SESSION 200 CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE ENSI FILIERE MP MATHEMATIQUES 2 PROBLÈME : QUELQUES UTILISATIONS DES PROJECTEURS I Questions réliminaires A est la matrice élémentaire E 2, Par suite A 2 0 uis n 2, A n 0 On en déduit que exa I 2 + A 0 De même, B 0 2 0 uis exb I 2 + B Ensuite, D autre art, A+B Par suite, 0 0 exa exb 0 0 2 uis A+B 2 I 2 On en déduit que n N, A+B 2n I 2 uis A+B 2n+ A+B exa exa + B n! A + Bn + + I 2 + 2n! ch sh sh ch 0 0, exb 2n! A + B2n + 2n +! 2, exa exb A + B2n+ 2n +! A + B chi 2 + sha + B ch sh et exa + B sh ch 2 Pour tout A, B M n R 2, si les matrices A et B commutent, exa exb exa + B II Un calcul d exonentielle de matrice à l aide des rojecteurs sectraux, cas diagonalisable 3 Polynôme interolateur de Lagrange Soit P R r [X] P Kerφ Pλ,, Pλ r 0,, 0 P 0 car un olynôme de degré au lus r ayant au moins r racines deux à deux distinctes est nul Donc Kerφ {0} et φ est une alication linéaire injective Comme R r [X] et R r sont deux R-esaces vectoriels ayant même dimension finie r, on en déduit que φ est un isomorhisme de R r [X] sur R r En articulier, le r-ulet e λ,,e λr a un antécédent et un seul ar φ noté L ou encore il existe un unique olynôme L de R r [X] tel que i, r, Lλ i e λ i 4 a Si r ou r 2, les différents roduits vides considérés sont conventionnellement égaux à Soit i, j, r 2 r Si i j, l i λ j l i λ i Si i j, l i λ j r k k λ j λ k λ j λ j λ i λ j r k k/ {i,j} λ j λ k 0 i, j, r 2, l i λ j { si i j 0 si i j δ i,j htt ://wwwmaths-francefr c Jean-Louis Rouget, 200 Tous droits réservés
r b Soit P e λ i l i Chaque olynôme l i est de degré r et donc P est un élément de R r [X] De lus, our j, r, i r r Pe λ j e λ i l i λ j e λ i δ i,j e λ j i i Par unicité de L, on en déduit que P L et donc r L e λ i l i i 5 Une roriété de l exonentielle a On sait que tout endomorhisme d un esace de dimension finie est continu sur cet esace Puisque M n R est un R-esace de dimension finie, l endomorhisme de M n R défini ar M PMP est continu sur M n R On note f cet endomorhisme b Pour tout entier naturel k, on a PDP k PD k P et donc our tout entier naturel, PDP k D k P P D k f D k Maintenant, f est continue sur M n R et en articulier, f est continu en D La suite converge vers exd D k quand tend vers + et donc, ar continuité de f en D, la suite f converge vers fexd P exd P D k PDP k Comme d autre art, f converge vers expdp, on a montré que expdp P exd P P GL n R, D D n R, expdp P exd P 6 Notons α,,, les ordres de multilicité resectifs des valeurs rores λ,, λ r, de la matrice A Puisque la matrice A est diagonalisable, il existe P GL n R telle que A PDP où D diagλ,,λ }{{,,λ } r,, λ r α Déjà exd D k + diag λ k,, + λ k α,, diaglλ,, Lλ,, Lλ r,,lλ r LD α λ k r,, + λ k r diage λ,,e λ,,} e λr, {{, e λr } α La question récédente ermet alors d écrire exa expdp P exd P PLDP Enfin, si on ose r L a k X k, On a montré que PLDP P r r a k D k P a k PDP k r a k A k LA A M n R, A diagonalisable exa LA k 7 Posons P a i X i R[X] Par définition, vx λx Mais alors i N, v i x λ i x uis k k k Pvx a i v x i a i v i x a i λ i x Pλx htt ://wwwmaths-francefr 2 c Jean-Louis Rouget, 200 Tous droits réservés
