciels de calculs mathématiques «formels» donnent directement l expression des fonctions dérivées, y compris pour les calculs de produit ou quotient. Remarque : quand on demande de dériver une fonction au bac, le résultat est souvent donné dans l'énoncé. Ce qui est demandé dans l'épreuve, c'est de détailler les calculs, pas d'écrire le résultat obtenu (puisqu'il est donné). Montrez bien comment vous obtenez la dérivée. Mathématiques Dérivation 11 1 ère STMG

Dérivée et sens de variation d'une fonction 1. Dérivée d une fonction et variations de cette fonction Pour une fonction f dérivable sur un intervalle I, on a les théorèmes suivants : si f est positive sur I la fonction est croissante sur I. si f est négative sur I la fonction est décroissante sur I. Remarques : pour le vocabulaire mathématique, "positive" signifie "positive ou nulle" (et "négative" veut dire "négative ou nulle"). Dans le cas d une inégalité stricte, on précisera que la dérivée est "strictement positive/négative" et que f est "strictement croissante / décroissante". si la dérivée est nulle sur tout l intervalle, la fonction est constante sur cet intervalle. Exemple : la fonction est définie sur R. Sa dérivée est toujours positive (ou nulle pour x = 0). Cette fonction est donc croissante sur son domaine de définition. Cas particulier : si une fonction conserve le même sens de variation sur tout un intervalle (croissante ou décroissante), on dit que cette fonction est monotone. 2. Tableau de variations d une fonction Il est commode de regrouper toutes les indications obtenues sur la fonction dans un tableau appelé tableau de variations de la fonction. Exemple 1 : Soit définie sur R. Calculer sa dérivée, en chercher le signe, puis donner les variations de cette fonction sous forme de tableau. Calcul de la dérivée : Signe de la dérivée : la dérivée s annule pour x = -2 ou x = 2 On fait alors un tableau de signe qui indique que la dérivée est positive sur ]- ; -2], négative sur ]-2 ; 2[ et positive sur [2 ; + [ Variations de la fonction : on calcule les valeurs de la fonction pour les valeurs du tableau de signe(pour -2 et 2) : f(-2) = 17 et f(2) = -15 Tableau des variations de f (dans lequel on fait figurer tous les éléments que l'on vient de déterminer) : Mathématiques Dérivation 12 1 ère STMG

Remarque : les valeurs en - et + ne sont pas au programme des classes de premières (cours de terminale sur les limites). Enfin, on peut utiliser une calculatrice (c est conseillé!) pour tracer la courbe représentative de la fonction et vérifier que le tableau de variations est correct. Exemple 2 : Soit définie sur ]0 ; + [. Calculer sa dérivée, en chercher le signe puis dans un tableau donner les variations de cette fonction. f est de la forme donc avec.. Le dénominateur est un carré, donc toujours positif (il ne peut pas être nul sur le domaine de définition). Le signe de la dérivée est alors celui du numérateur, soit strictement négatif. Cette fonction est strictement décroissante sur son domaine de définition. On dit qu elle elle est strictement monotone. Remarque : la valeur 0 est interdite. On le signale en mettant une double barre verticale. 3. Extremum d une fonction On appelle extremum d'une fonction un maximum ou un minimum de la fonction étudiée. Par exemple, pour la fonction précédente définie sur ]0 ; + [, on a un minimum (absolu) qui vaut 1. Pour l autre fonction définie sur R, on a un maximum (local) pour x = -2 qui est 17 et un minimum (local) pour x = 2 qui est -15. Remarque : le pluriel de «extremum» est «extrema». 4. Utilisation des variations d une fonction pour résoudre graphique l équation f(x) = k D après les variations de la fonction définie sur : On peut déduire par exemple que l équation f(x) = 0 aura 3 solutions dans : une solution sur l intervalle ]- ; -2] car la fonction prend des valeurs négatives puis positives, donc elle doit passer par 0 une autre solution sur l intervalle ]-2 ; 2] car la fonction prend des valeurs positives puis négatives, donc elle doit passer par 0 une troisième solution sur l intervalle ]2 ; + [ car la fonction prend des valeurs négatives puis positives, donc elle doit passer par 0. Remarque : on peut déduire le nombre de solutions, pas leurs valeurs. Pour cela, on fera une recherche par approximation (par exemple avec un algorithme). Mathématiques Dérivation 13 1 ère STMG