8 a Puisque v est diagonalisable, E r E k Soit alors i, r k Soit x E i Alors vx λ i x uis d arès la question récédente et la question 4a, l i vx l i λ i x x Soient j, r \ {i} uis x E j Alors vx λ j x uis l i vx l i λ j x 0 Mais alors, ar linéarité de l i v, our tout x de r k E k, l i vx 0 En résumé, our tout x de E i, l i vx x et our tout x de rojecteur sur E i arallèlement à r E k k r E k, l i vx 0 Ceci montre que l i v est le k, k i i, r, l i v est le rojecteur sur E i arallèlement à r E k k b On en déduit que exa LA r e λ i l i A où l i A est la matrice de la rojection l i v i III Un calcul d exonentielle de matrice à l aide des rojecteurs sectraux, cas non diagonalisable 9 On sait qu un en endomorhisme d un K-esace vectoriel de dimension finie est diagonalisable si et seulement si son olynôme minimal est scindé sur K à racines simles Puisque le olynôme X 2 X 2 est à racines simles, l endomorhisme u n est as diagonalisable 0 La matrice 0 0 0 0 0 2 convient Les olynômes X 2 et X 2 sont remiers entre eux car sans racine commune dans C Puisque u id 2 u 2id 0, le théorème de décomosition des noyaux ermet alors d écrire E Keru id 2 Keru 2id 2 Puisque les endomorhismes u et id commutent, + q u id 2 + u 2id u u 2 2u + id + 2u u 2 id 3 D arès la question 2, our tout x de E, x x+qx u id 2 x+u 2id ux Or u 2idx u 2id u id 2 x 0 et donc x Keru 2id De même, u id 2 qx u id 2 u 2id ux uu id 2 u 2idx 0 deux olynômes en u commutent et donc qx x x Keru id 2 En résumé, our tout x de E, x Keru 2id et x x Keru id 2 On sait alors que est le rojecteur sur Keru 2id arallèlement à Keru id 2 Enfin, uisque q id d arès la question 2, et q sont des rojecteurs associés ou encore q est le rojecteur sur Keru id 2 arallèlement à Keru 2id 4 a On a vu récédemment que our tout x de E, u 2idx 0 b Par suite, our tout x de E, ux 2x et donc our tout x de E et tout entier naturel k, u k x 2 k x ou encore k N, u k 2 k m u i m u i m c Pour tout entier naturel m, 2 i m 2 i Quand m tend vers +, tend vers e 2 Maintenant, l alication f f est un endomorhisme de l esace de dimension finie LE et donc cette alication est continue sur LE Comme à la question 5b, on en déduit que exu lim m + m u i lim m + exu e 2 m u i e 2 htt ://wwwmaths-francefr 3 c Jean-Louis Rouget, 200 Tous droits réservés
5 Puisque deux olynômes en u commutent our k 2, u id k q u id k u2id u u u id k 2 u id 2 u 2id u u id k 2 0 0 k 2, u id k q 0 Comme les endomorhismes id et u id commutent, on eut alors écrire exu q exid + u id q exid exu id q eid exu id q e u idk q ar continuité de l alication f f q sur LE eq + u id q e u q exu q e u q 6 D arès la question 2, exu exu + q exu + exu q e 2 + e u q e 2 u id 2 + eu u 2id u eu 3 + e 2 + eu 2 2e 2 u + e 2 id e4u 2 5u + 2id + e 2 + eu 2 2e 2 u + e 2 id car u 3 4u 2 + 5u 2id u id 2 u 2id 0 e 2 3eu 2 + 2e 2 + 5eu + e 2 2eid exu e 2 3eu 2 + 2e 2 + 5eu + e 2 2eid IV Calcul de distances à l aide de rojecteurs orthogonaux 7 On sait que dx, F x F x où de lus, si e,, e est une base orthonormée de F, F x x, e i e i i 8 Soit x E On sait que Vectn x n 2 n Redémontrons-le Il existe λ R tel que Vectn λn Le réel λ est déterminé ar la condition x λ n ce qui fournit x λ n, n 0 uis λ On en déduit que H x x H x x Vectn x x x E, H x x n 2 n n 2 n n 2 9 Une alication a L alication ϕ : M TrM est une forme linéaire non nulle sur M n R L ensemble des matrices dont la trace est nulle, est le noyau de ϕ et est donc un hyerlan de M n R Pour tout A, B M n R 2, A, B a i,j b i,j En articulier, A M n R, i,j n A, I n n a i,j δ i,j a i,i TrA i,j n i Donc I n est un élément non nul de H qui est de dimension uisque H est un hyerlan On en déduit que H VectI n b D arès les questions 7 et 8, dm, H M H M H M M, I n I n 2 I n M, I n I n M M n R, dm, H TrM n TrM n htt ://wwwmaths-francefr 4 c Jean-Louis Rouget, 200 Tous droits réservés
20 Et our une norme non euclidienne? F {λ, 0, λ R} {λ, 0, λ R} Or, our λ R, N x λ, 0 N λ, max{ λ, } Par suite, λ R, N x λ, 0 avec égalité si et seulement si λ ce qui équivaut à 0 λ 2 Donc d x, F et les oints m de F our lesquels cette distance est atteinte sont les oints du segment d extrémités 0, 0 et 2, 0 htt ://wwwmaths-francefr 5 c Jean-Louis Rouget, 200 Tous droits réservés